# ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ > 高次ホモトピー群を定義して可換性を示し、対とファイブレーションの長完全列を証明する。Hopf ファイブレーションから π₂(S²)=ℤ を導き、写像度と積分公式を通じて π₃(SU(2))=ℤ とインスタントン数の整数性を説明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebraic-topology/homotopy-groups ## 0. この記事の要点 円周を空間の中に描く写像を変形で分類したものが基本群でした。この記事では、円周の代わりに球面を空間に描き、変形で分類します。これがホモトピー群です。球面の「穴」を数えるこの道具で、$S^3$ から $S^2$ への不思議な写像（Hopf 写像）を調べ、物理のゲージ理論で出てくる整数がなぜ整数になるのかを説明します。 - $n$ 次元の立方体の境界を基点に送る写像のホモトピー類として、**$n$ 次ホモトピー群** $\pi_n(X,x_0)$ を定義します。$n\ge2$ では可換群です（）。 - 部分空間の対には相対ホモトピー群と**長完全列**があり（）、**ファイブレーション** $F\to E\to B$ では $\pi_n(F)\to\pi_n(E)\to\pi_n(B)\to\pi_{n-1}(F)\to\cdots$ が完全です（）。局所自明なファイバー束（各点の近くで「底空間×ファイバー」の形をしている空間）はファイブレーションです（）。 - 単体近似から $k）。**Hopf ファイブレーション** $S^1\to S^3\to S^2$ の長完全列から $\pi_2(S^2)\cong\mathbb{Z}$、$\pi_n(S^3)\cong\pi_n(S^2)$ ($n\ge3$) が出ます（）。 - [写像度](/mathematics/algebraic-topology/cellular-homology-degree#def-degree)は $\pi_n(S^n)\to\mathbb{Z}$ の全射準同型です。次章の Hurewicz の定理（ホモトピー群とホモロジー群を結びつける定理）から単射性も従い、$\pi_3(SU(2))=\pi_3(S^3)\cong\mathbb{Z}$ です（）。 - 滑らかな $g:S^3\to SU(2)$ の写像度は $\frac{1}{24\pi^2}\int\operatorname{tr}(g^{-1}dg)^3$ で与えられ（）、これがゲージ理論のインスタントン数が整数になる理由です。 - ホモトピー群をすべて同型に写す**弱ホモトピー同値**を導入し、総空間が弱可縮な主 $G$ 被覆の底空間（離散群の**分類空間** $BG$）では $\pi_1=G$、高次は $0$ であることを示します（）。$\mathbb{R}P^\infty$ は $B(\mathbb{Z}/2)$ です。 ## 1. 動機 [基本群](/mathematics/algebraic-topology/fundamental-group-coverings)はループ（円周からの写像）を変形で分類しました。同じことを球面 $S^n$ からの写像で行うのが高次ホモトピー群です。ホモロジーとの違いは、**写像そのもの**を分類する点にあります。そのため計算は格段に難しく、$\pi_k(S^n)$ は今も全貌が分かっていません。一方で、写像の分類はそのまま物理の量子数になります。 たとえば 4 次元ユークリッド空間上の $SU(2)$ ゲージ場で、作用が有限な配位は、無限遠の 3 次元球面上で[ゲージ変換](/mathematics/differential-geometry/principal-bundles-connections#def-gauge-transformation) $g:S^3\to SU(2)$ に漸近します。$g$ のホモトピー類、すなわち $\pi_3(SU(2))$ の元が配位のトポロジカルな種類（インスタントン数）を決めます。$\pi_3(SU(2))\cong\mathbb{Z}$ であることが、この量子数が整数であることの数学的な根拠です。さらに $\pi_4(SU(2))\cong\mathbb{Z}/2$ という事実が Witten の $SU(2)$ アノマリーの背景にあります。 計算の主な道具は**ファイブレーションの長完全列**です。$S^3$ は円周 $S^1$ を「ファイバー」として $S^2$ の上に並べたもの（Hopf ファイブレーション）とみなせ、三つの空間のホモトピー群が一本の完全列で結ばれます。 ## 2. 高次ホモトピー群 $I=[0,1]$、$I^n$ を $n$ 次元立方体、$\partial I^n$ をその境界とします。 $n\ge1$ とし、$\pi_n(X,x_0)$ を、連続写像 $f:(I^n,\partial I^n)\to(X,x_0)$（境界を $x_0$ に送る写像）の、境界を $x_0$ に送ったままのホモトピーによる同値類の集合とする。和を $$ (f+g)(s_1,\dots,s_n)=\begin{cases}f(2s_1,s_2,\dots,s_n)&(s_1\le\tfrac12)\\ g(2s_1-1,s_2,\dots,s_n)&(s_1\ge\tfrac12)\end{cases} $$ で定める。$\pi_0(X,x_0)$ は道連結成分の集合（$x_0$ の成分を基点とする）とする。 $I^n/\partial I^n\cong S^n$ なので、$\pi_n(X,x_0)$ は基点付き写像 $(S^n,s_0)\to(X,x_0)$ の基点付きホモトピー類の集合とも見なせます。$n=1$ では基本群（）です。 基点付き空間どうしの基本的な二つの操作を定義しておきます。和の定義に現れる「立方体を二つに分けて別々の写像を載せる」操作は、一点和を経由する写像として書けます（ の証明）。 基点付き空間 $(X,x_0)$、$(Y,y_0)$ に対し、直和 $X\sqcup Y$ で $x_0$ と $y_0$ を同一視した商空間を**一点和**（楔和、ウェッジ和）といい $X\vee Y$ と書く。$X\vee Y$ は積 $X\times Y$ の部分空間 $X\times\{y_0\}\cup\{x_0\}\times Y$ と同一視する。$X\times Y$ でこの部分空間を一点に潰した商空間 $$ X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y) $$ を**スマッシュ積**といい、潰した点を基点とする。 $X,Y$ がコンパクト Hausdorff なら、$X\sqcup Y\to X\times\{y_0\}\cup\{x_0\}\times Y$ は閉な連続全射なので（閉集合はコンパクト、その像はコンパクトで Hausdorff 空間の中で閉）、二つの見方の位相は一致します（）。 次の命題の方針は二段構えです。積から軸を潰したものから基点を除くと $\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$ になること、そして全体がその一点コンパクト化になることを見ます。ホモトピー群の議論から少し離れた位相の確認なので、結果だけ使うなら証明は読み飛ばせます。 $m,n\ge1$ について、$S^m\wedge S^n$ は $S^{m+n}$ と同相である。 $X=S^m$、$Y=S^n$ とし、基点を北極に取ります。立体射影（）により $X\setminus\{x_0\}\cong\mathbb{R}^m$、$Y\setminus\{y_0\}\cong\mathbb{R}^n$ です。$q:X\times Y\to X\wedge Y$ を商写像、$*$ を基点とします。 *開部分集合.* $O=(X\setminus\{x_0\})\times(Y\setminus\{y_0\})$ は $X\times Y$ の開集合で、$X\vee Y$ と交わらないので $q^{-1}(q(O))=O$ です。よって $q(O)=X\wedge Y\setminus\{*\}$ は開集合で、$O$ の開部分集合 $V$ についても $q^{-1}(q(V))=V$ なので $q(V)$ は開です。$q|_O$ は単射で連続かつ開なので、同相 $O\cong X\wedge Y\setminus\{*\}$ を与えます。したがって $X\wedge Y\setminus\{*\}\cong\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{m+n}$ です。 *コンパクト Hausdorff.* $X\wedge Y$ はコンパクト空間 $X\times Y$ の連続像なのでコンパクトです（）。$X\wedge Y\setminus\{*\}$ の 2 点は、その開部分集合（$\mathbb{R}^{m+n}$ と同相で Hausdorff）の中で分離できます。$p=q(x,y)\ne*$ と $*$ を分離するには、$x,y$ のコンパクトな近傍 $K\subset X\setminus\{x_0\}$、$L\subset Y\setminus\{y_0\}$（$\mathbb{R}^m$, $\mathbb{R}^n$ の閉球の像）を取ります。$K\times L$ はコンパクトで（Tychonoff の定理 ）、$X\vee Y$ と交わらないので、$q(\operatorname{int}K\times\operatorname{int}L)$ は $p$ の開近傍、$X\wedge Y\setminus q(K\times L)$ は $*$ の開近傍（逆像 $X\times Y\setminus K\times L$ が開）で、互いに素です。 *結論.* 一点コンパクト化の一意性（ の 4）を、$\mathbb{R}^{m+n}\to X\wedge Y\setminus\{*\}$ と、立体射影の逆 $\mathbb{R}^{m+n}\to S^{m+n}\setminus\{\text{北極}\}$ の両方に適用すると、$X\wedge Y$ と $S^{m+n}$ はどちらも $\mathbb{R}^{m+n}$ の一点コンパクト化と同相です。 一点和は「基点だけを共有して並べる」、スマッシュ積は「積から座標軸を潰す」操作です。$\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{m+n}$ の[一点コンパクト化](/mathematics/topology/local-compactness#def-alexandroff)（無限遠に点を 1 つ足して閉じた空間にすること）が上の命題の中身です。$S^1\wedge X$ は基点付きの（簡約）懸垂と呼ばれ、命題から $S^1\wedge S^n\cong S^{n+1}$ です。 1. $\pi_n(X,x_0)$ は上の和で群になる。単位元は定値写像、$f$ の逆元は $-f(s_1,\dots)=f(1-s_1,\dots)$。 2. $n\ge2$ なら $\pi_n(X,x_0)$ は可換である。 3. 基点付き写像 $\varphi:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ は準同型 $\varphi_*[f]=[\varphi f]$ を誘導し、基点付きホモトピックな写像は同じ準同型を誘導する。また $\pi_n(X\times Y,(x_0,y_0))\cong\pi_n(X,x_0)\times\pi_n(Y,y_0)$。 (1) 第 1 座標 $s_1$ だけを使った操作なので、 の基本群の証明（区間の再パラメータ化）が、残りの座標をパラメータとしてそのまま通ります。 (2) $f+g$ は、$I^n$ を $s_1$ 方向に二等分した左半分で $f$、右半分で $g$ を行う写像です。まず $f$ と $g$ の定義域を、それぞれ左右の半分の中の小さな立方体に縮め、外側を $x_0$ に送るように変形します（境界は $x_0$ に送られるので連続）。$n\ge2$ なら、第 2 座標の方向に余地があるので、二つの小さな立方体を、$f$ の方を上へ、$g$ の方を下へ動かしてから左右を入れ替え、元の高さに戻せます（図）。この変形の間、立方体の外は $x_0$ に送られているので、境界条件は保たれます。最後に立方体を元の大きさに戻すと $g+f$ になります。 (3) $\varphi(f+g)=\varphi f+\varphi g$ と、ホモトピー $H$ に対する $\varphi\circ H$ から。積は成分ごとの写像 $(f_1,f_2)$ が全単射を与え、和も成分ごとです。
fg fg gf gf
基点付き写像 $f:(S^n,s_0)\to(X,x_0)$ について、次は同値である。(i) $\pi_n(X,x_0)$ で $[f]=0$。(ii) $f$ は $D^{n+1}$ 上の連続写像に拡張できる。(iii) $f$ は（基点を固定しない）ホモトピーで定値写像に変形できる。 (i)⇒(iii) は明らか。(iii)⇒(ii): $H:S^n\times I\to X$、$H_0=f$、$H_1\equiv c$ とします。$F(rx)=H(x,1-r)$ ($x\in S^n$, $0\le r\le1$) は $r=0$ で $c$ なので $D^{n+1}$ 上 well-defined で、$S^n\times I\to D^{n+1}$, $(x,t)\mapsto(1-t)x$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への閉な全射、したがって商写像なので、$F$ は連続です。(ii)⇒(i): 拡張 $F$ に対し $G(x,t)=F((1-t)x+ts_0)$ は $G_0=f$、$G_1\equiv F(s_0)=x_0$、$G(s_0,t)=x_0$ を満たす基点付きホモトピーです。 $0\le k $k=0$ は $S^n$ の道連結性（$n\ge1$）。$k\ge1$ とします。$S^m$ は重心からの放射射影で $(m+1)$ 単体の境界 $\partial\Delta^{m+1}$ と同相なので、$S^k=|K|$、$S^n=|L|$ と有限単体複体で表します。$f:S^k\to S^n$ に を使うと、単体写像 $g$ で $f\simeq g$（直線ホモトピー）となるものがあります。$g$ は $k$ 次元以下の単体を $k$ 次元以下の単体に写すので、$L$ の $n$ 単体の内部の点 $p$ を取りません。$S^n\setminus\{p\}$ は $\mathbb{R}^n$ と同相で可縮なので $g$ は定値写像にホモトピック、したがって $f$ も（基点を固定しない意味で）そうです。 から $[f]=0$。 特に $S^n$ ($n\ge2$) は単連結です（ の別証明）。 ## 3. 長完全列とファイブレーション $I^{n-1}\subset I^n$ を面 $\{s_n=0\}$、$J^{n-1}$ を $\partial I^n$ からこの面の内部を除いた閉集合（残りの面の合併）とします。 $x_0\in A\subseteq X$、$n\ge1$ とし、$\pi_n(X,A,x_0)$ を写像 $f:(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to(X,A,x_0)$（境界を $A$ に、$J^{n-1}$ を $x_0$ に送る）の、この条件を保つホモトピーによる類の集合とする。$n\ge2$ では と同じ式（第 1 座標で連結）で群になる。$\partial[f]=[f|_{I^{n-1}}]\in\pi_{n-1}(A,x_0)$ と定める。 $\partial$ は well-defined な写像で、$n\ge2$ なら準同型です。$\pi_n(X,x_0)=\pi_n(X,\{x_0\},x_0)$ なので、包含は $j_*:\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,A,x_0)$ を与えます。 次の補題は、$\pi_n(X,A,x_0)$ の元が $0$ であることを、「ホモトピーで動かして像を $A$ の中に押し込めるか」という見やすい形に言い換えます。長完全列の証明で何度も使います。 $f:(I^n,\partial I^n,J^{n-1})\to(X,A,x_0)$ について、$\pi_n(X,A,x_0)$ で $[f]=0$ であることと、$f$ が $\partial I^n$ 上で固定したホモトピーで像が $A$ に入る写像に変形できることは同値である。 ($\Leftarrow$) 像が $A$ に入る $g$ に対し $g_t(s)=g(s_1,\dots,s_{n-1},t+(1-t)s_n)$ は条件を保つホモトピーで（像は $A$ のまま、$J^{n-1}$ の点は $J^{n-1}$ の点に移る）、$g_1$ は上面 $\{s_n=1\}\subseteq J^{n-1}$ を経由するので定値 $x_0$ です。 ($\Rightarrow$) $F:I^n\times I\to X$ を条件を保つ $f$ から定値写像へのホモトピーとします。$F$ は $\Pi=I^{n-1}\times I\cup J^{n-1}\times I\cup I^n\times\{1\}$ を $A$ に送ります。$I^n\times\{0\}$ の中心の真下の点 $q=(c,-1)$ から放射状に見ると、$x\in I^n$ に対し $q$ から $(x,0)$ を通る半直線が箱 $I^n\times I$ から出る点 $\phi_1(x)\in\Pi$ が定まり、$\phi_1:I^n\to\Pi$ は同相で、$x\in\partial I^n$ では $\phi_1(x)=(x,0)$ です。$\phi_t(x)=(1-t)(x,0)+t\phi_1(x)$ とすれば、$F\circ\phi_t$ は $\partial I^n$ 上で $f$ に固定された $f$ から $F\circ\phi_1$（像は $A$）へのホモトピーです。 $x_0\in A\subseteq X$ に対し、列 $$ \cdots\to\pi_n(A,x_0)\xrightarrow{i_*}\pi_n(X,x_0)\xrightarrow{j_*}\pi_n(X,A,x_0)\xrightarrow{\partial}\pi_{n-1}(A,x_0)\to\cdots\to\pi_0(X,x_0) $$ は完全である（$\pi_1(X,A)$ 以下では、基点付き集合の意味で「像＝定値写像の類の逆像」）。 *$\pi_n(X)$ での完全性.* $j_*i_*=0$ は の ($\Leftarrow$)。$j_*[f]=0$ なら ($\Rightarrow$) により $f$ は $\partial I^n$ を固定したまま $A$ に入る写像 $g$ にホモトピックで、$[f]=i_*[g]$。 *$\pi_n(X,A)$ での完全性.* $\partial j_*=0$ は $f|_{I^{n-1}}$ が定値だから。$\partial[f]=0$ なら、$A$ の中の基点付きホモトピー $H:I^{n-1}\times I\to A$ で $H_0=f|_{I^{n-1}}$、$H_1\equiv x_0$ となるものがあります。$I^n$ の下に $I^{n-1}\times[-1,0]$ を継ぎ足し、そこでは $(s',s_n)\mapsto H(s',-s_n)$ とすると、$I^{n-1}\times[-1,1]$ 上の写像は境界をすべて $x_0$ に送ります（下面は $H_1$、側面は基点付きホモトピー）。縦に縮めて $I^n$ 上の写像 $g$ と見ると $[g]\in\pi_n(X)$ で、継ぎ足した部分を下から少しずつ削るホモトピー（削った後の下面は $H$ の途中、すなわち $A$ に入る）によって $j_*[g]=[f]$。 *$\pi_{n-1}(A)$ での完全性.* $i_*\partial[f]=0$: $f$ 自身が $X$ の中で $f|_{I^{n-1}}$ から上面（定値 $x_0$）へのホモトピーです。$i_*[g]=0$ なら、$X$ の中の基点付きホモトピー $H:I^{n-1}\times I\to X$, $H_0=g$, $H_1\equiv x_0$ を $I^n$ 上の写像と見ると、$\partial I^n$ を $A$ に、$J^{n-1}$ を $x_0$ に送るので $\pi_n(X,A)$ の元で、$\partial[H]=[g]$。 連続写像 $p:E\to B$ が **Serre ファイブレーション**であるとは、任意の $k\ge0$、任意の $G:I^k\times I\to B$ と、$I^k\times\{0\}\cup\partial I^k\times I$ 上の連続写像 $\tilde G_0$ で $p\tilde G_0=G$ を満たすものに対し、$\tilde G_0$ を延長する $\tilde G:I^k\times I\to E$ で $p\tilde G=G$ となるものが存在することをいう。$b_0\in B$ の上の $F=p^{-1}(b_0)$ を**ファイバー**という。 連続な全射 $p:E\to B$ が**ファイバー $F$ のファイバー束**であるとは、各 $b\in B$ に開近傍 $U$ と同相写像 $h:p^{-1}(U)\to U\times F$ で $\mathrm{pr}_1\circ h=p$ を満たすもの（**局所自明化**）が存在することをいう。 被覆写像（）は離散空間をファイバーとするファイバー束です。 次の命題の証明の方針は、底空間の側を十分細かく区切ると、各小片は局所自明化の中に入るので、そこでの持ち上げは「ファイバー方向の成分を延ばすだけ」で作れる、というものです。それを小さな立方体の面の次元の低い順に貼り合わせます。 ファイバー束は Serre ファイブレーションである。 まず、立方体 $C$ について $C\times I$ から $C\times\{0\}\cup\partial C\times I$ へのレトラクション $r$ があります（$C\times I$ の上方の点 $(c,2)$ から放射状に射影する）。 $G:I^k\times I\to B$ と $\tilde G_0$ が与えられたとします。$\{G^{-1}(U)\}$（$U$ は局所自明化の開集合）は $I^k\times I$ の開被覆なので、Lebesgue 数（）を取り、$I^k$ を小さな立方体に、$I$ を区間 $[t_j,t_{j+1}]$ に分割して、各 $C\times[t_j,t_{j+1}]$ が一つの $U$ の中に写るようにします。$j$ について順に、$I^k\times[t_j,t_{j+1}]$ 上の持ち上げを作ります。$I^k$ の分割に現れる立方体の面（頂点、辺、…）を次元の低い順に処理し、$m$ 次元の面 $e$ については、$e\times\{t_j\}\cup\partial e\times[t_j,t_{j+1}]$ 上で持ち上げが既に決まっているとします（$\partial I^k$ 上の面では、与えられた $\tilde G_0$ を使う）。$e\times[t_j,t_{j+1}]$ は自明化 $h:p^{-1}(U)\cong U\times F$ の中に写るので、既知の持ち上げの $F$ 成分 $\phi$ を $r$ で延ばし、$\tilde G=h^{-1}(G,\phi\circ r)$ と置けば $e\times[t_j,t_{j+1}]$ 上の持ち上げになり、既知の部分と一致します。面の上で一致するので、貼り合わせ補題 により連続な持ち上げが得られます。 $p:E\to B$ を Serre ファイブレーション、$b_0\in B$、$F=p^{-1}(b_0)$、$x_0\in F$ とする。$n\ge1$ で $p_*:\pi_n(E,F,x_0)\to\pi_n(B,b_0)$ は全単射（$n\ge2$ で同型）であり、したがって $$ \cdots\to\pi_n(F,x_0)\xrightarrow{i_*}\pi_n(E,x_0)\xrightarrow{p_*}\pi_n(B,b_0)\xrightarrow{\partial}\pi_{n-1}(F,x_0)\to\cdots\to\pi_0(E,x_0) $$ は完全である。 *全射.* $g:(I^n,\partial I^n)\to(B,b_0)$ を、$s_n$ を（逆向きの）時間とする $I^{n-1}$ のホモトピーと見ます。上面 $\{s_n=1\}$ と側面の合併（$=J^{n-1}$）で持ち上げを定値 $x_0$ と指定すれば（$g$ はそこで $b_0$）、 から持ち上げ $\tilde g:I^n\to E$ があり、$\partial I^n$ は $p^{-1}(b_0)=F$ に、$J^{n-1}$ は $x_0$ に写ります。$p_*[\tilde g]=[g]$。 *単射.* $f_0,f_1\in\pi_n(E,F,x_0)$ で $pf_0$ と $pf_1$ が基点付きホモトピー $G:I^n\times I\to B$ で結ばれるとします。$I^n\times\{0\}$ に $f_0$、$I^n\times\{1\}$ に $f_1$、$J^{n-1}\times I$ に $x_0$ を指定します。この指定域は $I^n\times I$ の境界から面 $I^{n-1}\times I$ の内部を除いたもので、$s_n$ を時間、$I^{n-1}\times I$（$s_1,\dots,s_{n-1}$ と $t$）を立方体と見ると、 の $I^{n}\times\{0\}\cup\partial I^n\times I$ の形です（時間を逆向きに読む）。持ち上げ $\tilde G$ は面 $I^{n-1}\times I$ を $p^{-1}(b_0)=F$ に送るので、$f_0$ と $f_1$ の $\pi_n(E,F,x_0)$ でのホモトピーです。 最後に、対 $(E,F)$ の長完全列 で $\pi_n(E,F)$ を $p_*$ により $\pi_n(B)$ に置き換えます（$\pi_n(E)\to\pi_n(E,F)\to\pi_n(B)$ の合成は $p_*$）。 被覆写像 $p:\tilde X\to X$ は $n\ge2$ で同型 $p_*:\pi_n(\tilde X)\to\pi_n(X)$ を誘導する。特に $\pi_n(S^1)=0$ ($n\ge2$)、$\pi_n(\mathbb{R}P^m)\cong\pi_n(S^m)$ ($n\ge2$)、$\pi_n(SO(3))\cong\pi_n(SU(2))$ ($n\ge2$)。 ファイバーは離散なので $\pi_n(F)=0$ ($n\ge1$)。 と から。$\mathbb{R}\to S^1$ で $\mathbb{R}$ は可縮、$S^m\to\mathbb{R}P^m$、$SU(2)\to SO(3)$（）は被覆です。 ## 4. Hopf ファイブレーション $S^3=\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2:|z_1|^2+|z_2|^2=1\}$ とし、$S^2$ を Riemann 球面 $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ と同一視します。 $p:S^3\to S^2$ を $p(z_1,z_2)=z_1/z_2$（$z_2=0$ なら $\infty$）で定める。 $p(z_1,z_2)=p(w_1,w_2)$ となるのは $(w_1,w_2)=\lambda(z_1,z_2)$（$|\lambda|=1$）のときなので、各ファイバーは円周 $S^1$ です。$S^3$ は互いに絡み合った円周たちで埋め尽くされています。 $p:S^3\to S^2$ はファイバー $S^1$ のファイバー束である。 $U_2=S^2\setminus\{\infty\}=\mathbb{C}$ 上で $h(z_1,z_2)=(z_1/z_2,\ z_2/|z_2|)\in\mathbb{C}\times S^1$ とすると、逆写像は $(w,\lambda)\mapsto(w\lambda,\lambda)/\sqrt{1+|w|^2}$ で、どちらも連続です（$|z_1|^2+|z_2|^2=1$ から $|z_2|=1/\sqrt{1+|w|^2}$）。$U_1=S^2\setminus\{0\}$ 上では $w=z_2/z_1$ として同様です。 $SU(2)=\left\{\begin{pmatrix}a&-\bar b\\ b&\bar a\end{pmatrix}:|a|^2+|b|^2=1\right\}$ なので、$(a,b)$ を読む写像で $SU(2)\cong S^3$ です。Hopf 写像は、$SU(2)$ をその部分群 $U(1)=\{\operatorname{diag}(\lambda,\bar\lambda)\}$ の右作用の軌道で割る写像 $SU(2)\to SU(2)/U(1)\cong S^2$ と同じものです（第 1 列 $(a,b)$ が右から $\operatorname{diag}(\lambda,\bar\lambda)$ を掛けると $\lambda(a,b)$ になる）。 $\pi_2(S^2)\cong\mathbb{Z}$ であり、$n\ge3$ で $p_*:\pi_n(S^3)\to\pi_n(S^2)$ は同型である。 と から が使え、 $$ \pi_n(S^1)\to\pi_n(S^3)\xrightarrow{p_*}\pi_n(S^2)\xrightarrow{\partial}\pi_{n-1}(S^1)\to\pi_{n-1}(S^3) $$ が完全です。$n\ge3$ では両端の $\pi_n(S^1)=\pi_{n-1}(S^1)=0$（）なので $p_*$ は同型。$n=2$ では $\pi_2(S^3)=\pi_1(S^3)=0$（）なので $\partial:\pi_2(S^2)\to\pi_1(S^1)$ は同型で、 から $\mathbb{Z}$。 ## 5. 写像度と π₃(SU(2)) $S^n=I^n/\partial I^n$ と同一視し、基点付き写像 $f:S^n\to S^n$ に写像度 $\deg f$（）を対応させます。写像度はホモトピー不変なので、写像 $\deg:\pi_n(S^n)\to\mathbb{Z}$ が定まります。 $n\ge1$ で $\deg:\pi_n(S^n)\to\mathbb{Z}$ は全射準同型であり、$\deg[\mathrm{id}]=1$。 $W=S^n\vee S^n$（二つの球面を基点で貼ったもの）とし、$j_1,j_2:S^n\to W$ を包含、$q_1,q_2:W\to S^n$ を他方の球面を基点に潰す写像とします。$q_aj_b$ は $a=b$ なら恒等写像、$a\ne b$ なら定値写像です。第 2 の球面から基点以外の一点を除いた開集合 $A$ は第 1 の球面に、同様の $B$ は第 2 の球面に変位レトラクトし、$A\cap B$ は可縮です。簡約 Mayer–Vietoris 完全列 から $(j_{1*},j_{2*}):H_n(S^n)^2\to H_n(W)$ は同型で、したがって $(q_{1*},q_{2*}):H_n(W)\to H_n(S^n)^2$ もその逆として同型です。 $c:I^n/\partial I^n\to W$ を、超平面 $s_1=\tfrac12$ を基点に潰して左半分を第 1 の球面、右半分を第 2 の球面に写す写像とすると、定義から $f+g=(f\vee g)\circ c$。$q_1c$ は $[\mathrm{id}]+0$ を表すので（）恒等写像にホモトピックで、$q_2c$ も同様です。よって $(q_{1*},q_{2*})c_*[S^n]=([S^n],[S^n])=(q_{1*},q_{2*})(j_{1*}[S^n]+j_{2*}[S^n])$ で、$c_*[S^n]=j_{1*}[S^n]+j_{2*}[S^n]$。$(f\vee g)j_1=f$, $(f\vee g)j_2=g$ なので $$ (f+g)_*[S^n]=(f\vee g)_*c_*[S^n]=f_*[S^n]+g_*[S^n], $$ すなわち $\deg(f+g)=\deg f+\deg g$。$\deg\mathrm{id}=1$ なので $\deg(k[\mathrm{id}])=k$ で全射です。 **写像度の単射性（次章で証明）。** 写像 $f:S^n\to S^n$ の懸垂 $\Sigma f:S^{n+1}\to S^{n+1}$（各高さで $f$ を施す）は準同型 $\Sigma:\pi_n(S^n)\to\pi_{n+1}(S^{n+1})$ を与え、これは同型である（Freudenthal の懸垂定理の最初の範囲、）。同値な内容として、**Hopf の写像度定理**「$S^n\to S^n$ の二つの写像は、写像度が等しければホモトピック」がある（）。どちらも、$(n-1)$-連結な空間で $\pi_n\cong H_n$ を主張する Hurewicz の定理（）から従う。 すべての $n\ge1$ について $\deg:\pi_n(S^n)\to\mathbb{Z}$ は同型であり、特に $$ \pi_3(SU(2))\cong\pi_3(S^3)\cong\mathbb{Z},\qquad \pi_3(SO(3))\cong\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z} $$ で、$\pi_3(SU(2))$ の生成元は恒等写像、$\pi_3(S^2)$ の生成元は Hopf 写像である。 $\pi_1(S^1)$ と $\pi_2(S^2)$ は と により無限巡回群です。無限巡回群から $\mathbb{Z}$ への全射準同型は同型なので、 から $n=1,2$ で $\deg$ は同型です。一般の $n\ge1$ では、Hurewicz の定理の帰結 により $\deg$ は同型です。$SU(2)\cong S^3$、$\pi_3(SO(3))\cong\pi_3(SU(2))$（）、$\pi_3(S^2)\cong\pi_3(S^3)$（）で、同型 $p_*$ は $[\mathrm{id}]$ を $[p]$ に送ります。 写像度は積分で計算できます。de Rham の定理を使うと、次が成り立ちます。 $n\ge1$、$f:S^n\to S^n$ を滑らかな写像、$\omega$ を $S^n$ 上の $n$ 形式とすると $\int_{S^n}f^*\omega=\deg f\int_{S^n}\omega$。 de Rham の定理 の同型 $H^n_{\mathrm{dR}}(S^n)\cong H^n(S^n;\mathbb{R})$ は $f^*$ と可換です。普遍係数定理 の写像 $h:H^n(S^n;\mathbb{R})\to\operatorname{Hom}(H_n(S^n),\mathbb{R})$ は $H_{n-1}(S^n)$ が自由なので同型で、$h(f^*\alpha)=h(\alpha)\circ f_*=\deg f\cdot h(\alpha)$ です。したがって $f^*$ は $H^n_{\mathrm{dR}}(S^n)$ 上で $\deg f$ 倍で、$\int_{S^n}$ は $H^n_{\mathrm{dR}}(S^n)$ 上の線形形式（）なので主張が従います。 次の例の計算の流れは三つです。左移動で不変な 3 形式は単位元での値だけで決まるので、体積形式の定数倍になります。その定数を単位元で計算すると $12$ です。これに $S^3$ の体積 $2\pi^2$ をかけて $24\pi^2$ を得ます。$\theta=g^{-1}dg$ は、$g$ の変化を左から単位元の近くへ移して測る行列値の 1 形式です。 $SU(2)$ 上の行列値 1 形式 $\theta=g^{-1}dg$（Maurer–Cartan 形式）に対し $\Omega=\operatorname{tr}(\theta\wedge\theta\wedge\theta)$ とおきます。左移動 $L_h(g)=hg$ について $L_h^*\theta=\theta$ なので $\Omega$ も左不変です。単位元での接ベクトル $i\sigma_1,i\sigma_2,i\sigma_3$（Pauli 行列）は、$SU(2)\cong S^3\subset\mathbb{C}^2=\mathbb{R}^4$ の正規直交基底で、$\theta(i\sigma_a)=i\sigma_a$、$\operatorname{tr}(\sigma_1\sigma_2\sigma_3)=2i$ から $$ \Omega(i\sigma_1,i\sigma_2,i\sigma_3)=\sum_{\pi\in S_3}\operatorname{sgn}\pi\,\operatorname{tr}(i\sigma_{\pi1}\,i\sigma_{\pi2}\,i\sigma_{\pi3})=\sum_\pi(\operatorname{sgn}\pi)^2\,(-i)(2i)=12. $$ 左乗法 $g\mapsto hg$ は第 1 列 $(a,b)$ にユニタリ行列 $h$ を掛ける写像なので、$\mathbb{R}^4$ の等長変換で、$SU(2)$ が連結なので向きも保ちます。よって $S^3$ の体積形式 $\mathrm{vol}$（$(i\sigma_1,i\sigma_2,i\sigma_3)$ が正の向きになるように向きを選ぶ）も左不変です。左不変な 3 形式は単位元での値で決まるので $\Omega=12\,\mathrm{vol}$、$\int_{SU(2)}\Omega=12\cdot2\pi^2=24\pi^2$（$S^3$ の体積は $2\pi^2$）。 から、滑らかな $g:S^3\to SU(2)$ について $$ \deg g=\frac1{24\pi^2}\int_{S^3}\operatorname{tr}\bigl((g^{-1}dg)^3\bigr) $$ です（$g^*\theta=g^{-1}dg$）。左辺は整数なので、右辺の積分は $24\pi^2$ の整数倍にしかなりません。ゲージ理論ではこれが無限遠でのゲージ変換の巻き付き数、すなわちインスタントン数です。 $\pi_4(S^3)\cong\mathbb{Z}/2$（生成元は Hopf 写像 $S^3\to S^2$ の懸垂 $S^4\to S^3$）も知られており、$\pi_4(SU(2))\cong\mathbb{Z}/2$ が Witten の $SU(2)$ アノマリーの背景になります（参考文献の Hatcher 第 4.2 節、Witten 1982）。本記事ではこれを証明しません。 ## 6. 弱ホモトピー同値と分類空間 ホモトピー群がすべて一致する写像は、ホモトピー論の立場からは「同じ空間」とみなしたいものです。その意味を定め、被覆空間の言葉で離散群の分類空間を作ります。 連続写像 $f:X\to Y$ が**弱ホモトピー同値**であるとは、$f_*:\pi_0(X)\to\pi_0(Y)$ が全単射で、すべての $x\in X$ とすべての $n\ge1$ について $f_*:\pi_n(X,x)\to\pi_n(Y,f(x))$ が同型であることをいう。空でない空間 $X$ が**弱可縮**であるとは、一点への写像が弱ホモトピー同値であること、すなわち $X$ が道連結で、すべての $n\ge1$ と $x\in X$ について $\pi_n(X,x)=0$ であることをいう。 1. 可縮な空間（）は弱可縮である。 2. $p:E\to B$ を Serre ファイブレーションで全射とし、すべての $b\in B$ についてファイバー $p^{-1}(b)$ が弱可縮であるとする。このとき $p$ は弱ホモトピー同値である。とくにファイバーが弱可縮なファイバー束の射影は弱ホモトピー同値である。 (1) $H:X\times I\to X$ を $\mathrm{id}_X$ から定値写像 $c$ へのホモトピーとします。道連結性は の 2 です。基点付き写像 $f:(S^n,s_0)\to(X,x)$ に対し $H\circ(f\times\mathrm{id}_I)$ は $f$ から定値写像への（基点を固定しない）ホモトピーなので、 から $[f]=0$ です。 (2) $x\in E$、$b=p(x)$、$F=p^{-1}(b)$ とし、 の完全列 $$ \pi_n(F,x)\to\pi_n(E,x)\xrightarrow{p_*}\pi_n(B,b)\xrightarrow{\partial}\pi_{n-1}(F,x) $$ を使います。$n\ge2$ では両端が $0$ なので $p_*$ は同型です。$n=1$ では、左端 $\pi_1(F)=0$ から $p_*$ の核は自明で（群の準同型なので単射）、右端 $\pi_0(F)$ は一点なので $\partial$ の値はつねに基点で、完全性から $p_*$ は全射です。$\pi_0$ について、全射性は $p$ の全射性から従います。単射性: $p(x)$ と $p(y)$ が $B$ の道 $\gamma$ で結ばれているとすると、 を $k=0$ で使い、$\gamma$ を $x$ から始まる $E$ の道 $\tilde\gamma$ に持ち上げます。$\tilde\gamma(1)$ と $y$ は同じファイバー $p^{-1}(p(y))$ にあり、それは道連結なので、$x$ と $y$ は $E$ の同じ道連結成分にあります。最後の主張は によります。 弱ホモトピー同値はホモトピー同値より真に弱い概念です。ただし CW 複体の間の弱ホモトピー同値はホモトピー同値であり（**Whitehead の定理**）、任意の空間は CW 複体からの弱ホモトピー同値を持つ（CW 近似）ので、ホモトピー群・ホモロジー群を調べる限り弱ホモトピー同値で十分です。どちらも胞体の次元に関する帰納法で示されます（参考文献の Hatcher 第 4.1 節）。本記事では使いません。 次に、離散群 $G$ について、「総空間が弱可縮な被覆」を考えます。被覆の理論から、底空間のホモトピー群は $\pi_1$ だけが $G$ として残ります。 $G$ を離散群とする。被覆写像 $p:E\to B$（）に、$G$ が $E$ に右から同相写像で作用し（$e\mapsto eg$）、$p(eg)=p(e)$ で、各ファイバー $p^{-1}(b)$ の上で単純推移的（任意の $e,e'\in p^{-1}(b)$ に対し $e'=eg$ となる $g$ がただ一つある）であるとき、$p$ を**主 $G$ 被覆**という。総空間 $E$ が弱可縮な主 $G$ 被覆を**普遍主 $G$ 束**と呼んで $EG\to BG$ と書き、底空間 $BG$ を $G$ の**分類空間**という。 $G$ を離散群、$p:E\to B$ を総空間 $E$ が弱可縮な主 $G$ 被覆とし、$e_0\in E$、$b_0=p(e_0)$ とする。このとき $B$ は道連結で、 $$ \pi_1(B,b_0)\cong G,\qquad\pi_n(B,b_0)=0\quad(n\ge2) $$ である。 $B=p(E)$ は道連結空間の連続像なので道連結です。$n\ge2$ では、 により $\pi_n(B)\cong\pi_n(E)=0$ です。 $n=1$ を示します。$b_0$ のループ $\gamma$ に対し、$e_0$ を始点とする持ち上げ $\tilde\gamma$（）の終点は $p^{-1}(b_0)$ にあるので、$\tilde\gamma(1)=e_0g_\gamma$ となる $g_\gamma\in G$ がただ一つあります。 により $g_\gamma$ は $[\gamma]$ だけで決まります。 *準同型.* $\delta$ をもう一つのループ、$\tilde\delta$ をその $e_0$ 始点の持ち上げとします。$t\mapsto\tilde\delta(t)g_\gamma$ は連続で（$g_\gamma$ の作用は同相写像）、$p(\tilde\delta(t)g_\gamma)=\delta(t)$、始点は $e_0g_\gamma=\tilde\gamma(1)$ です。持ち上げの一意性（）から、$\gamma\cdot\delta$ の $e_0$ 始点の持ち上げは $\tilde\gamma$ の後に $\tilde\delta\,g_\gamma$ をつないだもので、終点は $e_0g_\delta g_\gamma$ です。よって $g_{\gamma\cdot\delta}=g_\delta g_\gamma$ で、$\Psi[\gamma]=g_\gamma^{-1}$ と置くと $\Psi([\gamma][\delta])=g_\gamma^{-1}g_\delta^{-1}=\Psi[\gamma]\Psi[\delta]$ です。 *全射.* $g\in G$ に対し、$E$ は道連結なので $e_0$ から $e_0g^{-1}$ への道 $\tilde\gamma$ があり、$\gamma=p\tilde\gamma$ は $b_0$ のループで $\Psi[\gamma]=g$ です。 *単射.* $\Psi[\gamma]=1$ なら $\tilde\gamma$ は閉じているので、 により $[\gamma]$ は $p_*\pi_1(E,e_0)$ に属しますが、$E$ は弱可縮なので $\pi_1(E,e_0)=1$ で、$[\gamma]=1$ です。 (a) $G=\mathbb{Z}$: $\mathbb{R}\to S^1$、$t\mapsto e^{2\pi it}$ は、$n\in\mathbb{Z}$ が $t\mapsto t+n$ で作用する主 $\mathbb{Z}$ 被覆で、$\mathbb{R}$ は可縮です。よって $S^1$ は $B\mathbb{Z}$ で、命題は $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$、$\pi_n(S^1)=0$ を再現します。同様に $\mathbb{R}^n\to T^n$ から $T^n$ は $B\mathbb{Z}^n$ です。 (b) $G=\mathbb{Z}/2$: 有限個の成分を除いて $0$ である実数列の空間 $\mathbb{R}^\infty$ に $\ell^2$ ノルムを入れ、単位球面を $S^\infty$ とします。$S^\infty$ は可縮です。実際、右シフト $T(x_1,x_2,\dots)=(0,x_1,x_2,\dots)$ は線形な等長写像で、$x\ne0$ の最後の 0 でない成分の位置が $Tx$ では 1 つ後ろにずれるので $x$ と $Tx$ は一次独立、よって $(1-t)x+tTx\ne0$ です。$H_1(x,t)=\frac{(1-t)x+tTx}{\|(1-t)x+tTx\|}$ は $\mathrm{id}$ から $T|_{S^\infty}$ へのホモトピーで、$Tx\perp e_1$ なので $(1-t)Tx+te_1\ne0$ を正規化した $H_2$ は $T|_{S^\infty}$ から定値写像 $e_1$ へのホモトピーです。$\mathbb{Z}/2$ を $x\mapsto-x$ で作用させた商 $\mathbb{R}P^\infty=S^\infty/\{\pm1\}$ への射影 $p$ は主 $\mathbb{Z}/2$ 被覆です。$x\in S^\infty$ の開近傍 $U=\{y:\|y-x\|<1\}$ は $-U$ と交わらず（交われば $2=\|2x\|\le\|x-y\|+\|x+y\|<2$）、$p$ は開写像（$p^{-1}(p(V))=V\cup(-V)$）なので $p|_U$ は $p(U)$ への同相、$p^{-1}(p(U))=U\sqcup(-U)$ です。よって $\mathbb{R}P^\infty$ は $B(\mathbb{Z}/2)$ で、$\pi_1(\mathbb{R}P^\infty)\cong\mathbb{Z}/2$、高次のホモトピー群はすべて $0$ です。有限次元の $\mathbb{R}P^m$（$m\ge2$）では $\pi_m(\mathbb{R}P^m)\cong\pi_m(S^m)\ne0$（）なので、次元を無限にすることが本質的です。 分類空間は離散群に限らず、任意の位相群 $G$ について、総空間が弱可縮な主 $G$ 束 $EG\to BG$ として定義され、Milnor の構成（$G$ の無限回の結 $G*G*\cdots$ を使う）で存在が示されます。その意味は**普遍性**にあります。パラコンパクトな空間 $X$ 上の主 $G$ 束の同型類は、写像のホモトピー類 $[X,BG]$ と、$EG$ の引き戻しによって 1 対 1 に対応します。たとえば $BU(1)=\mathbb{C}P^\infty$ で、複素直線束は $X\to\mathbb{C}P^\infty$ のホモトピー類で分類され、[Chern–Weil 理論](/mathematics/differential-geometry/chern-weil) の第 1 Chern 類は、$H^2(\mathbb{C}P^\infty;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の生成元をこの写像で引き戻した類（を実係数に移したもの）です。これらの証明には束の延長とパラコンパクト性の議論が要り、本サイトではまだ扱っていません（D. Husemoller, *Fibre Bundles*, 3rd ed., Springer GTM 20, 1994 — 第 4 章）。離散群の場合の別の構成として、群の脈体（[特異ホモロジー](/mathematics/algebraic-topology/singular-homology) の単体的集合の節を参照）の幾何的実現があります。 ## 7. 演習 $\pi_2(\mathbb{R}P^2)$ と $\pi_3(\mathbb{R}P^2)$ を求めよ。 から $\pi_n(\mathbb{R}P^2)\cong\pi_n(S^2)$ ($n\ge2$)。 と から $\pi_2(\mathbb{R}P^2)\cong\mathbb{Z}$、$\pi_3(\mathbb{R}P^2)\cong\mathbb{Z}$。基本群 $\pi_1(\mathbb{R}P^2)=\mathbb{Z}/2$ と違い、高次のホモトピー群は被覆で変わらない。 Hopf 写像 $p:S^3\to S^2$ が切断（$p\circ s=\mathrm{id}$ となる連続写像 $s:S^2\to S^3$）を持たないことを示せ。 切断があれば $\pi_2(S^2)\cong\mathbb{Z}$ 上で $p_*s_*=\mathrm{id}$（）だが、$s_*$ は $\pi_2(S^3)=0$（）を経由するので $0$。矛盾。 $SO(n+1)$ は $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ に推移的に作用し、$e_{n+1}$ の固定部分群は $SO(n)$ で、$SO(n+1)\to S^n$, $A\mapsto Ae_{n+1}$ はファイバー $SO(n)$ のファイバー束であることが知られている。これを認めて、$n\ge3$ で $\pi_1(SO(n))\cong\pi_1(SO(n+1))$ を示せ。また $\pi_1(SO(3))$ を求めよ。 から $\pi_2(S^n)\to\pi_1(SO(n))\to\pi_1(SO(n+1))\to\pi_1(S^n)$ が完全で、$n\ge3$ では両端が $0$（）なので同型。$SU(2)\to SO(3)$ は 2 重被覆で $SU(2)\cong S^3$ は単連結なので、$\pi_1(SO(3))\cong\mathbb{Z}/2$（）。したがって $n\ge3$ で $\pi_1(SO(n))\cong\mathbb{Z}/2$。 ## 参考文献 - A. Hatcher, *Algebraic Topology*, Cambridge University Press, 2002 — 第 4.1 節（ホモトピー群、長完全列、弱ホモトピー同値と Whitehead の定理）、第 4.2 節（Freudenthal の懸垂定理、ファイバー束と長完全列、Hopf ファイブレーション）、第 1.B 節（$K(G,1)$ 空間）。 - J. W. Milnor, *Topology from the Differentiable Viewpoint*, University of Virginia Press, 1965 — 第 7 節（Hopf の写像度定理）。 - N. Steenrod, *The Topology of Fibre Bundles*, Princeton University Press, 1951 — ファイバー束とホモトピー列。 - E. Witten, "An SU(2) anomaly", *Physics Letters B* 117 (1982), 324–328. [doi:10.1016/0370-2693(82)90728-6](https://doi.org/10.1016/0370-2693%2882%2990728-6) - 枡田幹也『代数的トポロジー』朝倉書店、2002 — ホモトピー群の章。