# 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題
> 体の絶対値を分類する Ostrowski の定理、代数体の素点と積公式、弱近似定理、完備化の構成、p 進数体 Q_p と Z_p のコンパクト性、Newton 法の形の Hensel の補題、Teichmüller 代表、Newton 多角形を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebraic-number-theory/valuations-and-completions
## 0. この記事の要点
有理数の「大きさ」は、ふつうは数直線上の距離で測ります。けれども「$7$ で何回割り切れるか」を基準に、$7$ の高い冪で割り切れる数ほど小さいと見なす測り方もあり、整数論ではこちらがよく使われます。この記事では、有理数や代数体に入れられる「大きさの測り方」をすべて分類し、それぞれの測り方で数を無限小数のように延ばした世界（完備化）で、方程式の解を一桁ずつ求める方法を学びます。読み終えると、$\sqrt 2$ が $7$ 進数の世界に存在することを、自分の手で確かめられるようになります。
- 体の**絶対値**は、整数の像が有界かどうかで非 Archimedes 的・Archimedes 的に分かれます（
### 6.2. 1 の冪根と単数群
$p$ を素数とし、$p$ が奇数なら $j \ge 1$、$p = 2$ なら $j \ge 2$ とする。$x = 1 + p^jt$（$t \in \mathbb{Z}_p^{\times}$）と正の整数 $m = p^am'$（$p \nmid m'$）について、$x^m = 1 + p^{j+a}t'$、$t' \in \mathbb{Z}_p^{\times}$ である。特に $x^m \ne 1$ で、乗法群 $1 + p\mathbb{Z}_p$（$p$ が奇数）、$1 + 4\mathbb{Z}_2$（$p = 2$）は単位元以外に位数有限の元をもたない。
$p \nmid m'$ のとき $x^{m'} = 1 + m'p^jt + \sum_{i \ge 2}\binom{m'}{i}p^{ij}t^i$ で、$i \ge 2$ の項は $p^{2j}$ で割り切れるので $x^{m'} = 1 + p^j(m't + p^j(\cdots))$、括弧内は単元です。次に $p$ 乗を考えます。
$$
x^p = 1 + p^{j+1}t + \sum_{i=2}^{p-1}\binom pip^{ij}t^i + p^{pj}t^p.
$$
$2 \le i \le p - 1$ では $p \mid \binom pi$ なので項の付値は $1 + ij \ge j + 2$ 以上です。最後の項の付値は $pj$ で、$pj \ge j + 2$ は $(p - 1)j \ge 2$ と同値ですから、$p \ge 3$ か、$p = 2$ かつ $j \ge 2$ なら成り立ちます。よって $x^p = 1 + p^{j+1}(t + p(\cdots))$ で、括弧内は単元です。$j + 1$ は再び仮定を満たすので、$p$ 乗を $a$ 回繰り返し、最後に $m'$ 乗すれば主張が得られます。
1. $\mathbb{Z}_p$ は 1 の $(p - 1)$ 乗根をちょうど $p - 1$ 個含み、還元 $\mathbb{Z}_p \to \mathbb{F}_p$ はその全体 $\mu_{p-1}$ から $\mathbb{F}_p^{\times}$ への群の同型を与える。$\alpha \in \mathbb{F}_p^{\times}$ に対応する元 $\omega(\alpha) \in \mu_{p-1}$ を $\alpha$ の **Teichmüller 代表**という。$\alpha$ の任意の持ち上げ $a \in \mathbb{Z}_p$ について $\omega(\alpha) = \lim_{n \to \infty}a^{p^n}$ である。
2. $\mathbb{Q}_p$ に含まれる 1 の冪根の全体は、$p$ が奇数なら $\mu_{p-1}$、$p = 2$ なら $\{\pm 1\}$ である。
1. $f = X^{p-1} - 1$ の還元は $\mathbb{F}_p[X]$ で $\prod_{\alpha \in \mathbb{F}_p^{\times}}(X - \alpha)$ と相異なる 1 次式の積に分解します（$\mathbb{F}_p^{\times}$ の元はすべて $\alpha^{p-1} = 1$ を満たす）。