# 極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む > 「限りなく近づく」がなぜ定義になり得ないかをディリクレ関数で確かめ、ε-δ 論法を量化子の順序として読み直す。極限の一意性・四則・はさみうちから連続性・一様連続性までを定義だけから証明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/limits-and-continuity ## 0. この記事の要点 - 「$x$ を $a$ に限りなく近づけると $f(x)$ が $L$ に限りなく近づく」という言い方は、動きを含んだ比喩です。そのままでは真偽を判定できません。ε-δ 論法は、これを「どんな精度を要求されても、それを保証する範囲を返せる」という静的な条件に書き換えたものです。 - 定義の骨格は量化子の順序 $\forall \varepsilon\ \exists \delta\ \forall x$ にあります。$\delta$ は $\varepsilon$ に依存してよく、逆はありません。この一方通行が定義の性格をすべて決めています。 - 極限の一意性・四則・はさみうちの原理は、この定義だけから証明できます。証明の型は「要求された $\varepsilon$ を分割して各部品に配る」の一つです。 - 連続性は「$x \to a$ の極限が存在し、しかもその値が $f(a)$ に一致する」ことです。ディリクレ関数はどの点でも不連続、トマエ関数は無理点でだけ連続 — 直感の届かない例も、定義に従えば機械的に判定できます。 - 量化子を 1 つ動かすと一様連続性という別の概念になります。$f(x) = 1/x$ は $(0,1]$ 上で連続ですが一様連続ではありません。 ## 1. 動機：「限りなく近づく」はどこが曖昧か 「$x$ が $a$ に限りなく近づくとき、$f(x)$ は $L$ に限りなく近づく」。高校の教科書に出てくるこの説明は、多くの場面でうまく機能します。$f(x) = 2x+1$ で $x$ を $1$ に近づければ $f(x)$ が $3$ に近づくことを、誰も疑わないでしょう。それでも、この文をそのまま数学の定義として採用することはできません。理由は 3 つあります。 **第 1 に、「近づく」は動きの言葉です。** 数学に現れる $x$ は変化しません。実数直線上の 1 点であって、時間とともに動く粒子ではありません。「近づく」を字義どおりに読むなら、時刻という余分な概念を持ち込むことになります。 **第 2 に、「限りなく」の程度が測れません。** 「$f(x)$ は $L$ に近い」と言うとき、どれくらい近ければよいのでしょうか。$0.1$ でしょうか、$10^{-100}$ でしょうか。基準を決めずに「近い」と言っても、ある主張が真か偽かを決められません。真偽を決められない文は定義になりません。 **第 3 に、直感が通用しない関数が実在します。** 次の関数（ディリクレ関数）を考えてください。 $$ D(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases} $$ $x$ を $0$ に「限りなく近づけて」みます。$x = 1/n$ に沿って近づければ $D(x)$ はずっと $1$ です。$x = \sqrt{2}/n$ に沿って近づければずっと $0$ です。近づけ方によって答えが変わってしまい、素朴な言い方はここで沈黙します。しかも $D$ の値は $1$ と $0$ の間を「跳ぶ」のではなく、どんなに狭い区間の中でも両方の値を取り続けます。グラフを描いて眺めるという手段も使えません。 歴史的にも、この曖昧さは実害を生みました。18 世紀の解析学は「無限小」、すなわち $0$ ではないがどんな正の数より小さい量を自由に使い、そのおかげで大量の公式を手に入れましたが、同時に「連続関数の列の和は連続」といった誤った主張も流通させました。コーシーが『解析教程』(1821) で極限を解析学の基礎に据え、ワイエルシュトラスとその学派が 19 世紀後半に $\varepsilon$ と $\delta$ による定式化を完成させたことで、この種の混乱は決着しました。$0.999\cdots = 1$ がなぜ等式として正しいのか、という問いも同じ根を持ちます（[数とは何か？](/mathematics/foundations/what-is-a-number)、とくに ）。 極限を厳密にする実利ははっきりしています。導関数は $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ という極限そのものですし（[導関数の定義と基本的な微分法](/mathematics/calculus/derivatives) の ）、無限級数の和は部分和のなす数列の極限として定義されます（[級数と収束判定](/mathematics/calculus/series-and-convergence) の ）。土台が曖昧なら、その上に建つ定理もすべて曖昧になります。 発想の転換はこうです。「近づく」という過程を語るのをやめ、**達成された精度**だけを語ります。$f(x)$ が $L$ に近いことを「誤差が $\varepsilon$ 未満である」と読み替え、それを保証するために $x$ に許される範囲を「$a$ からの距離が $\delta$ 未満」と読み替える。あとは、どんな精度の注文にも応えられるか、という一つの問いに帰着します。 ## 2. 準備：近傍・集積点・記号 以下、$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$（$0$ を含めません）、$\mathbb{Q}$ は有理数全体、$\mathbb{R}$ は実数全体とします。$|x|$ は絶対値で、$|x - y|$ は数直線上の $x$ と $y$ の距離を表します。以後くり返し使う不等式は次の 2 本です。 $$ |x + y| \le |x| + |y|, \qquad \bigl| |x| - |y| \bigr| \le |x - y| $$ 1 本目（三角不等式）は $\pm x \le |x|$ と $\pm y \le |y|$ を足して $\pm(x+y) \le |x|+|y|$ を得れば従います。2 本目は $|x| = |(x-y)+y| \le |x-y| + |y|$ から $|x|-|y| \le |x-y|$ が出て、$x$ と $y$ を入れ替えれば $|y|-|x| \le |x-y|$ も出るので、両者を合わせれば得られます。 量化子 $\forall$（すべての）と $\exists$（存在する）の扱い、およびその否定（）については [数学の国語 - 集合と論理](/mathematics/foundations/sets-and-logic) を前提にします。 $a \in \mathbb{R}$ と $\delta > 0$ に対して $$ U_\delta(a) = \{\, x \in \mathbb{R} : |x - a| < \delta \,\}, \qquad U_\delta^{*}(a) = \{\, x \in \mathbb{R} : 0 < |x - a| < \delta \,\} $$ をそれぞれ $a$ の **$\delta$-近傍**、**除外 $\delta$-近傍**という。$U_\delta(a)$ は開区間 $(a-\delta,\ a+\delta)$ に等しく、$U^{*}_\delta(a)$ はそこから点 $a$ だけを取り除いた集合である。 さらに $A \subseteq \mathbb{R}$ と $a \in \mathbb{R}$ について、 $$ \forall \delta > 0,\quad U^{*}_\delta(a) \cap A \ne \emptyset $$ が成り立つとき、$a$ を $A$ の**集積点**という。 集積点は「$a$ のいくらでも近くに、$a$ 自身とは異なる $A$ の点がある」ことを意味します。たとえば $A = (0,1)$ の集積点全体は $[0,1]$ です（端点 $0, 1$ は $A$ に属しませんが集積点です）。一方 $A = \{0\} \cup (1,2)$ において $0$ は集積点ではありません。$\delta = 1$ とすれば $U^{*}_1(0) \cap A = \emptyset$ だからです。このような点を**孤立点**といいます。 集積点という条件は、極限を論じるための最小限の前提です。$a$ の近くに $A$ の点がまったく無ければ、「$x$ を $a$ に近づけたときの $f(x)$」を語る材料がありません。 で、この仮定を落とすと何が壊れるかを見ます。 ## 3. ε-δ による極限の定義 $A \subseteq \mathbb{R}$、$f : A \to \mathbb{R}$ とし、$a$ を $A$ の集積点（）とする。実数 $L$ について $$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in A, \quad 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon $$ が成り立つとき、$f$ は $x \to a$ で $L$ に**収束する**といい、 $$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$ と書く。$f(x) \to L\ (x \to a)$ という書き方も同じ意味である。 この論理式を、次の 2 人のやり取りとして読んでください。相手は精度の注文を出す側、こちらはそれに応える側です。
0 を指定する"] --> B["第2手 こちらが δ > 0 を1つ提示する"] B --> C["第3手 相手は a との距離が δ 未満の点 x を自由に選ぶ（a 自身は除く）"] C --> D["判定 どの x に対しても f(x) と L の距離が ε 未満なら契約達成"]`} />
こちらが勝てる（＝どんな $\varepsilon$ にも応じられる）とき、そのときに限り $\lim_{x\to a} f(x) = L$ です。ここで決定的なのは**手番の順序**です。$\varepsilon$ が先に与えられ、$\delta$ は後から選ばれます。したがって $\delta$ は $\varepsilon$ に依存してよく、実際ふつうは $\varepsilon$ が小さいほど $\delta$ も小さく取ることになります。逆に $x$ は $\delta$ の後に選ばれるので、$\delta$ が $x$ に依存することは許されません。 図で見ると、$\varepsilon$ は横向きの帯（許される値の幅）、$\delta$ は縦向きの帯（許される $x$ の幅）を決めます。
L + ε L L − ε a − δ a a + δ x ε の帯 δ の帯 y = f(x)
の否定、すなわち「$L$ は $x \to a$ での $f$ の極限**ではない**」は、量化子を順に反転させ、含意の否定 $\lnot(P \implies Q) \equiv P \wedge \lnot Q$ を使って $$ \exists \varepsilon_0 > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x \in A, \quad 0 < |x - a| < \delta \ \wedge\ |f(x) - L| \ge \varepsilon_0 $$ と書けます。日本語に直せば「ある精度 $\varepsilon_0$ が存在して、どんなに $\delta$ を小さく取っても、$a$ の除外 $\delta$-近傍の中に誤差 $\varepsilon_0$ 以上の点が残る」です。さらに「$x \to a$ で $f$ の極限が存在しない」とは、これが**すべての** $L \in \mathbb{R}$ について成り立つことをいいます。極限が無いことを示すときは、この形を目標にします。 ### 3.1. 定義から直接証明する $f(x) = 2x + 1$（$A = \mathbb{R}$）について $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$ を示します。 **下書き（$\delta$ の探し方）。** 保証したい不等式は $|f(x) - 3| < \varepsilon$ です。左辺を計算すると $$ |f(x) - 3| = |(2x+1) - 3| = |2x - 2| = 2|x - 1| $$ なので、$2|x-1| < \varepsilon$ すなわち $|x - 1| < \varepsilon/2$ であれば十分です。そこで $\delta = \varepsilon/2$ と取ればよい、と見当がつきます。 **証明。** $\varepsilon > 0$ を任意に取る。$\delta = \varepsilon/2 > 0$ とおく。$0 < |x - 1| < \delta$ を満たす任意の $x \in \mathbb{R}$ に対して、上の計算から $$ |f(x) - 3| = 2|x - 1| < 2\delta = 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$ が成り立つ。$\varepsilon$ は任意だったから、 により $\lim_{x\to1}(2x+1) = 3$ である。 下書きは不等式を逆向きにたどる作業で、証明そのものではありません。証明として書くときは、$\varepsilon$ を受け取り、$\delta$ を宣言し、順方向に不等式をつなぐ、という順序を守ってください。 $g(x) = x^2$ について $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$ を示します。 **下書き。** $|x^2 - 4| = |x - 2|\,|x + 2|$ です。$|x-2|$ は $\delta$ で小さくできますが、$|x+2|$ は残ります。そこで先に「$|x-2| < 1$ の範囲でだけ考える」と決めてしまいます。このとき $1 < x < 3$ なので $$ |x + 2| = x + 2 < 5 $$ となり、$|x^2 - 4| < 5|x-2|$ が使えます。あとは $5|x-2| < \varepsilon$、すなわち $|x-2| < \varepsilon/5$ を課せば十分です。2 つの要求を同時に満たすには最小値を取ればよく、$\delta = \min(1,\ \varepsilon/5)$ とします。 **証明。** $\varepsilon > 0$ を任意に取り、$\delta = \min\left(1,\ \dfrac{\varepsilon}{5}\right) > 0$ とおく。$0 < |x - 2| < \delta$ とする。まず $|x - 2| < 1$ より $1 < x < 3$、したがって $|x+2| = x + 2 < 5$ である。次に $|x-2| < \varepsilon/5$ でもあるから、 $$ |x^2 - 4| = |x-2|\,|x+2| < \frac{\varepsilon}{5} \cdot 5 = \varepsilon . $$ よって $\lim_{x\to2} x^2 = 4$ である。 $\delta$ が $\varepsilon$ だけでなく近づく先 $a$ にも依存してよいことに注意してください。同じ計算を $a$ 一般で行うと $\delta = \min(1,\ \varepsilon/(2|a|+1))$ となり、$|a|$ が大きいほど $\delta$ は小さくなります。この依存性が §6 で主題になります。 $A \subseteq \mathbb{R}$、$f : A \to \mathbb{R}$ とし、$a$ を $A$ の集積点とする。$\lim_{x\to a} f(x) = L$ かつ $\lim_{x \to a} f(x) = M$ ならば $L = M$ である。 $L \ne M$ と仮定して矛盾を導く（背理法。その正当性は 、証明の型全般については [証明の技術 - 数学的帰納法と背理法](/mathematics/foundations/proof-techniques) を参照）。 $\varepsilon = \dfrac{|L - M|}{2}$ とおく。$L \ne M$ より $|L-M| > 0$ だから $\varepsilon > 0$ である。 を $L$ に対して適用すると、$\delta_1 > 0$ が存在して、$x \in A$ かつ $0 < |x-a| < \delta_1$ ならば $|f(x) - L| < \varepsilon$ となる。同じく $M$ に対して適用すると、$\delta_2 > 0$ が存在して、$x \in A$ かつ $0 < |x-a| < \delta_2$ ならば $|f(x) - M| < \varepsilon$ となる。 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2) > 0$ とおく。$a$ は $A$ の集積点である（仮定）から、 により $U^{*}_{\delta}(a) \cap A \ne \emptyset$ であり、この集合から点 $x_0$ を 1 つ取れる。$x_0$ は $0 < |x_0 - a| < \delta \le \delta_1$ と $0 < |x_0-a| < \delta \le \delta_2$ の両方を満たすので、上の 2 つの結論がともに使えて $$ |L - M| = |(L - f(x_0)) + (f(x_0) - M)| \le |f(x_0) - L| + |f(x_0) - M| < \varepsilon + \varepsilon = |L - M| $$ を得る（1 つ目の不等号は §2 の三角不等式）。これは $|L-M| < |L-M|$ という矛盾である。よって $L = M$ である。 証明の中で、集積点という仮定は「$x_0$ を実際に取る」ためだけに使われました。ここが落ちると結論も落ちます。実際、$A = \{0\} \cup (1,2)$、$a = 0$（$A$ の孤立点）とし、$f$ を $A$ 上の任意の関数とすると、$\delta = 1$ に対して $0 < |x-0| < 1$ を満たす $x \in A$ は存在しません。すると の含意は**前提が偽なので常に真**となり、どんな実数 $L$ も「極限」になってしまいます。一意性は成り立ちません。定義で $a$ を集積点に限ったのは、この退化を防ぐためです。 ## 4. 定義から計算則を作る 毎回 $\varepsilon$ と $\delta$ に戻って計算するのは大変です。基本の極限といくつかの計算則を一度証明しておけば、以後はそれらの組み合わせで済みます。まず、収束する関数は $a$ の近くで暴れないことを確認します。 $A \subseteq \mathbb{R}$、$g : A \to \mathbb{R}$、$a$ を $A$ の集積点とし、$\lim_{x\to a} g(x) = M$ とする。このとき $\delta_0 > 0$ が存在して、$x \in U^{*}_{\delta_0}(a) \cap A$ を満たすすべての $x$ について $|g(x)| < |M| + 1$ が成り立つ。 において $\varepsilon = 1$ と取る（$\varepsilon$ は任意の正数でよいので、この特定の値に適用できる）。すると $\delta_0 > 0$ が存在して、$x \in A$ かつ $0 < |x - a| < \delta_0$ ならば $|g(x) - M| < 1$ となる。このとき三角不等式（§2）より $$ |g(x)| = |(g(x) - M) + M| \le |g(x) - M| + |M| < 1 + |M| $$ である。 $A \subseteq \mathbb{R}$、$f, g : A \to \mathbb{R}$、$a$ を $A$ の集積点とし、$\lim_{x\to a} f(x) = L$、$\lim_{x \to a} g(x) = M$ とする。このとき次が成り立つ。 1. $\lim_{x\to a} \bigl(f(x) + g(x)\bigr) = L + M$。 2. 任意の定数 $c \in \mathbb{R}$ に対し $\lim_{x\to a} c\,f(x) = cL$。 3. $\lim_{x\to a} f(x)g(x) = LM$。 4. さらに $M \ne 0$ ならば、ある $\delta_1 > 0$ が存在して $x \in U^{*}_{\delta_1}(a) \cap A$ では $g(x) \ne 0$ であり、$B = U^{*}_{\delta_1}(a) \cap A$ 上で定義された関数 $f/g$ について $\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ が成り立つ。 **(1)** $\varepsilon > 0$ を任意に取る。$\varepsilon/2 > 0$ なので、 を $f$ に $\varepsilon/2$ で適用して $\delta_1 > 0$ を、$g$ に $\varepsilon/2$ で適用して $\delta_2 > 0$ を得る。$\delta = \min(\delta_1,\delta_2) > 0$ とおくと、$x \in A$、$0 < |x-a| < \delta$ のとき両方の評価が使えて、三角不等式（§2）より $$ |(f(x)+g(x)) - (L+M)| \le |f(x)-L| + |g(x)-M| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon . $$ **(2)** $c = 0$ のときは $|0 - 0| = 0 < \varepsilon$ が任意の $\delta$ で成り立つ。$c \ne 0$ のとき、$\varepsilon > 0$ に対し $\varepsilon/|c| > 0$ を に入れて $\delta > 0$ を得れば、$0<|x-a|<\delta$ で $|cf(x) - cL| = |c|\,|f(x)-L| < |c| \cdot \varepsilon/|c| = \varepsilon$ となる。 **(3)** 差を 2 つに割ります。恒等式 $$ f(x)g(x) - LM = g(x)\bigl(f(x)-L\bigr) + L\bigl(g(x)-M\bigr) $$ （右辺を展開すると $g(x)f(x) - Lg(x) + Lg(x) - LM$ となり左辺に一致する）と三角不等式から $$ |f(x)g(x) - LM| \le |g(x)|\,|f(x)-L| + |L|\,|g(x)-M| . $$ により $\delta_0 > 0$ を取れば $0<|x-a|<\delta_0$ で $|g(x)| < |M|+1$ である。$\varepsilon > 0$ を任意に取り、 を $f$ に $\dfrac{\varepsilon}{2(|M|+1)} > 0$ で適用して $\delta_2$ を、$g$ に $\dfrac{\varepsilon}{2(|L|+1)} > 0$ で適用して $\delta_3$ を得る（分母に $+1$ を入れたのは $L = 0$ でも割り算できるようにするため）。$\delta = \min(\delta_0,\delta_2,\delta_3)$ とおくと、$0 < |x-a| < \delta$ のとき $$ |f(x)g(x)-LM| < (|M|+1)\cdot\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)} + |L| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|L|+1)} \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$ を得る（最後の不等号は $|L| \le |L|+1$ による）。 **(4)** まず $g$ が $a$ の近くで $0$ にならないことを示す。$M \ne 0$ より $|M|/2 > 0$ だから、 を $g$ に $\varepsilon = |M|/2$ で適用して $\delta_1 > 0$ を得る。$x \in B = U^{*}_{\delta_1}(a) \cap A$ のとき、§2 の 2 本目の不等式より $$ |M| - |g(x)| \le |g(x) - M| < \frac{|M|}{2} \quad\Longrightarrow\quad |g(x)| > \frac{|M|}{2} > 0 $$ となり、とくに $g(x) \ne 0$ である。よって $f/g$ は $B$ 上で定義される。また $a$ は $B$ の集積点でもある。実際、任意の $\delta>0$ に対し $a$ は $A$ の集積点だから $U^{*}_{\min(\delta,\delta_1)}(a) \cap A \ne \emptyset$ であり、この集合は $U^{*}_\delta(a) \cap B$ に含まれるからである。これで極限を論じる資格が整った。 次に評価する。$x \in B$ に対し $$ \left| \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{L}{M} \right| = \frac{|M f(x) - L g(x)|}{|g(x)|\,|M|} < \frac{2}{|M|^2}\,\bigl| M(f(x)-L) - L(g(x)-M) \bigr| \le \frac{2}{|M|^2}\Bigl( |M|\,|f(x)-L| + |L|\,|g(x)-M| \Bigr) $$ である（$|g(x)| > |M|/2$ を分母に使い、分子は $Mf(x)-Lg(x) = M(f(x)-L) - L(g(x)-M)$ と変形して三角不等式を用いた）。$\varepsilon>0$ を任意に取り、$f$ に $\dfrac{|M|\varepsilon}{4} > 0$ を、$g$ に $\dfrac{|M|^2 \varepsilon}{4(|L|+1)} > 0$ を で適用して $\delta_2, \delta_3$ を得る。$\delta = \min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)$ とおけば、$0<|x-a|<\delta$ かつ $x \in B$ のとき $$ \left| \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{L}{M} \right| < \frac{2}{|M|^2}\left( |M| \cdot \frac{|M|\varepsilon}{4} + |L| \cdot \frac{|M|^2\varepsilon}{4(|L|+1)} \right) = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{|L|}{|L|+1}\cdot\frac{\varepsilon}{2} \le \varepsilon $$ となる。 $A \subseteq \mathbb{R}$、$f, g, h : A \to \mathbb{R}$、$a$ を $A$ の集積点とする。ある $\delta_0 > 0$ が存在して $$ x \in U^{*}_{\delta_0}(a) \cap A \implies f(x) \le g(x) \le h(x) $$ が成り立ち、かつ $\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ であるとする。このとき $\lim_{x\to a} g(x) = L$ である。 $\varepsilon > 0$ を任意に取る。 を $f$ に適用して $\delta_1 > 0$ を、$h$ に適用して $\delta_2 > 0$ を得る。$\delta = \min(\delta_0, \delta_1, \delta_2) > 0$ とおき、$x \in A$、$0 < |x-a| < \delta$ とする。 $|f(x) - L| < \varepsilon$ より $L - \varepsilon < f(x)$ であり、$|h(x)-L| < \varepsilon$ より $h(x) < L + \varepsilon$ である。また $\delta \le \delta_0$ だから仮定の不等式が使えて $f(x) \le g(x) \le h(x)$ である。これらをつなぐと $$ L - \varepsilon < f(x) \le g(x) \le h(x) < L + \varepsilon $$ となり、$-\varepsilon < g(x) - L < \varepsilon$、すなわち $|g(x) - L| < \varepsilon$ を得る。 $A = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ 上で $g(x) = x \sin\dfrac{1}{x}$ とすると $\lim_{x\to0} g(x) = 0$ です。 $x \ne 0$ のとき $\left|\sin\dfrac1x\right| \le 1$ ですから $$ -|x| \le x \sin\frac{1}{x} \le |x| $$ が成り立ちます。$\lim_{x\to0} |x| = 0$ は定義から直ちに分かります（$\varepsilon>0$ に対し $\delta = \varepsilon$ と取れば $0<|x-0|<\delta$ のとき $\bigl||x| - 0\bigr| = |x| < \varepsilon$）。 の (2) で $c = -1$ とすれば $\lim_{x\to0}(-|x|) = 0$ です。よって が $f(x) = -|x|$、$h(x) = |x|$、$L = 0$、$\delta_0$ は任意（たとえば $1$）として適用でき、$\lim_{x\to0} g(x) = 0$ を得ます。 この関数は $0$ の近くで無限回振動しますが、振幅が $0$ に押しつぶされるため収束します。「単調に近づく」ことは収束の条件ではありません。一方、振幅を消さずに $\sin\dfrac1x$ そのものを考えると極限は存在しません（）。 $A \subseteq \mathbb{R}$、$f : A \to \mathbb{R}$、$a$ を $A$ の集積点、$L \in \mathbb{R}$ とする。次の 2 条件は同値である。 1. $\lim_{x\to a} f(x) = L$。 2. $x_n \in A$、$x_n \ne a$（すべての $n \in \mathbb{N}$）、$\lim_{n\to\infty} x_n = a$ を満たす任意の数列 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ に対して $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = L$。 ここで数列の収束 $\lim_{n\to\infty} y_n = c$ は「$\forall \varepsilon>0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ |y_n - c| < \varepsilon$」を意味する。 **(1) から (2)。** $(x_n)$ を条件を満たす数列とし、$\varepsilon>0$ を任意に取る。(1) と より $\delta>0$ が存在して、$x\in A$、$0<|x-a|<\delta$ ならば $|f(x)-L|<\varepsilon$ である。$x_n \to a$ だから、この $\delta$ を数列の収束の定義の $\varepsilon$ として使えば、$N \in \mathbb{N}$ が存在して $n \ge N$ ならば $|x_n - a| < \delta$ となる。さらに仮定より $x_n \ne a$、すなわち $|x_n - a| > 0$ である。よって $n \ge N$ のとき $0 < |x_n - a| < \delta$ が成り立ち、$|f(x_n) - L| < \varepsilon$ を得る。これは $f(x_n) \to L$ を意味する。 **(2) から (1)。** 対偶を示す。(1) が成り立たないとすると、 の形により、ある $\varepsilon_0>0$ が存在して、**すべての** $\delta>0$ に対し、$0<|x-a|<\delta$ かつ $|f(x)-L| \ge \varepsilon_0$ を満たす $x \in A$ が存在する。 各 $n \in \mathbb{N}$ について $\delta = 1/n$ としてこれを適用し、そのような $x$ を 1 つ選んで $x_n$ とする。すると $x_n \in A$、$0 < |x_n - a| < 1/n$、$|f(x_n) - L| \ge \varepsilon_0$ である。 この数列は (2) の前提を満たす。実際 $|x_n - a| > 0$ より $x_n \ne a$ であり、また $\varepsilon>0$ に対しアルキメデスの原理（）から $1/N < \varepsilon$ なる $N \in \mathbb{N}$ が取れて、$n \ge N$ ならば $|x_n - a| < 1/n \le 1/N < \varepsilon$ となるので $x_n \to a$ である。 しかし $|f(x_n) - L| \ge \varepsilon_0$ がすべての $n$ で成り立つので、$\varepsilon_0$ に対してはどんな $N$ を取っても $|f(x_N)-L| < \varepsilon_0$ とはならず、$f(x_n) \to L$ は成り立たない。よって (2) が成り立たない。 は、極限の**不存在**を示すときに特に有効です。$a$ に収束する 2 つの数列で $f$ の値の行き先が違うものを見つければ、それだけで極限が無いと結論できます。 ## 5. 連続性 $A \subseteq \mathbb{R}$、$f : A \to \mathbb{R}$、$a \in A$ とする。 $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x \in A,\quad |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon $$ が成り立つとき、$f$ は $a$ で**連続**であるという。$A$ のすべての点で連続であるとき、$f$ は $A$ 上連続であるという。 との違いは 2 点だけです。第 1 に、目標値 $L$ が $f(a)$ に固定されています。第 2 に、$0 < |x-a|$ という除外条件が外れ、$x = a$ も検査対象に入っています。第 2 の変更が実質的な影響を持たないのは、$x = a$ のとき $|f(a)-f(a)| = 0 < \varepsilon$ が常に成り立つからです。したがって $a$ が $A$ の集積点であれば、「$f$ が $a$ で連続であること」と「$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ が成り立つこと」は同値です。一方 $a$ が $A$ の孤立点なら、$U_{\delta}(a) \cap A = \{a\}$ となる $\delta>0$ が取れるので、どんな $\varepsilon$ に対してもその $\delta$ が条件を満たし、$f$ は自動的に $a$ で連続です。連続性は「極限が存在すること」と「その極限値が $f(a)$ であること」の合わせ技であり、$f(a)$ の値そのものが問題になる点で極限とは別の概念です。 多項式関数 $p(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n$（$c_k \in \mathbb{R}$）は $\mathbb{R}$ 上連続である。また $p, q$ が多項式のとき、有理関数 $p/q$ は $q(a) \ne 0$ なるすべての点 $a$ で連続である。 $a \in \mathbb{R}$ を固定する。定数関数 $x \mapsto c$ は、任意の $\varepsilon>0$ に対し $\delta = 1$ と取れば $|c - c| = 0 < \varepsilon$ なので連続である。恒等関数 $x \mapsto x$ は $\delta = \varepsilon$ と取れば $|x - a| < \delta = \varepsilon$ なので連続である。$a$ は $\mathbb{R}$ の集積点だから、上で述べた同値により、これらは $\lim_{x\to a} c = c$、$\lim_{x\to a} x = a$ と言い換えられる。 $\lim_{x\to a} x^k = a^k$ を $k$ についての帰納法で示す。$k=1$ は上で見た。$k$ で成り立つとすると、 の (3) を $f(x)=x^k$、$g(x)=x$ に適用して $\lim_{x\to a} x^{k+1} = a^k \cdot a = a^{k+1}$ を得る。よってすべての $k \in \mathbb{N}$ で成立する。 次に の (2) より $\lim_{x\to a} c_k x^k = c_k a^k$ であり、(1) を $n$ 回使えば $\lim_{x\to a} p(x) = p(a)$ となる。これは $p$ が $a$ で連続であることに他ならない。 有理関数については、$q(a) \ne 0$ のとき の (4) を $M = q(a) \ne 0$ として適用すれば、$a$ のある除外近傍で $q \ne 0$ であり $\lim_{x\to a} p(x)/q(x) = p(a)/q(a)$ となる。$x=a$ でも $q(a) \ne 0$ なので $p/q$ は $a$ を含む近傍で定義され、$a$ で連続である。 $A, B \subseteq \mathbb{R}$、$f : A \to \mathbb{R}$ は $f(A) \subseteq B$ を満たすとし、$g : B \to \mathbb{R}$ とする。$a \in A$ で $f$ が連続、かつ $b = f(a) \in B$ で $g$ が連続ならば、合成 $g \circ f : A \to \mathbb{R}$ は $a$ で連続である。 $\varepsilon>0$ を任意に取る。$g$ が $b$ で連続だから、 により $\eta > 0$ が存在して $$ y \in B,\ |y - b| < \eta \implies |g(y) - g(b)| < \varepsilon $$ が成り立つ。次に $f$ が $a$ で連続だから、 をこの $\eta$ を「要求された精度」として適用すると、$\delta>0$ が存在して $$ x \in A,\ |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| = |f(x) - b| < \eta $$ が成り立つ。$x \in A$、$|x-a|<\delta$ とすると、$f(x) \in f(A) \subseteq B$（仮定）かつ $|f(x)-b| < \eta$ なので、1 つ目の含意が $y = f(x)$ に対して使えて $$ |g(f(x)) - g(f(a))| < \varepsilon $$ を得る。よって $g \circ f$ は $a$ で連続である。 を「$\lim_{x\to a} f(x) = b$ かつ $\lim_{y\to b} g(y) = c$ ならば $\lim_{x\to a} g(f(x)) = c$」と言い換えたくなりますが、これは**偽**です。反例を挙げます。$f(x) = 0$（すべての $x \in \mathbb{R}$）とし、 $$ g(y) = \begin{cases} 1 & (y \ne 0) \\ 0 & (y = 0) \end{cases} $$ とします。$f$ は定数関数なので $\lim_{x\to0} f(x) = 0$ です。また $0 < |y-0| < \delta$ なる $y$ では $g(y)=1$ なので $\lim_{y\to0} g(y) = 1$ です。しかし $g(f(x)) = g(0) = 0$ がすべての $x$ で成り立つので $\lim_{x\to0} g(f(x)) = 0 \ne 1$ です。 原因ははっきりしています。極限の定義は $y = b$ を検査から除外しているのに、$f$ は実際に値 $b$ を取ってしまうからです。連続性の定義は $x=a$ を除外しないので、この穴がありません。極限の形で合成を使いたいときは、外側の $g$ が $b$ で連続であることを仮定してください。 §1 で定義したディリクレ関数 $D$ について、すべての $a \in \mathbb{R}$ で $\lim_{x\to a} D(x)$ は存在せず、したがって $D$ は $a$ で連続でない。 まず、任意の実数 $\alpha < \beta$ に対して開区間 $(\alpha,\beta)$ が有理数と無理数を少なくとも 1 つずつ含むことを使う。有理数の存在は有理数の稠密性（）である。無理数については、有理数 $r \in (\alpha,\beta)$ を取り、アルキメデスの原理により $\sqrt{2}/n < \beta - r$ なる $n \in \mathbb{N}$ を取れば、$r + \sqrt{2}/n \in (r,\beta) \subseteq (\alpha,\beta)$ であり、これは無理数である（有理数と無理数の和は無理数。もし $r + \sqrt2/n$ が有理数なら $\sqrt2 = n\bigl((r+\sqrt2/n) - r\bigr)$ が有理数となり $\sqrt2$ の無理性に反する）。 さて $a \in \mathbb{R}$ を固定し、ある $L \in \mathbb{R}$ が $\lim_{x\to a} D(x) = L$ を満たすと仮定する。$\varepsilon_0 = \dfrac12 > 0$ に対し から $\delta>0$ が取れて、$0<|x-a|<\delta$ ならば $|D(x)-L| < \dfrac12$ となる。 区間 $(a,\ a+\delta)$ は上で述べたことから有理数 $p$ と無理数 $q$ を含む。どちらも $a < p < a+\delta$、$a < q < a+\delta$ を満たすので $0 < |p - a| < \delta$ かつ $0 < |q-a| < \delta$ である。よって $|D(p)-L|<\dfrac12$ かつ $|D(q)-L|<\dfrac12$ である。ところが $D(p)=1$、$D(q)=0$ だから、三角不等式（§2）より $$ 1 = |D(p) - D(q)| \le |D(p)-L| + |L - D(q)| < \frac12 + \frac12 = 1 $$ となって矛盾する。よってそのような $L$ は存在しない。$a$ は $\mathbb{R}$ の集積点だから、$D$ が $a$ で連続なら $\lim_{x\to a} D(x) = D(a)$ となって極限が存在してしまう。ゆえに $D$ は $a$ で連続でない。 次の関数 $t : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を考えます。 $$ t(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{q} & \left(x = \dfrac{p}{q},\ p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{N},\ \gcd(|p|,q) = 1\right) \\ 0 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases} $$ 有理数の既約表示は分母を正に取れば一意なので、この定義に曖昧さはありません（たとえば $t(0) = t(0/1) = 1$、$t(1/2) = 1/2$、$t(2/4) = t(1/2) = 1/2$）。 **主張：すべての $a \in \mathbb{R}$ について $\lim_{x \to a} t(x) = 0$ です。** $\varepsilon>0$ を任意に取ります。アルキメデスの原理により $\dfrac1N < \varepsilon$ なる $N \in \mathbb{N}$ が存在します。ここで $$ S = \left\{\, x \in (a-1,\ a+1) : x = \frac{p}{q},\ p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{N},\ \gcd(|p|,q)=1,\ q \le N \,\right\} $$ とおきます。$S$ は有限集合です。実際、各 $q \in \{1,\ldots,N\}$ に対し $p/q \in (a-1,a+1)$ となる整数 $p$ は $q(a-1) < p < q(a+1)$ を満たします。この条件を満たす整数が $m$ 個あるとすると、そのうち最大のものと最小のものの差は $m-1$ 以上ですが、両者はともに長さ $2q$ の開区間に属するのでその差は $2q$ より小さく、$m - 1 < 2q$、すなわち $m \le 2q \le 2N$ が従います。分母の候補 $q$ は $N$ 通りなので、$S$ の元は高々 $2N^2$ 個です。 $S \setminus \{a\}$ が空でないときは $$ \delta = \min\Bigl(1,\ \min_{s \in S \setminus \{a\}} |s - a| \Bigr) $$ とおきます。$S \setminus \{a\}$ は有限集合で、その各元 $s$ は $s \ne a$ すなわち $|s-a|>0$ を満たすので、有限個の正数の最小値として $\delta > 0$ です（ここで有限性が効いています）。$S \setminus \{a\}$ が空のときは $\delta = 1$ とします。 $0 < |x - a| < \delta$ とします。$\delta \le 1$ より $x \in (a-1,a+1)$ です。 - $x$ が無理数なら $|t(x) - 0| = 0 < \varepsilon$ です。 - $x$ が有理数で既約表示が $p/q$ だとします。$x \ne a$ かつ $|x-a| < \delta$ なので、$\delta$ の取り方から $x \notin S \setminus \{a\}$、したがって $x \notin S$ です。ところが $x \in (a-1,a+1)$ ですから、$S$ の定義に照らして $q \le N$ ではあり得ません。ゆえに $q > N$ であり、$|t(x)-0| = \dfrac1q < \dfrac1N < \varepsilon$ です。 いずれの場合も $|t(x) - 0| < \varepsilon$ なので、 より $\lim_{x\to a} t(x) = 0$ が示せました。 **帰結。** $a$ が無理数なら $t(a) = 0 = \lim_{x\to a} t(x)$ なので、§5 冒頭の同値により $t$ は $a$ で連続です。$a$ が有理数で既約表示 $p/q$ なら $t(a) = 1/q > 0 \ne 0 = \lim_{x\to a}t(x)$ なので $t$ は $a$ で不連続です。つまり $t$ は無理点でだけ連続です。 有理数は無理数の中に稠密に散らばっているので、この関数の挙動を絵で捉えることはできません。それでも は $\varepsilon$ に対する $\delta$ を具体的に構成し、白黒をはっきり付けました。ε-δ 論法の実用的な価値はここにあります。 ## 6. 量化子の順序をもう一度：一様連続性 で見たように、連続性の $\delta$ は $\varepsilon$ だけでなく点 $a$ にも依存してかまいません。「$a$ によらない $\delta$ が取れる」ことを要求すると、別の概念になります。 $A \subseteq \mathbb{R}$、$f : A \to \mathbb{R}$ とする。 $$ \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x \in A,\ \forall y \in A,\quad |x - y| < \delta \implies |f(x)-f(y)| < \varepsilon $$ が成り立つとき、$f$ は $A$ 上**一様連続**であるという。 2 つの概念の違いは、量化子の位置だけです。 | 概念 | 論理式の骨格 | $\delta$ が依存してよいもの | |---|---|---| | $A$ 上の各点で連続 | $\forall \varepsilon\ \forall a \in A\ \exists \delta\ \forall x \in A$ | $\varepsilon$ と $a$ | | $A$ 上で一様連続 | $\forall \varepsilon\ \exists \delta\ \forall a \in A\ \forall x \in A$ | $\varepsilon$ のみ | $\exists \delta$ が $\forall a$ の左にあるか右にあるか、それだけの違いです。定義上、一様連続ならば各点で連続です（一様連続の $\delta$ をそのまま各点で使えばよい）。逆は成り立ちません。 $A = (0,1]$ 上で $f(x) = \dfrac1x$ とします。 **連続であること。** $x \mapsto 1$ と $x \mapsto x$ は多項式関数なので、 より $f = 1/x$ は $x \ne 0$ なるすべての点で連続です。とくに $A$ の各点で連続です。 **一様連続でないこと。** の否定は「ある $\varepsilon_0>0$ が存在して、どんな $\delta>0$ に対しても、$|x-y|<\delta$ かつ $|f(x)-f(y)| \ge \varepsilon_0$ を満たす $x, y \in A$ が存在する」です。$\varepsilon_0 = 1$ とします。$\delta>0$ を任意に取り、アルキメデスの原理により $\dfrac1n < \delta$ なる $n \in \mathbb{N}$ を選び、 $$ x = \frac{1}{2n},\qquad y = \frac1n $$ とおきます。$n \ge 1$ より $x, y \in (0,1]$ です。このとき $$ |x - y| = \left|\frac{1}{2n} - \frac1n\right| = \frac{1}{2n} < \frac1n < \delta, \qquad |f(x) - f(y)| = |2n - n| = n \ge 1 = \varepsilon_0 $$ となります。よってどんな $\delta$ も条件を満たさず、$f$ は $(0,1]$ 上一様連続ではありません。 直感的には、$0$ に近づくほどグラフが急峻になり、同じ $\varepsilon$ を守るために必要な $\delta$ がいくらでも小さくなってしまう、ということです。各点では正の $\delta$ が取れても、それらに正の下限がありません。 有界閉区間 $[\alpha,\beta]$ 上の連続関数は必ず一様連続です（ハイネ・カントールの定理）。 の $(0,1]$ が閉区間でないことが本質的でした。この定理の証明には実数の完備性（ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理やハイネ・ボレルの被覆定理）が必要で、本記事の範囲を超えます。証明は杉浦『解析入門 I』第 I 章、または Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, Chapter 4 を参照してください。この定理は、連続関数がリーマン積分可能であることの証明で本質的に使われます（[積分の基本定理と定積分](/mathematics/calculus/integration-and-ftc) の ）。 ## 7. 演習 定義（）に従って $\lim_{x\to3}(5x - 2) = 13$ を証明してください。 $\varepsilon>0$ を任意に取り、$\delta = \dfrac{\varepsilon}{5} > 0$ とおきます。$0 < |x - 3| < \delta$ を満たす任意の実数 $x$ に対して $$ |(5x-2) - 13| = |5x - 15| = 5|x-3| < 5\delta = 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon $$ が成り立ちます。$\varepsilon>0$ は任意だったので、 より $\lim_{x\to3}(5x-2) = 13$ です。 定義に従って $\lim_{x\to2} \dfrac1x = \dfrac12$ を証明してください（ の (4) を使わずに、$\delta$ を明示的に構成してください）。 まず変形します。$x \ne 0$ のとき $$ \left|\frac1x - \frac12\right| = \left|\frac{2 - x}{2x}\right| = \frac{|x-2|}{2|x|} $$ です。分母の $|x|$ を下から抑えるため、$|x-2|<1$ と制限します。このとき $1 < x < 3$ なので $|x| = x > 1$、したがって $\dfrac{1}{2|x|} < \dfrac12$ となり $$ \left|\frac1x - \frac12\right| < \frac{|x-2|}{2} $$ を得ます。これが $\varepsilon$ 未満になるには $|x-2| < 2\varepsilon$ で十分です。 **証明。** $\varepsilon>0$ を任意に取り、$\delta = \min(1,\ 2\varepsilon) > 0$ とおきます。$0 < |x-2| < \delta$ とすると、$|x-2|<1$ より $1 < x < 3$ で、とくに $x \ne 0$ なので $1/x$ が定義され、上の評価から $$ \left|\frac1x - \frac12\right| = \frac{|x-2|}{2|x|} < \frac{|x-2|}{2} < \frac{2\varepsilon}{2} = \varepsilon $$ が成り立ちます。よって $\lim_{x\to2} \dfrac1x = \dfrac12$ です。 $A = \mathbb{R}\setminus\{0\}$ 上の関数 $s(x) = \sin\dfrac1x$ は $x \to 0$ で極限を持たないことを示してください。 を使います。$L \in \mathbb{R}$ が $\lim_{x\to0} s(x) = L$ を満たすと仮定します。 $x_n = \dfrac{1}{2\pi n}$、$y_n = \dfrac{1}{2\pi n + \pi/2}$（$n \in \mathbb{N}$）とおくと、いずれも $A$ の元で $0$ ではなく、$0 < x_n < \dfrac1n$、$0 < y_n < \dfrac1n$ からアルキメデスの原理により $x_n \to 0$、$y_n \to 0$ です。 $s(x_n) = \sin(2\pi n) = 0$ なので $(s(x_n))$ は定数列 $0$ であり $0$ に収束します。$s(y_n) = \sin\left(2\pi n + \dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ なので $(s(y_n))$ は定数列 $1$ であり $1$ に収束します。 の (1) から (2) により、どちらの数列についても極限は $L$ でなければなりません。数列の極限は一意（ と同じ論法で示せます）なので $L = 0$ かつ $L = 1$ となり、$0 = 1$ という矛盾を得ます。よってそのような $L$ は存在せず、$\lim_{x\to0}\sin\dfrac1x$ は存在しません。 の $x\sin\dfrac1x$ との違いは振幅です。$x$ を掛けると振幅が $0$ に押しつぶされて収束しますが、$s$ 自身は $0$ の近くで $0$ と $1$ を何度でも取り続けます。 $f(x) = x^2$ は $\mathbb{R}$ 上連続であるが、$\mathbb{R}$ 上一様連続ではないことを示してください。 **連続性。** $a \in \mathbb{R}$ を固定し、$\varepsilon>0$ を任意に取ります。$\delta = \min\left(1,\ \dfrac{\varepsilon}{1 + 2|a|}\right) > 0$ とおきます。$|x - a| < \delta$ とすると、$|x-a| < 1$ と三角不等式（§2）から $$ |x + a| = |(x - a) + 2a| \le |x-a| + 2|a| < 1 + 2|a| $$ となるので、 $$ |x^2 - a^2| = |x-a|\,|x+a| < \frac{\varepsilon}{1+2|a|}\cdot(1 + 2|a|) = \varepsilon $$ です。よって より $f$ は $a$ で連続で、$a$ は任意だったので $\mathbb{R}$ 上連続です（ の特別な場合でもあります）。 **一様連続でないこと。** $\varepsilon_0 = 1$ とします。$\delta>0$ を任意に取り、 $$ x = \frac{1}{\delta} + \frac{\delta}{2}, \qquad y = \frac1\delta $$ とおきます。このとき $|x - y| = \dfrac{\delta}{2} < \delta$ ですが、 $$ |x^2 - y^2| = |x-y|\,|x+y| = \frac{\delta}{2}\left(\frac2\delta + \frac{\delta}{2}\right) = 1 + \frac{\delta^2}{4} > 1 = \varepsilon_0 $$ となります。したがって、どんな $\delta>0$ に対しても $|x-y|<\delta$ かつ $|f(x)-f(y)| \ge \varepsilon_0$ となる $x,y \in \mathbb{R}$ が存在するので、 は成り立ちません。 ここでも、$|x|$ が大きい場所ほど傾きが急になり、同じ $\varepsilon$ を守る $\delta$ がいくらでも小さくなることが原因です。 で $\delta = \min(1, \varepsilon/(2|a|+1))$ と $a$ に依存する $\delta$ しか作れなかったことに、すでに兆候が現れていました。なお定義域を有界閉区間 $[-R,R]$ に制限すれば $\delta = \min(1, \varepsilon/(1+2R))$ が $a$ によらず使えるので、そこでは一様連続になります（ とも整合します）。 ## 参考文献 - 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 第 I 章。実数の連続性から連続関数の性質までを扱う章で、ε-δ 論法の標準的な運用と一様連続性が詳しく書かれています。 - 高木貞治『解析概論』改訂第三版、岩波書店、1961 — 第 1 章。日本語の古典で、極限と連続性の導入部分は今でも読む価値があります。 - W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 4 (Continuity)。距離空間の言葉で連続性を扱い、本記事の議論が一般化される様子が分かります。 - S. Abbott, *Understanding Analysis*, 2nd ed., Springer, 2015 — Chapter 4 (Functional Limits and Continuity)。ディリクレ関数・トマエ関数を含む病的な例が豊富で、なぜ厳密化が必要かの説明が丁寧です。 - 田島一郎『イプシロン・デルタ』共立出版（数学ワンポイント双書）、1978 — ε-δ 論法だけを扱った小冊子。量化子の順序に的を絞った解説です。 - A.-L. Cauchy, *Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique*, 1821 — 極限を解析学の基礎に据えた歴史的原典。