## 2. 準備：分割・ダルブー和・リーマン和
$a < b$ とし、$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を**有界**な関数とする。有限個の点の組
$$
\Delta : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b
$$
を $[a,b]$ の**分割**という。$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ とおき、$|\Delta| = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i$ を $\Delta$ の**幅**という。各小区間 $I_i = [x_{i-1}, x_i]$ に対し
$$
M_i = \sup_{x \in I_i} f(x), \qquad m_i = \inf_{x \in I_i} f(x)
$$
とおく（$f$ が有界だから、これらは実数として存在する）。そして
$$
S(\Delta, f) = \sum_{i=1}^{n} M_i \, \Delta x_i, \qquad s(\Delta, f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \, \Delta x_i
$$
をそれぞれ $\Delta$ に関する **上ダルブー和**、**下ダルブー和** という。
上和はグラフを外側から覆う長方形の総面積、下和は内側から埋める長方形の総面積です。定義に $f \ge 0$ は仮定していないので、$f$ が負の値を取る部分では「符号付きの面積」を数えていることになります。
分割 $\Delta$ の各小区間から代表点 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ を 1 つずつ選んだ組 $(\Delta, \boldsymbol{\xi})$ を **タグ付き分割** といい、
$$
R(\Delta, \boldsymbol{\xi}, f) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \, \Delta x_i
$$
を **リーマン和** という。
各 $i$ で $m_i \le f(\xi_i) \le M_i$ ですから、代表点をどう選んでも
$$
s(\Delta, f) \le R(\Delta, \boldsymbol{\xi}, f) \le S(\Delta, f)
$$
が成り立ちます。この不等式はこの記事で何度も使うので、覚えておいてください。逆に上限・下限の定義から、$f(\xi_i)$ が $M_i$ や $m_i$ に十分近くなるように代表点を選べばリーマン和は上和・下和にいくらでも近づけられるので、上和と下和は「リーマン和が動きうる範囲のちょうど両端」です。ダルブー和を使うのは、代表点の選び方という余計な自由度を先に潰しておくためです。
$f$ を $[a,b]$ 上の有界関数とする。
**(1)** 分割 $\Delta'$ が $\Delta$ の **細分**（$\Delta$ の分点をすべて含む分割）ならば
$$
s(\Delta, f) \le s(\Delta', f) \le S(\Delta', f) \le S(\Delta, f).
$$
**(2)** $[a,b]$ の任意の 2 つの分割 $\Delta_1, \Delta_2$ に対し $s(\Delta_1, f) \le S(\Delta_2, f)$ である。
(1) 中央の不等式は、各 $i$ で $m_i \le M_i$ かつ $\Delta x_i > 0$ なので、項ごとに比較して和を取れば従います。
両端の不等式を示します。$\Delta'$ は $\Delta$ に有限個の点を付け加えたものですから、1 点を付け加える操作を有限回繰り返して得られます。したがって、$\Delta$ に 1 点 $c \in (x_{k-1}, x_k)$ を加えた分割 $\Delta'$ の場合を示せば十分です。
$M' = \sup_{[x_{k-1}, c]} f$、$M'' = \sup_{[c, x_k]} f$ とおきます。$[x_{k-1}, c]$ と $[c, x_k]$ はどちらも $[x_{k-1}, x_k]$ の部分集合なので、上限は小さい集合上で小さくなり、$M' \le M_k$ かつ $M'' \le M_k$ です。よって
$$
M'(c - x_{k-1}) + M''(x_k - c) \le M_k (c - x_{k-1}) + M_k (x_k - c) = M_k \Delta x_k .
$$
$S(\Delta', f)$ と $S(\Delta, f)$ は第 $k$ 項以外まったく同じ項からなるので、$S(\Delta', f) \le S(\Delta, f)$ を得ます。下和については、下限は小さい集合上で大きくなるので $m' \ge m_k$、$m'' \ge m_k$ となり、同じ計算で不等号の向きが逆になって $s(\Delta', f) \ge s(\Delta, f)$ が従います。
(2) $\Delta_1$ と $\Delta_2$ の分点をすべて合わせた分割 $\Delta = \Delta_1 \cup \Delta_2$（**共通細分**）を取ります。$\Delta$ は $\Delta_1$ の細分でも $\Delta_2$ の細分でもあるので、(1) を 2 回使って
$$
s(\Delta_1, f) \le s(\Delta, f) \le S(\Delta, f) \le S(\Delta_2, f)
$$
となります。
## 3. 定積分の定義
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を有界関数とし、$[a,b]$ の分割全体のなす集合を $\mathcal{P}$ と書く。
$$
\overline{\int_a^b} f = \inf_{\Delta \in \mathcal{P}} S(\Delta, f), \qquad
\underline{\int_a^b} f = \sup_{\Delta \in \mathcal{P}} s(\Delta, f)
$$
をそれぞれ $f$ の **上積分**、**下積分** という。
$\overline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^b} f$ が成り立つとき、$f$ は $[a,b]$ で **リーマン可積分**（以下、単に可積分）であるといい、この共通の値を $\int_a^b f(x)\,dx$ と書いて $f$ の $[a,b]$ 上の **定積分** という。
上積分・下積分が実数として存在することは
(2) から従います。$\Delta_1$ を 1 つ固定すると $s(\Delta_1, f)$ はすべての上和の下界なので、上和の集合は下に有界で下限をもちます。同時に $s(\Delta_1, f) \le \inf_{\Delta_2} S(\Delta_2, f) = \overline{\int_a^b} f$ が任意の $\Delta_1$ で成り立つので、下和の集合は上に有界で上限をもち、しかも
$$
\underline{\int_a^b} f \le \overline{\int_a^b} f
$$
が**つねに**成り立ちます。可積分性とは、この不等式が等号になることに他なりません。
$\int_a^a f(x)\,dx = 0$ と定め、$a < b$ のとき $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ と定める。この約束のもとで、後述の区間加法性
可積分性の定義は「上限と下限が一致する」という形で、2 つの極限操作を突き合わせています。このままでは扱いにくいので、まず「1 つの分割を見つければよい」という形に言い換えます。以降のすべての可積分性の証明はこの言い換えを経由します。
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を有界関数とする。$f$ が $[a,b]$ で可積分であるための必要十分条件は、
「任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$[a,b]$ のある分割 $\Delta$ が存在して $S(\Delta, f) - s(\Delta, f) < \varepsilon$ となる」
ことである。
**（十分性）** 条件を仮定します。$\varepsilon > 0$ を任意に取り、$S(\Delta, f) - s(\Delta, f) < \varepsilon$ となる分割 $\Delta$ を選びます。下積分は下和全体の上限なので $s(\Delta, f) \le \underline{\int_a^b} f$、上積分は上和全体の下限なので $\overline{\int_a^b} f \le S(\Delta, f)$ です。
## 4. 定積分の基本性質
基本定理に進む前に、定積分の道具としての性質を整理しておきます。どれも直感的には当たり前に見えますが、定積分は上限と下限で定義されているので、証明では上限・下限の扱いに一手間かかります。
$f, g$ を $[a,b]$ 上の可積分関数、$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ とする。
**(1)（線形性）** $\alpha f + \beta g$ は $[a,b]$ で可積分で
$$
\int_a^b \bigl( \alpha f(x) + \beta g(x) \bigr) dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx .
$$
**(2)（単調性）** $[a,b]$ 上つねに $f(x) \le g(x)$ ならば $\int_a^b f \le \int_a^b g$。また $|f|$ も可積分で $\left| \int_a^b f \right| \le \int_a^b |f|$ が成り立つ。
**(3)（区間加法性）** $a < c < b$ とする。$f$ が $[a,b]$ で可積分であることと、$f$ が $[a,c]$ と $[c,b]$ の両方で可積分であることは同値であり、そのとき
$$
\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx .
$$
証明を通して、小区間 $I_i$ 上の **振動量** $\omega_i(f) = \sup_{I_i} f - \inf_{I_i} f$ を使います。上限・下限の定義から
$$
\omega_i(f) = \sup_{x, y \in I_i} \bigl( f(x) - f(y) \bigr) = \sup_{x, y \in I_i} |f(x) - f(y)|
$$
が成り立ちます（第 1 の等号は $\sup_x f(x) - \inf_y f(y)$ を $x$ と $y$ を独立に動かした差の上限とみたもの、第 2 の等号は $x$ と $y$ を入れ替えても集合が変わらないことによります）。この記号を使うと $S(\Delta, f) - s(\Delta, f) = \sum_i \omega_i(f) \Delta x_i$ です。
**(1) 和について。** $x, y \in I_i$ に対し三角不等式より
$$
|(f+g)(x) - (f+g)(y)| \le |f(x) - f(y)| + |g(x) - g(y)| \le \omega_i(f) + \omega_i(g)
$$
なので $\omega_i(f+g) \le \omega_i(f) + \omega_i(g)$、したがって任意の分割 $\Delta$ で
$$
S(\Delta, f+g) - s(\Delta, f+g) \le \bigl( S(\Delta, f) - s(\Delta, f) \bigr) + \bigl( S(\Delta, g) - s(\Delta, g) \bigr)
$$
が成り立ちます。$\varepsilon > 0$ に対し、
## 5. 微分積分学の基本定理
ここまでで定積分は定義され、連続関数に対しては確かに存在することもわかりました。しかし
で見たように、定義に忠実に計算しようとすると、関数ごとに新しい和の公式が必要になって行き詰まります。この節の 2 つの定理が、その袋小路から抜け出す道を与えます。
B["上積分と下積分"]
B --> C["リーマンの可積分条件"]
C --> D["連続関数は可積分（一様連続性）"]
D --> E["基本定理 I：積分してから微分すると元に戻る"]
E --> F["連続関数は原始関数をもつ"]
C --> G["基本定理 II：原始関数の差が定積分（平均値の定理）"]
F --> H["置換積分（合成関数の微分法）"]
G --> H
D --> I["部分積分（積の微分法）"]
G --> I`} />
$I$ を区間、$f : I \to \mathbb{R}$ を関数とする。$I$ 上で微分可能な関数 $F : I \to \mathbb{R}$ がすべての $x \in I$ で
$$
F'(x) = f(x)
$$
を満たすとき、$F$ を $I$ 上の $f$ の **原始関数** という（$I$ が端点を含むときは、その点では片側微分係数を考える）。
原始関数は 1 つには定まりません。$F$ が原始関数なら、任意の定数 $C$ に対して $F + C$ も原始関数です。逆に $F, G$ がともに $I$ 上の $f$ の原始関数なら $(F - G)' = f - f = 0$ が $I$ 上で成り立つので、平均値の定理の系より $F - G$ は $I$ 上定数です（
。[平均値の定理とテイラーの定理](/mathematics/calculus/mean-value-and-taylor) を参照してください）。ここで $I$ が**区間**であることが効いています。定義域が 2 つに分かれていれば、それぞれの成分で別々の定数を足せてしまいます。
こうして原始関数全体は $F + C$（$C$ は任意定数）と尽くされます。これを $\int f(x)\,dx$ と書いて **不定積分** と呼びます。定積分 $\int_a^b f(x)\,dx$ が 1 つの**数**であるのに対し、不定積分は**関数の族**です。記号が似ているのは偶然ではなく、その理由がこれから示す 2 つの定理です。
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を可積分な関数とする（
$f$ が $[a,b]$ 全体で連続な場合には、(2) を
で言い換えることもできます。$\frac{1}{h}\int_c^{c+h} f = f(c_h)$ となる $c_h$ が $c$ と $c+h$ の間に取れ、$h \to 0$ のとき $c_h \to c$ ですから、$f$ の連続性より $f(c_h) \to f(c)$ となって同じ結論を得ます。上の証明の利点は、$f$ が **その 1 点でだけ** 連続であればよいことを示している点です。
$f$ が区間 $I$ 上連続ならば、$a \in I$ を 1 つ固定して
$$
F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \qquad (x \in I)
$$
とおくと、$F$ は $I$ 上の $f$ の原始関数である。
$x \in I$ を任意に取ります。$a$ と $x$ をともに含む有界閉区間 $J \subset I$ を選びます（$J = [\min(a,x), \max(a,x)]$ とすればよく、$I$ は区間なのでこれは $I$ に含まれます）。$f$ は $J$ 上連続なので
いよいよ後半です。
は「積分してから微分する」順序でしたが、実際の計算で使うのは逆順、すなわち「原始関数がわかれば定積分がわかる」という主張です。証明の主役は平均値の定理です。
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ が $[a,b]$ で可積分であるとする。さらに、関数 $F : [a,b] \to \mathbb{R}$ が
- $[a,b]$ 上連続であり、
- $(a,b)$ の各点で微分可能で、すべての $x \in (a,b)$ について $F'(x) = f(x)$
を満たすとする。このとき
$$
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) .
$$
$\Delta : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$ を $[a,b]$ の任意の分割とします。望遠鏡和により
$$
F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^{n} \bigl( F(x_i) - F(x_{i-1}) \bigr)
$$
です。各 $i$ について、$F$ は $[x_{i-1}, x_i] \subset [a,b]$ 上で連続、$(x_{i-1}, x_i) \subset (a,b)$ で微分可能ですから、平均値の定理（[平均値の定理とテイラーの定理](/mathematics/calculus/mean-value-and-taylor) の
## 6. 置換積分と部分積分
によって、積分計算は原始関数探しに還元されました。しかし、原始関数を見つける一般的な手続きは存在しません。使えるのは、微分の側で成り立つ法則を基本定理で積分の側へ翻訳した公式です。合成関数の微分法からは置換積分が、積の微分法からは部分積分が出ます。この 2 つが、初等的な積分計算のほぼすべてを支えています。
$I$ を区間、$f : I \to \mathbb{R}$ を連続関数とする。$\varphi : [\alpha, \beta] \to I$ が $C^1$ 級（$[\alpha,\beta]$ 上微分可能で $\varphi'$ が $[\alpha,\beta]$ 上連続）ならば
$$
\int_\alpha^\beta f\bigl( \varphi(t) \bigr) \varphi'(t)\,dt = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx .
$$
ここで $\varphi$ が単調であることも単射であることも仮定していない。
$c = \varphi(\alpha) \in I$ を固定し、$F(x) = \int_c^x f(u)\,du$（$x \in I$）とおきます。$f$ は $I$ 上連続なので、
原始関数が初等関数で書けない積分（$\int e^{-x^2}dx$ など）もあり、そのときは級数展開や数値計算に頼ることになります（[級数と収束判定](/mathematics/calculus/series-and-convergence)）。また、置換積分の多変数版が変数変換公式で、$\varphi'$ の役割をヤコビ行列式が担います。これは [重積分と累次積分](/mathematics/calculus/multiple-integrals) の
で扱います。なお、基本定理で計算できる積分でも直感が裏切られることはあり、その愉快な実例が [ボールウェイン積分](/mathematics/calculus/borwein-integrals) です。微分の側の準備については [導関数の定義と基本的な微分法](/mathematics/calculus/derivatives) を参照してください。
## 7. 演習
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ が単調増加（$x \le y$ ならば $f(x) \le f(y)$）ならば、$f$ は $[a,b]$ で可積分であることを示せ。連続性は仮定しない。
まず $f(a) \le f(x) \le f(b)$ が全域で成り立つので $f$ は有界であり、ダルブー和が定義できます。$f(a) = f(b)$ なら $f$ は定数関数で、すべての上和・下和が $f(a)(b-a)$ に等しく可積分です。以下 $f(a) < f(b)$ とします。
$n$ 等分割 $\Delta_n$（$x_i = a + i\frac{b-a}{n}$、$\Delta x_i = \frac{b-a}{n}$）を取ります。$f$ が単調増加なので、小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ 上での上限は右端の値、下限は左端の値です。すなわち $M_i = f(x_i)$、$m_i = f(x_{i-1})$。したがって
$$
S(\Delta_n, f) - s(\Delta_n, f) = \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigl( f(x_i) - f(x_{i-1}) \bigr) = \frac{b-a}{n}\bigl( f(b) - f(a) \bigr)
$$
となります（望遠鏡和で中間の項がすべて消えます）。$\varepsilon > 0$ に対し
$$
n > \frac{(b-a)\bigl( f(b) - f(a) \bigr)}{\varepsilon}
$$
を満たす自然数 $n$ を取れば（アルキメデスの原理より存在します）右辺は $\varepsilon$ 未満になるので、
## 参考文献
- 高木貞治『解析概論』改訂第三版、岩波書店、1983 — 第 3 章「積分法」。ダルブー和による定積分の構成と基本定理が古典的な筆致で書かれています。
- 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 第 IV 章「積分法」。可積分条件の扱いが詳しく、この記事の構成に近いです。
- W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 — Chapter 6（リーマン–スティルチェス積分）。導関数が中間値の性質をもつこと（ダルブーの定理）は Chapter 5 にあります。
- M. Spivak, *Calculus*, 4th ed., Publish or Perish, 2008 — Chapter 13 "Integrals" と Chapter 14 "The Fundamental Theorem of Calculus"。定義の動機づけが丁寧です。
- T. M. Apostol, *Calculus*, Volume I, 2nd ed., Wiley, 1967 — 微分より先に積分を導入する構成で、面積という概念そのものの公理的な扱いが読めます。
## Appendix: 分割の幅をゼロにする極限（ダルブーの定理）
では、$f$ が連続な場合に「幅が $0$ に近づけばリーマン和は定積分に近づく」ことを示しました。実は、これは可積分な有界関数一般について成り立ちます。証明は少し技術的なのでここに退避します。
$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を有界関数とする。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ が存在し、$|\Delta| < \delta$ を満たすすべての分割 $\Delta$ について
$$
S(\Delta, f) < \overline{\int_a^b} f + \varepsilon, \qquad
s(\Delta, f) > \underline{\int_a^b} f - \varepsilon
$$
が成り立つ。とくに $f$ が可積分ならば、幅が $0$ に収束するタグ付き分割の任意の列に沿って、リーマン和は $\int_a^b f(x)\,dx$ に収束する。
上和についての主張を示します。下和については $-f$ に適用し、