# ベクトル解析と積分定理：グリーン・ガウス・ストークスを一本の線で結ぶ

> 線積分・面積分を定義し、grad・div・rot と曲線座標での表示を導き、グリーン・ガウス・ストークスの定理を標準領域で証明する。電磁気や流体の「流れと渦」を数学の言葉で読むための基礎です。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/vector-analysis

## 0. この記事の要点

川の流れの中に輪を浮かべると、輪は流れに押されて回ったり、輪の中に水が湧き出していれば外へ広がったりします。この記事は、そうした「流れが輪や面をどれだけ押すか」を数で測る方法と、その量が内部の様子と境界の様子を結びつけるという事実を扱います。読み終えると、電磁気や流体の本で出てくる積分の公式がどういう意味で、なぜ成り立つのかを説明できるようになります。

- ベクトル場 $\boldsymbol F$ の**線積分**は仕事、**面積分**は流量にあたります。どちらも「パラメータ表示で 1 変数・2 変数の積分に直す」ことで定義され、向きを保つ変数変換で値が変わりません。
- 3 つの微分演算子 $\nabla\varphi$（勾配）、$\nabla\cdot\boldsymbol F$（発散）、$\nabla\times\boldsymbol F$（回転）は、それぞれ「変化の最大方向」「湧き出し」「渦」を測ります。$\mathrm{rot}\,\mathrm{grad}=0$ と $\mathrm{div}\,\mathrm{rot}=0$ が基本の恒等式です。
- **グリーン・ガウス・ストークスの定理**は、どれも「内部の微分量の積分 = 境界での量の積分」という同じ形をしています。この記事では標準領域に対して 1 変数の微積分学の基本定理とフビニの定理だけから証明します。
- 回転が $0$ のベクトル場は、星型領域ではポテンシャルを持ちます。一方、穴の開いた領域では回転が $0$ でもポテンシャルがない例（渦糸）があり、領域の形が結論を左右します。
- 円柱座標・球座標などの直交曲線座標では、スケール因子 $h_1,h_2,h_3$ を使って grad・div・rot とラプラシアンが統一的に書けます。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **偏微分と $C^1$ 級・シュワルツの定理**: 多変数関数を 1 つの変数だけで微分するのが偏微分で、連続な 2 階偏微分では微分の順序を入れ替えても同じ値になる、という定理です。→ [多変数関数の微分と偏微分](/mathematics/calculus/multivariable-differentiation)
- **ヤコビアンと変数変換**: 座標を取り替えて重積分するときに、小さな面積や体積の拡大率を表す行列式です。→ [重積分と累次積分](/mathematics/calculus/multiple-integrals)
- **累次積分**: 重積分を 1 変数の積分に分けて順に計算する方法です。→ [累次積分](/mathematics/calculus/multiple-integrals#def-iterated-integral)
- **一様連続性**: 場所によらず同じ精度で「近い入力は近い出力」と言える連続性のことです。→ [一様連続性](/mathematics/calculus/limits-and-continuity#def-uniform-continuity)
- **広義積分**: 積分範囲や被積分関数が有界でないときに、極限として値を定める積分です。→ [広義積分](/mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#def-improper)

</Aside>

## 1. 動機：「流れ」と「渦」を測る

水の流れ $\boldsymbol F(\boldsymbol x)$（各点での流速）を考えます。閉曲線 $C$ に沿って水の流れを測ると、$C$ を一周して流れに乗る量（循環）が出ます。曲面 $S$ を貫く水の量（流量）も測れます。これらはベクトル場を曲線・曲面に沿って積分したものです。

では、この量は内部の様子とどう関係するのでしょう。ある領域から水が湧き出していれば、その境界を通る流量の合計は湧き出しの総量に等しいはずです。また、曲面の縁を一周する循環は、曲面の上の渦の総量に等しいはずです。電磁気学のガウスの法則 $\oint\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol S=Q/\varepsilon_0$ やアンペールの法則は、この関係の物理的な表れです。

数学では、これは**微分と積分の関係**——1 変数の微分積分学の基本定理 $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$ ——の高次元版です。左辺は区間の内部での微分の積分、右辺は境界（2 点）での値です。この記事では、線積分と面積分を正確に定義し、基本定理の 2 次元・3 次元版であるグリーン・ガウス・ストークスの定理を証明します。一般の多様体の場合は [ストークスの定理](/mathematics/manifolds/stokes-theorem) が 1 つの定理として統一します。

## 2. 準備：記号と曲線・曲面

$\mathbb{R}^3$ のベクトルを $\boldsymbol a=(a_1,a_2,a_3)$、内積を $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$、外積を $\boldsymbol a\times\boldsymbol b$ と書きます。成分で書けば $\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)$ で、$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$ は $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ に直交し、長さは二つのベクトルが張る平行四辺形の面積に等しいことを使います。

**添字の記法。** 添字の計算では、$(i,j,k)$ が $(1,2,3)$ の偶置換のとき $\varepsilon_{ijk}=1$、奇置換のとき $-1$、それ以外（添字が重複）のとき $0$ とする記号 $\varepsilon_{ijk}$ を使い、同じ添字が 2 回現れたら $1$ から $3$ まで足すものとします。すると $(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)_i=\varepsilon_{ijk}a_jb_k$ です。これは和の記号 $\sum$ を省くための約束です。偶置換とは $(2,3,1)$ や $(3,1,2)$ のように 3 つの並びを巡回させたもの、奇置換とは $(1,3,2)$ のように 2 つを入れ替えたものです。たとえば $i=1$ のとき、$\varepsilon_{123}a_2b_3+\varepsilon_{132}a_3b_2=a_2b_3-a_3b_2$ で、外積の第 1 成分になります。また $\partial_i=\partial/\partial x_i$ と書きます。

$U\subset\mathbb{R}^3$ を開集合とし、$U$ 上の $C^k$ 級のスカラー場 $\varphi:U\to\mathbb{R}$ とベクトル場 $\boldsymbol F=(F_1,F_2,F_3):U\to\mathbb{R}^3$ を扱います（定義は <Ref to="mathematics/calculus/inverse-implicit-functions#def-jacobian-map" /> と同じ）。

<Definition id="def-path" title="曲線と曲面のパラメータ表示">
**区分的 $C^1$ 級曲線**とは、連続写像 $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^3$ で、$[a,b]$ の有限個の分点で区切った各小区間で $C^1$ 級かつ $\gamma'\ne0$ を満たすもののことです。$\gamma(a)=\gamma(b)$ のとき**閉曲線**といいます。

**曲面片**とは、$\mathbb{R}^2$ の有界閉集合 $D$（面積確定でその内部の閉包が $D$）上の $C^1$ 級写像 $\boldsymbol r:D\to\mathbb{R}^3$ で、$D$ の内部で単射、かつ $\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\ne0$ を満たすもののことです。このとき単位法線ベクトル $\boldsymbol n=\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v/\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\|$ により曲面片に向きが与えられます。
</Definition>

## 3. 線積分とポテンシャル

<Definition id="def-line-integral" title="線積分">
$\boldsymbol F:U\to\mathbb{R}^3$ を連続なベクトル場、$\gamma:[a,b]\to U$ を区分的 $C^1$ 級曲線とします。

$$
\int_\gamma\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=\int_a^b\boldsymbol F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt
$$
を $\boldsymbol F$ の $\gamma$ に沿った**線積分**といいます（分点ごとに分けて足す）。連続なスカラー場 $f$ に対しては、**弧長に関する線積分**を $\int_\gamma f\,ds=\int_a^bf(\gamma(t))\,\|\gamma'(t)\|\,dt$ で定義します。$f=1$ とすれば曲線の長さです。
</Definition>

力 $\boldsymbol F$ のもとで質点が $\gamma$ に沿って動くとき、$\int_\gamma\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r$ はその力がした仕事です。

<Proposition id="prop-line-invariance" title="線積分のパラメータ不変性">
$\psi:[c,d]\to[a,b]$ を $C^1$ 級の全単射で $\psi'>0$ とし、$\tilde\gamma=\gamma\circ\psi$ とする。このとき $\int_{\tilde\gamma}\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=\int_\gamma\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r$ である。向きを逆にした曲線 $-\gamma(t)=\gamma(a+b-t)$ では符号が変わる。
</Proposition>

<Proof of="prop-line-invariance">
連鎖律から $\tilde\gamma'(s)=\gamma'(\psi(s))\psi'(s)$ です。したがって

$$
\int_c^d\boldsymbol F(\gamma(\psi(s)))\cdot\gamma'(\psi(s))\,\psi'(s)\,ds=\int_a^b\boldsymbol F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt
$$
で、これは置換積分（<Ref to="mathematics/calculus/integration-and-ftc#thm-substitution" />）で $t=\psi(s)$ とおいた式そのものです。逆向きの曲線は $t\mapsto a+b-t$ が $\psi'=-1<0$ の置換に当たり、積分区間の上下が入れ替わるので符号が変わります。
</Proof>

したがって線積分は「曲線という図形と向き」だけで決まり、どのように媒介変数をとるかに依りません。次の定理は、勾配場の線積分が両端の値だけで決まる、という基本定理です。

<Proposition id="prop-gradient-ftc" title="勾配場の線積分">
$\varphi:U\to\mathbb{R}$ を $C^1$ 級とし、$\gamma:[a,b]\to U$ を区分的 $C^1$ 級曲線とする。このとき

$$
\int_\gamma\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol r=\varphi(\gamma(b))-\varphi(\gamma(a))
$$
である。とくに $\gamma$ が閉曲線なら $\oint_\gamma\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol r=0$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-gradient-ftc">
$\gamma$ が $C^1$ 級の小区間では、連鎖律（<Ref to="mathematics/calculus/multivariable-differentiation#thm-chain-rule-n" />、3 変数版）により $\frac{d}{dt}\varphi(\gamma(t))=\nabla\varphi(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)$ で、右辺は連続です。微積分学の基本定理（<Ref to="mathematics/calculus/integration-and-ftc#thm-ftc2" />）から、その小区間の積分は両端の $\varphi\circ\gamma$ の差に等しく、分点ごとの差を足すと途中の値が打ち消し合って $\varphi(\gamma(b))-\varphi(\gamma(a))$ になります。
</Proof>

逆に、ベクトル場 $\boldsymbol F$ が与えられたとき、$\boldsymbol F=\nabla\varphi$ となる $\varphi$（**ポテンシャル**）が存在する条件は何でしょうか。必要条件はすぐ分かります。

<Definition id="def-grad-div-rot" title="勾配・発散・回転">
$C^1$ 級のスカラー場 $\varphi$ とベクトル場 $\boldsymbol F$ に対し、

$$
\nabla\varphi=\mathrm{grad}\,\varphi=(\partial_1\varphi,\partial_2\varphi,\partial_3\varphi),\qquad
\nabla\cdot\boldsymbol F=\mathrm{div}\,\boldsymbol F=\partial_1F_1+\partial_2F_2+\partial_3F_3,
$$

$$
\nabla\times\boldsymbol F=\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=(\partial_2F_3-\partial_3F_2,\ \partial_3F_1-\partial_1F_3,\ \partial_1F_2-\partial_2F_1)
$$
と定めます。成分で書けば $(\mathrm{rot}\,\boldsymbol F)_i=\varepsilon_{ijk}\partial_jF_k$ です。
</Definition>

<Proposition id="prop-identities" title="基本的な恒等式">
$\varphi$ が $C^2$ 級、$\boldsymbol F$ が $C^2$ 級、$g$ が $C^1$ 級、$\boldsymbol A$ が $C^1$ 級のとき次が成り立つ。

1. $\mathrm{rot}\,\mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol 0$。
2. $\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=0$。
3. $\mathrm{rot}(g\boldsymbol A)=\nabla g\times\boldsymbol A+g\,\mathrm{rot}\,\boldsymbol A$。
4. $a,b$ が $C^2$ 級のスカラー場のとき $\mathrm{div}(\nabla a\times\nabla b)=0$。
5. $\mathrm{div}(g\boldsymbol A)=\nabla g\cdot\boldsymbol A+g\,\mathrm{div}\,\boldsymbol A$。
</Proposition>

<Proof of="prop-identities">
添字の記法を使います。(1) $(\mathrm{rot}\,\mathrm{grad}\,\varphi)_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j\partial_k\varphi$ ですが、シュワルツの定理（<Ref to="mathematics/calculus/multivariable-differentiation#thm-schwarz-n" />）より $\partial_j\partial_k\varphi$ は $j,k$ について対称、$\varepsilon_{ijk}$ は反対称なので、和は $0$ です（$j,k$ を入れ替えた項と打ち消し合う）。
(2) $\partial_i(\varepsilon_{ijk}\partial_jF_k)=\varepsilon_{ijk}\partial_i\partial_jF_k=0$ も同じ理由です。
(3) $\varepsilon_{ijk}\partial_j(gA_k)=\varepsilon_{ijk}(\partial_jg)A_k+g\,\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k$ で、積の微分法のとおりです。
(4) $\mathrm{div}(\nabla a\times\nabla b)=\partial_i(\varepsilon_{ijk}\partial_ja\,\partial_kb)=\varepsilon_{ijk}(\partial_i\partial_ja)\partial_kb+\varepsilon_{ijk}\partial_ja\,(\partial_i\partial_kb)$ で、どちらの項も 2 階微分が添字について対称なので $0$ です。(5) は $\partial_i(gA_i)=(\partial_ig)A_i+g\,\partial_iA_i$ です。
</Proof>

(1) により、$\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=0$ はポテンシャルを持つための必要条件です。十分性には領域の形が関わります。次の補題は、パラメータを含む積分の微分についてで、ポテンシャルの構成で使います（一般的な扱いは [広義積分・パラメータ積分とガンマ関数](/mathematics/calculus/improper-parametric-integrals) で行います）。補題の主張は「積分の中に入れて微分してよい」という結論だけを覚えておけば十分で、証明は一様連続性とボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理を使う解析的な部分です。初めて読むときは証明を飛ばして、次の定理に進んでも流れを追えます。

<Lemma id="lem-leibniz-compact" title="有界閉区間上の積分記号下の微分">
$a<b$、$J\subset\mathbb{R}$ を開区間とし、$f:[a,b]\times J\to\mathbb{R}$ と偏導関数 $\partial_tf$ が連続であるとする。このとき $F(t)=\int_a^bf(s,t)\,ds$ は $J$ 上で微分可能で、$F'(t)=\int_a^b\partial_tf(s,t)\,ds$ であり、$F'$ は連続である。
</Lemma>

<Proof of="lem-leibniz-compact">
$t_0\in J$ をとり、$[t_0-\delta,t_0+\delta]\subset J$ なる $\delta>0$ を固定して $K=[a,b]\times[t_0-\delta,t_0+\delta]$ とおきます。$g=\partial_tf$ は有界閉集合 $K$ 上の連続関数ですから一様連続です。（実際、そうでないとすると、ある $\varepsilon>0$ と $K$ の点列 $p_k,q_k$ で $\|p_k-q_k\|\to0$ かつ $|g(p_k)-g(q_k)|\ge\varepsilon$ となるものがあります。ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理（<Ref to="mathematics/real-analysis/completeness-and-cauchy#thm-bolzano-weierstrass" />）を成分ごとに 2 回使って部分列を取れば $p_k\to p\in K$、$q_k\to p$ となり、$g$ の連続性から $|g(p_k)-g(q_k)|\to0$ で矛盾します。）

$0<|h|\le\delta$ とします。各 $s$ について平均値の定理（<Ref to="mathematics/calculus/mean-value-and-taylor#thm-mvt" />）から $f(s,t_0+h)-f(s,t_0)=h\,g(s,t_0+\theta h)$ となる $\theta=\theta(s,h)\in(0,1)$ があります。よって

$$
\Bigl|\frac{F(t_0+h)-F(t_0)}{h}-\int_a^bg(s,t_0)\,ds\Bigr|\le\int_a^b\bigl|g(s,t_0+\theta h)-g(s,t_0)\bigr|\,ds\le(b-a)\,\omega(|h|)
$$
です（左辺の被積分関数は $s$ の連続関数 $\frac{f(s,t_0+h)-f(s,t_0)}{h}-g(s,t_0)$ の絶対値であることに注意）。ここで $\omega(\eta)=\sup\{|g(p)-g(q)|:p,q\in K,\ \|p-q\|\le\eta\}$ で、一様連続性により $\eta\to0$ で $\omega(\eta)\to0$ です。したがって $F'(t_0)=\int_a^bg(s,t_0)\,ds$ です。同じ評価で $|F'(t)-F'(t_0)|\le(b-a)\,\omega(|t-t_0|)$ ですから $F'$ は連続です。
</Proof>

次の定理で使う式 $\varphi(x)=\int_0^1\boldsymbol F(tx)\cdot x\,dt$ は、天下りに見えますが、中身は単純です。原点から $x$ まで直線 $t\mapsto tx$ で進んだときの $\boldsymbol F$ の線積分にほかなりません。<Ref to="prop-gradient-ftc" /> によれば、ポテンシャルがあるならこの線積分は両端でのポテンシャルの差になるので、これを $\varphi$ の候補にします。星型という仮定は、この直線が領域の外に出ないことを保証するためのものです。

<Theorem id="thm-poincare" title="星型領域でのポテンシャルの存在">
$U\subset\mathbb{R}^3$ を開集合で、ある点 $p\in U$ について星型（任意の $x\in U$ に対し線分 $\{p+t(x-p):0\le t\le1\}\subset U$）とします。$\boldsymbol F:U\to\mathbb{R}^3$ が $C^1$ 級で $\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=\boldsymbol 0$ ならば、$C^1$ 級関数 $\varphi:U\to\mathbb{R}$ で $\nabla\varphi=\boldsymbol F$ となるものが存在します。
</Theorem>

<Proof of="thm-poincare">
一般性を失わず $p=0$ とします。

$$
\varphi(x)=\int_0^1\boldsymbol F(tx)\cdot x\,dt=\int_0^1\sum_jx_jF_j(tx)\,dt
$$
と定めます。$\partial_iF_j=\partial_jF_i$（$\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=0$）と補題 <Ref to="lem-leibniz-compact" /> から、$x_i$ で微分して

$$
\partial_i\varphi(x)=\int_0^1\Bigl(F_i(tx)+\sum_jx_j\,t\,(\partial_iF_j)(tx)\Bigr)dt=\int_0^1\Bigl(F_i(tx)+t\sum_jx_j(\partial_jF_i)(tx)\Bigr)dt
$$
です。$\frac{d}{dt}\bigl(tF_i(tx)\bigr)=F_i(tx)+t\sum_jx_j(\partial_jF_i)(tx)$ ですから、被積分関数は $t\mapsto tF_i(tx)$ の導関数であり、基本定理（<Ref to="mathematics/calculus/integration-and-ftc#thm-ftc2" />）から $\partial_i\varphi(x)=1\cdot F_i(x)-0=F_i(x)$ です。$F_i$ は連続ですから $\varphi$ は $C^1$ 級です。
</Proof>

<Example id="ex-vortex" title="渦糸：回転が 0 でもポテンシャルがない場合">
$U=\mathbb{R}^3\setminus\{x=y=0\}$（$z$ 軸を除いた領域）上で

$$
\boldsymbol F(x,y,z)=\Bigl(\frac{-y}{x^2+y^2},\ \frac{x}{x^2+y^2},\ 0\Bigr)
$$
とします。直接計算すると $\partial_x F_2=\frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$、$\partial_yF_1=\frac{-(x^2+y^2)+2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$ で、$\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=\boldsymbol0$ です。しかし単位円周 $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,0)$ に沿って

$$
\oint_\gamma\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=\int_0^{2\pi}(-\sin t,\cos t,0)\cdot(-\sin t,\cos t,0)\,dt=2\pi\ne0
$$
です。<Ref to="prop-gradient-ftc" /> により、ポテンシャルがあれば閉曲線上の線積分は $0$ のはずですから、この $\boldsymbol F$ にはポテンシャルが存在しません。$U$ は星型でない（$z$ 軸の周りを一周する輪が縮められない）ので、<Ref to="thm-poincare" /> は矛盾しません。この $\boldsymbol F$ は、$z$ 軸に流れる定常電流の周りの磁場と同じ形をしています。
</Example>

## 4. 面積分

<Definition id="def-surface-integral" title="面積分">
$\boldsymbol r:D\to\mathbb{R}^3$ を曲面片 $S=\boldsymbol r(D)$ のパラメータ表示とし、$f$ を $S$ 上の連続なスカラー場、$\boldsymbol F$ を $S$ 上の連続なベクトル場とします。**面積要素**を $dS=\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\|\,du\,dv$ として

$$
\iint_Sf\,dS=\iint_Df(\boldsymbol r(u,v))\,\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\|\,du\,dv
$$
と定めます。$f=1$ のとき $S$ の**面積**です。ベクトル場の**面積分（流束）**は、$\boldsymbol n$ を向き付けの単位法線として

$$
\iint_S\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS=\iint_D\boldsymbol F(\boldsymbol r(u,v))\cdot(\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v)\,du\,dv
$$
で定めます（$\boldsymbol n\,\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\|=\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v$ に注意）。これを $\iint_S\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol S$ とも書きます。
</Definition>

$\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\|$ は、$(u,v)$ の小長方形 $[u,u+du]\times[v,v+dv]$ が $\boldsymbol r$ により写される小さな平行四辺形（辺 $\boldsymbol r_u\,du$、$\boldsymbol r_v\,dv$）の面積だからです。これは重積分の変数変換のヤコビアン（<Ref to="mathematics/calculus/multiple-integrals#def-jacobian" />）の曲面版です。

次の命題が言いたいことは、線積分のときと同じく「曲面のパラメータの取り方を変えても、向きが同じなら面積分の値は変わらない」です。長い仮定は、$(u,v)$ から別の座標 $(\tilde u,\tilde v)$ への取り替えが、重積分の変数変換公式を使える形になっているための条件です。証明は、外積がヤコビアン $\det D\Phi$ 倍になることを確かめるだけです。

<Proposition id="prop-surface-invariance" title="面積分のパラメータ不変性">
開集合 $\tilde U,U'\subset\mathbb{R}^2$ 上の全単射な $C^1$ 級写像 $\Phi:\tilde U\to U'$ で $\det D\Phi$ が符号一定で $0$ にならないものと、有界閉集合 $\tilde D\subset\tilde U$、$D=\Phi(\tilde D)$ を考え、$\boldsymbol r$ は $U'$ を含む開集合上の $C^1$ 級写像とする。$\det D\Phi>0$ とする。$\tilde{\boldsymbol r}=\boldsymbol r\circ\Phi$ もパラメータ表示で、$\iint_{\tilde D}\boldsymbol F(\tilde{\boldsymbol r})\cdot(\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde u}\times\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde v})\,d\tilde u\,d\tilde v=\iint_D\boldsymbol F(\boldsymbol r)\cdot(\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v)\,du\,dv$ である。$\det D\Phi<0$ のときは右辺の符号が反転する。スカラー場の面積分 $\iint f\,dS$ は $\det D\Phi$ の符号に依らず不変である。
</Proposition>

<Proof of="prop-surface-invariance">
$\Phi=(\Phi_1,\Phi_2)$ とすると、連鎖律により $\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde u}=\boldsymbol r_u\,\partial_{\tilde u}\Phi_1+\boldsymbol r_v\,\partial_{\tilde u}\Phi_2$、$\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde v}=\boldsymbol r_u\,\partial_{\tilde v}\Phi_1+\boldsymbol r_v\,\partial_{\tilde v}\Phi_2$ です。外積の双線形性と $\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_u=0$、$\boldsymbol r_v\times\boldsymbol r_u=-\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v$ から

$$
\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde u}\times\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde v}=(\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v)\circ\Phi\cdot\bigl(\partial_{\tilde u}\Phi_1\,\partial_{\tilde v}\Phi_2-\partial_{\tilde u}\Phi_2\,\partial_{\tilde v}\Phi_1\bigr)=(\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v)\circ\Phi\cdot\det D\Phi
$$
です。したがって $\det D\Phi>0$ なら、重積分の変数変換公式（<Ref to="mathematics/calculus/multiple-integrals#thm-change-of-variables" />）で $\tilde D\to D$ の積分に移せば、$\det D\Phi=|\det D\Phi|$ となって右辺と一致します。$\det D\Phi<0$ のときは符号が逆になります。ノルムをとれば $\|\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde u}\times\tilde{\boldsymbol r}_{\tilde v}\|=\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\|\circ\Phi\cdot|\det D\Phi|$ なので、スカラー場の面積分は符号に依らず不変です。
</Proof>

<Proposition id="prop-graph-surface" title="グラフ曲面の面積要素と流束">

$\psi$ を $D\subset\mathbb{R}^2$ を含む開集合上の $C^1$ 級関数とし、グラフ $S=\{z=\psi(x,y),\ (x,y)\in D\}$ を $\boldsymbol r(x,y)=(x,y,\psi(x,y))$ で表す。このとき $\boldsymbol r_x\times\boldsymbol r_y=(-\psi_x,-\psi_y,1)$ で、$S$ の面積は $\iint_D\sqrt{1+\psi_x^2+\psi_y^2}\,dx\,dy$、上向き（$\boldsymbol r_x\times\boldsymbol r_y$ の向き）の流束は $\boldsymbol F=(P,Q,R)$ に対し $\iint_D(-P\psi_x-Q\psi_y+R)\,dx\,dy$ である。ここで $P,Q,R$ は $(x,y,\psi(x,y))$ での値とする。

</Proposition>

<Proof of="prop-graph-surface">
$\boldsymbol r_x=(1,0,\psi_x)$、$\boldsymbol r_y=(0,1,\psi_y)$ の外積を成分で計算すると $(0\cdot\psi_y-\psi_x\cdot1,\ \psi_x\cdot0-1\cdot\psi_y,\ 1\cdot1-0\cdot0)=(-\psi_x,-\psi_y,1)$ です。ノルムは $\sqrt{1+\psi_x^2+\psi_y^2}$ なので、面積と流束の式は <Ref to="def-surface-integral" /> に代入したものです（$\boldsymbol F\cdot(-\psi_x,-\psi_y,1)=-P\psi_x-Q\psi_y+R$）。$z$ 成分が正なので向きは上向きです。
</Proof>

<Example id="ex-graph-surface" title="グラフ曲面の面積要素と流束">
$z=\psi(x,y)$（$(x,y)\in D$、$\psi$ は $C^1$ 級）のグラフを $\boldsymbol r(x,y)=(x,y,\psi(x,y))$ で表すと、$\boldsymbol r_x=(1,0,\psi_x)$、$\boldsymbol r_y=(0,1,\psi_y)$ より

$$
\boldsymbol r_x\times\boldsymbol r_y=(-\psi_x,\,-\psi_y,\,1)
$$
です。$z$ 成分が正ですから、$\boldsymbol n$ は上向きです。面積は $\iint_D\sqrt{1+\psi_x^2+\psi_y^2}\,dx\,dy$、$\boldsymbol F=(P,Q,R)$ の上向き流束は

$$
\iint_D\bigl(-P\psi_x-Q\psi_y+R\bigr)\,dx\,dy
$$
です。たとえば半径 $a$ の上半球面 $\psi=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ に $\boldsymbol F=(x,y,z)$ を考えると、$-P\psi_x-Q\psi_y+R=\frac{x^2+y^2}{\psi}+\psi=\frac{a^2}{\psi}$ で、極座標（<Ref to="mathematics/calculus/multiple-integrals#ex-polar" />）を使うと流束は $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^a\frac{a^2}{\sqrt{a^2-r^2}}\,r\,dr\,d\theta=2\pi a^2\bigl[-\sqrt{a^2-r^2}\bigr]_0^a=2\pi a^3$ です（この $\psi$ は境界の円周 $r=a$ で $C^1$ 級ではなく $\psi_x,\psi_y$ が発散しますが、被積分関数 $a^2/\psi$ は[広義積分](/mathematics/calculus/improper-parametric-integrals#def-improper)として収束します。ここでの流束はその広義積分の値です）。
</Example>

## 5. 3 つの定理の見取り図

次節以降の 3 つの定理は、どれも同じ型です。

| 定理 | 領域 | 内部の量 | 境界の量 |
|---|---|---|---|
| 微積分学の基本定理 | 区間 $[a,b]$ | $\int_a^bf'\,dx$ | $f(b)-f(a)$ |
| グリーン | 平面領域 $D$ | $\iint_D(Q_x-P_y)\,dA$ | $\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy$ |
| ストークス | 曲面 $S$ | $\iint_S\mathrm{rot}\,\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS$ | $\oint_{\partial S}\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r$ |
| ガウス（発散定理） | 空間領域 $\Omega$ | $\iiint_\Omega\mathrm{div}\,\boldsymbol F\,dV$ | $\iint_{\partial\Omega}\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS$ |

任意の領域に対する一般的な証明は技術的に重いので、ここでは**標準領域**（座標方向に見て「上下が 2 枚の関数のグラフで挟まれる」領域）で証明します。標準領域に分割して貼り合わせれば、一般の領域に拡張できます（<Ref to="rem-gluing" />）。

## 6. グリーンの定理

平面の領域 $D$ が**標準領域**であるとは、$D$ が有界閉集合で、連続かつ区分的 $C^1$ 級の関数 $\varphi_1\le\varphi_2$（$[a,b]$ 上）と $\chi_1\le\chi_2$（$[c,d]$ 上）により

$$
D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}=\{(x,y):c\le y\le d,\ \chi_1(y)\le x\le\chi_2(y)\}
$$
と二通りに表せることをいいます（円板・長方形・三角形・楕円板など）。境界 $\partial D$ には、内部を左に見て進む向き（反時計回り）を与えます。

<Theorem id="thm-green" title="グリーンの定理">
$D$ を標準領域、$P,Q$ を $D$ を含む開集合上の $C^1$ 級関数とします。このとき

$$
\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dx\,dy
$$
が成り立ちます。左辺は線積分 $\int_{\partial D}(P,Q)\cdot d\boldsymbol r$ です。
</Theorem>

<Proof of="thm-green">
$\oint_{\partial D}P\,dx=-\iint_DP_y\,dA$ と $\oint_{\partial D}Q\,dy=\iint_DQ_x\,dA$ を別々に示せば十分です。

**$P$ の項（縦線集合の表示を使う）。** 反時計回りの境界は、下の曲線 $y=\varphi_1(x)$ を $x=a$ から $b$ へ、右の線分 $x=b$ を上へ、上の曲線 $y=\varphi_2(x)$ を $x=b$ から $a$ へ、左の線分 $x=a$ を下へ、と進みます。垂直な線分上では $x$ が一定ですから $dx=0$ で、$P\,dx$ の線積分は $0$ です。曲線 $(x,\varphi_i(x))$ では <Ref to="prop-line-invariance" /> により $x$ をパラメータにでき、

$$
\oint_{\partial D}P\,dx=\int_a^bP(x,\varphi_1(x))\,dx-\int_a^bP(x,\varphi_2(x))\,dx
$$
です。一方、縦線集合上の累次積分（<Ref to="mathematics/calculus/multiple-integrals#thm-fubini-region" />）と基本定理（<Ref to="mathematics/calculus/integration-and-ftc#thm-ftc2" />）から

$$
\iint_DP_y\,dA=\int_a^b\Bigl(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}P_y(x,y)\,dy\Bigr)dx=\int_a^b\bigl(P(x,\varphi_2(x))-P(x,\varphi_1(x))\bigr)\,dx
$$
です。2 式を比べて $\oint P\,dx=-\iint P_y\,dA$ を得ます。

**$Q$ の項（横線集合の表示を使う）。** 同様に、反時計回りの境界は右の曲線 $x=\chi_2(y)$ を上へ、左の曲線 $x=\chi_1(y)$ を下へ進み、水平な線分上では $dy=0$ です。$\oint Q\,dy=\int_c^dQ(\chi_2(y),y)\,dy-\int_c^dQ(\chi_1(y),y)\,dy$ で、これは $\iint_DQ_x\,dA=\int_c^d\bigl(Q(\chi_2(y),y)-Q(\chi_1(y),y)\bigr)\,dy$ に等しい。
</Proof>

<Remark id="rem-gluing" title="標準領域から一般の領域へ">
有限個の標準領域 $D_1,\dots,D_N$ が内部を共有せずに隣り合って $D$ を作っているとき、各 $D_k$ に <Ref to="thm-green" /> を使って足し合わせます。隣り合う 2 つの領域の共通の境界の辺は、一方では順向き、他方では逆向きにたどられるため、線積分が打ち消し合い（<Ref to="prop-line-invariance" />）、残るのは $D$ 全体の境界だけです。穴の開いた領域では、外側を反時計回り、穴の周りを時計回りにたどることで同じ形が成り立ちます。滑らかな境界を持つ領域が標準領域の和に分解できる、という幾何学的な部分は、ここでは扱いません。一般の多様体に対する証明は [ストークスの定理](/mathematics/manifolds/stokes-theorem) の <Ref to="mathematics/manifolds/stokes-theorem#thm-stokes" /> にあります。複素解析のコーシーの積分定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem#thm-cauchy-green" />）も、この定理の言い換えとして得られます。
</Remark>

<Corollary id="cor-area-formula" title="面積公式">
標準領域 $D$ の面積は $|D|=\tfrac12\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx)$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-area-formula">
$P=-y/2$、$Q=x/2$ に <Ref to="thm-green" /> を適用すると、$Q_x-P_y=\tfrac12+\tfrac12=1$ です。
</Proof>

<Example id="ex-ellipse-area" title="楕円の面積">
楕円 $x=a\cos t$、$y=b\sin t$（$0\le t\le2\pi$、反時計回り）では、$x\,dy-y\,dx=(ab\cos^2t+ab\sin^2t)\,dt=ab\,dt$ ですから、<Ref to="cor-area-formula" /> より面積は $\tfrac12\cdot ab\cdot2\pi=\pi ab$ です。
</Example>

<Figure caption="グリーンの定理の境界の向き。領域 D を左に見て進む（反時計回り）。上下の曲線 y=φ₁(x)、y=φ₂(x) に挟まれた縦線集合として、フビニと基本定理で証明する">

<svg viewBox="0 0 400 240" width="100%" role="img" aria-label="下の曲線 y=φ1 と上の曲線 y=φ2 に挟まれた領域 D。境界を反時計回りに進む向きを矢印で表している">
  <path d="M60,170 C120,200 200,130 340,180 L340,70 C260,40 160,110 60,60 Z"
        fill="var(--sl-color-accent)" fill-opacity="0.15" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" />
  <g fill="currentColor">
    <path d="M200,163 L188,155 L190,170 Z" />
    <path d="M340,128 L334,140 L346,140 Z" />
    <path d="M200,78 L212,86 L210,71 Z" />
    <path d="M60,130 L54,118 L66,118 Z" />
    <text x="190" y="128" font-size="15">D</text>
    <text x="150" y="208" font-size="13">y = φ₁(x)</text>
    <text x="150" y="38" font-size="13">y = φ₂(x)</text>
    <text x="50" y="228" font-size="13">a</text>
    <text x="338" y="228" font-size="13">b</text>
  </g>
  <g stroke="currentColor" stroke-width="1" stroke-dasharray="3 3" opacity="0.5" fill="none">
    <path d="M60,60 V215" />
    <path d="M340,70 V215" />
  </g>
</svg>

</Figure>

## 7. ガウスの発散定理

この節の考え方は、グリーンの定理と同じです。領域を縦の線で貫いて、その線上で基本定理を使うと、上面の値と下面の値の差が残ります。それが境界の面積分に一致する、というのが証明の筋です。

空間の有界閉領域 $\Omega$ が**標準領域**であるとは、$x,y,z$ の 3 つの方向のそれぞれについて、たとえば $z$ 方向なら

$$
\Omega=\{(x,y,z):(x,y)\in D_z,\ \psi_1(x,y)\le z\le\psi_2(x,y)\}
$$
と書けることをいいます（$D_z$ は平面の標準領域、$\psi_1\le\psi_2$ は $D_z$ 上連続で内部で $C^1$ 級）。球・直方体・円柱などがこれに当たります。境界 $\partial\Omega$ は、$\psi_1,\psi_2$ のグラフ（下面・上面）と、$\partial D_z$ の上に立つ垂直な側面からなり、**外向き**の単位法線 $\boldsymbol n$ により向き付けます。

<Theorem id="thm-gauss" title="ガウスの発散定理">
$\Omega$ を標準領域、$\boldsymbol F=(P,Q,R)$ を $\Omega$ を含む開集合上の $C^1$ 級ベクトル場とします。このとき

$$
\iiint_\Omega\mathrm{div}\,\boldsymbol F\,dV=\iint_{\partial\Omega}\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS
$$
が成り立ちます。
</Theorem>

<Proof of="thm-gauss">
$\mathrm{div}\,\boldsymbol F=P_x+Q_y+R_z$ で、右辺は $\iint(Pn_x+Qn_y+Rn_z)\,dS$ ですから、

$$
\iiint_\Omega R_z\,dV=\iint_{\partial\Omega}R\,n_z\,dS
$$
を示せば十分です。$P,Q$ については $x$ 方向・$y$ 方向の表示で同様に示されます。

$z$ 方向の表示 $\Omega=\{(x,y)\in D,\ \psi_1\le z\le\psi_2\}$ を使います（$D=D_z$）。**体積積分**は、フビニの定理（<Ref to="mathematics/calculus/multiple-integrals#thm-fubini-region" /> の 3 変数版で、証明は同じ）と基本定理により

$$
\iiint_\Omega R_z\,dV=\iint_D\Bigl(\int_{\psi_1}^{\psi_2}R_z\,dz\Bigr)dx\,dy=\iint_D\bigl(R(x,y,\psi_2)-R(x,y,\psi_1)\bigr)\,dx\,dy
$$
です。**面積分**を 3 つの部分に分けます。

- 上面 $z=\psi_2(x,y)$: 外向きは上向きで、<Ref to="prop-graph-surface" /> より $\boldsymbol n\,dS=(-\partial_x\psi_2,-\partial_y\psi_2,1)\,dx\,dy$ ですから $R\,n_z\,dS=R(x,y,\psi_2)\,dx\,dy$。
- 下面 $z=\psi_1(x,y)$: 外向きは下向きで、$\boldsymbol n\,dS=-(-\partial_x\psi_1,-\partial_y\psi_1,1)\,dx\,dy$ ですから $R\,n_z\,dS=-R(x,y,\psi_1)\,dx\,dy$。
- 側面: 垂直な面ですから法線は水平で $n_z=0$。寄与は $0$ です。

この 3 つを足すと $\iint_{\partial\Omega}Rn_z\,dS=\iint_D(R(x,y,\psi_2)-R(x,y,\psi_1))\,dx\,dy$ で、上の等式が示されました。
</Proof>

上の証明で使ったのは $n_z\,dS=\pm\,dx\,dy$（グラフ面の $z$ 成分）だけです。$\psi_i$ の勾配が境界の近くで無限大になる球のような場合でも、$R\,n_z\,dS$ の部分は有界な連続関数の重積分ですから、そのまま成り立ちます。

<Figure caption="ガウスの定理の証明の断面図。縦の線に沿って z で積分すると、上面 ψ₂ と下面 ψ₁ での値の差になる。上面の法線は上向き、下面は下向きで、垂直な側面の法線は水平なので n_z = 0 である">

<svg viewBox="0 0 400 240" width="100%" role="img" aria-label="下の曲面 z=ψ1 と上の曲面 z=ψ2 に挟まれた領域の断面。中央の縦の破線が積分の線で、上面の外向き法線は上向き、下面は下向き、左右の垂直な側面では水平向きの矢印で表している">
  <path d="M60,60 C150,90 250,40 340,70 L340,175 C250,150 150,200 60,170 Z"
        fill="var(--sl-color-accent)" fill-opacity="0.15" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" />
  <g stroke="currentColor" stroke-width="1.5" fill="none">
    <path d="M200,65 V35" />
    <path d="M200,174 V204" />
    <path d="M60,115 H30" />
    <path d="M340,122 H370" />
  </g>
  <g fill="currentColor">
    <path d="M200,30 L194,40 L206,40 Z" />
    <path d="M200,209 L194,199 L206,199 Z" />
    <path d="M25,115 L35,109 L35,121 Z" />
    <path d="M375,122 L365,116 L365,128 Z" />
    <text x="168" y="124" font-size="14">Ω</text>
    <text x="210" y="28" font-size="13">n（上面）</text>
    <text x="210" y="220" font-size="13">n（下面）</text>
    <text x="270" y="38" font-size="13">z = ψ₂</text>
    <text x="270" y="195" font-size="13">z = ψ₁</text>
    <text x="14" y="100" font-size="12">側面 n_z=0</text>
    <text x="320" y="107" font-size="12">側面</text>
  </g>
  <path d="M200,65 V174" stroke="currentColor" stroke-width="1" stroke-dasharray="3 3" opacity="0.6" fill="none" />
</svg>

</Figure>

<Corollary id="cor-div-limit" title="発散の幾何学的意味">
$\boldsymbol F$ を $C^1$ 級とし、$B_\rho$ を点 $a$ を中心とする半径 $\rho$ の球とする。

$$
\mathrm{div}\,\boldsymbol F(a)=\lim_{\rho\to0}\frac{1}{|B_\rho|}\iint_{\partial B_\rho}\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS
$$
である。すなわち発散とは、単位体積あたりの湧き出し量の極限である。
</Corollary>

<Proof of="cor-div-limit">
球は標準領域ですから <Ref to="thm-gauss" /> から右辺の面積分は $\iiint_{B_\rho}\mathrm{div}\,\boldsymbol F\,dV$ に等しい。$\mathrm{div}\,\boldsymbol F$ は連続ですから、$\varepsilon>0$ に対して十分小さい $\rho$ では $B_\rho$ 上で $|\mathrm{div}\,\boldsymbol F-\mathrm{div}\,\boldsymbol F(a)|<\varepsilon$ となり、$\bigl|\frac1{|B_\rho|}\iiint_{B_\rho}\mathrm{div}\,\boldsymbol F\,dV-\mathrm{div}\,\boldsymbol F(a)\bigr|\le\varepsilon$ です。
</Proof>

<Example id="ex-coulomb" title="クーロン場の流束">
$\boldsymbol F(\boldsymbol x)=\boldsymbol x/\|\boldsymbol x\|^3$ は原点以外で $C^\infty$ 級で、$r=\|\boldsymbol x\|$ とすると $\partial_x(xr^{-3})=r^{-3}-3x^2r^{-5}$ より $\mathrm{div}\,\boldsymbol F=3r^{-3}-3r^{-3}=0$ です。半径 $R$ の球面 $\partial B_R$ では $\boldsymbol n=\boldsymbol x/R$、$\|\boldsymbol x\|=R$ で $\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n=\|\boldsymbol x\|^2/(R\,\|\boldsymbol x\|^3)=1/R^2$ ですから、流束は $\frac1{R^2}\cdot4\pi R^2=4\pi$ です。発散が至るところ $0$ なのに流束が $4\pi\ne0$ なのは、<Ref to="thm-gauss" /> の仮定「$C^1$ 級」が原点で破れているからです。原点を含まない領域（たとえば 2 つの同心球の間）では、内側の球面の流束と外側の球面の流束が一致します。クーロンの法則の電場は、まさにこの形です。
</Example>

## 8. ストークスの定理

ここで示すのは、曲面を貫く回転の総量が、その縁を一周する循環に等しいという定理です。曲面がグラフの形なら、座標 $(x,y)$ の平面に落としてグリーンの定理に帰着できます。証明の方針は、$P,Q,R$ の 3 成分を別々に確かめることです。

<Theorem id="thm-stokes-classical" title="ストークスの定理（古典形）">
$D$ を平面の標準領域（<Ref to="thm-green" /> と同じ）、$\psi$ を $D$ を含む開集合上の $C^2$ 級関数とし、$S$ をそのグラフ $z=\psi(x,y)$（$(x,y)\in D$）に上向きの単位法線で向きを与えた曲面とします。$\partial S$ は $\partial D$ のグラフへの持ち上げ $t\mapsto(\gamma(t),\psi(\gamma(t)))$（$\gamma$ は反時計回りの $\partial D$ のパラメータ表示）で向き付けます。$\boldsymbol F=(P,Q,R)$ が $S$ を含む開集合上で $C^1$ 級のとき

$$
\oint_{\partial S}\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=\iint_S(\mathrm{rot}\,\boldsymbol F)\cdot\boldsymbol n\,dS
$$
が成り立ちます。
</Theorem>

<Proof of="thm-stokes-classical">
$\boldsymbol F$ を $(P,0,0)$、$(0,Q,0)$、$(0,0,R)$ に分けて、それぞれの成分について示せば十分です。グラフの面積分は <Ref to="prop-graph-surface" /> から $\iint_S\boldsymbol G\cdot\boldsymbol n\,dS=\iint_D\boldsymbol G\cdot(-\psi_x,-\psi_y,1)\,dx\,dy$ と書けます。

**$P$ の項。** 曲線上で $P\,dx$ の線積分は $\oint_{\partial D}P(x,y,\psi(x,y))\,dx$ です。$p(x,y)=P(x,y,\psi(x,y))$ は $C^1$ 級で、連鎖律から $p_y=P_y+P_z\psi_y$ です。<Ref to="thm-green" /> を $(p,0)$ に使うと $\oint p\,dx=-\iint_Dp_y\,dx\,dy=-\iint_D(P_y+P_z\psi_y)\,dx\,dy$。一方、$\mathrm{rot}(P,0,0)=(0,P_z,-P_y)$ ですから $\mathrm{rot}(P,0,0)\cdot(-\psi_x,-\psi_y,1)=-P_z\psi_y-P_y$ で、2 つは一致します。

**$Q$ の項。** 同様に $q(x,y)=Q(x,y,\psi)$ に <Ref to="thm-green" /> を使うと、$\oint q\,dy=\iint_D q_x\,dx\,dy=\iint_D(Q_x+Q_z\psi_x)\,dx\,dy$ です。一方 $\mathrm{rot}(0,Q,0)=(-Q_z,0,Q_x)$ で、$(-Q_z,0,Q_x)\cdot(-\psi_x,-\psi_y,1)=Q_z\psi_x+Q_x$ ですから一致します。

**$R$ の項。** 曲線上では $dz=\psi_x\,dx+\psi_y\,dy$ ですから $\oint R\,dz=\oint_{\partial D}\bigl(R\psi_x\,dx+R\psi_y\,dy\bigr)$（ここで $R=R(x,y,\psi)$）です。<Ref to="thm-green" /> を $(P',Q')=(R\psi_x,R\psi_y)$ に使います。$\psi$ は $C^2$ 級なので $P',Q'$ は $C^1$ 級で

$$
\partial_xQ'-\partial_yP'=(R_x+R_z\psi_x)\psi_y+R\psi_{xy}-(R_y+R_z\psi_y)\psi_x-R\psi_{yx}=R_x\psi_y-R_y\psi_x
$$
です（$\psi_{xy}=\psi_{yx}$ は <Ref to="mathematics/calculus/multivariable-differentiation#thm-schwarz" />）。一方 $\mathrm{rot}(0,0,R)=(R_y,-R_x,0)$ で、$(R_y,-R_x,0)\cdot(-\psi_x,-\psi_y,1)=-R_y\psi_x+R_x\psi_y$ ですから一致します。
</Proof>

<Example id="ex-stokes-circle" title="円周上の循環と円板・半球面の流束">
$\boldsymbol F=(-y,x,0)$ とすると $\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=(0,0,2)$ です。円 $\partial D=\{x^2+y^2=a^2,\ z=0\}$（反時計回り）上の線積分は $\int_0^{2\pi}(-a\sin t,a\cos t,0)\cdot(-a\sin t,a\cos t,0)\,dt=2\pi a^2$ です。<Ref to="thm-stokes-classical" /> を $\psi=0$（円板 $S_1$）に使うと $\iint_{S_1}(0,0,2)\cdot(0,0,1)\,dS=2\pi a^2$ で一致します。同じ境界を持つ上半球面 $S_2$ では、<Ref to="ex-graph-surface" /> の公式から $\iint_{S_2}\mathrm{rot}\,\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS=\iint_D2\,dx\,dy=2\pi a^2$ で、**境界が同じなら曲面の取り方によらず同じ値**になっています。これは $\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=0$（<Ref to="prop-identities" />）の現れで、ガウスの定理を円板と半球面が囲む領域に使えば説明できます。
</Example>

<Remark id="rem-stokes-general" title="一般の曲面と微分形式">
一般の曲面は、座標でグラフとみなせる小片に分割して <Ref to="thm-stokes-classical" /> を使い、隣り合う小片の境界の寄与が打ち消し合うことで証明されます（<Ref to="rem-gluing" /> と同じ）。さらに、微分形式の言葉では $\mathrm{grad}$、$\mathrm{rot}$、$\mathrm{div}$ はいずれも外微分 $d$ の特別な場合で、微積分学の基本定理・グリーン・ストークス・ガウスの定理は 1 つの式 $\int_Md\omega=\int_{\partial M}\omega$ の次元違いです。これが [微分形式](/mathematics/manifolds/differential-forms) と [ストークスの定理](/mathematics/manifolds/stokes-theorem) の主題です。
</Remark>

## 9. 曲線座標での勾配・発散・回転

球対称・軸対称な問題では、直交座標より円柱座標や球座標のほうが自然です。そのときの $\nabla$ の表示を導きます。

方針は、座標関数 $u_i$ そのものの勾配 $\nabla u_i$ を求めておき、あとは <Ref to="prop-identities" /> の恒等式と連鎖律を使って、grad・div・rot の式を組み立てるというものです。スケール因子 $h_i$ は、座標を $u_i$ だけ少し動かしたときに実際の空間で進む距離の拡大率（たとえば円柱座標の $\theta$ 方向では、半径 $r$ の円周上を進むので $h=r$）です。ラプラシアン $\Delta f$ は $\mathrm{div}\,\nabla f$ のことで、$\Delta f=0$ を満たす関数を調和関数といいます。球座標の天頂角 $\theta$ とは、$z$ 軸から測った角のことです。

<Definition id="def-orthogonal-coordinates" title="直交曲線座標">
$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ を開集合、$\Phi:\Omega\to U$ を $C^2$ 級の全単射で、逆写像 $u=(u_1,u_2,u_3)=\Phi^{-1}$ も $C^2$ 級であるものとします。$\partial\Phi/\partial u_i=h_i\boldsymbol e_i$（$h_i>0$、$\|\boldsymbol e_i\|=1$）とおくとき、$\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3$ が各点で互いに直交し、$\boldsymbol e_1\times\boldsymbol e_2=\boldsymbol e_3$ を満たすなら、$\Phi$ を**直交曲線座標**、$h_i$ を**スケール因子**といいます。
</Definition>

円柱座標 $\Phi(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$ では $h=(1,r,1)$、球座標 $\Phi(r,\theta,\varphi)=(r\sin\theta\cos\varphi,\,r\sin\theta\sin\varphi,\,r\cos\theta)$（$\theta$ は天頂角）では $h=(1,r,r\sin\theta)$ です。どちらも $\partial\Phi/\partial u_i$ を計算すれば互いに直交することが確かめられ、$\boldsymbol e_r\times\boldsymbol e_\theta=\boldsymbol e_z$（円柱）、$\boldsymbol e_r\times\boldsymbol e_\theta=\boldsymbol e_\varphi$（球）です。重積分の変数変換（<Ref to="mathematics/calculus/multiple-integrals#thm-change-of-variables" />）の係数は $\det D\Phi=h_1h_2h_3$ で、体積要素は $dV=h_1h_2h_3\,du_1du_2du_3$ です。

<Lemma id="lem-dual-basis" title="座標関数の勾配">
直交曲線座標において $\nabla u_i=\boldsymbol e_i/h_i$ であり、$\nabla u_1\cdot(\nabla u_2\times\nabla u_3)=1/(h_1h_2h_3)$、また $\boldsymbol e_1=h_2h_3\,\nabla u_2\times\nabla u_3$（添字を巡回させたものも同様）である。
</Lemma>

<Proof of="lem-dual-basis">
$D\Phi$ の第 $i$ 列は $h_i\boldsymbol e_i$ で、$\boldsymbol e_i$ は正規直交ですから、$E=(\boldsymbol e_1\ \boldsymbol e_2\ \boldsymbol e_3)$ は直交行列、$D\Phi=E\,\mathrm{diag}(h_1,h_2,h_3)$ です。逆行列は $D u=(D\Phi)^{-1}=\mathrm{diag}(h_i^{-1})\,E^{\mathsf T}$ で、第 $i$ 行は $\boldsymbol e_i^{\mathsf T}/h_i$ です。これが $\nabla u_i$ です。したがって $\nabla u_2\times\nabla u_3=\boldsymbol e_2\times\boldsymbol e_3/(h_2h_3)=\boldsymbol e_1/(h_2h_3)$ で、$\boldsymbol e_1\cdot\boldsymbol e_1=1$ から残りの 2 式も従います。
</Proof>

<Theorem id="thm-orthogonal-ops" title="直交曲線座標での勾配・発散・回転">
直交曲線座標 $(u_1,u_2,u_3)$ で、$f$ を $C^2$ 級スカラー場、$\boldsymbol F=F_1\boldsymbol e_1+F_2\boldsymbol e_2+F_3\boldsymbol e_3$ を $F_i$ が $C^1$ 級のベクトル場とする（$f,F_i$ は $u$ の関数と見る）。$(i,j,k)$ を $(1,2,3)$ の巡回置換とすると

$$
\nabla f=\sum_{i}\frac1{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}\boldsymbol e_i,\qquad
\mathrm{div}\,\boldsymbol F=\frac1{h_1h_2h_3}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial u_i}\bigl(h_jh_kF_i\bigr),
$$

$$
(\mathrm{rot}\,\boldsymbol F)_i=\frac{1}{h_jh_k}\Bigl(\frac{\partial(h_kF_k)}{\partial u_j}-\frac{\partial(h_jF_j)}{\partial u_k}\Bigr),
\qquad
\Delta f=\frac1{h_1h_2h_3}\sum_i\frac{\partial}{\partial u_i}\Bigl(\frac{h_jh_k}{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}\Bigr)
$$
が成り立つ。ただし $(\mathrm{rot}\,\boldsymbol F)_i$ は $\boldsymbol e_i$ 方向の成分である。
</Theorem>

<Proof of="thm-orthogonal-ops">
**勾配。** $f$ を $u_1,u_2,u_3$ の関数と見て連鎖律を使うと $\nabla f=\sum_i\frac{\partial f}{\partial u_i}\nabla u_i$ で、<Ref to="lem-dual-basis" /> から $\nabla u_i=\boldsymbol e_i/h_i$ です。

**発散。** <Ref to="lem-dual-basis" /> から $F_1\boldsymbol e_1=(F_1h_2h_3)\,\nabla u_2\times\nabla u_3$ です。<Ref to="prop-identities" /> の (5) と (4) により

$$
\mathrm{div}(F_1\boldsymbol e_1)=\nabla(F_1h_2h_3)\cdot(\nabla u_2\times\nabla u_3)+F_1h_2h_3\,\mathrm{div}(\nabla u_2\times\nabla u_3)=\nabla(F_1h_2h_3)\cdot(\nabla u_2\times\nabla u_3)
$$
です。勾配の連鎖律による展開 $\nabla g=\sum_l\partial_{u_l}g\,\nabla u_l$ を代入すると、$l=2,3$ の項は $\nabla u_2\cdot(\nabla u_2\times\nabla u_3)=0$ などで消え、$l=1$ の項だけが残って <Ref to="lem-dual-basis" /> より $\mathrm{div}(F_1\boldsymbol e_1)=\frac{1}{h_1h_2h_3}\partial_{u_1}(h_2h_3F_1)$ です。$F_2,F_3$ の項は添字を巡回させて同様で、足し合わせれば発散の式が得られます。

**回転。** $F_i\boldsymbol e_i=(h_iF_i)\nabla u_i$ ですから、<Ref to="prop-identities" /> の (3) と (1) により $\mathrm{rot}(F_i\boldsymbol e_i)=\nabla(h_iF_i)\times\nabla u_i+h_iF_i\,\mathrm{rot}\,\nabla u_i=\nabla(h_iF_i)\times\nabla u_i$ です。$\nabla(h_iF_i)=\sum_j\partial_{u_j}(h_iF_i)\,\nabla u_j$ を代入し、$\nabla u_j\times\nabla u_i=(\boldsymbol e_j\times\boldsymbol e_i)/(h_jh_i)$ に注意すると、$\boldsymbol e_1$ 成分は、$F_3\boldsymbol e_3$ からの $j=2$ の項 $\partial_{u_2}(h_3F_3)\,(\boldsymbol e_2\times\boldsymbol e_3)\cdot\boldsymbol e_1/(h_2h_3)=\partial_{u_2}(h_3F_3)/(h_2h_3)$ と、$F_2\boldsymbol e_2$ からの $j=3$ の項 $\partial_{u_3}(h_2F_2)\,(\boldsymbol e_3\times\boldsymbol e_2)\cdot\boldsymbol e_1/(h_3h_2)=-\partial_{u_3}(h_2F_2)/(h_2h_3)$ の和になります（他の $(i,j)$ の組は $\boldsymbol e_1$ 成分が $0$）。他の成分は巡回です。

**ラプラシアン。** $\Delta f=\mathrm{div}\,\nabla f$ に、勾配の成分 $F_i=h_i^{-1}\partial_{u_i}f$ を発散の式に代入すれば得られます。
</Proof>

<Example id="ex-spherical-laplacian" title="球座標のラプラシアン">
$h=(1,r,r\sin\theta)$ を <Ref to="thm-orthogonal-ops" /> に代入すると

$$
\Delta f=\frac1{r^2\sin\theta}\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^2\sin\theta\frac{\partial f}{\partial r}\Bigr)+\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\Bigr)+\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigl(\frac1{\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\varphi}\Bigr)\Bigr]
$$
です（$h_\theta h_\varphi/h_r=r^2\sin\theta$、$h_rh_\varphi/h_\theta=\sin\theta$、$h_rh_\theta/h_\varphi=1/\sin\theta$）。$f=f(r)$ のときは $\Delta f=\frac1{r^2}(r^2f')'$ で、$f=r^k$ なら $\Delta r^k=k(k+1)r^{k-2}$ です。とくに $k=-1$ で $\Delta(1/r)=0$ となり、$1/r$ は原点以外で調和です（<Ref to="ex-coulomb" /> の電場は $-\nabla(1/r)$ です）。
</Example>

<Example id="ex-vortex-cylindrical" title="円柱座標で見る渦">
円柱座標 $h=(1,r,1)$ で $\boldsymbol F=\frac1r\boldsymbol e_\theta$ は <Ref to="ex-vortex" /> の場です（$(-y,x,0)/(x^2+y^2)$ の大きさは $1/r$）。$\boldsymbol e_z$ 成分は <Ref to="thm-orthogonal-ops" /> から $\frac1{h_rh_\theta}\bigl(\partial_r(h_\theta F_\theta)-\partial_\theta(h_rF_r)\bigr)=\frac1r\partial_r(r\cdot\frac1r)=0$ で、他の成分も $0$ です。回転が $0$ という直接計算の結果と一致します。
</Example>

## 10. 演習

<Exercise id="exr-line-helix" difficulty="易">
$\boldsymbol F=(y,z,x)$ をらせん $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t)$（$0\le t\le2\pi$）に沿って線積分せよ。
<Solution>
$\gamma'=(-\sin t,\cos t,1)$、$\boldsymbol F(\gamma)=(\sin t,t,\cos t)$ ですから $\boldsymbol F\cdot\gamma'=-\sin^2t+t\cos t+\cos t$ です。$\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt=\pi$、$\int_0^{2\pi}t\cos t\,dt=[t\sin t+\cos t]_0^{2\pi}=0$、$\int_0^{2\pi}\cos t\,dt=0$ より、積分は $-\pi$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-astroid-area" difficulty="標準">
アステロイド $x=\cos^3t$、$y=\sin^3t$（$0\le t\le2\pi$）が囲む面積を <Ref to="cor-area-formula" /> を使って求めよ。
<Solution>
$x'=-3\cos^2t\sin t$、$y'=3\sin^2t\cos t$ より $xy'-yx'=3\cos^4t\sin^2t+3\sin^4t\cos^2t=3\sin^2t\cos^2t=\tfrac34\sin^22t$ です。面積は $\tfrac12\int_0^{2\pi}\tfrac34\sin^22t\,dt=\tfrac38\cdot\pi=\tfrac{3\pi}8$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-gauss-sphere" difficulty="標準">
$\boldsymbol F=(x^3,y^3,z^3)$ の単位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ を貫く外向き流束を、<Ref to="thm-gauss" /> を使って求めよ。
<Solution>
$\mathrm{div}\,\boldsymbol F=3(x^2+y^2+z^2)=3r^2$ です。球座標（体積要素 $r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$、<Ref to="mathematics/calculus/multiple-integrals#thm-change-of-variables" /> の応用）で $\iiint_{B_1}3r^2\,dV=3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\!\!\int_0^1r^4\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi=3\cdot2\pi\cdot2\cdot\tfrac15=\tfrac{12\pi}5$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-stokes-check" difficulty="標準">
$\boldsymbol F=(z,x,y)$ と単位円板 $S=\{x^2+y^2\le1,\ z=0\}$（上向き）について、<Ref to="thm-stokes-classical" /> の両辺を計算して一致を確かめよ。
<Solution>
$\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=(\partial_yF_3-\partial_zF_2,\ \partial_zF_1-\partial_xF_3,\ \partial_xF_2-\partial_yF_1)=(1,1,1)$ です。$\boldsymbol n=(0,0,1)$ なので右辺は $\iint_S1\,dS=\pi$。境界 $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,0)$ では $z=0$ ですから $\boldsymbol F\cdot\gamma'=x\,y'=\cos^2t$ で、左辺は $\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-cylindrical-harmonic" difficulty="標準">
円柱座標で $z,\theta$ に依らない関数 $f=f(r)$ が $r>0$ で $\Delta f=0$ を満たすための条件を求め、一般解を答えよ。
<Solution>
$h=(1,r,1)$ を <Ref to="thm-orthogonal-ops" /> に代入すると、$f=f(r)$ では $\Delta f=\frac1r\frac{d}{dr}\bigl(r\frac{df}{dr}\bigr)$ です。$\Delta f=0$ は $rf'=c$（定数）と同値で、$f=c\ln r+d$ が一般解です。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- 小林昭七『続 微分積分読本』裳華房、2001。
- 杉浦光夫『解析入門 II』東京大学出版会、1985。
- 松坂和夫『解析入門 下』岩波書店、1973。
- 太田浩一『電磁気学の基礎 I』東京大学出版会、2012 — ガウス・ストークスの定理と電磁気学の関係（応用の動機づけ）。