# Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理：π_n(S^n) = ℤ・Hopf の写像度定理・π₃(SU(N)) = ℤ

> (n−1)-連結な空間で Hurewicz 準同型 π_n → H_n が同型であることを、Eilenberg の部分複体と立方体の中での写像の移動から証明する。帰結として π_n(S^n)=ℤ、Hopf の写像度定理、球面の懸垂同型、π₃(SU(N))=ℤ を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebraic-topology/hurewicz-freudenthal

## 0. この記事の要点

球面から空間への写像を連続的に変形してできる「穴の数え方」（ホモトピー群）は計算が難しく、図形を単体に切って数える「穴の数え方」（ホモロジー）は計算しやすい、という違いがあります。この記事では、この 2 つの数え方が一番低い次元では完全に一致することを示します。そこから、球面 $S^n$ から自分自身への写像が、回る回数を表す整数だけで分類されること、そして物理のゲージ理論で現れるインスタントン数が整数であることの位相的な裏づけが得られます。

- 基点付き写像 $f:S^n\to X$ に $f_*$ で基本類の像を対応させる **Hurewicz 準同型** $h:\pi_n(X)\to H_n(X)$ を定義し、準同型であることを示します（<Ref to="lem-h-hom" />）。
- **Hurewicz の定理**: $n\ge2$ で $X$ が $(n-1)$-連結なら $\tilde H_k(X)=0$（$k<n$）で、$h$ は同型です（<Ref to="thm-hurewicz" />）。証明は、特異鎖を「$(n-1)$ 骨格を基点に送る単体」だけの部分複体に変形し（Eilenberg、<Ref to="lem-eilenberg" />）、そのような単体の境界の関係式がホモトピー群でも成り立つこと（<Ref to="lem-pinch" />）を、立方体の中で写像の台を動かす初等的な議論で示します。
- 帰結として $\pi_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$（[写像度](/mathematics/algebraic-topology/cellular-homology-degree#def-degree)が同型、<Ref to="cor-pin-sn" />）と **Hopf の写像度定理**（<Ref to="cor-hopf-degree" />）が出ます。
- 球面の**懸垂**（$S^n$ への写像を、1 次元高い球面 $S^{n+1}$ への写像に持ち上げる操作）$\Sigma:\pi_k(S^n)\to\pi_{k+1}(S^{n+1})$ は $k\le n$ で同型です（<Ref to="thm-freudenthal-bottom" />。Freudenthal の懸垂定理の最初の範囲）。安定域 $k\le2n-2$ 全体での主張は述べるにとどめます。
- 以上から $\pi_3(SU(2))=\pi_3(S^3)\cong\mathbb{Z}$、$\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$ が条件なしに成り立ち、[ファイバー束](/mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#def-fiber-bundle) $SU(N-1)\to SU(N)\to S^{2N-1}$ により $\pi_3(SU(N))\cong\mathbb{Z}$（$N\ge2$）が従います（<Ref to="thm-pi3-sun" />）。ゲージ理論のインスタントン数が整数で、しかも任意の整数を取りうることの位相的な根拠です。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **ホモトピー群**: $S^n$ から $X$ への基点付き写像を、基点を固定した連続変形で同一視した類のなす群 $\pi_n(X)$。→ [ホモトピー群](/mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#def-pin)
- **特異ホモロジー**: 空間に写した単体の鎖から作る、穴を数える群 $H_n(X)$。→ [特異ホモロジー](/mathematics/algebraic-topology/singular-homology)
- **$n$-連結**: 道でつながっていて、$1$ から $n$ 次までのホモトピー群がすべて自明であること（§2 で定義します）。
- **写像度**: 球面から球面への写像が $H_n$ の生成元を何倍に写すかを表す整数。→ [写像度](/mathematics/algebraic-topology/cellular-homology-degree#def-degree)
- **変位レトラクト**: 空間をその部分空間へ連続的につぶすこと。→ [変位レトラクト](/mathematics/algebraic-topology/fundamental-group-coverings#def-deformation-retract)
- **ファイバー束**: 各点の近くで「底空間×ファイバー」の形をしている空間。→ [ファイバー束](/mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#def-fiber-bundle)

</Aside>

## 1. 動機

[ホモトピー群とファイブレーション](/mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups)では、写像度が全射準同型 $\deg:\pi_n(S^n)\to\mathbb{Z}$ を与えることを示しました。しかし単射性、つまり「写像度が $0$ の写像 $S^3\to S^3$ は定値写像にホモトピックか」は Freudenthal の懸垂定理に頼り、$\pi_3(SU(2))\cong\mathbb{Z}$ は条件つきの結論になっていました。物理で言えば、インスタントン数が整数であること（積分公式）は示せても、**同じインスタントン数をもつ配位が互いに連続変形でつながること**が未証明だったわけです。

ホモロジーは計算しやすく、[ホモトピー群](/mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#def-pin)は計算しにくい不変量です。両者の最初の橋渡しが Hurewicz の定理で、「最初に消えないところでは両者は一致する」と主張します。$S^n$ は $(n-1)$-連結なので $\pi_n(S^n)\cong H_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$ がただちに従い、上の単射性の問題が解決します。

証明の要点は 2 つです。第 1 に、$(n-1)$-連結な空間では、特異単体を連続的に変形して $(n-1)$ 骨格を基点に送るものにできます（低次元の部分を、消えているホモトピー群を使って 1 次元ずつ縮める）。すると $n$ 単体は境界が基点に行く写像、つまり $\pi_n$ の元とみなせます。第 2 に、$(n+1)$ 単体の境界の関係 $\sum(-1)^i\partial_i\tau$ が $\pi_n$ の中でも $0$ になることを確かめます。後者は、$\pi_n$ の和が「立方体を左右に分けて並べる」操作であることを使い、台を移動・回転させる幾何学的な議論で示します。

## 2. 準備：Hurewicz 準同型

以下 $I^n=[0,1]^n$、$c_0=(\tfrac12,\dots,\tfrac12)$ をその中心とし、$S^n=I^n/\partial I^n$、$p:I^n\to S^n$ を商写像とします（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#def-pin" /> と同じ球面のモデル）。$\pi_n(X)=\pi_n(X,x_0)$ の元は $f:(I^n,\partial I^n)\to(X,x_0)$ の類で、$f$ が誘導する基点付き写像を $\bar f:S^n\to X$ と書きます。

<Definition id="def-connected" title="n-連結">
$n\ge0$ について、空間 $X$ が **$n$-連結**であるとは、$X$ が道連結で、ある（したがってすべての）基点 $x_0$ について $1\le k\le n$ で $\pi_k(X,x_0)=0$ となることをいう。
</Definition>

$\Delta^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ を標準単体、$H\subset\mathbb{R}^{n+1}$ をそのアフィン包とします。中心 $c_0$ を内部に含む $n$ 単体 $A_0\subset\operatorname{int}I^n$ と、$A_0$ を $\Delta^n$ に写すアフィン全単射 $\lambda:\mathbb{R}^n\to H$ を 1 組固定します。$H$ のアフィン全単射 $M$ に対し、$\lambda^{-1}M\lambda$ の線形部分の行列式の符号を $\operatorname{sgn}M\in\{\pm1\}$ と書きます（向きを保つか反転するか）。

次の補題のねらいは、$H_n(S^n)$ の生成元（基本類）を、1 個の単体 $A_0$ だけで表せる形で具体的に取っておくことです。あとで「単体を $I^n$ に埋め込んだ写像」と「ホモロジー類」を行き来するために、この記号の準備が要ります。

<Lemma id="lem-fundamental-class" title="基本類の選び方">
$n\ge2$ とし、$D=p(I^n\setminus\operatorname{int}A_0)\subset S^n$ とおく。$D$ は[可縮](/mathematics/algebraic-topology/fundamental-group-coverings#def-contractible)で、$j:H_n(S^n)\to H_n(S^n,D)$ は同型である。特異単体 $p\circ\lambda^{-1}|_{\Delta^n}$ は $(S^n,D)$ の相対サイクルなので、$j(\omega)=[p\circ\lambda^{-1}]$ となる $\omega\in H_n(S^n)$ がただ 1 つ定まる。
</Lemma>

<Proof of="lem-fundamental-class">
$x\in I^n\setminus\{c_0\}$ について、$c_0$ から $x$ への半直線が $\partial I^n$ と交わる点を $r(x)$ とします（$r(x)=c_0+\frac{x-c_0}{2\|x-c_0\|_\infty}$、連続）。$c_0\in\operatorname{int}A_0$ で $A_0$ は凸なので、この半直線と $\operatorname{int}A_0$ の共通部分は $c_0$ から出る半開線分で、$x\notin\operatorname{int}A_0$ なら $x$ より先の点も $\operatorname{int}A_0$ に入りません。よって $R_s(x)=(1-s)x+s\,r(x)$ は $I^n\setminus\operatorname{int}A_0$ の中のホモトピーで、$\partial I^n$ を各点で固定し、$R_1$ の像は $\partial I^n$ です。コンパクト空間から Hausdorff 空間への閉な全射は商写像なので、$R$ は $D\times I\to D$ に降り、$D$ を一点 $p(\partial I^n)$ に変位レトラクトします。よって $\tilde H_*(D)=0$（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/singular-homology#cor-homotopy-equivalence" />）。対 $(S^n,D)$ の長完全列（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/singular-homology#thm-les-chain" /> を $0\to C_*(D)\to C_*(S^n)\to C_*(S^n,D)\to0$ に適用）で $H_n(D)=H_{n-1}(D)=0$（$n-1\ge1$）なので $j$ は同型です。$p\lambda^{-1}$ の境界は $p(\partial A_0)\subset D$ に入るので相対サイクルです。
</Proof>

<Definition id="def-hurewicz-hom" title="Hurewicz 準同型">
$n\ge2$ について $h=h_X:\pi_n(X,x_0)\to H_n(X)$ を $h[f]=\bar f_*(\omega)$ で定める。
</Definition>

$f$ と $f'$ が基点付きホモトピック（$F:I^n\times I\to X$、$\partial I^n\times I$ を $x_0$ へ）なら、$I^n\times I\to S^n\times I$ は閉な全射なので $F$ は $\bar f$ と $\bar f'$ のホモトピーに降り、<Ref to="mathematics/algebraic-topology/singular-homology#thm-homotopy-invariance" /> から $\bar f_*=\bar f'_*$ です。よって $h$ は well-defined で、基点付き写像 $\varphi:X\to Y$ について $h_Y\varphi_*=\varphi_*h_X$（自然性）が定義から成り立ちます。

<Lemma id="lem-h-hom" title="h は準同型">
$n\ge2$ で $h(a+b)=h(a)+h(b)$。
</Lemma>

<Proof of="lem-h-hom">
<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#prop-degree-hom" /> の証明の記号 $W=S^n\vee S^n$、$c:S^n\to W$、$j_1,j_2$、$q_1,q_2$ を使います。そこでは $(q_{1*},q_{2*}):H_n(W)\to H_n(S^n)^2$ が同型で、$q_ic\simeq\mathrm{id}$ であることから $c_*[S^n]=j_{1*}[S^n]+j_{2*}[S^n]$ を導きました。この議論は $[S^n]$ を任意の $x\in H_n(S^n)$ に替えてもそのまま通るので、$c_*\omega=j_{1*}\omega+j_{2*}\omega$。$\overline{f+g}=(\bar f\vee\bar g)\circ c$ と $(\bar f\vee\bar g)j_1=\bar f$、$(\bar f\vee\bar g)j_2=\bar g$ から
$$
h[f+g]=(\bar f\vee\bar g)_*c_*\omega=\bar f_*\omega+\bar g_*\omega=h[f]+h[g].
$$
</Proof>

## 3. 立方体の中で台を動かす

この節では $n\ge1$、$g:(I^n,\partial I^n)\to(X,x_0)$ とし、$g$ を $I^n$ の外で $x_0$ として延ばした連続写像を $\tilde g:\mathbb{R}^n\to X$ と書きます。コンパクト集合 $K\subset\operatorname{int}I^n$ について「$g$ の台が $K$ に入る」とは $I^n\setminus K$ で $g=x_0$ となることとします。つまり台とは、$g$ が基点以外の値をとりうる範囲のことです。

この節のねらいは、$\pi_n$ の元を表す写像について、台を立方体の中で縮めたり回したり平行移動したりしても類が変わらない（向きを反転したときだけ符号が変わる）ことを示すことです。最後の台の加法性は、台が互いに重ならない写像の類は各部分の類の和になる、という主張で、次節以降で単体の境界を $\pi_n$ の中で計算するのに使います。

<Lemma id="lem-gl-plus" title="GL⁺ の弧状連結性">
行列式が正の実 $n\times n$ 行列の全体 $GL_n^+(\mathbb{R})$ は弧状連結である。また $n\ge2$ なら、任意の単位ベクトル $u$ について $Qu=e_1$ となる $Q\in SO(n)$ がある。
</Lemma>

<Proof of="lem-gl-plus">
単位ベクトル $v\ne w$ について、$\operatorname{span}(v,w)$ の中で $w$ に直交する単位ベクトル $u'$ を取り（$v=-w$ なら $w$ に直交する任意の単位ベクトル）、平面 $\operatorname{span}(w,u')$ を角 $\theta$ だけ回し直交補空間を固定する回転を $R_\theta\in SO(n)$ とすると、$R_{\theta_0}v=w$ となる $\theta_0$ があります。これで後半が示せます（$w=e_1$）。$SO(n)$ の弧状連結性を $n$ についての帰納法で示します。$n=1$ では $SO(1)=\{1\}$。$Q\in SO(n)$ について $w=e_n$, $v=Qe_n$ として $s\mapsto R_{s\theta_0}Q$ をたどると $Q'=R_{\theta_0}Q$ に至り、$Q'e_n=e_n$ なので $Q'$ は $e_n^\perp$ を保ち、そこへの制限は $SO(n-1)$ の元です。帰納法の仮定でこれを単位行列につなげます。最後に $A\in GL_n^+(\mathbb{R})$ を列ベクトルの Gram–Schmidt 直交化で $A=QR$（$Q$ は直交行列、$R$ は対角成分が正の上三角行列）と書くと $\det Q=\det A/\det R>0$ で $Q\in SO(n)$。$R_s=(1-s)R+sI$ は対角成分が正の上三角行列なので $GL_n^+$ の中の道で、$s\mapsto QR_s$ が $A$ と $Q$ を結びます。
</Proof>

<Lemma id="lem-affine-move" title="移動補題">
$g$ の台がコンパクト集合 $K\subset\operatorname{int}I^n$ に入り、$T$ を $\mathbb{R}^n$ のアフィン全単射で $T(K)\subset\operatorname{int}I^n$ を満たすものとし、$g^T=\tilde g\circ T^{-1}|_{I^n}$ とおく。$T$ の線形部分の行列式が正なら $[g^T]=[g]$、負なら $[g^T]=-[g]$。
</Lemma>

<Proof of="lem-affine-move">
行列式が正の場合に、$T_0=\mathrm{id}$, $T_1=T$ で、各 $s$ で $T_s(K)\subset\operatorname{int}I^n$ を満たすアフィン全単射の連続な族を作ります。(i) $T_s(x)=c_0+(1-s+s\mu)(x-c_0)$（$\mu\in(0,1]$）。$T_s(x)$ は $c_0$ と $x$ の凸結合なので $\operatorname{int}I^n$ に入ります。(ii) $T$ の線形部分 $B$ と単位行列を結ぶ $GL_n^+$ の道 $B_s$（<Ref to="lem-gl-plus" />）を取り、$x\mapsto c_0+\mu B_s(x-c_0)$。$\mu$ を十分小さく取れば（$\max_s\|B_s\|$ と $K$ の有界性から）像は $\operatorname{int}I^n$ に入ります。(iii) $x\mapsto(1-s)(c_0+\mu B(x-c_0))+sT(x)$。線形部分は $((1-s)\mu+s)B$ で行列式は正、$x\in K$ の像は $\operatorname{int}I^n$ の 2 点の凸結合です。この族について $G(s,y)=\tilde g(T_s^{-1}y)$ は $(s,y)$ について連続で、$y\in\partial I^n$ なら $T_s^{-1}y\notin K$（$T_s(K)\subset\operatorname{int}I^n$）なので $G(s,y)=x_0$。よって $G$ は $g$ と $g^T$ の基点付きホモトピーです。

行列式が負なら、$R(s_1,s_2,\dots)=(1-s_1,s_2,\dots)$ とおき $T'=R\circ T$ とします。$T'$ の行列式は正で $T'(K)=R(T(K))\subset\operatorname{int}I^n$。$g^T=\tilde g\circ T'^{-1}\circ R=g^{T'}\circ R$ で、<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#prop-pin-group" /> の (1) から $[g^{T'}\circ R]=-[g^{T'}]=-[g]$。
</Proof>

<Lemma id="lem-slab" title="壁で分かれた台">
$g$ の台がコンパクト集合 $K_1\cup K_2$ に入り、$K_1\subset\{0<s_1<\tfrac12\}$、$K_2\subset\{\tfrac12<s_1<1\}$、ともに $\operatorname{int}I^n$ に含まれるとする。$g_i$ を $K_i$ の上で $g$、他で $x_0$ とする写像とすると $[g]=[g_1]+[g_2]$。
</Lemma>

<Proof of="lem-slab">
$g$ は超平面 $s_1=\tfrac12$ の上で $x_0$ なので、$g_1$（$s_1\le\tfrac12$ で $g$、$s_1\ge\tfrac12$ で $x_0$）は連続です。和の定義（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#def-pin" />）から $g=g_1'+g_2'$、ただし $g_1'(s)=g(s_1/2,s')$, $g_2'(s)=g((1+s_1)/2,s')$（$s'=(s_2,\dots,s_n)$）。$A_1(s)=(2s_1,s')$ は行列式が正で $A_1(K_1)\subset\operatorname{int}I^n$、$g_1'=g_1^{A_1}$ なので <Ref to="lem-affine-move" /> から $[g_1']=[g_1]$。$A_2(s)=(2s_1-1,s')$ について同様に $[g_2']=[g_2]$。
</Proof>

<Lemma id="lem-additivity" title="台の加法性">
$n\ge2$ とし、$K_1,\dots,K_m\subset\operatorname{int}I^n$ を、内部が空でなく、内部どうしが互いに交わらないコンパクト凸集合（境界は共有してよい）、$g$ を $I^n\setminus\bigcup_j\operatorname{int}K_j$ で $x_0$ となる写像とする。$g_j$ を $K_j$ の上で $g$、他で $x_0$ とする写像とすると、$g_j$ は連続で $[g]=\sum_j[g_j]$。
</Lemma>

<Proof of="lem-additivity">
$\partial K_j$ の点は $\operatorname{int}K_j$ の閉包に入るので、別の $\operatorname{int}K_l$（開集合）には入りません。よって $\partial K_j$ の上で $g=x_0$ で、$g_j$ は連続です。$m$ についての帰納法で示します。$m=1$ では $g=g_1$。$m\ge2$ とします。

**縮める.** $b_j\in\operatorname{int}K_j$ を取り（以下の $u$ と $c$ は $b_j$ だけで決まるので、$\nu_0\in(0,1)$ はそれらを決めた後で小さく取る）、$S_{j,\nu}(x)=b_j+\nu(x-b_j)$ とします。$\nu\in(0,1]$ について $S_{j,\nu}(K_j)\subset K_j$ で、$\nu<1$ なら $\subset\operatorname{int}K_j$ です。$\tilde g_j$ を $g_j$ の $\mathbb{R}^n$ への延長として、$x\in K_j$ で $G(s,x)=\tilde g_j(S_{j,\nu(s)}^{-1}x)$、$I^n\setminus\bigcup\operatorname{int}K_j$ で $G=x_0$（$\nu(s)=1-s(1-\nu_0)$）と置きます。$x\in\partial K_j$ では $S^{-1}x\notin\operatorname{int}K_j$ なので両方の定義が $x_0$ で一致し、有限個の閉集合上の連続写像の貼り合わせ（<Ref to="mathematics/topology/connectedness#lem-pasting" />）として $G$ は連続です。よって $[g]=[g']$、$g'$ の台は互いに交わらないコンパクト集合 $K_j'=S_{j,\nu_0}(K_j)$ の合併に入ります。また $g_j'=g_j^{S_{j,\nu_0}}$ なので <Ref to="lem-affine-move" /> から $[g_j']=[g_j]$。

**分ける.** $\langle u,b_j\rangle$ がすべて異なる単位ベクトル $u$ を取り（禁止される $u$ は有限個の超平面上）、$\langle u,b_1\rangle$ が最小になるよう番号を付け替え、$c$ をそれと 2 番目の値の中点とします。$\nu_0$ を十分小さく取れば $K_1'\subset\{\langle u,x\rangle<c\}$、$K_j'\subset\{\langle u,x\rangle>c\}$（$j\ge2$）です。

**回す.** <Ref to="lem-gl-plus" /> の $Q\in SO(n)$（$Qu=e_1$）と $\langle u,q\rangle=c$ を満たす点 $q$ を取り、$T(x)=c_0+\mu Q(x-q)$（$\mu>0$ を小さくして $T(I^n)\subset\operatorname{int}I^n$）とします。$\langle e_1,Q(x-q)\rangle=\langle u,x-q\rangle$ なので、$T$ は $\{\langle u,x\rangle<c\}$ を $\{s_1<\tfrac12\}$ に写します。<Ref to="lem-affine-move" /> と <Ref to="lem-slab" /> から
$$
[g']=[g'^T]=[g_1'^T]+[(g'_{\ge2})^T]=[g_1']+[g'_{\ge2}],
$$
ここで $g'_{\ge2}$ は $\bigcup_{j\ge2}K_j'$ の上で $g'$、他で $x_0$ の写像です。$g'_{\ge2}$ に帰納法の仮定（$m-1$ 個の $K_j'$）を使えば $[g'_{\ge2}]=\sum_{j\ge2}[g_j']$。以上を合わせて $[g]=\sum_j[g_j]$。
</Proof>

## 4. Eilenberg の部分複体

この節の目標は、特異鎖の中から「$(n-1)$ 骨格が基点に行く単体」だけを集めた小さな鎖複体を取り出し、ホモロジーを変えずに済むことを示すことです。そうすると $n$ 単体が $\pi_n$ の元とみなせて、ホモロジーとホモトピー群を直接比べられます。証明は、低い次元の単体から順に、消えているホモトピー群を使って基点へ縮めていく帰納法です。

$X$ を $(n-1)$-連結、$x_0\in X$ とします。特異単体 $\sigma:\Delta^k\to X$ が $\Delta^k$ の $(n-1)$ 骨格（次元 $n-1$ 以下の面の合併）を $x_0$ に写すとき、$\sigma$ を**良い単体**と呼びます。良い単体の面はまた良い単体なので、良い単体が張る $\hat C_*(X)\subset C_*(X)$ は部分複体で、点 $\{x_0\}$ の特異鎖 $C_*(\{x_0\})$（定値単体）を含みます。$E_*=\hat C_*(X)/C_*(\{x_0\})$ とおきます。$k\le n-1$ の良い $k$ 単体は $\Delta^k$ 全体を $x_0$ に写すので $E_k=0$（$k<n$）であり、$E_{n-1}=0$ からすべての $n$ 鎖はサイクルです。

<Lemma id="lem-eilenberg" title="Eilenberg の部分複体">
$n\ge1$、$X$ を $(n-1)$-連結とする。包含 $\hat C_*(X)\to C_*(X)$ は同型 $H_*(E)\cong H_*(X,x_0)$ を誘導する。
</Lemma>

<Proof of="lem-eilenberg">
各特異単体 $\sigma:\Delta^k\to X$ に連続写像 $P(\sigma):\Delta^k\times I\to X$ を、$k$ についての帰納法で次を満たすように選びます。(a) $P(\sigma)(y,0)=\sigma(y)$。(b) $P(\sigma)(\cdot,1)$ は良い単体。(c) 面の包含 $d_i:\Delta^{k-1}\to\Delta^k$ について $P(\sigma\circ d_i)=P(\sigma)\circ(d_i\times\mathrm{id})$。(d) $\sigma$ が良い単体なら $P(\sigma)(y,t)=\sigma(y)$。

$\sigma$ が良い単体なら (d) で定めます（面も良い単体なので (c) と矛盾しない）。そうでないとき、(a) と (c) は $\Delta^k\times\{0\}\cup\partial\Delta^k\times I$ 上の写像を指定します。$\sigma\circ d_i\circ d_j=\sigma\circ d_{j'}\circ d_{i'}$ の形の単体の恒等式と帰納法の仮定 (c) から、2 つの面の共通部分での指定は一致し、貼り合わせ補題で連続です。

*$k\le n-1$ のとき.* 面の $P(\cdot)(\cdot,1)$ は次元 $\le n-2$ の良い単体なので全体が $x_0$ です。そこで上面 $\Delta^k\times\{1\}$ でも $x_0$ と指定すると、$\partial(\Delta^k\times I)$ 上の連続写像が得られます。$k=0$ ではこれは 2 点 $\sigma(\Delta^0)$ と $x_0$ の指定で、道連結性から $\Delta^0\times I$ 上の道に延びます。$k\ge1$ では $(\Delta^k\times I,\partial)$ は $(D^{k+1},S^k)$ と同相（コンパクト凸集合の放射状の同相）で、上面の点を基点とすれば $\pi_k(X,x_0)=0$ と <Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#lem-null-extension" /> から $\Delta^k\times I$ 全体に延びます。上面が $x_0$ なので (b) が成り立ちます。

*$k\ge n$ のとき.* 点 $(b,2)$（$b$ は $\Delta^k$ の重心）からの放射射影で、レトラクション $r:\Delta^k\times I\to\Delta^k\times\{0\}\cup\partial\Delta^k\times I$ が得られます。指定された写像に $r$ を合成したものを $P(\sigma)$ とします。$k\ge n$ なので $\Delta^k$ の $(n-1)$ 骨格は $\partial\Delta^k$ に含まれ、そこでの $P(\sigma)(\cdot,1)$ は面の $P(\cdot)(\cdot,1)$（良い単体）なので (b) が成り立ちます。

$\tau(\sigma)=P(\sigma)(\cdot,1)$ は (c) から鎖写像 $C_*(X)\to\hat C_*(X)$ で、(d) から $\hat C_*$ 上で恒等写像です。$\Delta^k\times I$ の柱体分割 $[v_0,\dots,v_i,w_i,\dots,w_k]$ を使って $D\sigma=\sum_i(-1)^iP(\sigma)|_{[v_0,\dots,v_i,w_i,\dots,w_k]}$ と置くと、<Ref to="mathematics/algebraic-topology/singular-homology#thm-homotopy-invariance" /> の証明の計算（使うのは「面の柱体は柱体の面」すなわち (c) だけ）がそのまま通り、$\partial D+D\partial=\iota\tau-\mathrm{id}$（$\iota$ は包含）。定値単体には (d) が使われるので、$\tau$, $D$ は $C_*(\{x_0\})$ を保ちます。よって商複体の上でも $\tau\iota=\mathrm{id}$、$\iota\tau\simeq\mathrm{id}$ で、$\iota$ はホモロジーの同型を誘導します。
</Proof>

## 5. Hurewicz の定理

良い $n$ 単体 $\sigma$ は境界 $\partial\Delta^n$（$=(n-1)$ 骨格）を $x_0$ に写すので、ホモトピー群の元を定めます。

<Definition id="def-phi" title="良い単体のホモトピー類">
良い $n$ 単体 $\sigma$ に対し、$A_0$ の上で $\sigma\circ\lambda$、$I^n\setminus A_0$ で $x_0$ とする写像を $\sigma_\lambda$ と書き、$\Phi(\sigma)=[\sigma_\lambda]\in\pi_n(X,x_0)$ と定める。$\Phi$ を線形に $\hat C_n(X)\to\pi_n(X,x_0)$ に延ばす。定値単体では $\Phi=0$ なので、$\Phi$ は $E_n\to\pi_n(X,x_0)$ を定める。
</Definition>

<Lemma id="lem-orientation" title="向きの取り替え">
$\sigma$ を良い $n$ 単体、$\mu:\mathbb{R}^n\to H$ をアフィン全単射で $A=\mu^{-1}(\Delta^n)\subset\operatorname{int}I^n$ を満たすものとする。$A$ の上で $\sigma\circ\mu$、他で $x_0$ とする写像の類は $\varepsilon\,\Phi(\sigma)$ に等しい。ここで $\varepsilon$ は $\lambda^{-1}\mu$ の線形部分の行列式の符号である。
</Lemma>

<Proof of="lem-orientation">
$T=\mu^{-1}\lambda$ とすると $T(A_0)=A$ で、$(\sigma_\lambda)^T=\widetilde{\sigma_\lambda}\circ\lambda^{-1}\mu$ は $A$ の上で $\sigma\circ\mu$、他で $x_0$ です。<Ref to="lem-affine-move" /> を $K=A_0$ に使えばよく、$T$ と $\lambda^{-1}\mu=T^{-1}$ の行列式の符号は等しい。
</Proof>

次の補題が証明の核心で、「$(n+1)$ 単体の境界は $\pi_n$ の中でも $0$」を主張します。

<Lemma id="lem-pinch" title="境界関係式">
$n\ge2$ とし、$\tau:\Delta^{n+1}\to X$ を良い単体（$(n-1)$ 骨格を $x_0$ に写す）とする。このとき
$$
\Phi(\partial\tau)=\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\,\Phi(\tau\circ d_k)=0 .
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-pinch">
$\Delta^{n+1}$ の頂点を $v_0,\dots,v_{n+1}$、$v_k$ の対面を $F_k$ とし、$d_k:\Delta^n\to F_k$ は頂点の順序を保つアフィン写像です。$F_0$ の重心を $w=\frac1{n+1}\sum_{i\ge1}v_i$ とし、アフィン写像 $\psi:\Delta^{n+1}\to F_0$ を $\psi(v_0)=w$, $\psi(v_i)=v_i$（$i\ge1$）で定めます。$\Lambda=\bigcup_{k\ge1}F_k$（$F_0$ 以外の面の合併）とおきます。

**$\Lambda$ を $F_0$ に平らに写す.** $F_0$ の点 $y=\sum_{i\ge1}y_iv_i$ について $m(y)=\min_iy_i$ とおくと、$\psi$ の $\Lambda$ への制限 $\psi_\Lambda$ は全単射で、逆写像は
$$
\psi_\Lambda^{-1}(y)=(n+1)m(y)\,v_0+\sum_{i\ge1}(y_i-m(y))\,v_i
$$
です（右辺は最小を与える $i$ の座標が $0$ なので $\Lambda$ に入り、$\psi$ で $y$ に戻る。逆に $\psi(x)=y$, $x\in\Lambda$ なら $x$ の $v_0$ 座標は $(n+1)m(y)$ と決まる）。$\psi_\Lambda^{-1}$ は連続で、$\partial F_0$ の上では恒等写像です（$\psi$ は $F_0$ 上で恒等）。$\psi$ は各 $F_k$（$k\ge1$）を $P_k=\{y\in F_0:y_k=m(y)\}$ にアフィン同型に写します（$P_k$ は $w$ と $v_i$, $i\ne0,k$ を頂点とする単体）。$P_k$ たちは $F_0$ を覆い、内部は互いに交わりません。

**ホモトピー.** $y\in A_0$ について $G(s,y)=\tau\bigl((1-s)\,d_0\lambda(y)+s\,\psi_\Lambda^{-1}(d_0\lambda(y))\bigr)$、$I^n\setminus A_0$ で $G=x_0$ と置きます。$y\in\partial A_0$ なら $d_0\lambda(y)\in\partial F_0$ で、$\psi_\Lambda^{-1}$ がそこで恒等なので $G(s,y)=\tau(d_0\lambda(y))=x_0$（$\partial F_0$ は $(n-1)$ 骨格に入る）。よって $G$ は連続な基点付きホモトピーで、$\Phi(\tau d_0)=[\rho]$、$\rho=\tau\circ\psi_\Lambda^{-1}\circ d_0\circ\lambda$（$A_0$ の上、他で $x_0$）。

**分解.** $A_k=(d_0\lambda)^{-1}(P_k)$（$k=1,\dots,n+1$）は、内部が空でなく内部どうしが互いに交わらないコンパクト凸集合で、合併は $A_0$ です。$\psi_\Lambda^{-1}$ は $P_k$ の境界を $F_k$ の境界（$(n-1)$ 骨格）に写すので、$\rho$ は各 $\partial A_k$ で $x_0$ です。<Ref to="lem-additivity" /> により $[\rho]=\sum_{k\ge1}[\rho_k]$。$A_k$ の上で $\rho=(\tau d_k)\circ\mu_k$、$\mu_k=d_k^{-1}\circ(\psi|_{F_k})^{-1}\circ d_0\circ\lambda$ で、<Ref to="lem-orientation" /> から $[\rho_k]=\varepsilon_k\Phi(\tau d_k)$。

**符号.** $\lambda^{-1}\mu_k=\lambda^{-1}M_k^{-1}\lambda$、$M_k=d_0^{-1}\psi d_k$ なので $\varepsilon_k=\operatorname{sgn}M_k$。$M_k$ は $\Delta^n$ の頂点 $e_0,\dots,e_n$ を順に $(w',e_0,\dots,e_{k-2},e_k,\dots,e_n)$ に写します（$w'$ は $\Delta^n$ の重心）。$w'$ を $k-1$ 回の互換で $k-1$ 番目の位置に移すと $(e_0,\dots,e_{k-2},w',e_k,\dots,e_n)$ になり、これは $e_{k-1}$ だけを $w'$ に替えたもので、そのアフィン写像の行列式は $w'$ の $e_{k-1}$ 座標 $\frac1{n+1}>0$ 倍です。よって $\varepsilon_k=(-1)^{k-1}$ で、
$$
\Phi(\tau d_0)=\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}\Phi(\tau d_k),\qquad\text{すなわち}\quad\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\Phi(\tau d_k)=0 .
$$
</Proof>

<Figure caption="n = 1 の場合の平らにする写像 ψ。頂点 v₀ を対面 F₀ の中点 w に落とすと、残りの 2 辺 F₂ = [v₀, v₁] と F₁ = [v₀, v₂] は F₀ の 2 つの半分に重ならずに写る。境界の関係式は、この分解と各片の向きの比較から出る。">
<svg viewBox="0 0 420 200" width="100%" role="img" aria-label="三角形の頂点 v0 を底辺の中点 w に射影する図">
  <g fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5">
    <polygon points="60,170 360,170 210,30" />
  </g>
  <g fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2.5">
    <line x1="60" y1="170" x2="210" y2="170" />
    <line x1="210" y1="170" x2="360" y2="170" />
  </g>
  <g fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,4">
    <line x1="210" y1="34" x2="210" y2="162" />
    <line x1="135" y1="100" x2="135" y2="164" />
    <line x1="285" y1="100" x2="285" y2="164" />
  </g>
  <g fill="currentColor">
    <circle cx="60" cy="170" r="3.5" /><circle cx="360" cy="170" r="3.5" /><circle cx="210" cy="30" r="3.5" /><circle cx="210" cy="170" r="3.5" />
  </g>
  <g fill="currentColor" font-size="14">
    <text x="38" y="188">v₁</text><text x="364" y="188">v₂</text><text x="218" y="28">v₀</text><text x="203" y="190">w</text>
    <text x="110" y="92">F₂</text><text x="292" y="92">F₁</text><text x="196" y="160">F₀</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

<Theorem id="thm-hurewicz" title="Hurewicz の定理">
$n\ge2$ とし、$X$ を $(n-1)$-連結な空間、$x_0\in X$ とする。このとき $0\le k<n$ で $\tilde H_k(X)=0$ であり、Hurewicz 準同型 $h:\pi_n(X,x_0)\to H_n(X)$ は同型である。
</Theorem>

<Proof of="thm-hurewicz">
**低次元.** $k\le n-1$ で $E_k=0$ なので、<Ref to="lem-eilenberg" /> から $H_k(X,x_0)=0$。対 $(X,\{x_0\})$ の長完全列（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/singular-homology#thm-les-chain" />）と点のホモロジー（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/singular-homology#prop-h0" />）から、$k\ge1$ で $H_k(X)\cong H_k(X,x_0)$（$k=1$ では $H_0(\{x_0\})\to H_0(X)$ が同型であることも使う）、$k=0$ では道連結性から $\tilde H_0(X)=0$。同じ長完全列から $j:H_n(X)\to H_n(X,x_0)$ も同型です（$n\ge2$）。

**逆写像の候補.** $E_{n-1}=0$ なので $H_n(E)=E_n/\partial E_{n+1}$ で、<Ref to="lem-pinch" /> により $\Phi$ は準同型 $\Phi:H_n(E)\to\pi_n(X,x_0)$ を誘導します。一方、<Ref to="lem-eilenberg" /> の同型 $\iota_*:H_n(E)\to H_n(X,x_0)$ を使って $\Psi=\iota_*^{-1}\,j\,h:\pi_n(X,x_0)\to H_n(E)$ とおくと、<Ref to="lem-h-hom" /> から $\Psi$ も準同型です。

**$\Psi\Phi=\mathrm{id}$.** 良い $n$ 単体 $\sigma$ について $g=\sigma_\lambda$ とすると、$\bar g$ は <Ref to="lem-fundamental-class" /> の $D$ を $x_0$ に写すので、自然性から $j(\bar g_*\omega)=\bar g_*(j\omega)=\bar g_*[p\lambda^{-1}]=[\bar gp\lambda^{-1}]=[\sigma]$（$H_n(X,x_0)$ の中で）。よって $\Psi\Phi(\sigma)$ は $\sigma$ 自身のホモロジー類で、生成元の上で $\Psi\Phi=\mathrm{id}$ です。

**$\Phi\Psi=\mathrm{id}$.** $f:(I^n,\partial I^n)\to(X,x_0)$ とし、$S_\nu(y)=c_0+\nu(y-c_0)$ とします。$G(s,y)=\tilde f(S_{1-s(1-\nu)}^{-1}y)$ は基点付きホモトピーで、$\nu$ を小さく取れば $f'=G(1,\cdot)$ の台は $S_\nu(I^n)\subset\operatorname{int}A_0$ に入ります。$f'\lambda^{-1}$ は良い $n$ 単体で、$(f'\lambda^{-1})_\lambda=f'$ です。前段と同じ計算で $\Psi[f']$ は $f'\lambda^{-1}$ の類なので、$\Phi\Psi[f]=\Phi(f'\lambda^{-1})=[f']=[f]$。

以上から $\Phi$ と $\Psi$ は互いに逆の同型で、$h=j^{-1}\iota_*\Psi$ は同型です。
</Proof>

仮定の「$(n-1)$-連結」は外せません。

<Example id="ex-rp2-hurewicz" title="単連結でないと π₂ と H₂ は一致しない">
実射影平面は道連結ですが $\pi_1(\mathbb{R}P^2)\cong\mathbb{Z}/2\ne0$ です。<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#cor-covering-higher" /> と <Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#thm-hopf-consequences" /> から $\pi_2(\mathbb{R}P^2)\cong\pi_2(S^2)\cong\mathbb{Z}$ ですが、<Ref to="mathematics/algebraic-topology/cellular-homology-degree#ex-rp2" /> から $H_2(\mathbb{R}P^2)=0$ です。$h$ は $S^2\to\mathbb{R}P^2$ の被覆写像の類を、$H_2(S^2)\to H_2(\mathbb{R}P^2)=0$ を経由して $0$ に送ります。
</Example>

<Corollary id="cor-hurewicz-sc" title="単連結な空間での Hurewicz の定理">
$n\ge2$ とし、$X$ を単連結（$1$-連結）で $1\le k<n$ について $H_k(X)=0$ を満たす空間とする。このとき $X$ は $(n-1)$-連結で、$h:\pi_n(X)\to H_n(X)$ は同型である。
</Corollary>

<Proof of="cor-hurewicz-sc">
$2\le k<n$ について、$X$ が $(k-1)$-連結なら <Ref to="thm-hurewicz" /> から $\pi_k(X)\cong H_k(X)=0$ なので $X$ は $k$-連結です。$k=2$ から順に使えば $X$ は $(n-1)$-連結で、もう一度 <Ref to="thm-hurewicz" /> を使います。
</Proof>

## 6. 帰結：球面のホモトピー群と π₃(SU(N))

<Corollary id="cor-pin-sn" title="π_n(S^n) = ℤ">
$n\ge1$ で $\deg:\pi_n(S^n)\to\mathbb{Z}$ は同型で、$\pi_n(S^n)$ は $[\mathrm{id}]$ が生成する無限巡回群である。$n\ge2$ では <Ref to="lem-fundamental-class" /> の $\omega$ は $H_n(S^n)$ の生成元である。
</Corollary>

<Proof of="cor-pin-sn">
<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#prop-degree-hom" /> から $\deg$ は全射準同型で $\deg[\mathrm{id}]=1$ です。$n=1$ では $\pi_1(S^1)$ が無限巡回群（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/fundamental-group-coverings#thm-pi1-circle" />）なので全射は同型です。$n\ge2$ では $S^n$ は $(n-1)$-連結（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#prop-sphere-low" />）なので <Ref to="thm-hurewicz" /> により $h$ は同型です。写像度の定義（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/cellular-homology-degree#def-degree" />）から $h[f]=f_*\omega=\deg f\cdot\omega$ です。$H_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/singular-homology#thm-homology-spheres" />）の生成元 $\omega_0$ で $\omega=d\,\omega_0$ と書くと $h$ の像は $d\mathbb{Z}\,\omega_0$ で、全射性から $d=\pm1$。よって $\omega$ は生成元で、$\deg=\pm h$ は同型です。
</Proof>

<Corollary id="cor-hopf-degree" title="Hopf の写像度定理">
$n\ge1$ とし、$f,g:S^n\to S^n$ を（基点を考えない）連続写像とする。$f\simeq g$ であることと $\deg f=\deg g$ は同値である。
</Corollary>

<Proof of="cor-hopf-degree">
($\Rightarrow$) は <Ref to="mathematics/algebraic-topology/cellular-homology-degree#prop-degree-basic" /> の 2 です。($\Leftarrow$) $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ の基点 $s_0$ を固定します。<Ref to="lem-gl-plus" /> の証明の回転 $R_\theta\in SO(n+1)$ で $R_{\theta_0}f(s_0)=s_0$ となるものを取ると、$s\mapsto R_{s\theta_0}\circ f$ は $f$ と基点付き写像 $f'=R_{\theta_0}f$ を結ぶホモトピーです。同様に $g\simeq g'$。写像度はホモトピー不変なので $\deg f'=\deg g'$ で、<Ref to="cor-pin-sn" /> から $f'$ と $g'$ は $\pi_n(S^n,s_0)$ の同じ元、つまり基点付きホモトピックです。よって $f\simeq g$。
</Proof>

懸垂は、$S^n$ の各点 $y$ と高さ $t$ を $(y,t)\in I^{n+1}$ に対応させる写像で定めます。$q:S^n\times I\to S^{n+1}$ を $q([y],t)=[(y,t)]$ とすると、$y\in\partial I^n$ なら $(y,t)\in\partial I^{n+1}$ なので well-defined で、$I^n\times I\to S^n\times I$ がコンパクト空間から Hausdorff 空間への閉な全射（したがって商写像）であることから連続です。

<Theorem id="thm-freudenthal-bottom" title="懸垂同型（Freudenthal の定理の最初の範囲）">
$n,k\ge1$ とし、$f:(I^k,\partial I^k)\to(S^n,*)$ に対して $(\Sigma f)(s,s_{k+1})=q(f(s),s_{k+1})$ と置く。$[f]\mapsto[\Sigma f]$ は準同型 $\Sigma:\pi_k(S^n)\to\pi_{k+1}(S^{n+1})$ を定め、$k\le n$ では同型である。
</Theorem>

<Proof of="thm-freudenthal-bottom">
$s\in\partial I^k$ なら $f(s)=*$ で $q(*,t)=*$、$s_{k+1}\in\{0,1\}$ なら $(y,s_{k+1})\in\partial I^{n+1}$ なので、$\Sigma f$ は境界を基点に送ります。基点付きホモトピーも同じ式で移るので $\Sigma$ は well-defined で、和は第 1 座標で取るので $\Sigma(f+g)=\Sigma f+\Sigma g$。$k<n$ なら $k+1<n+1$ で、<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#prop-sphere-low" /> から両辺とも $0$ です。$k=n$ では $\Sigma\,\mathrm{id}_{S^n}=\mathrm{id}_{S^{n+1}}$（$q([y],t)=[(y,t)]$）なので $\Sigma[\mathrm{id}]=[\mathrm{id}]$。<Ref to="cor-pin-sn" /> により両辺は $[\mathrm{id}]$ が生成する無限巡回群なので、生成元を生成元に写す準同型 $\Sigma$ は同型です。
</Proof>

<Remark id="rem-freudenthal-full" title="Freudenthal の懸垂定理（一般の範囲）">
Freudenthal（1938）は、$\Sigma:\pi_k(S^n)\to\pi_{k+1}(S^{n+1})$ が $k<2n-1$ で同型、$k=2n-1$ で全射であることを示しました。より一般に $(n-1)$-連結な CW 複体 $X$ で $\pi_k(X)\to\pi_{k+1}(\Sigma X)$ が同じ範囲で同型・全射になります。証明にはホモトピー群の切除定理（Blakers–Massey）が要り、本記事では証明しません（参考文献の Hatcher 第 4.2 節）。たとえば $\pi_4(S^3)\cong\pi_5(S^4)\cong\cdots\cong\mathbb{Z}/2$（生成元は Hopf 写像の懸垂）はこの範囲の帰結です。本記事で使うのは <Ref to="thm-freudenthal-bottom" /> の $k\le n$ の範囲だけです。
</Remark>

<Corollary id="cor-pi3-s3" title="π₃(SU(2)) = π₃(S³) = ℤ と π₃(S²) = ℤ">
$\pi_3(SU(2))\cong\pi_3(S^3)\cong\mathbb{Z}$（生成元は恒等写像）、$\pi_3(S^2)\cong\pi_3(SO(3))\cong\mathbb{Z}$ であり、$\pi_3(S^2)$ の生成元は Hopf 写像 $p:S^3\to S^2$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-pi3-s3">
$SU(2)\cong S^3$ と <Ref to="cor-pin-sn" />。<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#thm-hopf-consequences" /> の同型 $p_*:\pi_3(S^3)\to\pi_3(S^2)$ は $[\mathrm{id}]$ を $[p]$ に送ります。$\pi_3(SO(3))\cong\pi_3(SU(2))$ は <Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#cor-covering-higher" /> です。
</Proof>

<Example id="ex-pi3-s2-h3" title="Hurewicz の同型は最初の次数だけ">
$H_3(S^2)=0$ ですが $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$ です（<Ref to="cor-pi3-s3" />）。$S^2$ は $1$-連結なので <Ref to="thm-hurewicz" /> は $\pi_2(S^2)\cong H_2(S^2)$ を与えますが、その上の次数については何も言いません。Hopf 写像は、ホモロジーでは見えない（$p_*:H_3(S^3)\to H_3(S^2)=0$）のに定値写像にホモトピックでない写像の典型例です。
</Example>

$SU(N)$ は $\mathbb{C}^N$ の単位球面 $S^{2N-1}$ に推移的に作用します。次の命題は、この作用から $SU(N)\to S^{2N-1}$ がファイバー束になることを示すもので、あとで長完全列を使うための準備です。証明中の $S(v)$ は、基点 $e_N$ を点 $v$ に写す $SU(N)$ の元を、$v$ に連続に依存するように具体的に選んだものです。

<Proposition id="prop-sun-bundle" title="SU(N) → S^{2N−1} はファイバー束">
$N\ge2$ とし、$\pi:SU(N)\to S^{2N-1}$ を $\pi(A)=Ae_N$ で定める。$\pi$ は $SU(N-1)$（$B\mapsto\operatorname{diag}(B,1)$ で埋め込む）をファイバーとするファイバー束である。
</Proposition>

<Proof of="prop-sun-bundle">
$Ae_N=e_N$ となる $A\in SU(N)$ は $e_N^\perp$ を保つユニタリ行列なので $A=\operatorname{diag}(B,1)$, $\det B=1$ と書け、ファイバー $\pi^{-1}(e_N)$ は $SU(N-1)$ です。$U=\{v\in S^{2N-1}:v_N\ne0\}$ の上で、$(v,e_1,\dots,e_{N-1})$ は 1 次独立なので、この順に Gram–Schmidt 直交化した $(v,u_1,\dots,u_{N-1})$ は $v$ について連続です。$S(v)$ を列 $(\overline{\delta(v)}u_1,u_2,\dots,u_{N-1},v)$ の行列とします（$\delta(v)$ は列 $(u_1,\dots,u_{N-1},v)$ の行列式で $|\delta|=1$）。$S(v)\in SU(N)$, $S(v)e_N=v$ で、
$$
U\times SU(N-1)\to\pi^{-1}(U),\qquad(v,B)\mapsto S(v)\operatorname{diag}(B,1)
$$
は連続な全単射で、逆写像 $A\mapsto\bigl(Ae_N,\ S(Ae_N)^{-1}A\text{ の左上ブロック}\bigr)$ も連続です。任意の $v_0$ について $ge_N=v_0$ となる $g\in SU(N)$（$v_0$ を正規直交基底の最後に補い、最初の列の位相を調整する）を取れば、$gU\ni v_0$ の上で $v\mapsto gS(g^{-1}v)$ を使って同様に局所自明化できます（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#def-fiber-bundle" />）。
</Proof>

<Theorem id="thm-pi3-sun" title="π₃(SU(N)) = ℤ">
$N\ge2$ で $\pi_3(SU(N))\cong\mathbb{Z}$ であり、生成元は包含 $SU(2)\hookrightarrow SU(N)$（$A\mapsto\operatorname{diag}(A,1,\dots,1)$）の類である。
</Theorem>

<Proof of="thm-pi3-sun">
$N=2$ は <Ref to="cor-pi3-s3" /> です。$N\ge3$ とします。<Ref to="prop-sun-bundle" />、<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#prop-bundle-fibration" />、<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#thm-fibration-les" /> から
$$
\pi_4(S^{2N-1})\to\pi_3(SU(N-1))\xrightarrow{i_*}\pi_3(SU(N))\to\pi_3(S^{2N-1})
$$
は完全です。$2N-1\ge5>4$ なので両端は $0$（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#prop-sphere-low" />）で、包含 $i_*$ は同型です。$N$ について帰納的に合成すると、$SU(2)\hookrightarrow SU(N)$ が同型 $\pi_3(SU(2))\to\pi_3(SU(N))$ を誘導します。
</Proof>

<Example id="ex-instanton-classes" title="ゲージ変換の位相的な分類">
4 次元 Euclid 空間上の $SU(N)$ ゲージ場で、無限遠の $S^3$ 上のゲージ変換 $g:S^3\to SU(N)$ を考えます。<Ref to="thm-pi3-sun" /> と <Ref to="cor-pin-sn" /> から、$g$ は、$SU(2)$ の中で写像度 $k$ をもつ写像 $g_k:S^3\to SU(2)$ と包含の合成にホモトピックで、$k$ は $g$ のホモトピー類からただ 1 つに決まります。$k$ がインスタントン数で、$SU(2)$ の中では [ホモトピー群の章](/mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups) の <Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#ex-winding-integral" /> の積分で計算できます。こうして、インスタントン数が整数であることに加えて、**インスタントン数が等しい漸近形は連続変形でつながり、すべての整数が実現される**ことが分かります。
</Example>

## 7. 演習

<Exercise id="exr-wedge-spheres" difficulty="易">
$n\ge2$ とし、$W=S^n\vee S^n$、$j_1,j_2:S^n\to W$ を包含、$c:S^n\to W$ を <Ref to="lem-h-hom" /> の証明のつぶし写像とします。$\pi_n(W)\cong\mathbb{Z}^2$ を示し、$\pi_n(W)$ で $[c]=[j_1]+[j_2]$ となることを示してください。
<Solution>
接続点以外の第 2 の球面の一点を除いた開集合 $A$ と、同様の $B$ は $S^n$ に変位レトラクトし（単連結、<Ref to="mathematics/algebraic-topology/fundamental-group-coverings#prop-sphere-simply-connected" />）、$A\cap B$ は可縮です。<Ref to="mathematics/algebraic-topology/fundamental-group-coverings#cor-van-kampen-trivial" /> から $W$ は単連結です。Mayer–Vietoris 完全列（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/singular-homology#thm-mayer-vietoris" />、簡約版）から $\tilde H_k(W)\cong\tilde H_k(S^n)^2$ で、$k<n$ では $0$、$k=n$ では $j_{1*}\omega, j_{2*}\omega$ を基底とする $\mathbb{Z}^2$ です（<Ref to="cor-pin-sn" /> で $\omega$ は生成元）。<Ref to="cor-hurewicz-sc" /> から $h:\pi_n(W)\to H_n(W)$ は同型。$h[j_i]=j_{i*}\omega$、$h[c]=c_*\omega=j_{1*}\omega+j_{2*}\omega$（<Ref to="lem-h-hom" /> の証明）なので、$h$ の単射性から $[c]=[j_1]+[j_2]$。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-suspension-degree" difficulty="標準">
$n\ge1$、$f:(I^n,\partial I^n)\to(S^n,*)$ について、<Ref to="thm-freudenthal-bottom" /> の懸垂 $\Sigma f$ の写像度が $\deg f$ に等しいことを示してください。
<Solution>
<Ref to="cor-pin-sn" /> から $[f]=d[\mathrm{id}]$、$d=\deg f$。$\Sigma$ は準同型で $\Sigma[\mathrm{id}]=[\mathrm{id}]$ なので $[\Sigma f]=d[\mathrm{id}]$。写像度は $\pi_{n+1}(S^{n+1})$ 上の準同型（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#prop-degree-hom" />）なので $\deg\Sigma f=d$。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-pi3-un" difficulty="標準">
$N\ge2$ で $\pi_3(U(N))\cong\mathbb{Z}$ を示してください。
<Solution>
$\Theta:SU(N)\times U(1)\to U(N)$, $(A,z)\mapsto A\operatorname{diag}(z,1,\dots,1)$ は連続な全単射で、逆写像 $B\mapsto(B\operatorname{diag}(\overline{\det B},1,\dots,1),\det B)$ も連続なので同相写像です（単位行列を単位行列に写す）。<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#prop-pin-group" /> の 3 から $\pi_3(U(N))\cong\pi_3(SU(N))\times\pi_3(U(1))$。$U(1)=S^1$ なので $\pi_3(S^1)=0$（<Ref to="mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups#cor-covering-higher" />）、<Ref to="thm-pi3-sun" /> と合わせて $\mathbb{Z}$。群としての同型ではなく空間の同相を使っている点に注意してください（$U(N)$ は $SU(N)\times U(1)$ と群としては同型でない）。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- A. Hatcher, *Algebraic Topology*, Cambridge University Press, 2002 — 第 4.2 節（Hurewicz の定理、Freudenthal の懸垂定理、ホモトピー切除定理）。
- E. H. Spanier, *Algebraic Topology*, McGraw-Hill, 1966 — 第 7 章（特異複体による Hurewicz の定理）。
- S. Eilenberg, "Singular homology theory", *Annals of Mathematics* 45 (1944), 407–447.
- H. Freudenthal, "Über die Klassen der Sphärenabbildungen I. Große Dimensionen", *Compositio Mathematica* 5 (1938), 299–314.
- J. W. Milnor, *Topology from the Differentiable Viewpoint*, University of Virginia Press, 1965 — 第 7 節（Hopf の写像度定理の微分位相的な証明）。