# 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る > 随伴の三つの定義（Hom の自然な全単射・普遍射・単位と余単位）の同値、左随伴の一意性、右随伴が極限を保つこと、圏同値の随伴同値への取り替えを証明し、Freyd の一般随伴関手定理から自由群の存在と群の圏の余完備性を導く。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/category-homological-algebra/adjoint-functors ## 0. この記事の要点 集合から自由群を作る操作と、群を交換可能にする（アーベル化する）操作は、一見すると別の話です。けれども、どちらも「作る側の写像」と「元に戻す側の写像」が過不足なく 1 対 1 に対応する、という同じ形をしています。この記事は、その形を随伴という一つの言葉で捉え、そこから「極限や余極限がどう振る舞うか」が自動的に分かること、そして自由群が確かに存在することまでを示します。 - 関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ について、$\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, Y) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, GY)$ が両変数について自然なとき、$F$ は $G$ の**左随伴**です（$F \dashv G$）。これは「各 $X$ に $X$ から $G$ への[普遍射](/mathematics/category-homological-algebra/yoneda-lemma#def-universal-arrow) $\eta_X : X \to GFX$ がある」こととも、「三角等式を満たす単位 $\eta$ と余単位 $\varepsilon$ がある」こととも同値です。 - 左随伴は自然同型を除いて一意で、随伴は合成できます。各対象に普遍射があれば、それらは自動的に関手（左随伴）にまとまります。 - **右随伴は極限を保ち、左随伴は余極限を保ちます。** 随伴が無いことの証明や、極限の計算にそのまま使えます。右随伴が[充満](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-full-faithful)忠実であることは余単位が同型であることと同値で、[圏同値](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-equivalence)はいつでも随伴同値に取り替えられます。 - **一般随伴関手定理**（Freyd）：[完備](/mathematics/category-homological-algebra/limits-colimits#def-limit)で局所的に小さい圏からの、極限を保ち解集合条件（射を調べるのに小さい集合ぶんの対象を見れば足りる、という大きさの条件）を満たす関手は左随伴をもちます。系として自由群が存在し、群の圏 $\mathsf{Grp}$ は余完備です。 - 例：[自由加群](/mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama#def-free-finite) ⊣ 忘却、アーベル化 ⊣ 包含、$- \otimes N \dashv \operatorname{Hom}(N, -)$、係数の拡大 ⊣ 制限、像 ⊣ 逆像 ⊣ 「∀ による像」（量化子の随伴）、[幾何的実現](/mathematics/algebraic-topology/singular-homology#def-geometric-realization) ⊣ 特異単体的集合。 ## 1. 動機 自由加群 $A^{(S)}$ は、集合 $S$ から加群 $M$ への写像を、$A^{(S)}$ から $M$ への線形写像に一意に延ばせる加群でした。テンソル積と Hom は $\operatorname{Hom}(M \otimes N, P) \cong \operatorname{Hom}(M, \operatorname{Hom}(N, P))$ で結ばれていました。アーベル化 $G/[G, G]$ は、群 $G$ からアーベル群への準同型を一意に経由させる商でした。いずれも「ある関手 $G$ の側の射」と「その相手 $F$ の側の射」が自然に 1 対 1 に対応する、という形をしています。 Kan（1958）はこの形を**随伴**と名付け、極限・余極限・自由対象・Hom とテンソルの関係が同じ枠に入ることを示しました。随伴は圏論で最もよく現れる概念で、以後の章でも、アーベル圏の完全関手（左随伴は右完全）、入射対象の保存、モナド、Kan 拡張、導来関手の合成と、ほぼすべての場面で使います。代数幾何学では「$\operatorname{Spec}$ と大域切断」「層化と忘却」、代数的位相幾何学では「懸垂とループ空間」が代表的な随伴です。 記号は前の章までと同じで、とくに普遍射は [米田の補題と表現可能関手](/mathematics/category-homological-algebra/yoneda-lemma) の 、極限は [極限と余極限](/mathematics/category-homological-algebra/limits-colimits) の の意味です。圏はすべて局所的に小さいとします。 ## 2. 随伴の三つの定義 関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ について、全単射の族 $$ \varphi_{X, Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, Y) \xrightarrow{\ \cong\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, GY) $$ で、$X$ と $Y$ の両方について自然なもの（すなわち $h : X' \to X$、$k : Y \to Y'$ について $\varphi(k \circ g \circ F(h)) = G(k) \circ \varphi(g) \circ h$）を**随伴**といい、$F$ を $G$ の**左随伴**、$G$ を $F$ の**右随伴**と呼んで $F \dashv G$ と書く。$\varphi(g)$ を $g$ の**転置**という。 $F \dashv G$ について、$\eta_X = \varphi(\mathrm{id}_{FX}) : X \to GFX$ を**単位**、$\varepsilon_Y = \varphi^{-1}(\mathrm{id}_{GY}) : FGY \to Y$ を**余単位**という。一般に、自然変換 $\eta : \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \Rightarrow GF$、$\varepsilon : FG \Rightarrow \mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$ が $$ \varepsilon_{FX} \circ F(\eta_X) = \mathrm{id}_{FX}, \qquad G(\varepsilon_Y) \circ \eta_{GY} = \mathrm{id}_{GY} $$ を満たすとき、これを**三角等式**という（水平合成の記号では $\varepsilon F \circ F\eta = \mathrm{id}_F$、$G\varepsilon \circ \eta G = \mathrm{id}_G$）。 関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ について、次のデータは互いに 1 対 1 に対応する。 1. 随伴 $\varphi$（）。 2. 自然変換 $\eta : \mathrm{Id} \Rightarrow GF$ で、各 $(FX, \eta_X)$ が $X$ から $G$ への普遍射であるもの。 3. 三角等式を満たす自然変換の組 $(\eta, \varepsilon)$。 対応は、$\varphi$ から 2・3 へは の $\eta$、$\varepsilon$、逆向きには $$ \varphi(g) = G(g) \circ \eta_X, \qquad \varphi^{-1}(f) = \varepsilon_Y \circ F(f) $$ で与えられる。 次の証明は、1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1 と一周して三つの定義が同じものだと確かめる形です。式が長く見えますが、使う道具は二つだけです。一つは、$\eta$、$\varepsilon$ が自然変換であること（射との可換性）。もう一つは、$\eta_X$ が普遍射であること（$GY$ への射が $G(g)\eta_X$ の形にただ一通りに書けること）。式変形のたびに、どちらを使っているかに注目してください。 **1 ⇒ 2.** $\eta_X = \varphi(\mathrm{id}_{FX})$ とおく。$Y$ についての自然性から $\varphi(g) = \varphi(g \circ \mathrm{id}_{FX}) = G(g)\eta_X$。$\varphi$ が全単射なので、任意の $f : X \to GY$ は $G(g)\eta_X$ の形にただ一通りに書け、$(FX, \eta_X)$ は普遍射である。$\eta$ の自然性：$h : X \to X'$ について、$X$ についての自然性から $\eta_{X'}h = \varphi(\mathrm{id}_{FX'})h = \varphi(F(h))$ で、これは上の式から $G(F(h))\eta_X$ に等しい。 **2 ⇒ 3.** $\eta_{GY}$ の普遍性から、$G(\varepsilon_Y)\eta_{GY} = \mathrm{id}_{GY}$ を満たす $\varepsilon_Y : FGY \to Y$ がただ一つある（第 2 の三角等式）。自然性：$k : Y \to Y'$ について、$k\varepsilon_Y$ と $\varepsilon_{Y'}FG(k)$ はどちらも $FGY \to Y'$ で、 $$ G(\varepsilon_{Y'}FG(k))\eta_{GY} = G(\varepsilon_{Y'})\eta_{GY'}G(k) = G(k) = G(k\varepsilon_Y)\eta_{GY} $$ （1 つ目の等号は $\eta$ の自然性）なので、普遍性の一意性から等しい。第 1 の三角等式：$G(\varepsilon_{FX}F(\eta_X))\eta_X = G(\varepsilon_{FX})\eta_{GFX}\eta_X = \eta_X = G(\mathrm{id}_{FX})\eta_X$（1 つ目の等号は $\eta$ の自然性を射 $\eta_X$ に適用した）なので、一意性から $\varepsilon_{FX}F(\eta_X) = \mathrm{id}_{FX}$。 **3 ⇒ 1.** $\varphi(g) = G(g)\eta_X$、$\psi(f) = \varepsilon_YF(f)$ とおく。$\varepsilon$ の自然性と第 1 の三角等式から $\psi\varphi(g) = \varepsilon_YFG(g)F(\eta_X) = g\,\varepsilon_{FX}F(\eta_X) = g$。$\eta$ の自然性と第 2 の三角等式から $\varphi\psi(f) = G(\varepsilon_Y)GF(f)\eta_X = G(\varepsilon_Y)\eta_{GY}f = f$。自然性：$h : X' \to X$、$k : Y \to Y'$ について、$\eta$ の自然性 $GF(h)\eta_{X'} = \eta_Xh$ から $\varphi(kgF(h)) = G(k)G(g)GF(h)\eta_{X'} = G(k)G(g)\eta_Xh = G(k)\varphi(g)h$。 **1 対 1 であること.** 1 から作った $\eta$ で 3 ⇒ 1 の式を使うと、1 ⇒ 2 で示した $\varphi(g) = G(g)\eta_X$ により元の $\varphi$ に戻る。2 の $\eta$ は、3 ⇒ 1 で得た $\varphi$ の単位 $\varphi(\mathrm{id}_{FX}) = G(\mathrm{id})\eta_X = \eta_X$ に一致し、$\varepsilon$ も $\varphi^{-1}(\mathrm{id}_{GY}) = \varepsilon_YF(\mathrm{id}) = \varepsilon_Y$ に一致する。 三角等式は「$\eta$ と $\varepsilon$ をつなぐと恒等になる」という式で、随伴を自然変換だけで書く方法です。3 の形は関手の具体的な形に依存しないので、モナドや 2-圏の随伴へそのまま一般化されます。 (a) **離散 ⊣ 忘却 ⊣ 密着**。忘却関手 $U : \mathsf{Top} \to \mathsf{Set}$ について、集合 $S$ に離散位相を入れる関手 $\mathrm{Disc}$ と密着位相を入れる関手 $\mathrm{Ind}$ を考えます。離散空間からの写像はすべて連続、密着空間への写像はすべて連続なので、$\operatorname{Hom}_{\mathsf{Top}}(\mathrm{Disc}\,S, X) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Set}}(S, UX)$、$\operatorname{Hom}_{\mathsf{Set}}(UX, S) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Top}}(X, \mathrm{Ind}\,S)$ がそのまま成り立ちます。どちらの全単射も写像そのものを変えないので、前後に射を合成する操作と可換で、両変数について自然です。よって $\mathrm{Disc} \dashv U \dashv \mathrm{Ind}$。 (b) **カリー化**。集合 $A$ を固定すると、$\operatorname{Hom}(X \times A, Y) \cong \operatorname{Hom}(X, Y^{A})$（$f \mapsto (x \mapsto f(x, -))$）は $X$、$Y$ について自然で、$(- \times A) \dashv (-)^{A}$ です。単位は $x \mapsto (a \mapsto (x, a))$、余単位は評価写像 $(g, a) \mapsto g(a)$ です。 ### 2.1. 一意性と合成 $F \dashv G$ と $F' \dashv G$ が単位 $\eta$、$\eta'$ とともに与えられたとき、$G(\theta_X)\eta_X = \eta'_X$ を満たす自然同型 $\theta : F \Rightarrow F'$ がただ一つ存在する。双対的に、右随伴も自然同型を除いて一意である。 により $(FX, \eta_X)$ と $(F'X, \eta'_X)$ はどちらも $X$ から $G$ への普遍射、すなわち関手 $\operatorname{Hom}(X, G(-))$ の普遍元である（）。 により $G(\theta_X)\eta_X = \eta'_X$ となる $\theta_X : FX \to F'X$ がただ一つあり、同型である。自然性：$f : X \to X'$ について $$ G(\theta_{X'}F(f))\eta_X = G(\theta_{X'})\eta_{X'}f = \eta'_{X'}f = GF'(f)\eta'_X = G(F'(f)\theta_X)\eta_X $$ （$\eta$、$\eta'$ の自然性を使った）なので、$\eta_X$ の普遍性の一意性から $\theta_{X'}F(f) = F'(f)\theta_X$。右随伴については $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$、$\mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ に適用する（$F \dashv G$ は $G^{\mathrm{op}} \dashv F^{\mathrm{op}}$ と同じこと）。 $F \dashv G$（$F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$）と $F' \dashv G'$（$F' : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$）なら、$F'F \dashv GG'$ である。 自然な全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(F'FX, Z) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, G'Z) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, GG'Z)$ を合成すればよい。1 つ目は $F' \dashv G'$ を $(FX, Z)$ に、2 つ目は $F \dashv G$ を $(X, G'Z)$ に適用したもので、$X$ の射は $F$ を通して、$Z$ の射は $G'$ を通して作用するので、合成も $X$、$Z$ について自然である。 ### 2.2. 普遍射から随伴を組み立てる 関手 $G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ について、各 $X \in \mathcal{C}$ に $X$ から $G$ への普遍射 $(FX, \eta_X)$ が存在するとする。このとき、射 $f : X \to X'$ に $G(F(f)) \circ \eta_X = \eta_{X'} \circ f$ を満たすただ一つの射 $F(f) : FX \to FX'$ を対応させると、$F$ は関手で、$\eta$ は自然変換であり、$F \dashv G$ である。双対的に、各 $Y \in \mathcal{D}$ に $F$ から $Y$ への普遍射があれば $F$ は右随伴をもつ。 普遍射の選択には選択公理（）を $\operatorname{Ob}\mathcal{C}$ 上で使う。$\eta_{X'}f : X \to GFX'$ に $\eta_X$ の普遍性を適用して $F(f)$ がただ一つ定まる。$\mathrm{id}_{FX}$ は $f = \mathrm{id}_X$ の条件を満たすので $F(\mathrm{id}) = \mathrm{id}$。$f' : X' \to X''$ について $G(F(f')F(f))\eta_X = G(F(f'))\eta_{X'}f = \eta_{X''}f'f$ なので、一意性から $F(f'f) = F(f')F(f)$。$F(f)$ の定義式は $\eta$ の自然性そのものなので、 の 2 が成り立ち、$F \dashv G$ である。これは を双関手 $(X, Y) \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, GY)$ に適用したものと同じ構成である。双対は反対圏に適用する。 ## 3. 右随伴は極限を保つ $F \dashv G$（$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$）とする。$G$ は $\mathcal{D}$ に存在するすべての極限を保ち、$F$ は $\mathcal{C}$ に存在するすべての余極限を保つ。とくに $G$ は mono を保ち、$F$ は epi を保つ。 証明の方針は、極限の定義を「錐から極限への射が一通りに決まる」という全単射として書き、随伴の全単射 $\varphi$ でそれを $\mathcal{D}$ 側から $\mathcal{C}$ 側へ移す、というものです。錐（頂点から図式の各点への射の族）を $\varphi$ で一斉に転置しても錐のままなので、極限の普遍性が $G$ の像でもそのまま成り立ちます。 $D : J \to \mathcal{D}$ の極限を $(L, \lambda)$ とする。$X \in \mathcal{C}$ について、錐の転置を考える。族 $u_j : FX \to D_j$ が錐（$D(a)u_i = u_j$）であることと、転置の族 $\varphi(u_j) : X \to GD_j$ が錐（$GD(a)\varphi(u_i) = \varphi(u_j)$）であることは、$\varphi$ の $Y$ についての自然性 $\varphi(D(a)u_i) = GD(a)\varphi(u_i)$ から同値である。したがって合成 $$ \operatorname{Hom}(X, GL) \xrightarrow{\varphi^{-1}} \operatorname{Hom}(FX, L) \xrightarrow{\ \lambda_* \ } \operatorname{Cone}(FX, D) \xrightarrow{\ \varphi\ } \operatorname{Cone}(X, GD) $$ は全単射である（中央は $L$ が極限であることによる）。$u : X \to GL$ について $\varphi(\lambda_j\varphi^{-1}(u)) = G(\lambda_j)u$（自然性）なので、この合成は $u \mapsto (G(\lambda_j)u)_j$ である。それがすべての $X$ で全単射であることは、$(GL, G\lambda)$ が $GD$ の極限であること（）にほかならない。$F$ については反対圏に適用する。 mono について： により $f$ が mono であることは $(\mathrm{id}, \mathrm{id})$ が $f$ の核対であることと同値で、$G$ は引き戻し（極限）を保つので $(\mathrm{id}, \mathrm{id})$ は $G(f)$ の核対であり、$G(f)$ は mono である。epi は双対である。 この定理は、随伴が**無い**ことを示すのによく使います。たとえば忘却関手 $U : \mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}$ は始対象（自明群）を 1 点集合に写しますが、$\mathsf{Set}$ の始対象は空集合なので、$U$ は余極限を保たず、右随伴をもちません（）。 ## 4. 反射的部分圏と随伴同値 充満部分圏 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{C}$ の包含関手が左随伴 $R : \mathcal{C} \to \mathcal{A}$ をもつとき、$\mathcal{A}$ を**反射的部分圏**、$R$ を**反射**という。包含関手が右随伴をもつとき**余反射的部分圏**という。 $F \dashv G$ とする。$G$ が充満忠実であることと、余単位 $\varepsilon$ が自然同型であることは同値である。双対的に、$F$ が充満忠実であることと単位 $\eta$ が自然同型であることは同値である。 $Y, Y' \in \mathcal{D}$ について、写像 $\operatorname{Hom}(Y, Y') \to \operatorname{Hom}(GY, GY')$、$g \mapsto G(g)$ は、合成 $$ \operatorname{Hom}(Y, Y') \xrightarrow{\ -\circ\varepsilon_Y\ } \operatorname{Hom}(FGY, Y') \xrightarrow{\ \varphi\ } \operatorname{Hom}(GY, GY') $$ に等しい。実際 $\varphi(g\varepsilon_Y) = G(g)G(\varepsilon_Y)\eta_{GY} = G(g)$（ の式と第 2 の三角等式）。$\varphi$ は全単射なので、$G$ が充満忠実であることは、すべての $Y'$ で $- \circ \varepsilon_Y$ が全単射であること、すなわち自然変換 $h^{Y} \Rightarrow h^{FGY}$、$g \mapsto g \circ \varepsilon_Y$ が自然同型であることと同値である（）。 を $\mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ に適用すると、$X \mapsto h^{X}$ は $\mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ から関手圏への充満忠実な関手で、この自然変換は射 $\varepsilon_Y$ の像である。関手は同型を保ち、充満忠実な関手は同型を反映する（）ので、これは $\varepsilon_Y$ が同型であることと同値である。最後に により、すべての $Y$ でそうであることは $\varepsilon$ が自然同型であることと同値である。後半は反対圏に適用する。 とくに反射的部分圏では、余単位 $R(Y) \to Y$（$Y \in \mathcal{A}$）が同型です。「$\mathcal{A}$ の対象を反射しても変わらない」ということです。 随伴 $F \dashv G$ で、単位 $\eta$ と余単位 $\varepsilon$ がともに自然同型であるものを**随伴同値**という。 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を圏同値、$G$ をその擬逆、$\varepsilon : FG \Rightarrow \mathrm{Id}$ を自然同型とする。このとき自然同型 $\eta : \mathrm{Id} \Rightarrow GF$ を選び直して、$(\eta, \varepsilon)$ が三角等式を満たすようにできる。とくに $F \dashv G$ かつ $G \dashv F$ で、$(F, G, \eta, \varepsilon)$ は随伴同値である。 により $F$ は充満忠実である。各 $X$ について、$F(\eta_X) = \varepsilon_{FX}^{-1}$ を満たす $\eta_X : X \to GFX$ がただ一つあり、 により同型である。自然性：$f : X \to X'$ について、$\varepsilon$ の自然性を射 $F(f)$ に適用した $\varepsilon_{FX'}FGF(f) = F(f)\varepsilon_{FX}$ から $$ F(GF(f)\eta_X) = FGF(f)\,\varepsilon_{FX}^{-1} = \varepsilon_{FX'}^{-1}F(f) = F(\eta_{X'}f) $$ で、忠実性から $GF(f)\eta_X = \eta_{X'}f$。 第 1 の三角等式 $\varepsilon_{FX}F(\eta_X) = \mathrm{id}$ は定義そのもの。第 2 の三角等式：$\varepsilon$ の自然性を射 $\varepsilon_Y : FGY \to Y$ に適用すると $\varepsilon_Y \circ FG(\varepsilon_Y) = \varepsilon_Y \circ \varepsilon_{FGY}$ で、$\varepsilon_Y$ は同型なので $FG(\varepsilon_Y) = \varepsilon_{FGY}$。よって $$ F(G(\varepsilon_Y)\eta_{GY}) = FG(\varepsilon_Y)\,\varepsilon_{FGY}^{-1} = \mathrm{id}_{FGY} = F(\mathrm{id}_{GY}) $$ で、忠実性から $G(\varepsilon_Y)\eta_{GY} = \mathrm{id}$。 により $F \dashv G$。$(\varepsilon^{-1}, \eta^{-1})$ は三角等式の逆をとったものを満たすので、$G \dashv F$ でもある。 [半順序集合](/mathematics/combinatorics/posets-mobius#def-poset) $P, Q$ を圏と見る（ の意味で、$p \le p'$ のときだけ射が 1 本ある圏）。単調写像 $l : P \to Q$、$r : Q \to P$ が $l \dashv r$、すなわち $$ l(p) \le q \iff p \le r(q) \qquad (p \in P,\ q \in Q) $$ を満たすとき、組 $(l, r)$ を **Galois 接続**という。 Hom が高々 1 元なので、自然性の条件は自動的に成り立ち、随伴は上の同値だけで決まります。 次の命題は、集合の写像 $f$ が冪集合の間に作る三つの操作（像、逆像、「$f$ で対応する元がすべて $A$ に入る点の集合」）が、順序の意味での随伴になっている、という例です。「$\exists$（存在する）」「$\forall$（すべての）」が随伴として現れます。 写像 $f : X \to Y$ について、冪集合を包含で順序づけた半順序集合 $\mathcal{P}(X)$、$\mathcal{P}(Y)$ の間の単調写像 $$ \exists_f(A) = \{y \mid \exists x \in A,\ f(x) = y\}, \quad f^{*}(B) = f^{-1}(B), \quad \forall_f(A) = \{y \mid \forall x \in X,\ (f(x) = y \Rightarrow x \in A)\} $$ について $\exists_f \dashv f^{*} \dashv \forall_f$ である。とくに $f^{-1}$ は任意の共通部分と和集合を保ち、像 $f(-)$ は和集合を保つ。 量化子の意味は のとおり。$\exists_f(A) \subseteq B$ は「$x \in A$ なら $f(x) \in B$」と同値で、これは $A \subseteq f^{-1}(B)$ である。$f^{*} \dashv \forall_f$ は $f^{-1}(B) \subseteq A \iff B \subseteq \forall_f(A)$ のことである。$B \subseteq \forall_f(A)$ は「$y \in B$ かつ $f(x) = y$ なら $x \in A$」、すなわち「$f(x) \in B$ なら $x \in A$」で、これは $f^{-1}(B) \subseteq A$ である。三つの写像が単調なこと（$A \subseteq A'$ なら $\exists_f(A) \subseteq \exists_f(A')$、$\forall_f(A) \subseteq \forall_f(A')$、$B \subseteq B'$ なら $f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(B')$）は定義から直接わかり、 から随伴である。 後半：半順序集合の圏で、積は下限（共通部分）、余積は上限（和集合）である（錐の条件が「すべての成分以下」になるため）。$f^{*}$ は右随伴かつ左随伴なので、 から共通部分と和集合を保ち、左随伴 $\exists_f$ は和集合を保つ。 $\exists_f$ が共通部分を保たないこと（$f$ が単射でなければ $f(A \cap A') \subsetneq f(A) \cap f(A')$ となりうる）は、$\exists_f$ が（右随伴 $f^{*}$ はもつものの）左随伴をもたない、すなわち右随伴ではない（$f$ が単射でないとき）ことの反映です。論理の言葉では、「存在量化は代入の左随伴、全称量化は右随伴」で、圏論的論理学の出発点になる観察です（Lawvere）。 有限次 Galois 拡大 $L/K$（標数 0）について、部分群 $H$ に固定体 $L^{H}$ を、中間体 $M$ に $\mathrm{Gal}(L/M)$ を対応させる写像は、包含を**逆向き**にする単調写像の組で、$M \subseteq L^{H} \iff H \subseteq \mathrm{Gal}(L/M)$ を満たします。部分群の順序集合の双対と中間体の順序集合の間の Galois 接続です。一般の Galois 接続では $l r l = l$、$r l r = r$ が成り立ち（三角等式）、$l$、$r$ はそれぞれの像の間の全単射を与えます。Galois 理論の基本定理（）の内容は、この接続の像が「すべての部分群」と「すべての中間体」であること、すなわち接続が全体で全単射になることです。この注意は読み替えにとどめ、証明には使いません。 ## 5. 一般随伴関手定理 により、右随伴であるためには極限を保つことが必要です。逆に、極限を保つ関手はいつ右随伴か、という問いに答えるのが随伴関手定理です。 と により、問題は「各[コンマ圏](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-comma-category) $(X \downarrow G)$ に始対象があるか」に帰着します。 次の補題の狙いは、「どの対象へも射が出ている対象 $W$」までは積でただちに作れるが、射が**ただ一つ**とは限らないので、その余分な自由度を $W$ の自己準同型で切り落とし、始対象にまで絞り込むことです。 $\mathcal{A}$ を完備で局所的に小さい圏とし、対象の小さい集合 $\{A_s\}_{s \in S}$ で、任意の対象 $A$ に対しある $s$ と射 $A_s \to A$ が存在するもの（**弱始集合**）があるとする。このとき $\mathcal{A}$ は始対象をもつ。 $W = \prod_s A_s$ とおく。射影 $W \to A_s$ と合成すれば、任意の対象へ $W$ から射がある。$W$ の自己準同型全体 $\operatorname{End}(W)$ は小さい集合なので、対象 $W$ ただ一つと射 $\operatorname{End}(W)$ からなる小さい圏上の図式の極限 $e : E \to W$ がある。錐の条件から、すべての $s \in \operatorname{End}(W)$ で $s \circ e = e$ である。また $e$ は mono である（極限への射は錐の成分との合成で決まる）。$E$ からも任意の対象へ射がある（$e$ と $W$ からの射の合成）。 一意性を示す。$f, g : E \to A$ とし、その等化子 $k : K \to E$ をとる。$W$ から $K$ への射 $h$ があるので、$e k h \in \operatorname{End}(W)$ で、$e(khe) = (ekh)e = e = e \circ \mathrm{id}_E$。$e$ は mono なので $khe = \mathrm{id}_E$。よって $k$ はレトラクションで、等化子なので mono（等化子への射は $k$ との合成で決まる）でもあるから、 の 4 より同型である。$fk = gk$ と $k$ の可逆性から $f = g$。 $\mathcal{D}$ を完備で局所的に小さい圏、$\mathcal{C}$ を局所的に小さい圏、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ を小さい極限を保つ関手とする。各 $X \in \mathcal{C}$ について、射の小さい集合 $\{x_s : X \to GD_s\}_{s \in S_X}$ で、任意の $g : X \to GD$ がある $s$ と $t : D_s \to D$ によって $g = G(t) \circ x_s$ と書けるもの（**解集合**）が存在するなら、$G$ は左随伴をもつ。 と により、各コンマ圏 $\mathcal{A} = (X \downarrow G)$（対象は $(D, x : X \to GD)$）が始対象をもつことを示せばよい。$\mathcal{A}$ の Hom は $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}$ の部分集合なので局所的に小さく、解集合は $\mathcal{A}$ の弱始集合である。 を使うため、$\mathcal{A}$ が完備であることを示す。 図式 $j \mapsto (D_j, x_j)$ が与えられたとし、$\mathcal{D}$ での $j \mapsto D_j$ の極限を $(L, \lambda)$ とする。$G$ は極限を保つので $(GL, G\lambda)$ は $GD_j$ の極限である。コンマ圏の射の条件から $(x_j)$ は $X$ を頂点とする $GD_{-}$ 上の錐なので、$G(\lambda_j)x = x_j$ となる $x : X \to GL$ がただ一つある。$(L, x)$ と $\lambda_j$ は $\mathcal{A}$ の錐である。$(M, y)$ からの $\mathcal{A}$ の錐 $\mu_j$ に対し、$\mathcal{D}$ で $\lambda_ju = \mu_j$ となる $u : M \to L$ がただ一つあり、$G(\lambda_j)G(u)y = G(\mu_j)y = x_j$ から、$GL$ の普遍性の一意性で $G(u)y = x$、すなわち $u$ は $\mathcal{A}$ の射である。よって $(L, x)$ は $\mathcal{A}$ での極限である。 解集合条件は「$X$ からの射を調べるのに、小さい集合ぶんの対象を見れば足りる」という条件で、大きさの制約です。証明で使ったのは、弱始対象の候補を小さい積 $W$ にまとめ、$\operatorname{End}(W)$ という小さい集合で等化する、という二か所だけです。どちらも「小さい」でなければ極限が存在するとは限りません。 ### 5.1. 自由群と群の圏の余完備性 群 $H$ の部分集合 $T$ が生成する部分群 $\langle T \rangle$ について $|\langle T \rangle| \le \max(|T|, \omega)$ である。 $\mu = \max(|T|, \omega)$、$T' = T \cup T^{-1} \cup \{e\}$ とおく。 から $|T'| \le \mu$ で、 を繰り返し使うと $|T'^{n}| \le \mu$。$T'$ の元の有限個の積全体は積と逆元で閉じている（$(t_1 \cdots t_n)^{-1} = t_n^{-1} \cdots t_1^{-1}$）ので $\langle T \rangle$ に等しく、写像 $\bigsqcup_{n \in \omega} T'^{n} \to \langle T \rangle$（積をとる）は全射である。左辺の濃度は $|\omega \times \mu| = \mu$ 以下なので（）、選択公理により $|\langle T \rangle| \le \mu$。 忘却関手 $U : \mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}$ は左随伴 $F$ をもつ。すなわち各小さい集合 $S$ について、群 $F(S)$ と写像 $\eta_S : S \to UF(S)$ で、任意の群 $H$ と写像 $g : S \to UH$ に対し $U(\bar g)\eta_S = g$ を満たす準同型 $\bar g : F(S) \to H$ がただ一つ存在するものがある。$F(S)$ を $S$ 上の**自由群**という。 の仮定を確かめる。$\mathsf{Grp}$ は完備で（）局所的に小さい。$U$ は $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}, -)$ と自然同型で（）、$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}, -)$ は極限を保つ（）ので、$U$ も極限を保つ。 解集合：$\kappa = \max(|S|, \omega)$ とおく。$S$ は小さいので $|S| < \kappa_{\mathbb{U}}$（ の 1）、よって $\kappa \in \mathbb{U}$ である。部分集合 $K \subseteq \kappa$ 上の群構造と写像 $x : S \to K$ の組全体を $\Sigma$ とすると、$\Sigma$ は $\mathcal{P}(\kappa) \times \mathcal{P}(\kappa \times \kappa \times \kappa) \times \mathcal{P}(S \times \kappa)$ の部分集合なので小さい（）。写像 $g : S \to UH$ に対し $K' = \langle g(S) \rangle$ は から $|K'| \le \kappa$ なので、単射 $K' \to \kappa$ でその像 $K$ に群構造を移すと同型 $\tau : K \to K'$ が得られる。$(K, \tau^{-1}g) \in \Sigma$ で、$g = U(\iota\tau) \circ \tau^{-1}g$（$\iota : K' \to H$ は包含）。よって $\Sigma$ は解集合で、 から $U$ は左随伴をもつ。 $\mathsf{Grp}$ は余完備である。とくに群の余積（自由積）と余等化子・押し出し（融合積）が存在する。 $J$ を小さい圏とし、対角関手 $\Delta : \mathsf{Grp} \to [J, \mathsf{Grp}]$（$H \mapsto \Delta H$）を考える。図式 $D$ から $\Delta$ への普遍射は、$D$ 下の余錐 $D \Rightarrow \Delta H$ で、どの余錐もそれをただ一通りに経由するもの、すなわち $D$ の余極限である。左随伴があれば各 $D$ からの普遍射（その単位）があるので（ の 1 ⇒ 2）、$\Delta$ が左随伴をもつことを示せばよい。 $\mathsf{Grp}$ は完備で局所的に小さく、$[J, \mathsf{Grp}]$ は局所的に小さい（）。$[J, \mathsf{Grp}]$ の極限は各点で計算できる（）ので、$\Delta$ は極限を保つ。解集合：$\lambda = |\bigsqcup_j UD_j|$、$\kappa = \max(\lambda, \omega)$ とおく。余錐 $\mu : D \Rightarrow \Delta H$ について、$T = \bigcup_j \mu_j(D_j)$ は $|T| \le \lambda$ で、$K' = \langle T \rangle$ は から $|K'| \le \kappa$、$\mu$ は $\Delta K'$ を経由する。 の証明と同様に、$\kappa$ の部分集合上の群 $K$ と余錐 $D \Rightarrow \Delta K$ の組全体は小さい集合で、解集合になる。 から $\Delta$ は左随伴をもつ。 解集合条件の代わりに「$\mathcal{D}$ が小さい余生成集合をもち、部分対象についての条件を満たす」ことを仮定する**特殊随伴関手定理**もあります。その典型的な応用は、コンパクト Hausdorff 空間の圏から $\mathsf{Top}$ への包含が左随伴（Stone–Čech コンパクト化 $X \mapsto \beta X$）をもつことです。このテーマでは使わないので定理としては述べません。文献は Mac Lane の第 V 章 §8 と Riehl の第 4 章です。自由群についても、簡約語による具体的な構成と「簡約語の一意性」の証明は代数学の側で扱う題材で、上の存在定理とは独立です。 ## 6. 代数の随伴 1. 可換環 $A$ について、集合 $S$ に自由加群 $A^{(S)}$ を対応させる関手は、忘却関手 $\mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Set}$ の左随伴で、単位は $s \mapsto e_s$ である。とくに自由アーベル群 $\mathbb{Z}^{(S)}$ は忘却関手 $\mathsf{Ab} \to \mathsf{Set}$ の左随伴を与える。 2. 群 $G$ について、交換子 $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ が生成する部分群 $[G, G]$ は正規部分群で、$G^{\mathrm{ab}} = G/[G, G]$ はアーベル群である。$G \mapsto G^{\mathrm{ab}}$ は包含 $\mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp}$ の左随伴で、$\mathsf{Ab}$ は $\mathsf{Grp}$ の反射的部分圏である。 1： の 1 は、$(A^{(S)}, s \mapsto e_s)$ が $S$ から忘却関手への普遍射であることを言っている（）。$A^{(S)}$ は小さい（）。 から左随伴である。 2：$[x, y]^{-1} = [y, x]$ なので $[G, G]$ の元は交換子の有限個の積である。$g[x, y]g^{-1} = [gxg^{-1}, gyg^{-1}]$ なので、交換子の積の共役は交換子の積で、$[G, G]$ は正規部分群である。$xyx^{-1}y^{-1} \in [G, G]$ から $G^{\mathrm{ab}}$（）で $xy = yx$。$f : G \to B$ を $B$ がアーベル群である準同型とすると $f([x, y]) = [f(x), f(y)] = e$ なので $[G, G] \subseteq \operatorname{Ker} f$ で、 により $f$ は標準全射 $\pi : G \to G^{\mathrm{ab}}$ をただ一通りに経由する。よって $(G^{\mathrm{ab}}, \pi)$ は $G$ から包含関手への普遍射で、 から左随伴が得られる。 1. 可換環 $A$ と $A$ 加群 $N$ について、$(- \otimes_A N) \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)$（$\mathsf{Mod}_A$ 上の自己関手）である。 2. 環準同型 $\rho : A \to B$（可換環）について、係数の拡大 $B \otimes_A - : \mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Mod}_B$ は係数の制限 $\mathsf{Mod}_B \to \mathsf{Mod}_A$ の左随伴で、単位は $m \mapsto 1 \otimes m$ である。 1：$- \otimes N$ が関手であることは の 2。全単射 $\Phi : \operatorname{Hom}(M \otimes N, P) \to \operatorname{Hom}(M, \operatorname{Hom}(N, P))$、$\Phi(h)(m)(n) = h(m \otimes n)$ と $M$ についての自然性は 。$P$ についての自然性：$k : P \to P'$ について $\Phi(kh)(m)(n) = k(h(m \otimes n)) = (k \circ \Phi(h)(m))(n)$ で、右辺は $\operatorname{Hom}(N, k) \circ \Phi(h)$ の値である。 2：係数の拡大の $B$ 加群構造は と の 1 による。$(B \otimes_A M, i_M : m \mapsto 1 \otimes m)$ が $M$ から制限関手への普遍射であることを示す。$N$ を $B$ 加群、$f : M \to N$ を $A$ 線形写像とする。$(b, m) \mapsto bf(m)$ は $A$ 双線形（$A$ は $\rho$ を通して作用する）なので、テンソル積の普遍性（）から $\bar f(b \otimes m) = bf(m)$ となる $A$ 線形写像 $\bar f$ がある。$\bar f(b'(b \otimes m)) = b'bf(m) = b'\bar f(b \otimes m)$ が純テンソル上で成り立ち、純テンソルは $B \otimes M$ を生成するので $\bar f$ は $B$ 線形で、$\bar f(1 \otimes m) = f(m)$。逆に $B$ 線形な $h$ が $h(1 \otimes m) = f(m)$ を満たせば $h(b \otimes m) = h(b(1 \otimes m)) = bf(m)$ なので $h = \bar f$。 から主張が従う。 と合わせると、$- \otimes_A N$ は余極限（とくに直和と余核）を保ち、$\operatorname{Hom}_A(N, -)$ は極限（直積と核）を保ちます。テンソル積の右完全性（）は、この事実をアーベル圏の言葉で述べたものの特別な場合として読み直せます。 ## 7. 幾何的実現と特異単体的集合 この節は、別の記事で作った「単体的集合を空間にする操作」と「空間から単体的集合を作る操作」が随伴をなす、という確認です。単体的集合は、三角形や四面体などの単体を貼り合わせる方法を組合せ的に記録したもの、幾何的実現はそれを実際の空間に貼り合わせたものと思ってください。 [特異ホモロジー](/mathematics/algebraic-topology/singular-homology) では、[単体的集合](/mathematics/algebraic-topology/singular-homology#def-simplicial-set) $K$ と空間 $X$ について全単射 $\Phi : \{\text{連続写像 } |K| \to X\} \to \{\text{射 } K \to \operatorname{Sing}X\}$ を作りました（）。そこでは両変数についての自然性を述べていなかったので、ここで補い、随伴として述べ直します。 単体的集合と射の圏を $\mathsf{sSet}$（）とし、$\operatorname{Sing} : \mathsf{Top} \to \mathsf{sSet}$ を $\operatorname{Sing}_nX = \{\text{連続写像 } \Delta^{n} \to X\}$、$\theta^{*}\sigma = \sigma \circ \theta_*$、$\operatorname{Sing}(f)(\sigma) = f \circ \sigma$ で定める。単体的集合の射 $g : K \to L$ に $|g|[x, t] = [g_n(x), t]$ を対応させると幾何的実現は関手 $|-| : \mathsf{sSet} \to \mathsf{Top}$ になり、$|-| \dashv \operatorname{Sing}$ で、随伴の全単射は の $\Phi$ である。とくに $\Phi$ は $K$ と $X$ の両方について自然である。 $\operatorname{Sing}$ が関手であること：$\operatorname{Sing}X$ が単体的集合であることは $(\theta\varphi)_* = \theta_*\varphi_*$ から、$\operatorname{Sing}(f)$ が射であることは $f \circ (\sigma \circ \theta_*) = (f \circ \sigma) \circ \theta_*$ から、関手性は写像の合成の結合法則から従う。 各 $K$ について $\eta_K = \Phi(\mathrm{id}_{|K|}) : K \to \operatorname{Sing}|K|$、すなわち $\eta_K(x) = (t \mapsto [x, t])$ とおく。連続写像 $f : |K| \to X$ について $\operatorname{Sing}(f) \circ \eta_K$ は $x \mapsto (t \mapsto f[x, t])$ で、これは $\Phi(f)$ そのものである。$\Phi$ は全単射なので、任意の射 $g : K \to \operatorname{Sing}X$ に対し $\operatorname{Sing}(f) \circ \eta_K = g$ となる $f$ がただ一つある。すなわち $(|K|, \eta_K)$ は $K$ から $\operatorname{Sing}$ への普遍射である。 により、$K \mapsto |K|$ は関手に一意に延び、$|-| \dashv \operatorname{Sing}$ で、随伴の全単射は $\varphi(f) = \operatorname{Sing}(f) \circ \eta_K = \Phi(f)$（）である。射 $g : K \to L$ の像 $|g|$ は $\operatorname{Sing}(|g|)\eta_K = \eta_Lg$、すなわち $|g|[x, t] = \eta_L(g_n(x))(t) = [g_n(x), t]$ で特徴づけられる。随伴の全単射は定義により両変数について自然である。 以後、このテーマでは実現の随伴を指すときにこの命題を使います。右随伴 $\operatorname{Sing}$ は極限を、左随伴 $|-|$ は余極限を保ちます（）。たとえば単体的集合の押し出しの実現は空間の押し出しで、CW 複体の胞体の貼り合わせが単体的集合の貼り合わせから得られるのはこのためです。 ## 8. 演習 忘却関手 $U : \mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}$ が右随伴をもたないことを示せ。 右随伴をもつなら $U$ は左随伴なので余極限を保ち（）、とくに始対象（空図式の余極限）を始対象に写します。$\mathsf{Grp}$ の始対象は自明群で $U$ による像は 1 点集合ですが、$\mathsf{Set}$ の始対象は空集合で、1 点集合から空集合への写像はないので 1 点集合は始対象ではありません。よって右随伴はありません。 体と体準同型の圏 $\mathsf{Field}$ を可換環の圏 $\mathsf{CRing}$ の充満部分圏と見る。包含関手 $\mathsf{Field} \to \mathsf{CRing}$ が左随伴をもたないことを示せ。 左随伴 $L$ があれば $L$ は余極限を保つので、$\mathsf{CRing}$ の始対象 $\mathbb{Z}$ を $\mathsf{Field}$ の始対象に写します。ところが $\mathsf{Field}$ に始対象 $I$ があれば、体準同型 $I \to \mathbb{Q}$ と $I \to \mathbb{F}_2$ があり、体準同型は単射で $1$ を保つので $I$ の標数は $0$ かつ $2$ になり矛盾します。よって左随伴はありません。 アーベル群 $A$ の捩れ元全体 $T(A)$ は部分群で、$A/T(A)$ は捩れのないアーベル群であることを示せ。さらに、捩れのないアーベル群の充満部分圏 $\mathsf{Ab}_{\mathrm{tf}}$ は $\mathsf{Ab}$ の反射的部分圏で、反射は $A \mapsto A/T(A)$ であることを示せ。 $na = 0$、$mb = 0$ なら $nm(a - b) = 0$ なので $T(A)$ は部分群です。$n(a + T(A)) = 0$（$n \ge 1$）なら $na \in T(A)$、すなわち $mna = 0$ となる $m \ge 1$ があり $a \in T(A)$ です。よって $A/T(A)$ は捩れがありません。$f : A \to B$（$B$ は捩れなし）について、$na = 0$ なら $nf(a) = 0$ から $f(a) = 0$ なので $T(A) \subseteq \operatorname{Ker} f$ で、$f$ は $A \to A/T(A)$ をただ一通りに経由します（）。これは $A$ から包含関手への普遍射なので、 から反射が得られます。 自由加群 ⊣ 忘却（ の 1）について、余単位 $\varepsilon_M : A^{(M)} \to M$ を具体的に書き、それがつねに全射で、$M \ne 0$ なら単射でないことを示せ。また単位 $\eta_S : S \to A^{(S)}$ が単射であるための条件を答えよ。 余単位は $\mathrm{id}_M$ の転置で、$\varepsilon_M(\sum a_m e_m) = \sum a_m m$ です（ の $\varphi^{-1}(f) = \varepsilon F(f)$ と、$e_m \mapsto m$ を延ばした写像）。$e_m \mapsto m$ なので全射です。$M \ne 0$ なら $e_0 \ne 0$ ですが $\varepsilon_M(e_0) = 0$ なので単射ではありません。単位 $s \mapsto e_s$ は、$A \ne 0$（$1 \ne 0$）なら $e_s$ が相異なるので単射で、$A = 0$ なら $A^{(S)} = 0$ なので $|S| \le 1$ のときに限り単射です。第 1 の三角等式 $\varepsilon_{A^{(S)}} \circ F(\eta_S) = \mathrm{id}$ も、$e_s \mapsto e_{e_s} \mapsto e_s$ と確かめられます。 ## 参考文献 - D. M. Kan, "Adjoint functors", *Transactions of the American Mathematical Society* 87 (1958), 294–329. - P. Freyd, *Abelian Categories: An Introduction to the Theory of Functors*, Harper & Row, 1964 — 一般随伴関手定理。 - S. Mac Lane, *Categories for the Working Mathematician*, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 5, Springer, 1998 — 第 IV 章（随伴）、第 V 章（随伴関手定理）。 - E. Riehl, *Category Theory in Context*, Dover, 2016 — 第 4 章。 - T. Leinster, *Basic Category Theory*, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143, Cambridge University Press, 2014 — 第 2 章・第 6 章。 - P. G. Goerss, J. F. Jardine, *Simplicial Homotopy Theory*, Progress in Mathematics 174, Birkhäuser, 1999 — 第 I 章（幾何的実現の随伴）。