# 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで

> 前加法圏・双積・加法圏からアーベル圏を定義し、像分解・平衡性・引き戻しと全射的射を示す。Mac Lane の「元」で図式追跡の規則を証明し、蛇の補題・五項補題・3×3 補題を一般のアーベル圏で導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/category-homological-algebra/additive-abelian-categories

## 0. この記事の要点

加群の完全列や蛇の補題は、元を一つ取って追いかけることで証明できます。ところが、層のように「元」を取れない対象の圏でも、同じ種類の議論をしたくなります。この記事では、加群の圏の性質のうち核と余核という射だけで書ける部分を取り出して「アーベル圏」を定め、元の代わりに射を使って図式を追跡する方法を整えます。読み終えると、蛇の補題や五項補題を、加群に限らない一般の圏で証明できるようになります。

- **前加法圏**は Hom がアーベル群で合成が双線形な圏です。そこでは有限積・有限余積・双積（加群の直和にあたるもの）が一致し、**加法圏**（有限双積をもつ前加法圏）の加法は圏の構造だけから一意に決まります。加法関手は双積を保つ関手と言い換えられます。
- **アーベル圏**は、すべての射が核と余核をもち、単射的射（[mono](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-mono-epi)）はすべて核、全射的射（epi）はすべて余核であるような加法圏です。そこでは mono かつ epi なら同型で、どの射も「余核の核」を通る像分解 $f = me$ をもちます（余像から像への標準射が同型。余像とは、加群でいう「定義域を核で割った商」にあたるものです）。
- 完全列、左完全・右完全・完全関手をアーベル圏で定義し、$\operatorname{Hom}(X,-)$ の左完全性、[関手圏](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-functor-category) $[\mathcal C, \mathcal A]$ がアーベル圏であること、[双対圏](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-opposite)もアーベル圏であることを示します。
- **元（member）**とは、対象 $A$ を値域とする射を「全射的射を右から合成して一致するか」で割った同値類です。引き戻しが epi を保つことから、加群の元で行う図式追跡の規則がそのまま成り立ちます。
- この規則だけで**蛇の補題・五項補題・3×3 補題**を一般のアーベル圏で証明します。Freyd–Mitchell の埋め込み定理は主張だけを紹介し、このテーマのどの証明にも使いません。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **mono・epi**: 射の左簡約・右簡約ができる性質で、加群では単射・全射にあたるもの。→ [mono](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-mono-epi)
- **零対象・零射**: 始対象かつ終対象である対象と、それを経由する射。加群では零加群と零写像。→ [零対象](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-initial-terminal)
- **引き戻し**: $fp = gq$ を満たす最も一般の組 $(p, q)$ のこと。図式の「共通部分」を取る操作。→ [引き戻し](/mathematics/category-homological-algebra/limits-colimits#def-special-limits)
- **部分対象**: 対象への mono を、同型を除いて「部分」とみなしたもの。加群なら部分加群。→ [部分対象](/mathematics/category-homological-algebra/limits-colimits#def-subobject)
- **加群の完全列**: 各項で、手前の射の像が次の射の核に一致する列。→ [加群の完全列](/mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama#def-exact)
- **関手圏**: 関手を対象、自然変換を射とする圏。→ [関手圏](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-functor-category)

</Aside>

## 1. 動機

可換環論では、加群の完全列・蛇の補題・五項補題・Hom の左完全性を、加群の元を追いかけて証明しました（[加群・完全列・中山の補題](/mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama)）。代数的位相幾何では、Abel 群の鎖複体で同じ議論をしました（[特異ホモロジー](/mathematics/algebraic-topology/singular-homology)）。ところが、代数幾何で層のコホモロジーを扱うと、主役は Abel 群の層の圏です。層には「元」が無く、層の射の余核は各点ごとの余核とは限りません。それでも長完全列や蛇の補題は成り立ってほしいのです。

そこで、加群の議論のうち**射と核・余核だけで書ける部分**を抜き出して公理にします。これがアーベル圏です。公理は短いのですが、そこから像分解や図式追跡が出てくることは自明ではありません。この章の主題は二つです。

1. アーベル圏の公理から、像と余像が一致すること（像分解）と、引き戻しが全射的射を保つことを導く。
2. それを使って、元の代わりに「一般化された元」を定め、図式追跡の規則を証明する。

2 があれば、加群で行っていた図式追跡はほぼそのまま一般のアーベル圏で通ります。以後の章（鎖複体、導来関手、スペクトル系列）の証明はすべてこの章の規則に帰着させ、「加群に埋め込めるから加群で考えればよい」という論法（Freyd–Mitchell の埋め込み定理）は使いません。この定理の証明は本 1 冊分の準備を要するので、閉包を保つには自前の図式追跡の方が安上がりです。

## 2. 準備

圏・関手・自然変換の言葉は [圏・関手・自然変換](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors) の章に従います。とくに単射的射（mono）と全射的射（epi）は <Ref to="mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-mono-epi" />、零対象と零射は <Ref to="mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-initial-terminal" /> の意味です。積・余積・等化子・引き戻し・押し出しは <Ref to="mathematics/category-homological-algebra/limits-colimits#def-special-limits" /> の意味で使います。射の合成 $g \circ f$ は $gf$ と略記し、Hom はすべて集合（[局所小](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-small-category)といい、2 対象の間の射の全体が集合になることです）とします。

<Definition id="def-kernel-cokernel" title="核・余核・像・余像">
$\mathcal C$ を零対象をもつ圏とし、$f\colon A \to B$ を射とする。

1. $f$ の**核**とは、射 $k\colon K \to A$ で $fk = 0$ を満たし、$fx = 0$ を満たす任意の $x\colon X \to A$ に対して $x = kx'$ となる $x'\colon X \to K$ がただ一つ存在するものをいう。$k = \ker f$ と書く。
2. 双対に、$f$ の**余核**とは、射 $c\colon B \to C$ で $cf = 0$ を満たし、$yf = 0$ を満たす任意の $y\colon B \to Y$ に対して $y = y'c$ となる $y'\colon C \to Y$ がただ一つ存在するものをいう。$c = \operatorname{coker} f$ と書く。
3. 核と余核が存在するとき、$f$ の**像**を $\operatorname{im} f = \ker(\operatorname{coker} f)$、**余像**を $\operatorname{coim} f = \operatorname{coker}(\ker f)$ と定める。
4. ある射の核になっている mono を**正規 mono**、ある射の余核になっている epi を**正規 epi** という。
</Definition>

核は $f$ と零射 $0$ の等化子、余核は $f$ と $0$ の余等化子です。対象 $K$ ではなく射 $k$ を核と呼ぶのは、$K$ だけでは $A$ の中のどこにあるかが分からないからです。

<Lemma id="lem-kernel-basic" title="核と余核の基本性質">
$\mathcal C$ を零対象をもつ圏とする。

1. 核 $k\colon K \to A$ は mono である。$k, k'$ がともに $f$ の核なら、$k' = ku$ を満たす同型 $u$ がただ一つある。余核についても双対の主張が成り立つ。
2. $\mathcal C$ が次節で定義する前加法圏（<Ref to="def-preadditive" />）なら、$\operatorname{Hom}(X, Y)$ の群の零元は零射 $X \to 0 \to Y$ に等しい。また射 $f$ が mono であることと「$fx = 0$ ならば $x = 0$」は同値である。双対に、$f$ が epi であることと「$yf = 0$ ならば $y = 0$」は同値である。
3. (2) の状況でさらに $f$ が核をもつとき、$f$ が mono であることと、$0 \to A$ が $f$ の核であることは同値である。
4. $k$ がある射 $g$ の核なら、$k$ は $\operatorname{coker} k$ の核でもある（$\operatorname{coker} k$ が存在すると仮定する）。双対に、ある射の余核は自分の核の余核である。
</Lemma>

<Proof of="lem-kernel-basic">
(1) $kx = ky$ とします。$f(kx) = 0$ なので、$kx$ は核の性質により $kx = kz$ となる $z$ を一意に持ちます。$z = x$ と $z = y$ がともに条件を満たすので一意性から $x = y$ です。次に $k, k'$ がともに核なら、$fk' = 0$ から $k' = ku$、$fk = 0$ から $k = k'u'$ と書けます。$k = kuu'$ と $k = k \cdot 1$ を比べ、核の性質の一意性から $uu' = 1$ です。同様に $u'u = 1$ で、$u$ は同型です。$u$ の一意性は $k$ が mono であることから出ます。

(2) $\operatorname{Hom}(X, 0)$ は 1 元集合なので、その元は群の零元です。双線形性から群の零元との合成は群の零元なので、$X \to 0 \to Y$ は $\operatorname{Hom}(X, Y)$ の零元です。mono なら $fx = 0 = f0$ から $x = 0$ です。逆に条件が成り立ち $fx = fy$ なら、合成の双線形性から $f(x - y) = 0$、よって $x = y$ です。

(3) $f$ が mono なら、(2) により $fx = 0$ を満たす $x$ は零射だけで、零射 $X \to A$ は零対象 $0$ をただ一通りに経由します。よって $0 \to A$ は核です。逆に $0 \to A$ が核なら、$fx = 0$ を満たす $x$ は $0$ を経由するので零射で、(2) により $f$ は mono です。

(4) $k = \ker g$、$c = \operatorname{coker} k$ とします。$gk = 0$ なので余核の性質から $g = g'c$ と書けます。$cx = 0$ なら $gx = g'cx = 0$ なので $x$ は $k$ を経由し、その経由の仕方は (1) の mono 性から一意です。$ck = 0$ と合わせて $k = \ker c$ です。
</Proof>

## 3. 前加法圏と加法圏

<Definition id="def-preadditive" title="前加法圏">
圏 $\mathcal C$ が**前加法圏**であるとは、各 $\operatorname{Hom}(X, Y)$ にアーベル群の構造が与えられ、合成
$$
\operatorname{Hom}(Y, Z) \times \operatorname{Hom}(X, Y) \to \operatorname{Hom}(X, Z),\quad (g, f) \mapsto gf
$$
が双線形であることをいう。すなわち $g(f_1 + f_2) = gf_1 + gf_2$、$(g_1 + g_2)f = g_1f + g_2f$ が成り立つ。
</Definition>

双線形性から $g0 = 0$、$0f = 0$ です（$g0 = g(0 + 0) = g0 + g0$）。一つの対象だけをもつ前加法圏は環（単位元をもつ）と同じものです。

<Definition id="def-biproduct" title="双積">
$\mathcal C$ を前加法圏とし、$X_1, \dots, X_n$（$n \ge 0$）を対象とする。対象 $B$ と射 $i_k\colon X_k \to B$、$p_k\colon B \to X_k$（$k = 1, \dots, n$）の組が $X_1, \dots, X_n$ の**双積**であるとは、
$$
p_k i_l = \delta_{kl} \quad (k, l = 1, \dots, n), \qquad \sum_{k=1}^{n} i_k p_k = 1_B
$$
が成り立つことをいう。ここで $\delta_{kk} = 1_{X_k}$、$k \ne l$ のとき $\delta_{kl} = 0$ である。$B$ を $X_1 \oplus \cdots \oplus X_n$ と書く。$n = 0$ のときの条件は $1_B = 0$ である。
</Definition>

<Proposition id="prop-biproduct" title="有限積・有限余積・双積の一致">
$\mathcal C$ を前加法圏とし、$X_1, \dots, X_n$ を対象とする。

1. $(B, i_k, p_k)$ が双積なら、$(B, p_k)$ は $X_1, \dots, X_n$ の積であり、$(B, i_k)$ は余積である。
2. $(P, p_k)$ が積なら、$p_l i_k = \delta_{lk}$ で定まる $i_k\colon X_k \to P$ により $(P, i_k, p_k)$ は双積になる。双対に、余積は双積の構造をただ一通りにもつ。
3. とくに、対象 $Z$ について「終対象」「始対象」「零対象」「$1_Z = 0$」は同値である。
</Proposition>

<Proof of="prop-biproduct">
(1) $f_k\colon W \to X_k$ が与えられたとき、$f = \sum_k i_k f_k$ は $p_l f = \sum_k \delta_{lk} f_k = f_l$ を満たします。$p_l g = f_l$（すべての $l$）を満たす $g$ があれば $g = (\sum_k i_k p_k) g = \sum_k i_k f_k = f$ です。よって $(B, p_k)$ は積です。余積であることは、$g_k\colon X_k \to W$ に $\sum_k g_k p_k$ を対応させて同様に示せます。

(2) 積の普遍性により、$p_l i_k = \delta_{lk}$ を満たす $i_k$ がただ一つあります。$e = \sum_k i_k p_k$ とおくと $p_l e = \sum_k \delta_{lk} p_k = p_l$ がすべての $l$ で成り立つので、積の普遍性の一意性から $e = 1_P$ です。余積の場合は双対です。

(3) $Z$ が終対象なら $\operatorname{Hom}(Z, Z)$ は 1 元集合なので $1_Z = 0$ です。$1_Z = 0$ なら、任意の $f\colon Z \to Y$ は $f = f1_Z = f0 = 0$、任意の $g\colon Y \to Z$ は $g = 1_Z g = 0$ なので、$Z$ は始対象かつ終対象、すなわち零対象です。始対象から出発しても同様です。
</Proof>

<Definition id="def-additive" title="加法圏">
前加法圏 $\mathcal C$ が**加法圏**であるとは、任意の有限個の対象（0 個を含む）が双積をもつことをいう。<Ref to="prop-biproduct" /> により、これは「零対象と任意の 2 対象の積をもつ」と同値である。
</Definition>

<Definition id="def-additive-functor" title="加法関手">
前加法圏の間の関手 $F\colon \mathcal C \to \mathcal D$ が**加法関手**であるとは、各 $X, Y$ について $\operatorname{Hom}(X, Y) \to \operatorname{Hom}(FX, FY)$ がアーベル群の準同型であることをいう。
</Definition>

次の命題は、加法圏では「足し算」が追加の構造ではなく、圏そのものから読み取れることを言っています。

<Proposition id="prop-additive-unique" title="加法の一意性">
$\mathcal C$ を加法圏とする。

1. $(B, i_1, i_2, p_1, p_2)$ を $Y, Y$ の任意の双積とする。$f, g\colon X \to Y$ に対し、$\langle f, g\rangle\colon X \to B$ を $p_1\langle f, g \rangle = f$、$p_2 \langle f, g \rangle = g$ を満たす射、$\nabla\colon B \to Y$ を $\nabla i_1 = \nabla i_2 = 1_Y$ を満たす射とすると $f + g = \nabla \langle f, g \rangle$ である。
2. 同じ圏 $\mathcal C$（同じ合成）に二つの前加法圏の構造 $+$、$+'$ があり、どちらについても加法圏であるとする。このとき $+ = +'$ である。
</Proposition>

次の証明の記号の意味です。$\langle f, g\rangle$ は $f$ と $g$ を二つの成分にもつ射 $X \to Y \oplus Y$、$\nabla$ は二つの成分を足して一つに戻す射 $Y \oplus Y \to Y$ です。加群なら、それぞれ $x \mapsto (f(x), g(x))$ と $(y_1, y_2) \mapsto y_1 + y_2$ にあたります。

<Proof of="prop-additive-unique">
(1) <Ref to="prop-biproduct" /> の (1) の証明から $\langle f, g \rangle = i_1 f + i_2 g$ で、同様に $\nabla = p_1 + p_2$ です（実際 $(p_1 + p_2)i_1 = 1 + 0$）。よって
$$
\nabla \langle f, g\rangle = (p_1 + p_2)(i_1 f + i_2 g) = p_1 i_1 f + p_1 i_2 g + p_2 i_1 f + p_2 i_2 g = f + g.
$$

(2) 零射は零対象を経由する射として圏だけで決まり、零対象の選び方にもよりません（<Ref to="mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#prop-initial-unique" />）。零対象 $0$ からの射・への射はただ一つなので群の零元で、双線形性から $X \to 0 \to Y$ は $\operatorname{Hom}(X, Y)$ の零元です。これは $+$ でも $+'$ でも同じです。$+$ についての双積 $Y \oplus Y$ を取ると、<Ref to="prop-biproduct" /> の (1) によりその $(B, p_1, p_2)$ は積で、これは圏の性質だけで述べられます。(2) により $i_k$ は $p_l i_k = \delta_{lk}$ で決まり、$\delta_{lk}$ は恒等射と零射だけを使うので、$+'$ についても同じ $i_k$ が双積を与えます。したがって $\langle f, g \rangle$ と $\nabla$ は二つの構造で共通で、(1) を $+$ と $+'$ に適用すると $f + g = \nabla\langle f, g\rangle = f +' g$ です。
</Proof>

<Proposition id="prop-additive-functor" title="加法関手と双積">
加法圏の間の関手 $F\colon \mathcal C \to \mathcal D$ について、次は同値である。

1. $F$ は加法関手である。
2. $F$ は 2 対象の双積を保つ。すなわち $(B, i_1, i_2, p_1, p_2)$ が $X_1, X_2$ の双積なら $(FB, Fi_1, Fi_2, Fp_1, Fp_2)$ は $FX_1, FX_2$ の双積である。

このとき $F$ は零射と零対象を保つ。
</Proposition>

<Proof of="prop-additive-functor">
(1 ⇒ 2) 加法関手は群準同型なので $F0 = 0$ で、双積の等式 $p_k i_l = \delta_{kl}$、$i_1p_1 + i_2p_2 = 1$ をそのまま保ちます。零対象 $Z$ は $1_Z = 0$ で特徴づけられ（<Ref to="prop-biproduct" /> の (3)）、$1_{FZ} = F(1_Z) = F0 = 0$ なので $FZ$ も零対象です。

(2 ⇒ 1) $f, g\colon X \to Y$ とし、$Y \oplus Y$ の双積 $(B, i_k, p_k)$ を取ります。$Fp_k F\langle f, g \rangle = F(p_k \langle f, g\rangle)$ は $k = 1, 2$ でそれぞれ $Ff$、$Fg$ で、$F\nabla \, Fi_k = F(1_Y) = 1_{FY}$ です。仮定から $(FB, Fi_k, Fp_k)$ は双積なので、<Ref to="prop-additive-unique" /> の (1) をこの双積に適用すると
$$
F(f + g) = F\nabla \, F\langle f, g \rangle = Ff + Fg
$$
です。
</Proof>

<Example id="ex-additive-categories" title="加法圏の例">
1. 可換環 $A$ 上の加群と準同型の圏 $\mathsf{Mod}_A$ は加法圏です。準同型の和は値ごとの和で、双積は直和 $M_1 \oplus M_2$ と標準的な入射・射影です。$A = \mathbb Z$ のとき Abel 群の圏 $\mathsf{Ab}$、$A$ が体 $k$ のとき $\mathsf{Vect}_k$ です。
2. 体 $k$ 上の行列の圏 $\mathsf{Mat}_k$（対象は $0$ 以上の整数 $n$、射 $m \to n$ は $n \times m$ 行列、合成は行列の積）も加法圏で、$m \oplus n = m + n$ はブロック行列で双積になります。
3. 環 $R$ を 1 対象の前加法圏とみなしたものは、$R \ne 0$ なら零対象をもたないので加法圏ではありません。
</Example>

## 4. アーベル圏と像分解

<Definition id="def-abelian" title="アーベル圏・平衡圏">
1. 加法圏 $\mathcal A$ が**アーベル圏**であるとは、次の二つが成り立つことをいう。
   - (AB1) すべての射が核と余核をもつ。
   - (AB2) すべての mono は正規 mono（ある射の核）であり、すべての epi は正規 epi（ある射の余核）である。
2. 圏が**平衡圏**であるとは、mono かつ epi である射がすべて同型であることをいう。
</Definition>

定義は自己双対です。前加法圏・双積・核と余核・mono と epi は双対圏で入れ替わるだけなので、次が成り立ちます。

<Proposition id="prop-abelian-dual" title="双対圏もアーベル圏">
$\mathcal A$ がアーベル圏なら、双対圏 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$（<Ref to="mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-opposite" />）も、$\operatorname{Hom}_{\mathcal A^{\mathrm{op}}}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(Y, X)$ に同じ群構造を入れてアーベル圏になる。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での核・余核・mono・epi は、それぞれ $\mathcal A$ での余核・核・epi・mono である。
</Proposition>

<Proof of="prop-abelian-dual">
合成の双線形性は合成の順序を入れ替えても変わりません。双積の条件 $p_ki_l = \delta_{kl}$、$\sum i_kp_k = 1$ は、$i_k$ と $p_k$ の役割を入れ替えると双対圏での双積の条件になります。<Ref to="def-kernel-cokernel" /> の核の条件を双対圏で書くと $\mathcal A$ での余核の条件そのもので、mono・epi の定義も矢印を逆にすると入れ替わります。したがって (AB1)・(AB2) は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ でも成り立ちます。
</Proof>

この双対性により、以下では一方の主張だけを証明し、双対の主張は「双対圏で同じ証明を行う」ことで得ます。

<Proposition id="prop-abelian-mono-epi" title="アーベル圏の mono・epi と平衡性">
$\mathcal A$ をアーベル圏とし、$f\colon A \to B$ を射とする。

1. 次は同値である：(a) $f$ は mono、(b) $0 \to A$ が $f$ の核、(c) $f$ は $\operatorname{coker} f$ の核。双対に、$f$ が epi であることと $f$ が $\ker f$ の余核であることは同値である。
2. $\mathcal A$ は平衡圏である。
</Proposition>

<Proof of="prop-abelian-mono-epi">
(1) (a) と (b) の同値は <Ref to="lem-kernel-basic" /> の (3) です。(a) なら (AB2) により $f$ はある射の核なので、<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (4) により $f = \ker(\operatorname{coker} f)$ です。(c) なら核は mono です（<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (1)）。epi の主張は <Ref to="prop-abelian-dual" /> により双対圏で同じ議論をして得られます。

(2) $f$ を mono かつ epi とします。(AB2) により $f = \ker g$ となる $g\colon B \to C$ があります。$gf = 0 = 0f$ で $f$ は epi なので $g = 0$ です。すると $g1_B = 0$ なので、核の性質から $1_B = fh$ となる $h\colon B \to A$ があります。$f(hf) = (fh)f = f = f1_A$ と $f$ の mono 性から $hf = 1_A$ です。よって $f$ は同型です。
</Proof>

<Theorem id="thm-image-factorization" title="像分解">
$\mathcal A$ をアーベル圏とし、$f\colon A \to B$ を射とする。$m = \operatorname{im} f\colon I \to B$、$c = \operatorname{coker} f$ とおく。

1. $f = me$ となる射 $e\colon A \to I$ がただ一つ存在し、$e$ は epi である。
2. $\ker e = \ker f$ であり、$e$ は $\ker f$ の余核である。とくに、$f = m\bar f q$（$q = \operatorname{coim} f$）で定まる標準射 $\bar f$ は同型である。
3. $f = m'e'$（$m'$ は mono、$e'$ は epi）と分解されるなら、$m' = m\varphi$、$e = \varphi e'$ を満たす同型 $\varphi$ がただ一つ存在する。
</Theorem>

加群 $\mathsf{Mod}_A$ では、$m$ は像 $f(A)$ の包含、$e$ は $A \to f(A)$ という全射です。次の証明の中心は、$f = me$ となる $e$ を作ったあと、それが epi であることを示す部分です。$e$ の余核 $r$ とその核 $n$ を取り、$n$ が同型になることから $r = 0$ を導く、という流れで進みます。

<Proof of="thm-image-factorization">
(1) $cf = 0$ で $m = \ker c$ なので、$f = me$ となる $e$ がただ一つあります。$e$ が epi であることを示します。$r = \operatorname{coker} e\colon I \to R$、$n = \ker r\colon N \to I$ とおきます。$re = 0$ なので $e = ne'$ と書け、$f = mne'$ です。$mn$ は mono の合成なので mono で、(AB2) によりある $d\colon B \to D$ の核です。$df = dmne' = 0$ なので、余核の性質から $d = d'c$ と書けます。すると $dm = d'cm = 0$ なので、$m$ は $\ker d = mn$ を経由し、$m = mns$ となる $s$ があります。$m$ は mono なので $ns = 1_I$ です。すると $n(sn) = n = n1_N$ と $n$ の mono 性から $sn = 1_N$ で、$n$ は同型です。$rn = 0$ と $n$ が同型であることから $r = 0$ です。最後に $te = 0$ なら $t$ は $r = \operatorname{coker} e$ を経由するので $t = t'r = 0$ です。<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (2) により $e$ は epi です。

(2) $m$ は mono なので、$fx = 0 \iff mex = 0 \iff ex = 0$ です。よって $\ker f$ は $\ker e$ でもあります。$e$ は epi なので、<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1) により $e$ は $\ker e = \ker f$ の余核です。標準射 $\bar f$ は次のように定まります。$k = \ker f$、$q = \operatorname{coker} k$ とすると $fk = 0$ から $f = f_1q$、$cf_1q = cf = 0$ と $q$ の epi 性から $cf_1 = 0$ なので $f_1 = m\bar f$ です。$q$ と $e$ はともに $k$ の余核なので、<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (1) の双対により $e = \psi q$ となる同型 $\psi$ があります。$m\bar f q = f = me = m\psi q$ と、$m$ が mono・$q$ が epi であることから $\bar f = \psi$ は同型です。

(3) $e'$ が epi なので、$tf = 0 \iff tm'e' = 0 \iff tm' = 0$ です。よって $c$ は $m'$ の余核でもあり、<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1) により $m'$ は $c$ の核です。$m$ も $c$ の核なので、<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (1) により $m' = m\varphi$ となる同型 $\varphi$ がただ一つあります。$me = f = m'e' = m\varphi e'$ と $m$ の mono 性から $e = \varphi e'$ です。
</Proof>

像分解は、加群の準同型定理 $A/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$ の圏論版です。左辺が余像、右辺が像に当たります。(3) は「mono と epi への分解は同型を除いて一意」と言っていて、以後「像」を部分対象として扱えるのはこの一意性のおかげです。

次の命題が、図式追跡を可能にする鍵です。加群では「全射の引き戻しは全射」は元を取れば明らかですが、アーベル圏では核と余核の操作で示します。

<Proposition id="prop-pullback-epi" title="引き戻しは epi を保つ">
$\mathcal A$ をアーベル圏とする。

1. $\mathcal A$ は引き戻しと押し出しをもつ。
2. $f\colon A \to C$、$g\colon B \to C$ の引き戻しを $p\colon P \to A$、$q\colon P \to B$（$fp = gq$）とする。$g$ が epi なら $p$ も epi である。
3. 双対に、押し出しは mono を保つ。
</Proposition>

<Proof of="prop-pullback-epi">
(1) 双積 $A \oplus B$ の入射・射影を $i_1, i_2, \pi_1, \pi_2$ とし、$h = f\pi_1 - g\pi_2\colon A \oplus B \to C$、$k = \ker h\colon P \to A \oplus B$、$p = \pi_1k$、$q = \pi_2k$ とおきます。$fp - gq = hk = 0$ です。$x\colon X \to A$、$y\colon X \to B$ が $fx = gy$ を満たせば、$\langle x, y \rangle = i_1x + i_2y$ は $h\langle x, y\rangle = fx - gy = 0$ なので $\langle x, y \rangle = kz$ と一意に書け、$pz = x$、$qz = y$ です。逆に $pz = x$、$qz = y$ なら <Ref to="prop-biproduct" /> の (1) により $kz = \langle x, y\rangle$ で、$k$ の mono 性から $z$ は一意です。よって $(P, p, q)$ は引き戻しです。押し出しは <Ref to="prop-abelian-dual" /> により双対圏の引き戻しとして得られます。

(2) 別の引き戻し $(P', p', q')$ があれば、普遍性から互いに逆な射 $u\colon P' \to P$、$u'\colon P \to P'$ が得られ $p' = pu$ となるので、(1) の構成で示せば十分です。まず $h$ は epi です。実際 $th = 0$ なら $0 = thi_2 = -tg$ で、$g$ は epi なので $t = 0$ です。<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1) により $h = \operatorname{coker} k$ です。$t\colon A \to T$ が $tp = 0$ を満たすとします。$t\pi_1k = 0$ なので $t\pi_1 = sh$ となる $s\colon C \to T$ があります。$i_2$ を右から掛けると $0 = t\pi_1 i_2 = shi_2 = -sg$ で、$g$ は epi なので $s = 0$ です。よって $t\pi_1 = 0$、$t = t\pi_1 i_1 = 0$ で、$p$ は epi です。

(3) 双対圏 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ はアーベル圏（<Ref to="prop-abelian-dual" />）で、そこでの引き戻しは $\mathcal A$ での押し出し、epi は mono です。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に (2) を適用します。
</Proof>

### 4.1. 例と反例

<Proposition id="prop-modules-abelian" title="加群の圏はアーベル圏">
$A$ を可換環とする。$\mathsf{Mod}_A$ はアーベル圏であり、$f\colon M \to N$ について次が成り立つ。

1. $\ker f$ は包含 $\operatorname{Ker} f \hookrightarrow M$、$\operatorname{coker} f$ は射影 $N \to N/f(M)$、$\operatorname{im} f$ は包含 $f(M) \hookrightarrow N$ である。
2. $f$ が mono であることと単射であること、epi であることと全射であることはそれぞれ同値である。

とくに $A = \mathbb Z$ として、$\mathsf{Ab}$ はアーベル圏である。
</Proposition>

<Proof of="prop-modules-abelian">
**加法圏であること。** $\operatorname{Hom}_A(M, N)$ は値ごとの和でアーベル群で、合成は双線形です。零加群は零対象で、直和 $M_1 \oplus M_2$ と標準的な入射 $i_k$・射影 $p_k$ は $p_ki_l = \delta_{kl}$、$i_1p_1 + i_2p_2 = 1$ を満たすので双積です。

**核と余核。** $fx = 0$ なら $x$ の値は $\operatorname{Ker} f$ に入り、$x$ は包含を一意に経由します。$yf = 0$ なら $y$ は $f(M)$ 上で $0$ なので、$\bar y(n + f(M)) = y(n)$ は well-defined な $A$ 線形写像で、$y = \bar y \pi$ です。$\pi$ は全射なので $\bar y$ は一意です。像は $\pi$ の核、すなわち包含 $f(M) \hookrightarrow N$ です。

**mono と epi。** <Ref to="lem-kernel-basic" /> の (3) と核の一意性（同 (1)）により、mono であることは $\operatorname{Ker} f = 0$、すなわち単射であることと同値です。全射なら $yf = 0$ から $y = 0$ なので epi です。epi なら、$\pi f = 0$ から $\pi = 0$、すなわち $f(M) = N$ です。

**(AB2)。** 単射 $f$ は $\pi\colon N \to N/f(M)$ の核です。実際 $\pi x = 0$ なら $x$ の値は $f(M)$ に入り、$f\colon M \to f(M)$ は $A$ 線形な全単射なので $x = f(f^{-1}x)$ と一意に書けます。全射 $g\colon M \to N$ は、<Ref to="mathematics/algebra/modules-over-pid#thm-module-iso" text="加群の準同型定理" /> により $g = \bar g \pi$（$\pi\colon M \to M/\operatorname{Ker} g$、$\bar g$ は同型）と書けます。$\pi$ は包含 $\operatorname{Ker} g \hookrightarrow M$ の余核で、余核に同型を合成したものも余核なので、$g$ は正規 epi です。
</Proof>

<Example id="ex-abelian-noetherian" title="Noether 環上の有限生成加群">
$A$ が Noether 環のとき、有限生成 $A$ 加群のなす $\mathsf{Mod}_A$ の充満部分圏 $\mathsf{mod}_A$ はアーベル圏です。有限生成加群は Noether 加群なので（[Noether 環と Artin 環](/mathematics/commutative-algebra/noetherian-and-artinian-rings)）、$\mathsf{Mod}_A$ で作った核は有限生成で、余核（商）も有限生成です。したがって <Ref to="prop-modules-abelian" /> の核・余核はそのまま $\mathsf{mod}_A$ での核・余核になり、mono・epi・正規性の議論も同じです。$A$ が Noether でなければ、有限生成加群の間の射の $\mathsf{Mod}_A$ での核が有限生成とは限らず、この議論は通りません。
</Example>

<Example id="ex-not-abelian" title="加法圏だがアーベル圏でない例">
次の三つの圏はいずれも加法圏ですが、mono かつ epi で同型でない射があるので、<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (2) によりアーベル圏ではありません。

1. **捩れのない Abel 群の圏**。$2\colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ は単射なので mono です。捩れのない $T$ への射 $t$ が $t \circ 2 = 0$ を満たすと $2t(n) = 0$ から $t = 0$ なので epi です。しかし全射でないので同型ではありません。この圏の余核は $B/f(A)$ ではなく、$f(A)$ の飽和 $\{ b \mid nb \in f(A) \text{ となる } n \ge 1 \text{ がある}\}$ による商です。
2. **フィルター付きベクトル空間の圏**。対象は減少フィルター $V = F^0V \supseteq F^1V \supseteq \cdots$ をもつ $k$ ベクトル空間、射はフィルターを保つ線形写像です。$V = k$ に $F^1 = 0$ と $F^1 = k$（$F^2 = 0$）の二つのフィルターを入れると、恒等写像は前者から後者への射で、全単射なので mono かつ epi ですが、逆写像はフィルターを保たないので同型ではありません。
3. **Banach 空間と有界線形写像の圏**。$T\colon \ell^2 \to \ell^2$、$(Tx)_n = x_n/n$ は単射で、像は有限個を除いて $0$ の数列をすべて含むので稠密です。有界線形写像 $S$ が $ST = 0$ なら $S$ は稠密な部分空間で $0$ なので $S = 0$、よって $T$ は epi です。しかし $(1/n)_n$ は像に入らないので同型ではありません。
</Example>

<Remark id="rem-sheaves-preview" title="層の圏（予告）">
位相空間上の Abel 群の層の圏もアーベル圏です。核は開集合ごとの核ですが、余核は開集合ごとの余核を層化したものになり、epi は「各点の茎で全射」であって開集合ごとに全射とは限りません。この圏で「元」を取って追跡できないことが、後の節で一般化された元を用意する理由です。証明は代数幾何のテーマで行います。
</Remark>

## 5. 完全列と完全関手

以下 $\mathcal A, \mathcal B$ はアーベル圏です。

<Definition id="def-exact-abelian" title="完全列">
1. 射の列 $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ が $B$ で**完全**であるとは、$gf = 0$ であり、$\operatorname{im} f = (\ker g)\varphi$ となる同型 $\varphi$ が存在することをいう（像と核が $B$ の部分対象として一致する）。より長い列は、途中の各対象で完全なとき完全という。
2. $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ が完全なとき、これを**短完全列**という。
</Definition>

加群の言葉では、この条件は「手前の射の像が次の射の核に等しい」ということです。核・余核・像は同型を除いてしか決まりませんが、<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (1) により、この条件はその選び方によりません。

<Lemma id="lem-exact-criterion" title="完全性の判定">
$A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ をアーベル圏 $\mathcal A$ の射の列とする。

1. $B$ で完全であることと、「$gf = 0$ かつ $(\operatorname{coker} f)(\ker g) = 0$」は同値である。
2. $0 \to A \xrightarrow{f} B$ が完全 $\iff$ $f$ は mono。$B \xrightarrow{g} C \to 0$ が完全 $\iff$ $g$ は epi。$0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ が完全 $\iff$ $f$ は $g$ の核。$A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ が完全 $\iff$ $g$ は $f$ の余核。
3. $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ が $\mathcal A$ で完全であることと、$C \xrightarrow{g} B \xrightarrow{f} A$ が $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で完全であることは同値である。
4. $\mathcal A = \mathsf{Mod}_A$ なら、$B$ で完全であることと $f(A) = \operatorname{Ker} g$ は同値である。
</Lemma>

<Proof of="lem-exact-criterion">
$m = \operatorname{im} f$、$k = \ker g$、$c = \operatorname{coker} f$ とおきます。

(1) <Ref to="thm-image-factorization" /> により $f = me$（$e$ は epi）です。$gf = 0$ なら $gme = 0$ から $gm = 0$ なので $m = kj$ と書けます。さらに $ck = 0$ なら、$m = \ker c$ により $k = mj'$ と書けます。$m = mj'j$、$k = kjj'$ と $m, k$ の mono 性から $j'j = 1$、$jj' = 1$ で、$j$ は同型、よって完全です。逆に完全で $m = k\varphi$（$\varphi$ は同型）なら $ck = cm\varphi^{-1} = 0$ です。

(2) $0 \to A$ の像は $0 \to A$ 自身なので（$0 \to A$ の余核は $1_A$、その核は $0 \to A$）、$A$ での完全性は $0 \to A$ が $\ker f$ であること、すなわち $f$ が mono であることです（<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1)）。$g$ の主張は、(3) により $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で $f$ の主張に帰着します。$f$ が mono なら $\operatorname{im} f = f$ とみなせる（<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1)）ので、$B$ での完全性は $f = k\varphi$（$\varphi$ は同型）、すなわち $f$ が $g$ の核であることです。最後の主張は双対です。

(3) 矢印を逆にした $C \xrightarrow{g} B \xrightarrow{f} A$ では、$g$ の $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での余核は $\mathcal A$ での $\ker g$、$f$ の $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での核は $\mathcal A$ での $\operatorname{coker} f$ です（<Ref to="prop-abelian-dual" />）。(1) の条件を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で書くと「$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での合成 $f \circ^{\mathrm{op}} g = 0$（$\mathcal A$ での $gf = 0$）かつ $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での合成 $(\ker g) \circ^{\mathrm{op}} (\operatorname{coker} f) = 0$」で、後者は $\mathcal A$ での $(\operatorname{coker} f)(\ker g) = 0$ です。これは $\mathcal A$ での (1) の条件そのものです。

(4) <Ref to="prop-modules-abelian" /> により $m$ は包含 $f(A) \hookrightarrow B$、$k$ は包含 $\operatorname{Ker} g \hookrightarrow B$ です。二つの部分加群の包含が $m = k\varphi$（$\varphi$ は同型）を満たすことは、二つの部分加群が等しいことと同値です。
</Proof>

(4) により、$\mathsf{Mod}_A$ での完全性は <Ref to="mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama#def-exact" text="加群の完全列" /> と一致します。

<Definition id="def-exact-functor" title="左完全・右完全・完全関手">
加法関手 $F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ を考える。

1. 任意の完全列 $0 \to A' \to A \to A''$ を完全列 $0 \to FA' \to FA \to FA''$ に写すとき、$F$ は**左完全**であるという。
2. 任意の完全列 $A' \to A \to A'' \to 0$ を完全列 $FA' \to FA \to FA'' \to 0$ に写すとき、$F$ は**右完全**であるという。
3. 左完全かつ右完全のとき**完全**であるという。これは短完全列を短完全列に写すことと同値である（<Ref to="prop-exact-functor" /> の (3)）。
</Definition>

反変関手 $F\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B$ の左完全性は、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での完全列、すなわち（<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (3)）$\mathcal A$ での完全列 $A' \to A \to A'' \to 0$ を $0 \to FA'' \to FA \to FA'$ に写すことです。

<Proposition id="prop-exact-functor" title="完全関手は完全列を保つ">
$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ を加法関手とする。

1. $F$ が左完全なら、$F$ は mono と核を保つ。すなわち $k = \ker g$ なら $Fk = \ker(Fg)$ である。右完全なら双対に epi と余核を保つ。
2. $F$ が完全なら、$B$ で完全な任意の列 $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ を $FB$ で完全な列 $FA \to FB \to FC$ に写す。
3. $F$ が完全であることと、$F$ が短完全列を短完全列に写すことは同値である。
</Proposition>

<Proof of="prop-exact-functor">
(1) $k = \ker g$ なら $0 \to K \xrightarrow{k} B \xrightarrow{g} C$ は完全で（<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (2)）、$F$ で写した列も完全なので、同じ判定から $Fk = \ker(Fg)$ です。mono $f$ は $f = \ker(\operatorname{coker} f)$（<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1)）なので、$Ff = \ker(F(\operatorname{coker} f))$ は核で、とくに mono です。右完全の場合は双対です。

(2) <Ref to="thm-image-factorization" /> により $f = me$、$g = m'e'$（$m, m'$ は mono、$e, e'$ は epi）と分解します。$m'$ は mono なので $\ker g = \ker e'$ で、$B$ での完全性から $m$ は $\ker g = \ker e'$ と部分対象として一致します。よって $0 \to I \xrightarrow{m} B \xrightarrow{e'} J \to 0$ は短完全列です（<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (2)、$e'$ は epi なので自分の核の余核）。$F$ は左完全なので $0 \to FI \to FB \to FJ$ が完全、右完全なので $FI \to FB \to FJ \to 0$ が完全で、あわせて $0 \to FI \to FB \to FJ \to 0$ は完全です。(1) により $Fe$ は epi、$Fm'$ は mono です。$FgFf = F(gf) = 0$ です。$Fm'$ が mono なので $\ker(Fg) = \ker(Fe') = Fm$、$Fe$ が epi なので $\operatorname{coker}(Ff) = \operatorname{coker}(Fm)$ で（$tFmFe = 0 \iff tFm = 0$）、$\operatorname{coker}(Fm) \circ Fm = 0$ です。<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (1) により $FA \to FB \to FC$ は $FB$ で完全です。

(3) $F$ が完全なら、短完全列 $0 \to A' \to A \to A'' \to 0$ について、左完全性から $0 \to FA' \to FA \to FA''$ が、右完全性から $FA' \to FA \to FA'' \to 0$ が完全なので、$0 \to FA' \to FA \to FA'' \to 0$ は完全です。

逆に $F$ が短完全列を保つとします。まず $F$ は mono を保ちます。実際 mono $m\colon A \to B$ について、$m = \ker(\operatorname{coker} m)$（<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1)）で、余核は epi なので（<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (1) の双対）、<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (2) により $0 \to A \xrightarrow{m} B \to \operatorname{coker} m \to 0$ は短完全列です。これを $F$ で写した列も短完全列なので $Fm$ は mono です。

次に $0 \to A' \xrightarrow{f} A \xrightarrow{g} A''$ を完全列とし、<Ref to="thm-image-factorization" /> により $g = me$（$e\colon A \to I$ は epi、$m$ は mono）と分解します。$m$ は mono なので $gx = 0 \iff ex = 0$ で、$f = \ker g = \ker e$ です。$e$ は epi なので、<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (2) により $0 \to A' \xrightarrow{f} A \xrightarrow{e} I \to 0$ は短完全列です。$F$ で写すと短完全列なので $Ff = \ker(Fe)$ で、$Fm$ は mono なので $\ker(Fg) = \ker(Fm\,Fe) = \ker(Fe) = Ff$ です。<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (2) により $0 \to FA' \to FA \to FA''$ は完全で、$F$ は左完全です。右完全性は、$F$ を双対圏の間の関手 $\mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B^{\mathrm{op}}$ とみなして同じ議論をすれば得られます（<Ref to="prop-abelian-dual" />。<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (3) により、この関手も短完全列を保ち、その左完全性は $F$ の右完全性です）。
</Proof>

<Proposition id="prop-hom-left-exact-abelian" title="Hom の左完全性">
$X$ を $\mathcal A$ の対象とする。

1. $\operatorname{Hom}(X, -)\colon \mathcal A \to \mathsf{Ab}$ は左完全な加法関手である。
2. $\operatorname{Hom}(-, X)\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$ は左完全な加法関手である。すなわち $A' \xrightarrow{f} A \xrightarrow{g} A'' \to 0$ が完全なら $0 \to \operatorname{Hom}(A'', X) \xrightarrow{g^*} \operatorname{Hom}(A, X) \xrightarrow{f^*} \operatorname{Hom}(A', X)$ は完全である。
</Proposition>

<Proof of="prop-hom-left-exact-abelian">
(1) 合成の双線形性から $f_* = f \circ -$ は群準同型で、$(f + f')_* = f_* + f'_*$ なので加法関手です。$0 \to A' \xrightarrow{f} A \xrightarrow{g} A''$ が完全なら、<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (2) により $f = \ker g$ です。$f$ は mono なので $f_*$ は単射です。$g_*f_* = (gf)_* = 0$ です。$g\psi = 0$ なら核の性質から $\psi = f\psi'$ で、$\psi \in \operatorname{Im} f_*$ です。よって $\operatorname{Im} f_* = \operatorname{Ker} g_*$ で、<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (4)（$A = \mathbb Z$）により Abel 群の列として完全です。

(2) $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(-, X) = \operatorname{Hom}_{\mathcal A^{\mathrm{op}}}(X, -)$ で、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ はアーベル圏です（<Ref to="prop-abelian-dual" />）。<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (3) により $0 \to A'' \to A \to A'$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で完全なので、(1) を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用します。
</Proof>

<Remark id="rem-hom-modules" title="加群の場合">
$\mathcal A = \mathsf{Mod}_A$ のとき、<Ref to="prop-hom-left-exact-abelian" /> は既存の <Ref to="mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama#prop-hom-left-exact" /> の特別な場合です。右完全関手の代表例は $\mathsf{Mod}_A$ のテンソル積 $- \otimes_A N$ です（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/tensor-flatness-projective-injective#thm-right-exact" />）。$\operatorname{Hom}(X, -)$ がいつ完全になるか（$X$ が射影対象のとき）は「射影対象・入射対象と Grothendieck 圏」の章の主題で、完全性の欠けを測るのが導来関手です。
</Remark>

<Proposition id="prop-functor-category-abelian" title="関手圏はアーベル圏">
$\mathcal C$ を小さい圏、$\mathcal A$ をアーベル圏とする。関手圏 $[\mathcal C, \mathcal A]$（<Ref to="mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-functor-category" />）はアーベル圏であり、自然変換 $\alpha\colon F \to G$ の核・余核は各点で取れる。すなわち各 $X$ について $\alpha_X$ の核 $k_X\colon KX \to FX$ を選ぶと、$K$ は関手に、$k$ は自然変換になり、$k = \ker \alpha$ である（余核も同様）。とくに $\alpha$ が mono（epi）であることは各 $\alpha_X$ が mono（epi）であることと同値で、列 $F' \to F \to F''$ が $F$ で完全であることは、各 $X$ で $F'X \to FX \to F''X$ が完全であることと同値である。
</Proposition>

<Proof of="prop-functor-category-abelian">
$\mathcal C$ は小さく $\mathcal A$ は局所小なので、$[\mathcal C, \mathcal A]$ は局所小です（<Ref to="mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#prop-functor-category" />）。

**加法圏。** 自然変換の和を $(\alpha + \beta)_X = \alpha_X + \beta_X$ と定めると、$(\alpha + \beta)_Y F\phi = G\phi\,\alpha_X + G\phi\,\beta_X = G\phi(\alpha + \beta)_X$ なので自然で、合成の双線形性は各点の双線形性から出ます。値がすべて零対象の定数関手は零対象です。$F, G$ について各 $X$ で双積 $(FX \oplus GX, i_k, p_k)$ を選び、$\phi\colon X \to Y$ に $i_1F\phi\,p_1 + i_2G\phi\,p_2$ を対応させると関手になり（合成と恒等射は双積の等式から確かめられる）、$i_k, p_k$ は自然変換で双積の等式を満たします。

**核。** $\phi\colon X \to Y$ について $\alpha_Y(F\phi\,k_X) = G\phi\,\alpha_Xk_X = 0$ なので、$F\phi\,k_X = k_YK\phi$ となる $K\phi$ がただ一つあります。一意性から $K$ は関手、$k$ は自然変換です。自然変換 $\beta\colon H \to F$ が $\alpha\beta = 0$ を満たせば、各点で $\beta_X = k_X\gamma_X$ と一意に書け、$k_Y\gamma_YH\phi = F\phi\,\beta_X = k_YK\phi\,\gamma_X$ と $k_Y$ の mono 性から $\gamma$ は自然です。よって $k = \ker\alpha$ です。余核は双対の議論です。

**mono・epi と (AB2)。** 核が各点で取れるので、$\alpha$ が mono $\iff$ $\ker\alpha = 0$ $\iff$ 各 $\ker\alpha_X = 0$ $\iff$ 各 $\alpha_X$ が mono です（<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (3)）。$\alpha$ が mono なら各 $\alpha_X$ は $(\operatorname{coker}\alpha)_X = \operatorname{coker}\alpha_X$ の核で（<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1)）、上の核の構成により $\alpha = \ker(\operatorname{coker}\alpha)$ です。epi も双対です。

**完全性。** <Ref to="lem-exact-criterion" /> の (1) の条件は核・余核・合成と「零射であること」だけで書け、これらはすべて各点で決まります。
</Proof>

<Example id="ex-representations" title="群の表現の圏">
群 $G$ を、対象が一つで自己射の集合が $G$、合成が群の積である圏 $BG$ とみなします。関手 $BG \to \mathsf{Vect}_k$ は $k$ ベクトル空間 $V$ と準同型 $G \to GL(V)$、すなわち $G$ の表現（<Ref to="mathematics/algebra/group-representations#def-representation" />）で、自然変換は $G$ の作用と可換な線形写像です。$BG$ は小さく、$\mathsf{Vect}_k$ はアーベル圏（<Ref to="prop-modules-abelian" />）なので、表現の圏 $[BG, \mathsf{Vect}_k]$ はアーベル圏です。核・余核は部分表現・商表現です。
</Example>

## 6. 元による図式追跡

加群の図式追跡は「元 $x \in M$ を取り、写し、持ち上げる」という操作の繰り返しです。アーベル圏の対象には元がありませんが、射 $x\colon X \to A$ を「$X$ をパラメータとする $A$ の元」とみなすことができます（一般化された元）。ただし持ち上げの操作では、$X$ を全射的に取り替える必要が生じます。加群でも、全射 $g\colon B \to C$ による $z\colon X \to C$ の持ち上げ $y\colon X \to B$（$gy = z$）は一般には存在せず、引き戻し $X' = X \times_C B \to X$ に取り替えて初めて得られます。そこで、全射的な取り替えで一致するものを同一視します。

直感的には、射 $x\colon X \to A$ は「$A$ の中の点を、パラメータ $X$ の分だけまとめて取ったもの」です。$\mathsf{Ab}$ では、$x \equiv y$ は $x$ と $y$ の像が同じ部分群であることにあたります（演習の <Ref to="exr-members-ab" /> で確かめます）。したがって一つの元は、点そのものではなく、それが生成する部分群の情報を表します。詳しくは定義の後の注意で述べます。

<Definition id="def-member" title="元（member）">
$\mathcal A$ をアーベル圏、$A$ をその対象とする。値域が $A$ である射 $x\colon X \to A$、$y\colon Y \to A$ について、epi $u\colon U \to X$、$v\colon U \to Y$ で $xu = yv$ を満たすものが存在するとき $x \equiv y$ と書く。$\equiv$ は同値関係（<Ref to="lem-member-equivalence" />）で、その同値類を $A$ の**元**と呼び、$x \in_{\mathrm m} A$ と書く。射 $f\colon A \to B$ と $x \in_{\mathrm m} A$ に対し、$fx \in_{\mathrm m} B$ を合成 $f \circ x$ の類とする。$A$ の元 $0$ は零射 $0 \to A$ の類である。
</Definition>

<Lemma id="lem-member-equivalence" title="元の同値関係">
<Ref to="def-member" /> の $\equiv$ は同値関係であり、$x \equiv y$ なら任意の $f\colon A \to B$ について $fx \equiv fy$ である。また $u$ が epi なら $xu \equiv x$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-member-equivalence">
反射律は $u = v = 1$、対称律は $u, v$ の入れ替えです。推移律を示します。$xu = yv$（$u\colon U \to X$、$v\colon U \to Y$ は epi）と $yu' = zv'$（$u'\colon U' \to Y$、$v'\colon U' \to Z$ は epi）とします。$v$ と $u'$ の引き戻し $a\colon Q \to U$、$b\colon Q \to U'$（$va = u'b$）を取ると、<Ref to="prop-pullback-epi" /> の (2) により $a$ も $b$ も epi です。すると $x(ua) = yva = yu'b = z(v'b)$ で、$ua$、$v'b$ は epi の合成なので epi です。よって $x \equiv z$ です。$xu = yv$ なら $fxu = fyv$ です。最後の主張は、epi $1_U$ と $u$ について $(xu)1_U = x u$ が成り立つことから従います。
</Proof>

<Theorem id="thm-members" title="元による図式追跡の規則">
$\mathcal A$ をアーベル圏とする。

1. $x \in_{\mathrm m} A$ について、$x \equiv 0$ と $x = 0$（零射）は同値である。
2. $f\colon A \to B$ について次は同値である：(a) $f$ は mono、(b) $fx \equiv 0$ なら $x \equiv 0$、(c) $fx \equiv fx'$ なら $x \equiv x'$。
3. $g\colon B \to C$ が epi であることと、任意の $z \in_{\mathrm m} C$ に対し $gy \equiv z$ となる $y \in_{\mathrm m} B$ が存在することは同値である。
4. $h\colon A \to B$ が零射であることと、すべての $x \in_{\mathrm m} A$ について $hx \equiv 0$ であることは同値である。
5. 列 $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ が $B$ で完全であることと、「$gf = 0$ であり、$gy \equiv 0$ を満たす任意の $y \in_{\mathrm m} B$ に対し $fx \equiv y$ となる $x \in_{\mathrm m} A$ が存在する」ことは同値である。
6. （差を取る）$g\colon B \to C$ と $x\colon X \to B$、$y\colon Y \to B$ が $gx \equiv gy$ を満たすとする。このとき epi $s\colon U \to X$、$t\colon U \to Y$ があって、$z = xs - yt\colon U \to B$ は $gz = 0$ を満たし、$hy = 0$ を満たす任意の $h\colon B \to D$ について $hz \equiv hx$ である。
7. （核への持ち上げ）$fx \equiv 0$ なら、$x = (\ker f)x'$ となる射 $x'$ がある。
</Theorem>

<Proof of="thm-members">
(1) $x \equiv 0$ なら $xu = 0v = 0$ となる epi $u$ があり、<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (2) により $x = 0$ です。逆に $x\colon X \to A$ が零射なら、$X \to 0$ は epi です（$0$ から出る射はただ一つなので、$s(X \to 0) = s'(X \to 0)$ なら $s = s'$）。$x \cdot 1_X = (0 \to A)(X \to 0)$ なので $x \equiv 0$ です。

(2) (a ⇒ c) $fxu = fx'v$ なら $f$ の mono 性から $xu = x'v$ です。(c ⇒ b) $x' = 0$ とします。(b ⇒ a) $fx = 0$ なら (b) と (1) により $x = 0$ なので、<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (2) により $f$ は mono です。

(3) $g$ が epi で $z\colon Z \to C$ とします。$g$ と $z$ の引き戻し $y\colon P \to B$、$z'\colon P \to Z$（$gy = zz'$）を取ると、<Ref to="prop-pullback-epi" /> の (2) により $z'$ は epi なので $gy \cdot 1 = z z'$ から $gy \equiv z$ です。逆に $z = 1_C$ に対して $gyu = v$（$u, v$ は epi）となる $y$ があれば、$tg = 0$ から $tv = tgyu = 0$、$v$ の epi 性から $t = 0$ で、$g$ は epi です（<Ref to="lem-kernel-basic" /> の (2)）。

(4) $h = 0$ なら $hx = 0$ です。逆は $x = 1_A$ と (1) から $h = 0$ です。

(5) $m = \operatorname{im} f$、$k = \ker g$ とし、<Ref to="thm-image-factorization" /> により $f = me$（$e$ は epi）と書きます。完全なら $m = k\varphi$（$\varphi$ は同型）です。$gy \equiv 0$ なら (1) により $gy = 0$ なので $y = ky_1 = m\varphi^{-1}y_1$ と書けます。$y_2 = \varphi^{-1}y_1$ と $e$ の引き戻し $x\colon Q \to A$、$e''\colon Q \to Y$（$ex = y_2e''$）を取ると、$e''$ は epi（<Ref to="prop-pullback-epi" /> の (2)）で、$fx = mex = my_2e'' = ye''$ なので $fx \equiv y$ です。逆に条件が成り立つとします。$gk = 0$ なので、$k$ を $B$ の元とみて $fxu = kv$（$u, v$ は epi）となる $x$ があります。$c = \operatorname{coker} f$ とすると $ckv = cfxu = 0$、$v$ の epi 性から $ck = 0$ で、<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (1) により完全です。

(6) $gxs = gyt$ となる epi $s, t$ を取り、$z = xs - yt$ とおくと $gz = 0$ です。$hy = 0$ なら $hz = hxs$ で、$s$ は epi なので $hz \equiv hx$ です（<Ref to="lem-member-equivalence" />）。

(7) (1) により $fx = 0$ なので、核の性質そのものです。
</Proof>

<Remark id="rem-members-subobjects" title="元は何を表すか">
$x \equiv y$ は「$\operatorname{im} x$ と $\operatorname{im} y$ が同じ部分対象」と同値です（像分解の一意性と、引き戻しが epi を保つことから示せます）。たとえば $\mathsf{Ab}$ で $x\colon \mathbb Z \to A$ が $a \in A$ を指すとき、$x$ の類は $a$ 自身ではなく巡回部分群 $\langle a \rangle$ を表し、$x \equiv -x$ です（$x \cdot 1 = (-x)(-1)$）。したがって元の「和」は定義できず、(6) のように代表元の段階で差を取り、その後の性質だけを類で述べます。それでも次節で見るとおり、加群での図式追跡に必要な操作はすべて (1)〜(7) で賄えます。
</Remark>

## 7. 蛇の補題・五項補題・3×3 補題

<Theorem id="thm-snake-abelian" title="蛇の補題">
アーベル圏 $\mathcal A$ の可換図式

$$
\begin{array}{ccccccccc}
 & & A' & \xrightarrow{u} & A & \xrightarrow{v} & A'' & \to & 0 \\
 & & \downarrow{\scriptstyle f'} & & \downarrow{\scriptstyle f} & & \downarrow{\scriptstyle f''} & & \\
0 & \to & B' & \xrightarrow{u'} & B & \xrightarrow{v'} & B'' & &
\end{array}
$$

で、二つの行が完全であるとする（$fu = u'f'$、$f''v = v'f$）。$k'\colon K' \to A'$、$k\colon K \to A$、$k''\colon K'' \to A''$ を $f', f, f''$ の核、$c'\colon B' \to C'$、$c\colon B \to C$、$c''\colon B'' \to C''$ を余核とし、$u_K\colon K' \to K$、$v_K\colon K \to K''$、$u_C\colon C' \to C$、$v_C\colon C \to C''$ を $ku_K = uk'$、$k''v_K = vk$、$u_Cc' = cu'$、$v_Cc = c''v'$ で定まる射とする。

1. 射 $\delta\colon K'' \to C'$ があって、次の列は完全である。

   $$
   K' \xrightarrow{u_K} K \xrightarrow{v_K} K'' \xrightarrow{\delta} C' \xrightarrow{u_C} C \xrightarrow{v_C} C''
   $$

2. $u$ が mono なら $u_K$ は mono、$v'$ が epi なら $v_C$ は epi である。
3. $\delta$ は次の性質をもち、この性質で一意に決まる：射 $a\colon W \to A$、$x''\colon W \to K''$、$b'\colon W \to B'$ が $va = k''x''$、$u'b' = fa$ を満たせば $\delta x'' = c'b'$ である。元についても、$a \in_{\mathrm m} A$、$x'' \in_{\mathrm m} K''$、$b' \in_{\mathrm m} B'$ が $va \equiv k''x''$、$u'b' \equiv fa$ を満たせば $\delta x'' \equiv c'b'$ である。
</Theorem>

(3) は加群での「$x''$ を $A$ に持ち上げ、$f$ で写し、$B'$ に引き戻して類を取る」という連結準同型の作り方を、射の言葉で書いたものです。

<Figure caption="蛇の補題：δ が核の列の右端と余核の列の左端をつなぐ">
<svg viewBox="0 0 640 300" width="100%" role="img" aria-label="上段に核 K' K K''、中段に A' A A'' と B' B B''、下段に余核 C' C C'' を並べ、K'' から C' へ蛇行する矢印 δ を描いた図">
  <defs>
    <marker id="ab7-arrow" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto-start-reverse">
      <path d="M0 0 L10 5 L0 10 z" fill="currentColor"/>
    </marker>
  </defs>
  <g fill="currentColor" font-size="18" text-anchor="middle">
    <text x="200" y="40">K′</text><text x="330" y="40">K</text><text x="460" y="40">K″</text>
    <text x="200" y="120">A′</text><text x="330" y="120">A</text><text x="460" y="120">A″</text><text x="570" y="120">0</text>
    <text x="90" y="200">0</text><text x="200" y="200">B′</text><text x="330" y="200">B</text><text x="460" y="200">B″</text>
    <text x="200" y="280">C′</text><text x="330" y="280">C</text><text x="460" y="280">C″</text>
    <text x="600" y="170" fill="var(--sl-color-accent)">δ</text>
  </g>
  <g fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" marker-end="url(#ab7-arrow)">
    <line x1="220" y1="34" x2="308" y2="34"/><line x1="350" y1="34" x2="438" y2="34"/>
    <line x1="220" y1="114" x2="308" y2="114"/><line x1="350" y1="114" x2="438" y2="114"/><line x1="482" y1="114" x2="556" y2="114"/>
    <line x1="104" y1="194" x2="178" y2="194"/><line x1="220" y1="194" x2="308" y2="194"/><line x1="350" y1="194" x2="438" y2="194"/>
    <line x1="220" y1="274" x2="308" y2="274"/><line x1="350" y1="274" x2="438" y2="274"/>
    <line x1="200" y1="48" x2="200" y2="98"/><line x1="330" y1="48" x2="330" y2="98"/><line x1="460" y1="48" x2="460" y2="98"/>
    <line x1="200" y1="128" x2="200" y2="178"/><line x1="330" y1="128" x2="330" y2="178"/><line x1="460" y1="128" x2="460" y2="178"/>
    <line x1="200" y1="208" x2="200" y2="258"/><line x1="330" y1="208" x2="330" y2="258"/><line x1="460" y1="208" x2="460" y2="258"/>
  </g>
  <path d="M 480 32 C 620 30, 620 160, 330 158 C 40 156, 40 270, 178 274" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="6 4" marker-end="url(#ab7-arrow)"/>
</svg>
</Figure>

証明の方針です。まず、$K''$ の元を $A$ に持ち上げて $f$ で $B$ に写し、$u'$ が mono であることから $B'$ に落として $c'$ で $C'$ に送る、という加群での連結準同型の作り方を、引き戻しを使って射の言葉で書き直し、$\delta$ を作ります。次に、列の各項での完全性を、元による図式追跡の規則で確かめます。完全性の部分に出てくる番号 (1)〜(7) は、すべてその規則の番号を指します。

<Proof of="thm-snake-abelian">
行の完全性から、$v$ は epi で $u$ の余核、$u'$ は mono で $v'$ の核です（<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (2)）。また $A' \xrightarrow{f'} B' \xrightarrow{c'} C'$ は $B'$ で完全です（$c'f' = 0$ かつ $c'\circ\ker c' = 0$ なので <Ref to="lem-exact-criterion" /> の (1)）。$A \to B \to C$、$A'' \to B'' \to C''$ も同様です。

**誘導される射。** $fuk' = u'f'k' = 0$ から $uk'$ は $k$ を経由し、$f''vk = v'fk = 0$ から $vk$ は $k''$ を経由します。$cu'f' = cfu = 0$ から $cu'$ は $c'$ を経由し、$c''v'f = c''f''v = 0$ から $c''v'$ は $c$ を経由します。これで $u_K, v_K, u_C, v_C$ が定まります。

**$\delta$ の構成。** $v$ と $k''$ の引き戻し $p\colon P \to A$、$\pi\colon P \to K''$（$vp = k''\pi$）を取ります（<Ref to="prop-pullback-epi" />）。$v$ が epi なので $\pi$ は epi です。$v'fp = f''vp = f''k''\pi = 0$ なので、$u' = \ker v'$ により $fp = u'\beta$ となる $\beta\colon P \to B'$ がただ一つあります。$\varphi = c'\beta$ とおき、$j = \ker\pi\colon J \to P$ について $\varphi j = 0$ を示します。$a = pj$ は $va = k''\pi j = 0$ を満たすので、$A$ での完全性と <Ref to="thm-members" /> の (5) により $ua' \equiv a$、すなわち epi $s, t$ で $ua's = at$ となる $a'$ があります。$u'\beta jt = fat = fua's = u'f'a's$ と $u'$ の mono 性から $\beta jt = f'a's$、よって $\varphi jt = c'f'a's = 0$ で、$t$ は epi なので $\varphi j = 0$ です。$\pi$ は epi なので $\ker\pi$ の余核であり（<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1)）、$\varphi = \delta\pi$ となる $\delta\colon K'' \to C'$ がただ一つあります。

**(3) の性質。** $va = k''x''$ なら引き戻しの普遍性から $pz = a$、$\pi z = x''$ となる $z\colon W \to P$ があります。$u'\beta z = fpz = fa = u'b'$ と $u'$ の mono 性から $\beta z = b'$ で、$\delta x'' = \delta\pi z = c'\beta z = c'b'$ です。$\delta_1$ も同じ性質をもてば、$W = P$、$a = p$、$x'' = \pi$、$b' = \beta$ に適用して $\delta_1\pi = c'\beta = \delta\pi$、$\pi$ の epi 性から $\delta_1 = \delta$ です。元の版：$vas = k''x''t$、$u'b's' = fat'$（$s, t, s', t'$ は epi）とし、$s$ と $t'$ の引き戻し $\sigma, \tau$（$s\sigma = t'\tau$、ともに epi）を取ります。$a_1 = as\sigma$、$x_1 = x''t\sigma$、$b_1 = b's'\tau$ は $va_1 = k''x_1$、$u'b_1 = fa_1$ を満たすので $\delta x''(t\sigma) = c'b'(s'\tau)$、すなわち $\delta x'' \equiv c'b'$ です。

以下、完全性を <Ref to="thm-members" /> の規則で確かめます。番号 (1)〜(7) はその規則を指します。

**$K$ で完全。** $k''v_Ku_K = vuk' = 0$ と $k''$ の mono 性から $v_Ku_K = 0$ です。$x \in_{\mathrm m} K$ が $v_Kx \equiv 0$ を満たすとすると、(1) から $vkx = k''v_Kx = 0$ なので、$A$ での完全性と (5) により $ua' \equiv kx$ となる $a'$ があります。$u'f'a' = fua' \equiv fkx = 0$ なので (2) から $f'a' \equiv 0$、(7) から $a' = k'y$ です。$ku_Ky = uk'y = ua' \equiv kx$ と (2) から $u_Ky \equiv x$ で、(5) により完全です。

**$K''$ で完全。** (3) を $a = k$、$x'' = v_K$、$b' = 0$ に適用すると（$vk = k''v_K$、$fk = 0$）$\delta v_K = 0$ です。$x'' \in_{\mathrm m} K''$ が $\delta x'' \equiv 0$ を満たすとします。$v$ は epi なので (3) により $va \equiv k''x''$ となる $a$ があり、$v'fa = f''va \equiv f''k''x'' = 0$ なので $B$ での完全性と (5) により $u'b' \equiv fa$ となる $b'$ があります。定理の (3) から $c'b' \equiv \delta x'' \equiv 0$ なので、$B'$ での完全性と (5) により $f'a' \equiv b'$ となる $a'$ があります。$f(ua') = u'f'a' \equiv u'b' \equiv fa$ なので、(6) を $g = f$、$x = a$、$y = ua'$ に適用すると、$fz = 0$ で、$v(ua') = 0$ から $vz \equiv va \equiv k''x''$ となる $z$ が得られます。(7) から $z = kw$ で、$k''v_Kw = vz \equiv k''x''$ と (2) から $v_Kw \equiv x''$ です。

**$C'$ で完全。** $u_C\delta\pi = u_Cc'\beta = cu'\beta = cfp = 0$ と $\pi$ の epi 性から $u_C\delta = 0$ です。$y \in_{\mathrm m} C'$ が $u_Cy \equiv 0$ を満たすとします。$c'$ は epi なので (3) により $c'b' \equiv y$ となる $b'$ があり、$c(u'b') = u_Cc'b' \equiv 0$ なので、$B$ での完全性（$A \to B \to C$）と (5) により $fa \equiv u'b'$ となる $a$ があります。$f''va = v'fa \equiv v'u'b' = 0$ なので (7) から $va = k''x''$ です。定理の (3) から $\delta x'' \equiv c'b' \equiv y$ です。

**$C$ で完全。** $v_Cu_Cc' = v_Ccu' = c''v'u' = 0$ と $c'$ の epi 性から $v_Cu_C = 0$ です。$y \in_{\mathrm m} C$ が $v_Cy \equiv 0$ を満たすとします。(3) により $cb \equiv y$ となる $b$ があり、$c''v'b = v_Ccb \equiv 0$ なので $B''$ での完全性と (5) により $f''a'' \equiv v'b$ となる $a''$、さらに $v$ が epi なので $va \equiv a''$ となる $a$ があります。$v'(fa) = f''va \equiv f''a'' \equiv v'b$ なので、(6) を $g = v'$、$x = b$、$y = fa$ に適用すると、$v'z = 0$ で、$c(fa) = 0$ から $cz \equiv cb \equiv y$ となる $z$ が得られます。$B$ での完全性と (5) により $u'b' \equiv z$ となる $b'$ があり、$u_Cc'b' = cu'b' \equiv cz \equiv y$ です。

**(2)。** $ku_K = uk'$ は mono の合成なので $u_K$ は mono、$v_Cc = c''v'$ は epi の合成なので $v_C$ は epi です。
</Proof>

<Corollary id="cor-five-abelian" title="五項補題">
アーベル圏の可換図式で、行 $A_1 \xrightarrow{f_1} A_2 \xrightarrow{f_2} A_3 \xrightarrow{f_3} A_4 \xrightarrow{f_4} A_5$、$B_1 \xrightarrow{g_1} B_2 \xrightarrow{g_2} B_3 \xrightarrow{g_3} B_4 \xrightarrow{g_4} B_5$ が完全で、縦の射 $\alpha_i\colon A_i \to B_i$ が $\alpha_{i+1}f_i = g_i\alpha_i$ を満たすとする。

1. $\alpha_2, \alpha_4$ が mono で $\alpha_1$ が epi なら、$\alpha_3$ は mono である。
2. $\alpha_2, \alpha_4$ が epi で $\alpha_5$ が mono なら、$\alpha_3$ は epi である。
3. $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4, \alpha_5$ が同型なら、$\alpha_3$ は同型である。
</Corollary>

<Proof of="cor-five-abelian">
番号 (1)〜(7) は <Ref to="thm-members" /> の規則です。

(1) $x \in_{\mathrm m} A_3$ が $\alpha_3x \equiv 0$ を満たすとします。$\alpha_4f_3x = g_3\alpha_3x \equiv 0$ と (2) から $f_3x \equiv 0$、(5) から $f_2y \equiv x$ となる $y \in_{\mathrm m} A_2$ があります。$g_2\alpha_2y = \alpha_3f_2y \equiv \alpha_3x \equiv 0$ なので (5) から $g_1z \equiv \alpha_2y$ となる $z \in_{\mathrm m} B_1$ があり、$\alpha_1$ は epi なので (3) から $\alpha_1w \equiv z$ となる $w$ があります。$\alpha_2f_1w = g_1\alpha_1w \equiv g_1z \equiv \alpha_2y$ と (2) から $f_1w \equiv y$ です。よって $x \equiv f_2y \equiv f_2f_1w = 0$ で、(2) により $\alpha_3$ は mono です。

(2) 双対圏 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ はアーベル圏で（<Ref to="prop-abelian-dual" />）、そこでは行 $B_5 \to \cdots \to B_1$、$A_5 \to \cdots \to A_1$ が完全（<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (3)）、縦の射は $\alpha_i\colon B_i \to A_i$ です。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で見ると、位置 2・4 の縦の射（$\alpha_4, \alpha_2$）は mono、位置 1 の縦の射（$\alpha_5$）は epi なので、(1) を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用して $\alpha_3$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で mono、すなわち $\mathcal A$ で epi です。

(3) (1)・(2) から $\alpha_3$ は mono かつ epi で、<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (2) により同型です。
</Proof>

<Corollary id="cor-nine-lemma" title="3×3 補題">
アーベル圏の可換図式

$$
\begin{array}{ccccccccc}
0 & \to & A' & \to & A & \to & A'' & \to & 0 \\
 & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\
0 & \to & B' & \to & B & \to & B'' & \to & 0 \\
 & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\
0 & \to & C' & \to & C & \to & C'' & \to & 0
\end{array}
$$

で、三つの列 $0 \to A' \to B' \to C' \to 0$、$0 \to A \to B \to C \to 0$、$0 \to A'' \to B'' \to C'' \to 0$ と中央の行が短完全列であるとする。

1. 上の行が短完全列なら、下の行も短完全列である。
2. 下の行が短完全列なら、上の行も短完全列である。
</Corollary>

<Proof of="cor-nine-lemma">
(1) 上の二つの行と縦の射 $\alpha', \alpha, \alpha''$（$A' \to B'$ など）に <Ref to="thm-snake-abelian" /> を適用します。列が短完全列なので縦の射は mono で、その核は $0$、余核は列の射 $B' \to C'$ などです（<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (2)）。下の行の射 $w'\colon C' \to C$ は可換性から $w'(B' \to C') = (B \to C)(B' \to B)$ を満たし、$B' \to C'$ は epi なので、これは定理の $u_C$ と一致します。$v_C$ についても同じです。定理の (1) により $0 \to C' \xrightarrow{w'} C \to C''$ のうち $C'$ での完全性は $\delta\colon 0 \to C'$ の像が $\ker w'$ であること、すなわち $w'$ が mono であることを意味し（<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1)）、$C$ でも完全です。中央の行の $B \to B''$ は epi なので定理の (2) により $C \to C''$ は epi です。よって下の行は短完全列です。

(2) 図式を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で見ると、矢印が逆になり、上下の行と左右の列が入れ替わります（縦の射は $C$ の行から $B$ の行を経て $A$ の行へ、各行の射は右の列から左の列へ向かいます）。<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (3) により、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ では列 $0 \to C' \to B' \to A' \to 0$ などと中央の行が短完全列で、もとの下の行が「上の行」になります。<Ref to="prop-abelian-dual" /> により $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ はアーベル圏なので、(1) を適用すると、もとの上の行が $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で短完全列、すなわち $\mathcal A$ で短完全列です。
</Proof>

<Remark id="rem-module-special-cases" title="加群・Abel 群の場合">
$\mathcal A = \mathsf{Mod}_A$ のとき、<Ref to="thm-snake-abelian" /> は <Ref to="mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama#lem-snake" text="加群の蛇の補題" /> に、<Ref to="cor-five-abelian" /> の (3) は <Ref to="mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama#cor-five" text="加群の五項補題" /> と <Ref to="mathematics/algebraic-topology/singular-homology#lem-five" text="Abel 群の五項補題" /> になります。<Ref to="thm-members" /> の元を加群の元に置き換えると、上の議論は既存の加群版の議論と同じ形になります。このテーマの証明はこれらの加群版を使わず、上のアーベル圏版を使います。
</Remark>

## 8. Freyd–Mitchell の埋め込み定理

<Theorem id="thm-freyd-mitchell" title="Freyd–Mitchell の埋め込み定理">
$\mathcal A$ を小さいアーベル圏とする。このとき（可換とは限らない）単位元をもつ環 $R$ と、左 $R$ 加群の圏への完全かつ充満忠実な加法関手 $\mathcal A \to {}_R\mathsf{Mod}$ が存在する。
</Theorem>

<Remark id="rem-freyd-mitchell-statement-only" title="主張のみとする理由と出典">
この定理は主張のみとし、証明を載せません。証明には、$\mathcal A$ 上の左完全関手のなす圏が入射余生成子をもつ Grothendieck 圏であることを示し、その双対圏で射影生成子となる対象の自己準同型環を $R$ とする、という一連の準備が要り、教科書の 1 章分を超えます。しかもこの定理が保証する「小さいアーベル圏の有限個の対象と射についての完全性・可換性の主張は、加群で確かめればよい」という使い方は、<Ref to="thm-members" /> の規則で直接置き換えられます。**このテーマのどの定理の証明もこの定理を使いません。** 証明は P. Freyd『Abelian Categories』（1964）と B. Mitchell の論文（1964）を、主張と図式追跡への使い方は Weibel『An Introduction to Homological Algebra』§1.6 を参照してください。
</Remark>

この章の結果は、次の章以降で次のように使われます。鎖複体の圏がアーベル圏であることは <Ref to="prop-functor-category-abelian" /> と同じ各点の議論で、ホモロジーの長完全列は <Ref to="thm-snake-abelian" /> から得られます（連結射の自然性には (3) の特徴づけを使います）。射影対象の判定には <Ref to="prop-hom-left-exact-abelian" /> を、比較定理と馬蹄補題には <Ref to="thm-members" /> の規則を使います。

## 9. 演習

演習はいずれもこの記事のために作ったものです。

<Exercise id="exr-iso-kernel-cokernel" difficulty="易">
アーベル圏で、射 $f$ が同型であることと、$\ker f = 0$ かつ $\operatorname{coker} f = 0$（核と余核の対象が零対象）であることは同値であることを示してください。
<Solution>
同型なら mono かつ epi なので、<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (1) により核も余核も $0$ です。逆に $\ker f = 0$ なら同じ (1) により $f$ は mono、$\operatorname{coker} f = 0$ なら双対により epi です。<Ref to="prop-abelian-mono-epi" /> の (2)（平衡性）により $f$ は同型です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-splitting" difficulty="標準">
アーベル圏の短完全列 $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ について、次が同値であることを示してください。(a) $rf = 1_A$ となる $r\colon B \to A$ がある。(b) $gs = 1_C$ となる $s\colon C \to B$ がある。(c) ある $r, s$ について $(B, f, s, r, g)$ が $A, C$ の双積である（入射 $f, s$、射影 $r, g$）。
<Solution>
(c) ⇒ (a)、(b) は双積の等式そのものです。(b) ⇒ (c)：$g(1_B - sg) = g - g = 0$ で $f = \ker g$（<Ref to="lem-exact-criterion" /> の (2)）なので $1_B - sg = fr$ となる $r$ があります。$frf = f - sgf = f$ と $f$ の mono 性から $rf = 1_A$ です。$frs = s - sgs = 0$ から $rs = 0$ です。$gf = 0$、$gs = 1_C$、$fr + sg = 1_B$ と合わせて双積の等式がそろいます。(a) ⇒ (c)：$(1_B - fr)f = 0$ で $g = \operatorname{coker} f$ なので $1_B - fr = sg$ となる $s$ があります。$gsg = g - gfr = g$ と $g$ の epi 性から $gs = 1_C$、$rsg = r - rfr = 0$ から $rs = 0$ です。$\mathsf{Mod}_A$ の場合は <Ref to="mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama#prop-split" /> です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-members-ab" difficulty="標準">
$\mathsf{Ab}$ で、$x\colon X \to A$、$y\colon Y \to A$ について $x \equiv y$（<Ref to="def-member" />）であることと $x(X) = y(Y)$ は同値であることを示してください。
<Solution>
$xu = yv$（$u, v$ は全射）なら $x(X) = xu(U) = yv(U) = y(Y)$ です。逆に $x(X) = y(Y)$ なら、$U = \{(a, b) \in X \oplus Y \mid x(a) = y(b)\}$ と射影 $u\colon U \to X$、$v\colon U \to Y$ を取ると $xu = yv$ です。$a \in X$ に対し $x(a) \in y(Y)$ なので $x(a) = y(b)$ となる $b$ があり、$u$ は全射です。$v$ も同様です。<Ref to="prop-modules-abelian" /> により全射は epi なので $x \equiv y$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-torsion-free-image" difficulty="難">
捩れのない Abel 群の圏 $\mathcal T$ で、射 $f\colon A \to B$ の余核は $B \to B/S$（$S = \{ b \in B \mid nb \in f(A) \text{ となる } n \ge 1 \text{ がある}\}$）であることを示し、$f = 2\colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ について余像から像への標準射（<Ref to="thm-image-factorization" /> の (2) の $\bar f$）を求めてください。
<Solution>
$S$ は部分群で $B/S$ は捩れがありません（$n(b + S) = 0$ なら $nb \in S$、$mnb \in f(A)$ となる $m$ があるので $b \in S$）。$t\colon B \to T$（$T$ は捩れなし）が $tf = 0$ なら、$b \in S$ について $nt(b) = t(nb) = 0$ から $t(b) = 0$ なので $t$ は $B/S$ を一意に経由します。よって $B \to B/S$ が余核です。核は通常の核です（部分群は捩れがない）。$f = 2$ では $\ker f = 0$ なので余像は $1_{\mathbb Z}$、$S = \mathbb Z$ なので余核は $\mathbb Z \to 0$、像はその核 $1_{\mathbb Z}$ です。$f = 1 \cdot \bar f \cdot 1$ から $\bar f = 2$ で、これは同型ではありません。$\mathcal T$ がアーベル圏でないこと（<Ref to="ex-not-abelian" />）が、像分解の失敗としても現れています。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- S. Mac Lane『Categories for the Working Mathematician』第 2 版、Springer（Graduate Texts in Mathematics 5）、1998 — 第 VIII 章（アーベル圏、元による図式追跡）。
- C. A. Weibel『An Introduction to Homological Algebra』Cambridge University Press、1994 — 第 1 章 §1.6、付録 A。
- P. Freyd『Abelian Categories: An Introduction to the Theory of Functors』Harper & Row、1964。
- B. Mitchell, "The full imbedding theorem", *American Journal of Mathematics* 86 (1964), 619–637.
- M. Kashiwara, P. Schapira『Categories and Sheaves』Springer（Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 332）、2006 — 第 8 章。