# Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理

> ノルムが x 以下の整イデアルの個数を格子点の数え上げで評価し、Dedekind ゼータ関数の s=1 での留数（解析的類数公式）を導く。円分体のゼータの分解から L(1,χ)≠0 と Dirichlet の算術級数定理を、射線類指標の L 関数から類体論の第 2 不等式を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions

## 0. この記事の要点

整数 $1, 2, 3, \ldots$ を素数の積に分けることの代わりに、代数体の整数環でイデアルを素イデアルの積に分けるとき、「大きさが $x$ 以下のイデアルは全部でいくつあるか」という素朴な疑問が出ます。この記事は、その個数がおよそ $x$ に比例して増え、比例定数が体の類数などの量で書けることを示します。それを使うと、「$a$ と $m$ が互いに素なら、$m$ で割って $a$ 余る素数は無限にある」という Dirichlet の定理が証明でき、類体論で必要になる不等式も出ます。

- 代数体 $K$（次数 $n$）の各イデアル類について、ノルムが $x$ 以下の整イデアルの個数は $\kappa x + O(x^{1 - 1/n})$ で、$\kappa = 2^{r_1}(2\pi)^{r_2}R_K/(w_K\sqrt{|d_K|})$ は類によりません（<Ref to="thm-ideal-count" />）。証明は、単数の作用の基本領域になる錐の中の格子点の数え上げです。
- したがって **Dedekind ゼータ関数** $\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{a}}N\mathfrak{a}^{-s}$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ に有理型に延び、$s = 1$ に 1 位の極をもち、留数は $h_K\kappa$ です（**解析的類数公式**。<Ref to="thm-class-number-formula" />）。
- 円分体では $\zeta_{\mathbb{Q}(\zeta_m)}(s)$ が Dirichlet の L 関数の積に分解します（<Ref to="thm-zeta-cyclotomic-factorization" />）。左辺の極が 1 位であることから $L(1, \chi) \ne 0$（<Ref to="thm-l1-nonvanishing" />）、そこから **Dirichlet の算術級数定理**（<Ref to="thm-dirichlet-arithmetic-progressions" />）が従います。
- 虚二次体では $h = \dfrac{w\sqrt{|d|}}{2\pi}L(1, \chi_d)$ で、右辺は有限和で書けます（<Ref to="cor-quadratic-class-number" />）。
- Galois 拡大 $L/K$ で完全分解する素イデアルの Dirichlet 密度（素イデアル全体の中での割合を、$s \to 1$ での和の増え方で測ったもの）は $1/[L:K]$ です（<Ref to="thm-density-split-completely" />）。これと射線類指標の L 関数から、ノルム群の指数の上界 $[I^{\mathfrak{m}} : P_{\mathfrak{m}}N(I_L^{\mathfrak{m}})] \le [L:K]$（類体論の**第 2 不等式**。<Ref to="thm-universal-norm-inequality" />）が出ます。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **ゼータ関数**: $\sum n^{-s}$ で定まるリーマン・ゼータ関数。この記事の $\zeta_K(s)$ はその代数体版です。→ [ゼータ関数](/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#def-zeta-series)
- **Minkowski 埋め込み**: 代数体を、実数と複素数の組の空間に格子として埋め込む写像。→ [Minkowski 埋め込み](/mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#def-minkowski-embedding)
- **分数イデアル**: 整数環の元で分母を許したイデアルのこと。整イデアルはその特別な場合です。→ [分数イデアル](/mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#def-fractional-ideal)
- **イデアルのノルム**: イデアル $\mathfrak{a}$ による剰余環 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}$ の元の個数。→ [イデアルのノルム](/mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#def-ramification-index)
- **モジュラスと射線類群**: 法にあたるイデアルと無限素点の組と、それに合わせて作るイデアル類群。→ [モジュラス・射線類群](/mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#def-modulus)
- **零点の位数**: 正則関数が $0$ になる点で、$(s - s_0)$ の何乗で $0$ になるか。→ [零点の位数](/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#def-order-of-zero)

</Aside>

## 1. 動機

Euler は $\zeta(s) = \sum n^{-s} = \prod_p(1 - p^{-s})^{-1}$ の $s \to 1$ での発散から、素数の逆数和が発散することを導きました（<Ref to="mathematics/number-theory/primes-and-prime-number-theorem#thm-euler-divergence" />）。Dirichlet は同じ考えを「$m$ を法として $a$ に合同な素数」に適用するために、指標 $\chi$ でひねった級数 $L(s, \chi) = \sum\chi(n)n^{-s}$ を導入しました。指標の直交関係で合同条件を取り出すと、問題は「$\chi \ne 1$ のとき $L(1, \chi) \ne 0$ か」という 1 点に集約されます。

この非零性は、見かけよりずっと代数的な事実です。円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ のゼータ関数は $\prod_\chi L(s, \chi)$ に等しく、左辺は $s = 1$ にちょうど 1 位の極をもちます。右辺で極をもつのは $\chi = 1$ の因子 $\zeta(s)$ だけなので、ほかの因子が $s = 1$ で $0$ になると極が消えてしまいます。つまり $L(1, \chi) \ne 0$ は「代数体のゼータ関数は $s = 1$ に極をもつ」ことの言い換えです。

では、なぜ $\zeta_K(s)$ は極をもつのでしょうか。$\zeta_K(s)$ の係数はノルムが $m$ の整イデアルの個数で、その部分和は「ノルムが $x$ 以下の整イデアルの個数」です。これが $x$ に比例して増えること、しかも比例定数が体の不変量（類数 $h$、単数規準 $R$、判別式 $d$、1 の冪根の個数 $w$）で書けることを示すのが本章の中心の計算です。結果として得られる類数公式は、解析的な量（留数）と算術的な量（類数）を結びます。

本章の解析は「部分和の評価 → Abel の総和法 → $s = 1$ の近くの挙動」の 1 本道に絞り、全平面への接続や関数等式は使いません。最後の節では、同じ手法を射線類群の指標に適用して、[類体論](/mathematics/algebraic-number-theory/class-field-theory)で使う第 2 不等式を証明します。

**既出の章から使うもの。** 格子・[Minkowski 埋め込み](/mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#def-minkowski-embedding)・余体積は[イデアル類群の有限性と Minkowski 限界](/mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound)、イデアルの素イデアル分解とノルムは[代数体の整数環と Dedekind 整域](/mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains)、円分体の分解法則は[円分体と Kronecker–Weber の定理](/mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields)、射線類群の有限性と単数定理の形（単数の対数が超平面を張る）は[アデールとイデール](/mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles)、$\zeta(s)$ の $\mathrm{Re}\,s \gt 0$ への接続は <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-continuation" /> を使います。

## 2. Dirichlet 級数

複素数列 $(a_m)_{m \ge 1}$ に対し $\sum_{m \ge 1}a_mm^{-s}$ を **Dirichlet 級数**といいます。$s = \sigma + it$（$\sigma, t$ は実数）と書きます。Dirichlet 級数がある $s_0$ で収束すれば $\mathrm{Re}\,s \gt \mathrm{Re}\,s_0$ で収束することが下の補題から分かるので、収束する範囲は半平面です。その境界の実部を**収束軸**（収束横座標）といいます。

<Lemma id="lem-dirichlet-series-convergence" title="部分和の評価と収束半平面">
$A(x) := \sum_{m \le x}a_m$ とおく。

1. 定数 $C \gt 0$、$a \ge 0$ があって、すべての $x \ge 1$ で $|A(x)| \le Cx^{a}$ ならば、$\sum a_mm^{-s}$ は $\mathrm{Re}\,s \gt a$ で収束し、収束は $\mathrm{Re}\,s \gt a$ のコンパクト集合の上で一様である。したがって和は $\mathrm{Re}\,s \gt a$ で正則である。
2. 定数 $\kappa \in \mathbb{C}$、$0 \le b \lt 1$ があって $A(x) = \kappa x + O(x^{b})$（$x \ge 1$）ならば、$f(s) = \sum a_mm^{-s}$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で収束し、$f(s) - \kappa\zeta(s)$ は $\mathrm{Re}\,s \gt b$ の正則関数に延びる。したがって $f$ は $\mathrm{Re}\,s \gt b$ の有理型関数に延び、$\kappa \ne 0$ なら $s = 1$ に 1 位の極をもち、$\lim_{s \to 1}(s - 1)f(s) = \kappa$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-dirichlet-series-convergence">
**1.** 整数 $M \lt N$ について、$a_m = A(m) - A(m - 1)$ を代入して和を組み替えます（Abel の総和法）。
$$
\sum_{m = M + 1}^{N}a_mm^{-s} = A(N)N^{-s} - A(M)(M + 1)^{-s} + \sum_{m = M + 1}^{N - 1}A(m)\bigl(m^{-s} - (m + 1)^{-s}\bigr).
$$
$m^{-s} - (m + 1)^{-s} = s\int_m^{m + 1}x^{-s - 1}\,dx$ なので、$|m^{-s} - (m + 1)^{-s}| \le |s|\int_m^{m + 1}x^{-\sigma - 1}\,dx$ です。$\sigma \gt a$ のとき、$|A(m)| \le Cm^a \le Cx^a$（$x \ge m$）を使うと
$$
\Bigl|\sum_{m = M + 1}^{N}a_mm^{-s}\Bigr| \le CN^{a - \sigma} + CM^{a - \sigma} + C|s|\int_M^{\infty}x^{a - \sigma - 1}\,dx \le \Bigl(2C + \frac{C|s|}{\sigma - a}\Bigr)M^{a - \sigma}
$$
です。$\sigma \ge a + \delta$、$|s| \le B$ の範囲では右辺は $(2C + CB/\delta)M^{-\delta}$ 以下で、$M \to \infty$ で $0$ に一様に収束します。よって部分和は Cauchy の条件を一様に満たし、級数はこの範囲で一様収束します。$\mathrm{Re}\,s \gt a$ のコンパクト集合はこの形の範囲に含まれます。部分和は整関数なので、Weierstrass の収束定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）により和は正則です。

**2.** $a'_m := a_m - \kappa$ とおくと、その部分和は $A(x) - \kappa\lfloor x\rfloor = O(x^b) + \kappa(x - \lfloor x\rfloor) = O(x^{b})$ です（$b \ge 0$ なので有界な項は $O(x^b)$）。1 により $g(s) := \sum a'_mm^{-s}$ は $\mathrm{Re}\,s \gt b$ で正則です。$\mathrm{Re}\,s \gt 1$ では $\sum m^{-s} = \zeta(s)$ が収束するので $f(s) = g(s) + \kappa\zeta(s)$ も収束します。$\zeta$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 0$ に有理型に延び、極は $s = 1$ の 1 位の極だけで留数は $1$ です（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-continuation" />）。よって $g + \kappa\zeta$ が $f$ の接続を与え、$(s - 1)f(s) \to 0 + \kappa$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-landau" title="Landau の補題">
$a_m \ge 0$ とし、$f(s) = \sum a_mm^{-s}$ が $\mathrm{Re}\,s \gt \sigma_0$（$\sigma_0$ は実数）で収束するとする。$f$ が点 $\sigma_0$ の近傍まで正則に延びるならば、ある $\varepsilon \gt 0$ について級数は $\mathrm{Re}\,s \gt \sigma_0 - \varepsilon$ で収束する。すなわち、非負係数の Dirichlet 級数は、収束軸の上の実の点を特異点にもつ。
</Lemma>

<Proof of="lem-landau">
$f$ は $\Omega := \{\mathrm{Re}\,s \gt \sigma_0\} \cup D(\sigma_0, \delta)$ で正則とします（$\mathrm{Re}\,s \gt \sigma_0$ での正則性は、係数が非負なので $\mathrm{Re}\,s \ge \sigma_1 \gt \sigma_0$ で $|a_mm^{-s}| \le a_mm^{-\sigma_1}$ となり、一様収束することから従います）。$c := \sigma_0 + 1$ とおきます。$\varepsilon \gt 0$ を $2\varepsilon^2 + 2\varepsilon \lt \delta^2$ となるように取ると、円板 $D(c, 1 + \varepsilon)$ は $\Omega$ に含まれます。実際 $s = \sigma_0 - x + iy$（$x \ge 0$）が $|s - c| \lt 1 + \varepsilon$ を満たせば、$(1 + x)^2 + y^2 \lt (1 + \varepsilon)^2$ から $x \lt \varepsilon$、$y^2 \lt 2\varepsilon + \varepsilon^2$ で、$|s - \sigma_0|^2 = x^2 + y^2 \lt 2\varepsilon^2 + 2\varepsilon \lt \delta^2$ です。

Taylor 展開（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-taylor" />）により、$D(c, 1 + \varepsilon)$ で $f(s) = \sum_{k \ge 0}f^{(k)}(c)(s - c)^k/k!$ です。$\mathrm{Re}\,s \gt \sigma_0$ では級数を項別に微分でき（<Ref to="mathematics/complex-analysis/argument-principle-rouche#thm-weierstrass-convergence" />）、$f^{(k)}(c) = \sum_ma_m(-\log m)^km^{-c}$ です。実数 $s_1 := \sigma_0 - \varepsilon/2$ は $|s_1 - c| = 1 + \varepsilon/2$ なので円板に入り、
$$
f(s_1) = \sum_{k \ge 0}\frac{(c - s_1)^k}{k!}\sum_{m \ge 1}a_m(\log m)^km^{-c}
$$
です。右辺は非負の項の二重級数なので、和の順序を入れ替えられます。
$$
f(s_1) = \sum_{m \ge 1}a_mm^{-c}\sum_{k \ge 0}\frac{\bigl((c - s_1)\log m\bigr)^k}{k!} = \sum_{m \ge 1}a_mm^{-c}m^{c - s_1} = \sum_{m \ge 1}a_mm^{-s_1}.
$$
よって級数は $s = s_1$ で収束し、$\mathrm{Re}\,s \ge s_1$ では $|a_mm^{-s}| \le a_mm^{-s_1}$ なので収束します。
</Proof>

## 3. 指標と L 関数

### 3.1. 有限 Abel 群の指標

有限 Abel 群 $G$ から $\mathbb{C}^{\times}$ への準同型を $G$ の**指標**といい、その全体を $\widehat{G}$ と書きます。値を掛け合わせる演算で $\widehat{G}$ は群になり、単位元は恒等的に $1$ の指標（**自明な指標**。$\chi_0$ または $1$ と書く）です。$g^{|G|} = 1$ なので指標の値は 1 の $|G|$ 乗根で、$\chi^{-1} = \bar\chi$（複素共役）です。

<Lemma id="lem-character-orthogonality" title="指標の直交関係">
$G$ を有限 Abel 群とする。

1. $|\widehat{G}| = |G|$ であり、$g \ne 1$ ならば $\chi(g) \ne 1$ となる $\chi \in \widehat{G}$ がある。
2. $\chi \in \widehat{G}$ について、$\sum_{g \in G}\chi(g)$ は $\chi = \chi_0$ のとき $|G|$、それ以外のとき $0$ である。
3. $g \in G$ について、$\sum_{\chi \in \widehat{G}}\chi(g)$ は $g = 1$ のとき $|G|$、それ以外のとき $0$ である。
4. $g \in G$ の位数を $f$ とすると、$\chi$ が $\widehat{G}$ を動くとき、$\chi(g)$ は 1 の $f$ 乗根のそれぞれを、ちょうど $|G|/f$ 回ずつ取る。したがって不定元 $T$ について $\prod_{\chi \in \widehat{G}}(1 - \chi(g)T) = (1 - T^f)^{|G|/f}$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-character-orthogonality">
**1.** $N = |G|$ とすると $\widehat{G} = \mathrm{Hom}(G, \mu_N)$ なので、<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#lem-dual" /> そのものです。

**2.** $\chi \ne \chi_0$ なら $\chi(b) \ne 1$ となる $b$ があり、$g \mapsto bg$ は $G$ の全単射なので $\sum_g\chi(g) = \sum_g\chi(bg) = \chi(b)\sum_g\chi(g)$、よって和は $0$ です。

**3.** $g \ne 1$ なら 1 により $\chi'(g) \ne 1$ となる $\chi'$ があり、$\chi \mapsto \chi'\chi$ は $\widehat{G}$ の全単射なので、2 と同じ計算で和は $0$ です。$g = 1$ なら和は $|\widehat{G}| = |G|$ です。

**4.** $\mathrm{ev}_g : \widehat{G} \to \mu_f$、$\chi \mapsto \chi(g)$ は準同型です（$\chi(g)^f = \chi(g^f) = 1$）。その核は $\langle g\rangle$ の上で自明な指標の全体で、商群 $G/\langle g\rangle$ の指標と同一視できるので、1 により位数は $|G|/f$ です。よって像の位数は $|G|/(|G|/f) = f$ で、$\mathrm{ev}_g$ は全射、各ファイバーは $|G|/f$ 個の元からなります。最後の等式は $\prod_{\zeta \in \mu_f}(1 - \zeta T) = 1 - T^f$ から従います。
</Proof>

<Definition id="def-dirichlet-character" title="Dirichlet 指標・導手・原始指標">
$m \ge 1$ とする。$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ の指標 $\chi$ を、$\gcd(a, m) = 1$ のとき $\chi(a) := \chi(a \bmod m)$、$\gcd(a, m) \gt 1$ のとき $\chi(a) := 0$ として $\mathbb{Z}$ の上の関数に延ばしたものを、$m$ を法とする **Dirichlet 指標**という。$\chi$ は完全乗法的（$\chi(ab) = \chi(a)\chi(b)$）で周期 $m$ をもつ。自明な指標から来るものを**主指標** $\chi_0$ という。$\chi(-1) = 1$ のとき**偶**、$\chi(-1) = -1$ のとき**奇**という。

$m' \mid m$ とし、$\chi$ が自然な全射 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times} \to (\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z})^{\times}$ と $(\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z})^{\times}$ の指標の合成であるとき、$\chi$ は $m'$ を法として**定義される**という。そのような $m'$ の最小値を $\chi$ の**導手**といい、導手が $m$ に等しい指標を**原始指標**という。
</Definition>

<Proposition id="prop-dirichlet-characters" title="Dirichlet 指標の直交関係">
$m$ を法とする Dirichlet 指標は $\varphi(m)$ 個ある。$\gcd(a, m) = 1$ のとき、整数 $b$ について
$$
\frac{1}{\varphi(m)}\sum_{\chi}\overline{\chi(a)}\chi(b) = \begin{cases} 1 & (b \equiv a \bmod m), \\ 0 & (\text{それ以外}). \end{cases}
$$
また $\chi \ne \chi_0$ ならば $\sum_{b = 1}^{m}\chi(b) = 0$ であり、任意の $x \ge 1$ について $|\sum_{b \le x}\chi(b)| \le \varphi(m)$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-dirichlet-characters">
個数は <Ref to="lem-character-orthogonality" /> の 1 です。$\gcd(b, m) \gt 1$ なら左辺は $0$ で、$b \not\equiv a$ です。$\gcd(b, m) = 1$ なら $\overline{\chi(a)}\chi(b) = \chi(ba^{-1})$ なので、同補題の 3 を $g = ba^{-1} \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ に適用します。$\sum_{b = 1}^m\chi(b) = 0$ は同補題の 2 です。$x$ 以下の整数を長さ $m$ の区間に区切ると、完全な区間の和は $0$ で、残りの端数の区間には $m$ と素な整数が高々 $\varphi(m)$ 個しかなく、各項の絶対値は $1$ 以下なので、$|\sum_{b \le x}\chi(b)| \le \varphi(m)$ です。
</Proof>

### 3.2. Euler 積

L 関数を、$\mathbb{Q}$ の上の Dirichlet 指標と、代数体の射線類群の指標の両方に使える形で定義します。$K$ を次数 $n$ の代数体、$\mathfrak{m}$ を[モジュラス](/mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#def-modulus)、$I^{\mathfrak{m}}$ を $\mathfrak{m}_0$ と素な[分数イデアル](/mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#def-fractional-ideal)の群とします（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#def-modulus" />）。

<Lemma id="lem-euler-product" title="Euler 積と対数">
$\chi : I^{\mathfrak{m}} \to \mathbb{C}^{\times}$ を、値の絶対値がすべて $1$ の準同型とする。$\mathrm{Re}\,s \gt 1$ のとき、$\mathfrak{m}_0$ と素な整イデアル $\mathfrak{a}$ にわたる級数
$$
L(s, \chi) := \sum_{\mathfrak{a}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N\mathfrak{a}^{s}}
$$
は絶対収束し、$\mathfrak{m}_0$ を割らない素イデアルにわたる積により
$$
L(s, \chi) = \prod_{\mathfrak{p}}\bigl(1 - \chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s}\bigr)^{-1}
$$
と書ける（右辺は $N\mathfrak{p} \le y$ の積の $y \to \infty$ での極限）。さらに
$$
\ell(s, \chi) := \sum_{\mathfrak{p}}\sum_{k \ge 1}\frac{\chi(\mathfrak{p})^k}{k\,N\mathfrak{p}^{ks}}
$$
は絶対収束して $\exp\ell(s, \chi) = L(s, \chi)$ を満たす。特に $L(s, \chi) \ne 0$ である。実数 $s \gt 1$ について
$$
\Bigl|\ell(s, \chi) - \sum_{\mathfrak{p}}\frac{\chi(\mathfrak{p})}{N\mathfrak{p}^{s}}\Bigr| \le n .
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-euler-product">
$\sigma = \mathrm{Re}\,s \gt 1$ とします。各素数 $p$ の上にある素イデアルは高々 $n$ 個で、$N\mathfrak{p} \ge p$ です（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-sum-ef" />）。よって $y \gt 0$ について
$$
\prod_{N\mathfrak{p} \le y}(1 - N\mathfrak{p}^{-\sigma})^{-1} \le \prod_{p \le y}(1 - p^{-\sigma})^{-n} \le \zeta(\sigma)^n
$$
です（最後は <Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-euler-product" />）。左辺の各因子を等比級数 $\sum_kN\mathfrak{p}^{-k\sigma}$ に展開して掛け合わせると、素イデアル分解の一意性（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-ideal-factorization" />）とノルムの乗法性（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-ideal-norm" />）により、「素因子のノルムがすべて $y$ 以下の整イデアル $\mathfrak{a}$」にわたる $\sum N\mathfrak{a}^{-\sigma}$ になります。これが $y$ によらず $\zeta(\sigma)^n$ 以下なので、$\sum_{\mathfrak{a}}N\mathfrak{a}^{-\sigma}$ は収束し、$L(s, \chi)$ は絶対収束します。

同じ展開を $\chi$ つきで行うと（$\chi$ は乗法的）、$\prod_{N\mathfrak{p} \le y}(1 - \chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s})^{-1}$ は素因子のノルムが $y$ 以下の $\mathfrak{a}$ にわたる $\sum\chi(\mathfrak{a})N\mathfrak{a}^{-s}$ に等しく、$L(s, \chi)$ との差の絶対値は $\sum_{N\mathfrak{a} \gt y}N\mathfrak{a}^{-\sigma}$ 以下で、$y \to \infty$ で $0$ に収束します。

$|z| \lt 1$ で $\exp(\sum_{k \ge 1}z^k/k) = (1 - z)^{-1}$ です。$z = \chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s}$ に適用すると、有限個の $\mathfrak{p}$ について $\exp\bigl(\sum_{N\mathfrak{p} \le y}\sum_k\cdots\bigr) = \prod_{N\mathfrak{p} \le y}(1 - \chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s})^{-1}$ です。$\ell(s, \chi)$ の絶対収束は
$$
\sum_{\mathfrak{p}}\sum_{k \ge 1}\frac{1}{k\,N\mathfrak{p}^{k\sigma}} \le \sum_{\mathfrak{p}}\frac{N\mathfrak{p}^{-\sigma}}{1 - N\mathfrak{p}^{-\sigma}} \le 2\sum_{\mathfrak{p}}N\mathfrak{p}^{-\sigma} \lt \infty
$$
から従い、$y \to \infty$ として $\exp\ell(s, \chi) = L(s, \chi)$ を得ます。最後の評価は、実数 $s \gt 1$ について
$$
\sum_{\mathfrak{p}}\sum_{k \ge 2}\frac{1}{k\,N\mathfrak{p}^{ks}} \le \frac12\sum_{\mathfrak{p}}\frac{N\mathfrak{p}^{-2}}{1 - N\mathfrak{p}^{-1}} \le \sum_{\mathfrak{p}}N\mathfrak{p}^{-2} \le n\sum_pp^{-2} \lt n
$$
によります（$N\mathfrak{p} \ge 2$ なので $1/(1 - N\mathfrak{p}^{-1}) \le 2$。$\sum_pp^{-2} \lt \sum_{m \ge 2}m^{-2} \lt 1$）。
</Proof>

$K = \mathbb{Q}$ では、$\mathfrak{m} = (m)$ と素な整イデアルは $m$ と素な正の整数 $a$ と 1 対 1 に対応し、$m$ を法とする Dirichlet 指標 $\chi$ は $a\mathbb{Z} \mapsto \chi(a)$ により上の形の準同型を与えます。このとき $L(s, \chi) = \sum_{a \ge 1}\chi(a)a^{-s}$ は **Dirichlet の L 関数**です。

<Theorem id="thm-l-function-continuation" title="Dirichlet の L 関数の Euler 積と接続">
$\chi$ を $m$ を法とする Dirichlet 指標とする。

1. $\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で $L(s, \chi) = \sum_{a \ge 1}\chi(a)a^{-s} = \prod_p(1 - \chi(p)p^{-s})^{-1} \ne 0$ である。
2. $\chi \ne \chi_0$ ならば、級数は $\mathrm{Re}\,s \gt 0$ で収束して正則関数を定める。特に $L(1, \chi) = \sum_{a \ge 1}\chi(a)/a$ は収束する。
3. $L(s, \chi_0) = \zeta(s)\prod_{p \mid m}(1 - p^{-s})$ であり、$\mathrm{Re}\,s \gt 0$ に有理型に延びて、$s = 1$ に 1 位の極をもつ。
</Theorem>

<Proof of="thm-l-function-continuation">
1 は <Ref to="lem-euler-product" /> の $K = \mathbb{Q}$ の場合です（$p \mid m$ の因子は $\chi(p) = 0$ により $1$ なので、積をすべての素数に広げても同じです）。2 は、<Ref to="prop-dirichlet-characters" /> の $|\sum_{b \le x}\chi(b)| \le \varphi(m)$ と <Ref to="lem-dirichlet-series-convergence" /> の 1（$a = 0$）から従います。3 は、1 の Euler 積と $\zeta(s) = \prod_p(1 - p^{-s})^{-1}$ を比べると $p \mid m$ の因子だけが違うことと、<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-continuation" /> から従います。$\prod_{p \mid m}(1 - p^{-1}) \ne 0$ なので極は消えません。
</Proof>

## 4. イデアルの数え上げ

この節では $n = [K:\mathbb{Q}] \ge 2$ とし、$r = r_1 + r_2 - 1$ とおきます。埋め込みを $\rho_1, \ldots, \rho_{r + 1}$（実のものが先、複素のものは各共役対から 1 つ）と並べ、$\delta_i$ を $\rho_i$ が実なら $1$、複素なら $2$ とします。$\sum_i\delta_i = n$ です。

### 4.1. 格子点の個数

この節の目的は、「格子点の個数は体積に比例する」という直観に、誤差が $t^{n-1}$ で抑えられるという形を与えることです。領域を $t$ 倍に拡大すると、中の格子点はおよそ体積分だけ増え、数え間違いは境界をまたぐ小さな立方体からしか出ません。境界の長さ（面積）が $t^{n-1}$ に比例する程度の「おとなしい」境界であれば、その立方体の個数も $t^{n-1}$ で抑えられます。補題の条件の Lipschitz な像とは、境界が、急には曲がらない（傾きが一定以内に収まる）有限枚の曲面片で覆えるという意味だと思ってください。

<Lemma id="lem-lattice-point-count" title="Lipschitz な境界をもつ領域の格子点">
$n \ge 2$、$\Lambda \subseteq \mathbb{R}^n$ を格子、$D \subseteq \mathbb{R}^n$ を有界集合とし、境界 $\partial D$ が有限個の Lipschitz 写像 $\phi_1, \ldots, \phi_k : [0, 1]^{n - 1} \to \mathbb{R}^n$ の像で覆われるとする。このとき $D$ は Lebesgue 可測で、定数 $C$（$\Lambda$ と $D$ だけで決まる）があって、すべての $x_0 \in \mathbb{R}^n$ と $t \ge 1$ について
$$
\Bigl|\#\bigl((x_0 + \Lambda) \cap tD\bigr) - \frac{\mathrm{vol}(D)}{\mathrm{covol}(\Lambda)}t^n\Bigr| \le Ct^{n - 1}.
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-lattice-point-count">
$\Lambda$ の基底を列とする行列を $W$ とすると $\Lambda = W\mathbb{Z}^n$、$\mathrm{covol}(\Lambda) = |\det W|$ です（<Ref to="mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#lem-fundamental-domain" />）。$D$、$x_0$ を $W^{-1}D$、$W^{-1}x_0$ に取り替えると、個数は変わらず、体積は $1/|\det W|$ 倍になり、線形写像は Lipschitz なので仮定は保たれます。よって $\Lambda = \mathbb{Z}^n$ としてよいです。$\phi_i$ の Lipschitz 定数の最大値を $\lambda$ とし、$\varrho := \lambda\sqrt{n - 1}$ とおきます。

**境界は零集合。** 正の整数 $M$ について $[0, 1]^{n - 1}$ を 1 辺 $1/M$ の小立方体 $M^{n - 1}$ 個に分けます。小立方体の直径は $\sqrt{n - 1}/M$ なので、$\phi_i$ による像の直径は $\varrho/M$ 以下で、1 辺 $\varrho/M$ の立方体に含まれます。よって $\partial D$ は体積の合計が $kM^{n - 1}(\varrho/M)^n = k\varrho^n/M$ 以下の立方体で覆われ、$M \to \infty$ として $\partial D$ は零集合です。$D$ は開集合（内部）と零集合の部分集合の和なので可測です。

**個数と体積の比較。** $a \in \mathbb{Z}^n$ に対し $Q_a := x_0 + a + [0, 1)^n$ とおくと、$\mathbb{R}^n$ は $Q_a$ たちの交わりのない和です。$N_1$ を $Q_a \subseteq tD$ となる $a$ の個数、$N_2$ を $Q_a \cap tD \ne \emptyset$ となる $a$ の個数とします。$x_0 + a \in Q_a$ なので
$$
N_1 \le \#\bigl((x_0 + \mathbb{Z}^n) \cap tD\bigr) \le N_2
$$
です。また、$tD$ に含まれる $Q_a$ は互いに交わらず、$tD$ と交わる $Q_a$ は $tD$ を覆うので、$N_1 \le \mathrm{vol}(tD) = t^n\mathrm{vol}(D) \le N_2$ です。したがって求める差の絶対値は $N_2 - N_1$ 以下です。$Q_a$ が $tD$ と交わるが $tD$ に含まれないとき、$Q_a$ は $tD$ の点 $y$ と $tD$ に入らない点 $y'$ を含みます。$Q_a$ は凸なので線分 $[y, y']$ は $Q_a$ に含まれ、線分は連結なので $tD$ の境界点を含みます。よって $N_2 - N_1$ は、$t\partial D$ と交わる $Q_a$ の個数 $N_\partial$ 以下です。

**$N_\partial$ の評価。** $M := \lceil t\rceil$ として上の分割を使います。各小立方体の $t\phi_i$ による像の直径は $t\varrho/M \le \varrho$ 以下なので、1 辺 $\varrho$ の立方体に含まれ、これと交わる $Q_a$ は高々 $(\varrho + 2)^n$ 個です。よって $N_\partial \le k(\varrho + 2)^nM^{n - 1} \le k(\varrho + 2)^n(2t)^{n - 1}$（$t \ge 1$ なので $M \le 2t$）です。$C := k(\varrho + 2)^n2^{n - 1}$ と取れます。
</Proof>

### 4.2. 単数規準と基本錐

$V := \mathbb{R}^{r_1} \times \mathbb{C}^{r_2} \cong \mathbb{R}^n$ とし、$x = (x_1, \ldots, x_{r + 1}) \in V$ に対し $\mathcal{N}(x) := \prod_i|x_i|^{\delta_i}$、$V^{\times} := \{x \mid \mathcal{N}(x) \ne 0\}$、
$$
\ell : V^{\times} \to \mathbb{R}^{r + 1}, \qquad \ell(x) := \bigl(\delta_i\log|x_i|\bigr)_i
$$
とおきます。Minkowski 埋め込み $j : K \to V$（<Ref to="mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#def-minkowski-embedding" />）について、$\alpha \in K^{\times}$ なら $\mathcal{N}(j(\alpha)) = |N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)|$ で、$\ell(j(\alpha))$ の成分の和は $\log|N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)|$ です。以下 $\ell(\alpha) := \ell(j(\alpha))$ と書きます。単数 $u$ については $\ell(u)$ は超平面 $H = \{\sum t_i = 0\}$ に入り、$\ell(\mathcal{O}_K^{\times})$ は $H$ を張る格子です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#thm-compactness-equivalence" />。そこでの $\lambda$ は、正規化した絶対値の定義により、ここでの $\ell$ に一致します）。$\ell$ の $\mathcal{O}_K^{\times}$ での核は 1 の冪根の群 $\mu_K$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#lem-log-units-discrete" />）。

<Definition id="def-regulator" title="単数規準">
$E \subseteq \mathcal{O}_K^{\times}$ を指数有限の部分群、$\mu_E := E \cap \mu_K$、$w_E := |\mu_E|$ とする。$\ell(E)$ は $H$ を張る格子で、$\ell(\eta_1), \ldots, \ell(\eta_r)$ がその基底になる $\eta_1, \ldots, \eta_r \in E$ を $E$ の**基本単数系**という。$E$ の**単数規準**を
$$
R_E := \bigl|\det\bigl(\ell_i(\eta_k)\bigr)_{1 \le i, k \le r}\bigr|
$$
（$\ell(\eta_k)$ を並べた $(r + 1) \times r$ 行列から最後の行を除いた行列式の絶対値）と定める。$r = 0$ のときは $R_E := 1$ とする。$R_K := R_{\mathcal{O}_K^{\times}}$、$w_K := |\mu_K|$ と書く。
</Definition>

$\ell(E)$ が $H$ を張る格子であることは、$\ell(E)$ が $\ell(\mathcal{O}_K^{\times})$ の指数有限の部分群であることから従います（指数を $c$ とすると $c\,\ell(\mathcal{O}_K^{\times}) \subseteq \ell(E)$）。

<Lemma id="lem-regulator" title="単数規準の基本性質">
$\delta := (\delta_1, \ldots, \delta_{r + 1})$ とする。$E$ の基本単数系 $\eta_1, \ldots, \eta_r$ について、$\delta, \ell(\eta_1), \ldots, \ell(\eta_r)$ は $\mathbb{R}^{r + 1}$ の基底であり、これらを列とする $(r + 1)$ 次正方行列の行列式の絶対値は $nR_E$ である。$R_E \gt 0$ で、$R_E$ は基本単数系の取り方にも、定義で除く行の取り方にもよらない。
</Lemma>

<Proof of="lem-regulator">
$\ell(\eta_k) \in H$ なので、各 $k$ について $\sum_i\ell_i(\eta_k) = 0$ です。$\delta, \ell(\eta_1), \ldots, \ell(\eta_r)$ を列とする行列 $B$ で、第 $i_0$ 行にほかのすべての行を加えると、第 $i_0$ 行は $(\sum_i\delta_i, 0, \ldots, 0) = (n, 0, \ldots, 0)$ になります。この行で展開すると、$\det B = \pm n\det B_{i_0}$ で、$B_{i_0}$ は $(\ell_i(\eta_k))$ から第 $i_0$ 行を除いた $r$ 次行列です。左辺は $i_0$ によらないので、$|\det B_{i_0}|$ も $i_0$ によらず、$i_0 = r + 1$ として $|\det B| = nR_E$ です。$\ell(\eta_k)$ は $H$ の基底で、$\delta \notin H$（成分の和が $n \ne 0$）なので、$B$ の列は一次独立で $\det B \ne 0$、よって $R_E \gt 0$ です。別の基本単数系 $\eta'_k$ を取ると、$\ell(\eta'_k)$ は同じ格子の基底なので、$\ell(\eta'_k) = \sum_jc_{jk}\ell(\eta_j)$ となる整数行列 $(c_{jk})$ で行列式が $\pm 1$ のものがあり、$R_E$ は変わりません。
</Proof>

$E$ の基本単数系 $\eta_1, \ldots, \eta_r$ を固定します。<Ref to="lem-regulator" /> により、各 $x \in V^{\times}$ について
$$
\ell(x) = \xi_0(x)\,\delta + \sum_{k = 1}^{r}\xi_k(x)\,\ell(\eta_k)
$$
となる実数 $\xi_0(x), \ldots, \xi_r(x)$ がただ 1 組あり、$\xi_k$ は $V^{\times}$ の上の連続関数です。両辺の成分の和を取ると $\log\mathcal{N}(x) = n\xi_0(x)$ です。

次の補題のねらいは、単数をかけても個数が変わらないイデアルの数え上げを、1 つの領域（基本錐）の中の格子点の数え上げに直すことです。$\xi_k(x)$ は、$x$ の対数 $\ell(x)$ を基本単数の対数 $\ell(\eta_k)$ で展開したときの $k$ 番目の係数で、$x$ に $\eta_k$ をかけるとちょうど $1$ だけ増えます。そこで $0 \le \xi_k \lt 1$ と制限すると、各単数の軌道からちょうど 1 点（1 の冪根の分だけ重複）が選ばれます。また $\xi_k$ は $x$ を正の実数倍しても変わらないので、この領域は原点から放射状に広がる錐になります。

<Lemma id="lem-unit-cone" title="単数の作用の基本錐">
$T$ を実の埋め込みの添字の集合とし、$E$ のすべての元 $u$ が $\rho_i(u) \gt 0$（$i \in T$）を満たすとする。
$$
Y := \{x \in V^{\times} \mid 0 \le \xi_k(x) \lt 1\ (1 \le k \le r),\ x_i \gt 0\ (i \in T)\}, \qquad Y_1 := \{x \in Y \mid \mathcal{N}(x) \le 1\}
$$
とおく。

1. 実数 $t \gt 0$ について $tY = Y$ であり、$\{x \in Y \mid \mathcal{N}(x) \le t^n\} = tY_1$ である。
2. $\alpha \in K^{\times}$ が $\rho_i(\alpha) \gt 0$（$i \in T$）を満たすとき、$j(u\alpha) \in Y$ となる $u \in E$ はちょうど $w_E$ 個ある。
3. $Y_1$ は有界で、$\partial Y_1$ は有限個の Lipschitz 写像 $[0, 1]^{n - 1} \to V$ の像で覆われる。
4. $\mathrm{vol}(Y_1) = 2^{r_1 - |T|}\pi^{r_2}R_E$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-unit-cone">
**1.** $\ell(tx) = \ell(x) + (\log t)\delta$ なので、$\xi_k(tx) = \xi_k(x)$（$k \ge 1$）、$\xi_0(tx) = \xi_0(x) + \log t$ です。正の実数倍は符号の条件も変えないので $tY = Y$、また $\mathcal{N}(tx) = t^n\mathcal{N}(x)$ から後半が従います。

**2.** $E/\mu_E \cong \ell(E)$ は $\ell(\eta_k)$ を基底とする自由 Abel 群なので、$u \in E$ は $u = \zeta\eta_1^{c_1}\cdots\eta_r^{c_r}$（$\zeta \in \mu_E$、$c_k \in \mathbb{Z}$）とただ 1 通りに書けます。$\ell(u\alpha) = \ell(\alpha) + \sum_kc_k\ell(\eta_k)$ なので $\xi_k(j(u\alpha)) = \xi_k(j(\alpha)) + c_k$ で、これがすべて $[0, 1)$ に入る $(c_k)$ はただ 1 つです。$\rho_i(u\alpha) \gt 0$（$i \in T$）は仮定から自動的に成り立ちます。$\zeta$ は自由に選べるので、条件を満たす $u$ は $w_E$ 個です。

**3.** $\lambda_{ik} := \log|\rho_i(\eta_k)|$ とおきます（$\ell_i(\eta_k) = \delta_i\lambda_{ik}$）。実の添字 $i$ に符号 $\epsilon_i \in \{\pm 1\}$ を割り当てた組 $\epsilon$ で、$i \in T$ では $\epsilon_i = +1$ のものを考えます（$2^{r_1 - |T|}$ 通り）。パラメータ $(\tau, \xi_1, \ldots, \xi_r, \theta_i\ (i\ \text{は複素})) \in [0, 1]^n$（個数は $1 + r + r_2 = n$）に対し、$G_\epsilon : [0, 1]^n \to V$ を
$$
x_i = \epsilon_i\,\tau\exp\Bigl(\sum_k\xi_k\lambda_{ik}\Bigr)\ (i\ \text{は実}), \qquad x_i = \tau\exp\Bigl(\sum_k\xi_k\lambda_{ik}\Bigr)e^{2\pi\sqrt{-1}\,\theta_i}\ (i\ \text{は複素})
$$
で定めます。$G_\epsilon$ は $[0, 1]^n$ の近傍で $C^1$ 級なので、コンパクトな凸集合 $[0, 1]^n$ の上で Lipschitz です。$\tau \gt 0$ のとき $x = G_\epsilon(\tau, \xi, \theta)$ は $\log|x_i| = \log\tau + \sum_k\xi_k\lambda_{ik}$ を満たすので、$\ell(x) = (\log\tau)\delta + \sum_k\xi_k\ell(\eta_k)$、すなわち $\xi_0(x) = \log\tau$、$\xi_k(x) = \xi_k$、$\mathcal{N}(x) = \tau^n$ です。逆に $x \in Y_1$ に対し $\tau := \mathcal{N}(x)^{1/n} \in (0, 1]$、$\xi_k := \xi_k(x) \in [0, 1)$、$\epsilon_i := \mathrm{sgn}(x_i)$、$\theta_i := \arg(x_i)/2\pi \in [0, 1)$ とおくと $x = G_\epsilon(\tau, \xi, \theta)$ です。よって
$$
Y_1 = \bigcup_\epsilon G_\epsilon\bigl((0, 1] \times [0, 1)^r \times [0, 1)^{r_2}\bigr) \subseteq \bigcup_\epsilon G_\epsilon([0, 1]^n)
$$
で、右辺はコンパクトなので $Y_1$ は有界、その閉包も右辺に含まれます。一方
$$
O_\epsilon := G_\epsilon\bigl((0, 1)^n\bigr) = \{x \in V^{\times} \mid \mathrm{sgn}(x_i) = \epsilon_i\ (\text{実}),\ x_i \notin \mathbb{R}_{\ge 0}\ (\text{複素}),\ \mathcal{N}(x) \lt 1,\ 0 \lt \xi_k(x) \lt 1\}
$$
は、開集合 $V^{\times}$ の上の連続関数の狭義の不等式と、閉半直線の補集合で定まるので $V$ の開集合で、$Y_1$ に含まれます。したがって $O_\epsilon$ は $Y_1$ の内部に含まれ、
$$
\partial Y_1 \subseteq \bigcup_\epsilon\bigl(G_\epsilon([0, 1]^n) \setminus G_\epsilon((0, 1)^n)\bigr) \subseteq \bigcup_\epsilon G_\epsilon\bigl(\partial[0, 1]^n\bigr)
$$
です。$\partial[0, 1]^n$ は $2n$ 個の面の和で、各面は $[0, 1]^{n - 1}$ のアフィン等長写像による像なので、$\partial Y_1$ は $2n\cdot 2^{r_1 - |T|}$ 個の Lipschitz 写像の像で覆われます。

**4.** 3 で見たように $Y_1 \subseteq \bigcup_\epsilon G_\epsilon([0, 1]^n)$ なので、$Y_1 \setminus \bigcup_\epsilon O_\epsilon \subseteq \bigcup_\epsilon G_\epsilon(\partial[0, 1]^n)$ です。右辺は有限個の Lipschitz 写像 $[0, 1]^{n - 1} \to V$ の像の和なので、<Ref to="lem-lattice-point-count" /> の証明の最初の段により零集合です（$Y_1$ の内点でも、複素成分が正の実数である点などは $O_\epsilon$ に入らないので、$\partial Y_1$ ではなくこの集合で評価します）。$O_\epsilon$ は互いに交わらないので $\mathrm{vol}(Y_1) = \sum_\epsilon\mathrm{vol}(O_\epsilon)$ です。$G_\epsilon$ は $(0, 1)^n$ から $O_\epsilon$ への全単射で、逆写像 $x \mapsto (\mathcal{N}(x)^{1/n}, \xi_k(x), \arg(x_i)/2\pi)$ も $C^1$ 級なので、$C^1$ 微分同相です。Jacobi 行列式を求めます。$G_\epsilon$ は、$(\tau, \xi, \theta) \mapsto (\varrho_1, \ldots, \varrho_{r + 1}, \theta)$（$\varrho_i := \tau\exp(\sum_k\xi_k\lambda_{ik}) = |x_i|$）と、複素成分の極座標 $(\varrho_i, \theta_i) \mapsto \varrho_ie^{2\pi\sqrt{-1}\theta_i}$ の合成です。後者の Jacobi 行列式の絶対値は $\prod_{i\,\text{複素}}2\pi\varrho_i$ です。前者については $\partial\varrho_i/\partial\tau = \varrho_i/\tau$、$\partial\varrho_i/\partial\xi_k = \varrho_i\lambda_{ik}$ なので、Jacobi 行列式は $(\prod_i\varrho_i/\tau)\det(1 \mid \lambda_{ik})$ です。ここで $(1 \mid \lambda_{ik})$ は第 1 列がすべて $1$、残りが $\lambda_{ik}$ の行列で、第 $i$ 行を $\delta_i$ 倍すると <Ref to="lem-regulator" /> の行列 $B$ になるので、$|\det(1 \mid \lambda_{ik})| = nR_E/\prod_i\delta_i = nR_E/2^{r_2}$ です。合わせて
$$
|\det DG_\epsilon| = (2\pi)^{r_2}\prod_{i\,\text{複素}}\varrho_i\cdot\frac{\prod_i\varrho_i}{\tau}\cdot\frac{nR_E}{2^{r_2}} = \pi^{r_2}nR_E\,\frac{\prod_i\varrho_i^{\delta_i}}{\tau} = \pi^{r_2}nR_E\,\tau^{n - 1}
$$
です（$\prod_i\varrho_i^{\delta_i} = \mathcal{N}(x) = \tau^n$）。変数変換公式（<Ref to="mathematics/real-analysis/change-of-variables-rd#thm-change-of-variables" />）により
$$
\mathrm{vol}(O_\epsilon) = \int_{(0, 1)^n}\pi^{r_2}nR_E\,\tau^{n - 1}\,d\tau\,d\xi\,d\theta = \pi^{r_2}R_E
$$
で、$\epsilon$ は $2^{r_1 - |T|}$ 通りあるので主張を得ます。
</Proof>

<Figure caption="実二次体 Q(√2) の基本錐 Y（T = ∅）。単数 ε = 1 + √2 を掛けると点は双曲線 x₁x₂ = 一定 に沿って動く。Y は 2 本の直線 x₂ = ±x₁ と x₂ = ±ε⁻² x₁ に挟まれた 4 つの扇形で、Y₁ はそのうち |x₁x₂| ≤ 1 の部分。">
<svg viewBox="0 0 420 300" width="100%" role="img" aria-label="実二次体の単数の作用の基本錐">
  <g stroke="currentColor" fill="none" stroke-width="1">
    <line x1="20" y1="150" x2="400" y2="150" />
    <line x1="210" y1="10" x2="210" y2="290" />
  </g>
  <g fill="var(--sl-color-accent)" fill-opacity="0.3" stroke="none">
    <path d="M210 150 L270 90 Q294.9 114.9 354.8 125.2 Z" />
    <path d="M210 150 L270 210 Q294.9 185.1 354.8 174.8 Z" />
    <path d="M210 150 L150 90 Q125.1 114.9 65.2 125.2 Z" />
    <path d="M210 150 L150 210 Q125.1 185.1 65.2 174.8 Z" />
  </g>
  <g stroke="currentColor" fill="none" stroke-width="1.2" stroke-dasharray="4 3">
    <line x1="70" y1="290" x2="350" y2="10" />
    <line x1="70" y1="10" x2="350" y2="290" />
    <line x1="20" y1="117.4" x2="400" y2="182.6" />
    <line x1="20" y1="182.6" x2="400" y2="117.4" />
  </g>
  <g stroke="var(--sl-color-accent)" fill="none" stroke-width="1.6">
    <path d="M235.7 10 Q246 66 270 90 Q301.2 121.2 400 131" />
    <path d="M235.7 290 Q246 234 270 210 Q301.2 178.8 400 169" />
    <path d="M184.3 10 Q174 66 150 90 Q118.8 121.2 20 131" />
    <path d="M184.3 290 Q174 234 150 210 Q118.8 178.8 20 169" />
  </g>
  <g fill="currentColor" font-size="13">
    <text x="386" y="146">x₁</text>
    <text x="216" y="20">x₂</text>
    <text x="340" y="34">x₂ = x₁</text>
    <text x="284" y="131" font-size="11">Y₁</text>
    <text x="252" y="50">|x₁x₂| = 1</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

### 4.3. 類ごとの数え上げ

<Theorem id="thm-ideal-count" title="イデアル類ごとの整イデアルの個数">
$K$ を次数 $n$ の代数体、$\mathfrak{C} \in \mathrm{Cl}(K)$ をイデアル類とする。$\mathfrak{C}$ に属しノルムが $x$ 以下の整イデアルの個数を $\iota(x, \mathfrak{C})$ とすると、$x \ge 1$ で
$$
\iota(x, \mathfrak{C}) = \kappa x + O\bigl(x^{1 - 1/n}\bigr), \qquad \kappa = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}R_K}{w_K\sqrt{|d_K|}}
$$
が成り立つ（$O$ の定数は $K$ と $\mathfrak{C}$ による）。$\kappa$ は類 $\mathfrak{C}$ によらない。
</Theorem>

<Proof of="thm-ideal-count">
$K = \mathbb{Q}$ のときは、整イデアルは $(m)$（$m \ge 1$）で、個数は $\lfloor x\rfloor = x + O(1)$、$\kappa = 2\cdot 1\cdot 1/(2\cdot 1) = 1$ です。以下 $n \ge 2$ とします。

類 $\mathfrak{C}^{-1}$ に属する整イデアル $\mathfrak{b}$ を 1 つ固定します。$\mathfrak{a} \in \mathfrak{C}$ が整イデアルならば $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ は単項な整イデアルで $\mathfrak{b}$ に含まれ、$\mathfrak{a}\mathfrak{b} = (\alpha)$、$\alpha \in \mathfrak{b}$ と書けます。逆に $0 \ne \alpha \in \mathfrak{b}$ ならば $\mathfrak{b} \mid (\alpha)$ で、$(\alpha)\mathfrak{b}^{-1}$ は $\mathfrak{C}$ に属する整イデアルです。$N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N\mathfrak{a}\,N\mathfrak{b}$、$N((\alpha)) = |N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)|$（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-ideal-norm" />）なので、$\mathfrak{a} \mapsto \mathfrak{a}\mathfrak{b}$ は
$$
\{\mathfrak{a} \in \mathfrak{C} \mid \mathfrak{a} \subseteq \mathcal{O}_K,\ N\mathfrak{a} \le x\} \longleftrightarrow \{(\alpha) \mid 0 \ne \alpha \in \mathfrak{b},\ |N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)| \le xN\mathfrak{b}\}
$$
の全単射です。右辺の単項イデアル $(\alpha)$ の生成元は $u\alpha$（$u \in \mathcal{O}_K^{\times}$）で尽くされ、$u\alpha \in \mathfrak{b}$ です。<Ref to="lem-unit-cone" /> を $E = \mathcal{O}_K^{\times}$、$T = \emptyset$ として使うと、その 2 により、各 $(\alpha)$ の生成元のうち $j$ による像が $Y$ に入るものはちょうど $w_K$ 個です。したがって、$t := (x\,N\mathfrak{b})^{1/n} \ge 1$ とおくと、同補題の 1 により
$$
w_K\,\iota(x, \mathfrak{C}) = \#\{\alpha \in \mathfrak{b} \mid j(\alpha) \in Y,\ \mathcal{N}(j(\alpha)) \le t^n\} = \#\bigl(j(\mathfrak{b}) \cap tY_1\bigr)
$$
です。$j(\mathfrak{b})$ は余体積 $2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{b}$ の格子（<Ref to="mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#prop-covolume" />）で、$Y_1$ は <Ref to="lem-unit-cone" /> の 3 により <Ref to="lem-lattice-point-count" /> の仮定を満たし、体積は $2^{r_1}\pi^{r_2}R_K$ です。よって
$$
w_K\,\iota(x, \mathfrak{C}) = \frac{2^{r_1}\pi^{r_2}R_K}{2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{b}}\cdot xN\mathfrak{b} + O\bigl((xN\mathfrak{b})^{(n - 1)/n}\bigr) = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}R_K}{\sqrt{|d_K|}}\,x + O\bigl(x^{1 - 1/n}\bigr)
$$
で、$w_K$ で割って主張を得ます。$N\mathfrak{b}$ が打ち消し合うので、主要項の係数は $\mathfrak{C}$ によりません。
</Proof>

<Corollary id="cor-ideal-count-ray-class" title="射線類ごとの整イデアルの個数">
$\mathfrak{m}$ を $K$ のモジュラス、$\mathfrak{K} \in \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)$ を射線類とする。$\mathfrak{K}$ に属しノルムが $x$ 以下の整イデアルの個数は
$$
\kappa_{\mathfrak{m}}x + O\bigl(x^{1 - 1/n}\bigr), \qquad \kappa_{\mathfrak{m}} = \frac{2^{r_1 - |\mathfrak{m}_\infty|}(2\pi)^{r_2}R_E}{w_E\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{m}_0} \gt 0
$$
である。ここで $E = \mathcal{O}_{\mathfrak{m},1}^{\times} = \{u \in \mathcal{O}_K^{\times} \mid u \equiv 1 \bmod^{\times}\mathfrak{m}\}$ である。$\kappa_{\mathfrak{m}}$ は射線類 $\mathfrak{K}$ によらない。
</Corollary>

<Proof of="cor-ideal-count-ray-class">
$E$ は $\mathcal{O}_K^{\times}$ の指数有限の部分群です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#thm-ray-class-group" /> の完全列）。$T := \mathfrak{m}_\infty$ とすると $E$ の元は $T$ の埋め込みで正です。

まず $\mathfrak{K}^{-1}$ が $\mathfrak{m}_0$ と素な整イデアル $\mathfrak{b}$ を含むことを示します。$\mathfrak{K}^{-1}$ の元 $\mathfrak{c} \in I^{\mathfrak{m}}$ を、$\mathfrak{m}_0$ と素な整イデアル $\mathfrak{c}_1, \mathfrak{c}_2$ により $\mathfrak{c} = \mathfrak{c}_1\mathfrak{c}_2^{-1}$ と書きます。$\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}$ は有限群（同定理）で、位数を $h_{\mathfrak{m}}$ とすると $\mathfrak{c}_2^{h_{\mathfrak{m}}} \in P_{\mathfrak{m}}$ なので、$\mathfrak{b} := \mathfrak{c}_1\mathfrak{c}_2^{h_{\mathfrak{m}} - 1}$ は $\mathfrak{c}$ と同じ射線類に属する整イデアルです。

$K = \mathbb{Q}$ のとき。$\mathfrak{m}_0 = (m)$ とします。$\mathfrak{m}_\infty = \{\infty\}$ なら、射線類は $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ の元 $c$ に対応し（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#prop-idele-class-q" />）、その整イデアルは $a \equiv c \bmod m$ となる正の整数 $a$ の生成するもので、個数は $x/m + O(1)$ です。$\mathfrak{m}_\infty = \emptyset$ なら $a \equiv \pm c$ で、$m \ge 3$ のとき個数は $2x/m + O(1)$、$m \le 2$ のとき $x/m + O(1)$ です。これらは公式の $\kappa_{\mathfrak{m}}$（$E = \{1\}$ または $\{\pm 1\}$、$R_E = 1$）に一致します。以下 $n \ge 2$ とします。

$\mathfrak{a} \in \mathfrak{K}$ が整イデアルであることは、$\mathfrak{a}\mathfrak{b} \in P_{\mathfrak{m}}$ かつ $\mathfrak{a}\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{b}$、すなわち $\mathfrak{a}\mathfrak{b} = (\alpha)$、$\alpha \in \mathfrak{b} \cap K_{\mathfrak{m},1}$ と書けることと同値です。$\alpha \in \mathfrak{b} \subseteq \mathcal{O}_K$ については、$\mathfrak{p} \mid \mathfrak{m}_0$ のすべてで $v_{\mathfrak{p}}(\alpha - 1) \ge m_{\mathfrak{p}}$ であることは $\alpha - 1 \in \mathfrak{m}_0$ と同値です。$\mathfrak{b} + \mathfrak{m}_0 = \mathcal{O}_K$ なので、中国剰余定理（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#lem-crt" />）により $\alpha_0 \in \mathfrak{b}$、$\alpha_0 \equiv 1 \bmod \mathfrak{m}_0$ となる $\alpha_0$ があり、
$$
\{\alpha \in \mathfrak{b} \mid \alpha \equiv 1 \bmod \mathfrak{m}_0\} = \alpha_0 + (\mathfrak{b} \cap \mathfrak{m}_0) = \alpha_0 + \mathfrak{b}\mathfrak{m}_0
$$
です（互いに素なイデアルの共通部分は積）。2 つの元 $\alpha, \alpha' \in \mathfrak{b} \cap K_{\mathfrak{m},1}$ が同じイデアルを生成するのは $\alpha' = u\alpha$、$u \in \mathcal{O}_K^{\times} \cap K_{\mathfrak{m},1} = E$ のときです。逆に $u \in E$、$\alpha \in \mathfrak{b} \cap K_{\mathfrak{m},1}$ なら $u\alpha \in \mathfrak{b} \cap K_{\mathfrak{m},1}$ です。<Ref to="lem-unit-cone" /> の 2 により、各イデアル $(\alpha)$ の、$\mathfrak{b} \cap K_{\mathfrak{m},1}$ に属する生成元のうち $j$ による像が $Y$ に入るものは $w_E$ 個です。$\alpha \in \alpha_0 + \mathfrak{b}\mathfrak{m}_0$ が $K_{\mathfrak{m},1}$ に入る条件は $\rho_i(\alpha) \gt 0$（$i \in T$）で、これは $Y$ の定義に含まれています。よって $t = (xN\mathfrak{b})^{1/n}$ として
$$
w_E\cdot\#\{\mathfrak{a} \in \mathfrak{K} \mid \mathfrak{a} \subseteq \mathcal{O}_K,\ N\mathfrak{a} \le x\} = \#\bigl((j(\alpha_0) + j(\mathfrak{b}\mathfrak{m}_0)) \cap tY_1\bigr)
$$
です。$j(\mathfrak{b}\mathfrak{m}_0)$ の余体積は $2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{b}\,N\mathfrak{m}_0$、$\mathrm{vol}(Y_1) = 2^{r_1 - |T|}\pi^{r_2}R_E$ なので、<Ref to="lem-lattice-point-count" />（$x_0 = j(\alpha_0)$）により右辺は
$$
\frac{2^{r_1 - |T|}\pi^{r_2}R_E}{2^{-r_2}\sqrt{|d_K|}\,N\mathfrak{b}\,N\mathfrak{m}_0}\,xN\mathfrak{b} + O\bigl(x^{1 - 1/n}\bigr)
$$
です。$w_E$ で割ると主張を得ます。$R_E \gt 0$（<Ref to="lem-regulator" />）なので $\kappa_{\mathfrak{m}} \gt 0$ です。
</Proof>

## 5. Dedekind ゼータ関数と類数公式

<Definition id="def-dedekind-zeta" title="Dedekind ゼータ関数">
代数体 $K$ の **Dedekind ゼータ関数**を、$0$ でない整イデアル $\mathfrak{a}$ にわたる級数
$$
\zeta_K(s) := \sum_{\mathfrak{a}}\frac{1}{N\mathfrak{a}^{s}} \qquad (\mathrm{Re}\,s \gt 1)
$$
で定める。モジュラス $\mathfrak{m}$ と射線類 $\mathfrak{K} \in \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)$ に対し、$\mathfrak{K}$ に属する整イデアルにわたる和 $\zeta(s, \mathfrak{K}) := \sum_{\mathfrak{a} \in \mathfrak{K}}N\mathfrak{a}^{-s}$ を**部分ゼータ関数**という。
</Definition>

$\zeta_{\mathbb{Q}}(s) = \zeta(s)$ です。ノルムが $m$ の整イデアルの個数を $a_m$ とすると $\zeta_K(s) = \sum_ma_mm^{-s}$ は Dirichlet 級数で、$\sum_{m \le x}a_m$ がノルム $x$ 以下の整イデアルの個数です。

<Theorem id="thm-dedekind-zeta-pole" title="Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極">
1. $\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で $\zeta_K(s)$ は絶対収束し、$\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}}(1 - N\mathfrak{p}^{-s})^{-1} \ne 0$ である。
2. 各射線類 $\mathfrak{K} \in \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)$ について、$\zeta(s, \mathfrak{K}) - \kappa_{\mathfrak{m}}\zeta(s)$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ の正則関数に延びる。
3. $\zeta_K(s)$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ の有理型関数に延び、極は $s = 1$ の 1 位の極だけである。
</Theorem>

<Proof of="thm-dedekind-zeta-pole">
1 は <Ref to="lem-euler-product" /> の $\mathfrak{m} = 1$、$\chi = 1$ の場合です。2 は <Ref to="cor-ideal-count-ray-class" /> と <Ref to="lem-dirichlet-series-convergence" /> の 2（$b = 1 - 1/n$）です。3 は、$\mathfrak{m} = 1$ として $\zeta_K(s) = \sum_{\mathfrak{C} \in \mathrm{Cl}(K)}\zeta(s, \mathfrak{C})$（有限和。類数の有限性は <Ref to="mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#thm-class-number-finite" />）と 2 から、$\zeta_K(s) - h_K\kappa\,\zeta(s)$ が $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ で正則であることによります。$h_K\kappa \gt 0$ なので $s = 1$ は 1 位の極です。
</Proof>

<Theorem id="thm-class-number-formula" title="解析的類数公式">
代数体 $K$ について
$$
\lim_{s \to 1}(s - 1)\zeta_K(s) = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}\,h_KR_K}{w_K\sqrt{|d_K|}}
$$
である。ここで $h_K$ は類数、$R_K$ は単数規準、$w_K$ は $K$ に含まれる 1 の冪根の個数、$d_K$ は判別式である。
</Theorem>

<Proof of="thm-class-number-formula">
<Ref to="thm-dedekind-zeta-pole" /> の証明により $\zeta_K(s) = h_K\kappa\,\zeta(s) + g(s)$、$g$ は $s = 1$ の近傍で正則です。$(s - 1)\zeta(s) \to 1$（<Ref to="mathematics/number-theory/riemann-hypothesis#thm-continuation" />）なので極限は $h_K\kappa$ で、$\kappa$ は <Ref to="thm-ideal-count" /> の値です。
</Proof>

左辺は素イデアルのノルムだけで決まる量（Euler 積）で、右辺は類数と単数という大域的な不変量です。素数がどう分解するかという局所的な情報をすべて集めると、類数と単数規準の積 $h_KR_K$ が決まる、というのがこの公式の内容です。

<Remark id="rem-hecke" title="全平面への接続と関数等式">
$\zeta_K(s)$ は実際には $\mathbb{C}$ 全体の有理型関数に延び、極は $s = 1$ だけで、$\Lambda_K(s) = |d_K|^{s/2}(\pi^{-s/2}\Gamma(s/2))^{r_1}(2(2\pi)^{-s}\Gamma(s))^{r_2}\zeta_K(s)$ は関数等式 $\Lambda_K(s) = \Lambda_K(1 - s)$ を満たします（Hecke）。証明はテータ関数の変換公式、またはアデール上の Fourier 解析（Tate の学位論文）によります。本章は $s = 1$ の近くの挙動しか使わないので、定理としては述べません。証明は Neukirch『Algebraic Number Theory』第 VII 章 §5、または Cassels–Fröhlich『Algebraic Number Theory』第 XV 章（Tate）にあります。$\zeta$ の場合は <Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#thm-zeta" /> です。
</Remark>

## 6. Dirichlet 密度と射線類の中の素イデアル

<Definition id="def-dirichlet-density" title="Dirichlet 密度">
$K$ の素イデアルの集合 $A$ について、極限
$$
\delta(A) := \lim_{s \to 1 + 0}\frac{\sum_{\mathfrak{p} \in A}N\mathfrak{p}^{-s}}{\log\dfrac{1}{s - 1}}
$$
が存在するとき、これを $A$ の **Dirichlet 密度**という（$s$ は $1$ より大きい実数を動く）。
</Definition>

$s \to 1 + 0$ で分母は $+\infty$ に発散するので、$\sum_{\mathfrak{p} \in A}N\mathfrak{p}^{-s}$ が有界な集合（有限集合など）の密度は $0$ で、密度が正の集合は無限集合です。以下、$s \to 1 + 0$ で有界にとどまる $s \in (1, 2]$ の関数を $O(1)$ と書きます。

<Lemma id="lem-prime-sum" title="素イデアルのノルムの逆数和">
代数体 $K$ について、$s \to 1 + 0$ で
$$
\sum_{\mathfrak{p}}\frac{1}{N\mathfrak{p}^{s}} = \log\frac{1}{s - 1} + O(1)
$$
である。すなわち素イデアル全体の密度は $1$ である。また、$\mathbb{Q}$ 上の剰余次数が $2$ 以上の素イデアルにわたる和 $\sum N\mathfrak{p}^{-s}$ は $s \ge 1$ で $[K:\mathbb{Q}]$ 以下である。
</Lemma>

<Proof of="lem-prime-sum">
<Ref to="lem-euler-product" />（$\chi = 1$、$\mathfrak{m} = 1$）の $\ell(s, 1)$ は実数 $s \gt 1$ で実数値で、$\exp\ell(s, 1) = \zeta_K(s) \gt 0$ なので $\ell(s, 1) = \log\zeta_K(s)$ です。$(s - 1)\zeta_K(s)$ は $(1, 2]$ の上の正の連続関数で、$s \to 1 + 0$ で正の数 $h_K\kappa$ に収束する（<Ref to="thm-class-number-formula" />）ので、その対数は有界です。よって $\log\zeta_K(s) = \log\frac{1}{s - 1} + O(1)$ で、同補題の最後の評価から主張を得ます。後半：素数 $p$ の上の素イデアル $\mathfrak{p}$ は高々 $[K:\mathbb{Q}]$ 個で、剰余次数が $2$ 以上なら $N\mathfrak{p} \ge p^2$ なので、和は $[K:\mathbb{Q}]\sum_pp^{-2} \lt [K:\mathbb{Q}]$ 以下です。
</Proof>

<Lemma id="lem-log-bounded" title="零点が無ければ対数は有界">
<Ref to="lem-euler-product" /> の状況で、$L(s, \chi)$ が $s \to 1 + 0$ で $0$ でない複素数に収束するならば、$\ell(s, \chi)$ は $s \in (1, 2]$ で有界である。
</Lemma>

<Proof of="lem-log-bounded">
$\ell(s, \chi)$ は $s \ge 1 + \eta$（$\eta \gt 0$）で一様に絶対収束する級数なので、$(1, 2]$ の上の連続関数です。極限を $c \ne 0$ とし、$\eta \gt 0$ を、$s \in (1, 1 + \eta]$ で $|L(s, \chi) - c| \lt |c|/2$ となるように取ります。円板 $D(c, |c|/2)$ は $0$ を含まず、$e^{b} = c$ となる $b$ を固定すると、$\Lambda(z) := b + \mathrm{Log}(z/c)$（$\mathrm{Log}$ は $D(1, 1/2)$ の上の対数の主値）はこの円板の上の連続関数で $e^{\Lambda(z)} = z$ を満たし、有界です。$s \in (1, 1 + \eta]$ で $\exp\ell(s, \chi) = L(s, \chi) = \exp\Lambda(L(s, \chi))$ なので、$\ell(s, \chi) - \Lambda(L(s, \chi))$ は $2\pi\sqrt{-1}\,\mathbb{Z}$ に値を取る連続関数で、区間の連結性により定数です。よって $\ell(s, \chi)$ は $(1, 1 + \eta]$ で有界です。$[1 + \eta, 2]$ ではコンパクト集合の上の連続関数として有界です。
</Proof>

$\mathfrak{m}$ を $K$ のモジュラス、$H$ を $\mathfrak{m}$ を法とする合同部分群（$P_{\mathfrak{m}} \subseteq H \subseteq I^{\mathfrak{m}}$）とし、$h_H := [I^{\mathfrak{m}} : H]$ とおきます。$\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}$ は有限なので $h_H$ は有限です。有限 Abel 群 $I^{\mathfrak{m}}/H$ の指標 $\chi$ を $I^{\mathfrak{m}}$ の上の関数とみたものを**射線類指標**といい、<Ref to="lem-euler-product" /> の $L(s, \chi)$ をその L 関数（**Weber の L 関数**）といいます。

<Proposition id="prop-ray-density" title="射線類指標の L 関数と素イデアルの密度">
上の状況で次が成り立つ。

1. $\chi \ne 1$ ならば $L(s, \chi)$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ の正則関数に延び、恒等的に $0$ ではない。$\chi = 1$ ならば $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ に有理型に延び、$s = 1$ に 1 位の極をもつ。
2. $\chi \ne 1$ に対し、$L(s, \chi)$ の $s = 1$ での零点の位数を $m(\chi) \ge 0$ とする（$L(1, \chi) \ne 0$ なら $m(\chi) = 0$）。$s \to 1 + 0$ で
$$
h_H\sum_{\mathfrak{p} \in H}\frac{1}{N\mathfrak{p}^{s}} = \Bigl(1 - \sum_{\chi \ne 1}m(\chi)\Bigr)\log\frac{1}{s - 1} + O(1)
$$
である。特に $\sum_{\chi \ne 1}m(\chi) \le 1$ で、$H$ に属する素イデアルの集合の密度は $(1 - \sum_{\chi \ne 1}m(\chi))/h_H$ である。
3. すべての $\chi \ne 1$ で $L(1, \chi) \ne 0$ ならば、$I^{\mathfrak{m}}/H$ の各類 $c$ に属する素イデアルの集合の密度は $1/h_H$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-ray-density">
**1.** $\chi$ は $P_{\mathfrak{m}}$ の上で自明なので $\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}$ の指標とみなせ、$\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で $L(s, \chi) = \sum_{\mathfrak{K} \in \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}}\chi(\mathfrak{K})\zeta(s, \mathfrak{K})$ です。<Ref to="thm-dedekind-zeta-pole" /> の 2 により $\zeta(s, \mathfrak{K}) = \kappa_{\mathfrak{m}}\zeta(s) + g_{\mathfrak{K}}(s)$（$g_{\mathfrak{K}}$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n$ で正則）なので
$$
L(s, \chi) = \kappa_{\mathfrak{m}}\Bigl(\sum_{\mathfrak{K}}\chi(\mathfrak{K})\Bigr)\zeta(s) + \sum_{\mathfrak{K}}\chi(\mathfrak{K})g_{\mathfrak{K}}(s)
$$
です。$\chi \ne 1$ なら $\sum_{\mathfrak{K}}\chi(\mathfrak{K}) = 0$（<Ref to="lem-character-orthogonality" /> の 2）で、右辺は正則です。$\chi = 1$ なら $\zeta(s)$ の係数は $\kappa_{\mathfrak{m}}h_{\mathfrak{m}} \gt 0$ で、1 位の極が残ります。$\kappa_{\mathfrak{m}}$ が類によらないことをここで使いました。$L(2, \chi) \ne 0$（<Ref to="lem-euler-product" />）なので恒等的に $0$ ではありません。

**2.** $\chi \ne 1$ とします。$L(s, \chi)$ は連結開集合 $\{\mathrm{Re}\,s \gt 1 - 1/n\}$ で正則で恒等的に $0$ でないので、一致の定理（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-identity" />）により $s = 1$ の近傍でも恒等的に $0$ でなく、Taylor 展開（<Ref to="mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions#thm-taylor" />）の最初の $0$ でない係数の次数を $m(\chi)$ として、$L(s, \chi) = (s - 1)^{m(\chi)}g(s)$、$g$ は $s = 1$ の近傍で正則、$g(1) \ne 0$ と書けます。実数 $s \gt 1$ について $\mathrm{Re}\,\ell(s, \chi) = \log|\exp\ell(s, \chi)| = \log|L(s, \chi)|$ なので
$$
\mathrm{Re}\,\ell(s, \chi) = -m(\chi)\log\frac{1}{s - 1} + \log|g(s)| = -m(\chi)\log\frac{1}{s - 1} + O(1)
$$
です。$\chi = 1$ については、$(s - 1)L(s, 1)$ が正の極限をもつので、<Ref to="lem-prime-sum" /> の証明と同じく $\ell(s, 1) = \log L(s, 1) = \log\frac{1}{s - 1} + O(1)$ です。

一方、<Ref to="lem-euler-product" /> の最後の評価と指標の直交関係（<Ref to="lem-character-orthogonality" /> の 3 を群 $I^{\mathfrak{m}}/H$ と $\mathfrak{p}$ の類に適用）により
$$
\sum_{\chi}\ell(s, \chi) = \sum_{\mathfrak{p} \nmid \mathfrak{m}_0}\Bigl(\sum_\chi\chi(\mathfrak{p})\Bigr)N\mathfrak{p}^{-s} + O(1) = h_H\sum_{\mathfrak{p} \in H}N\mathfrak{p}^{-s} + O(1)
$$
です。両辺の実部を取り、上の評価を代入すると 2 の式を得ます。左辺は $0$ 以上で、$\log\frac{1}{s - 1} \to +\infty$ なので、係数 $1 - \sum m(\chi)$ は $0$ 以上です。密度の主張は両辺を $h_H\log\frac{1}{s - 1}$ で割れば出ます。

**3.** 類 $c$ に属する素イデアルについて、直交関係（<Ref to="lem-character-orthogonality" /> の 3 を $\mathfrak{p}$ の類と $c^{-1}$ の積に適用）により
$$
\sum_{\mathfrak{p} \in c}N\mathfrak{p}^{-s} = \frac{1}{h_H}\sum_\chi\overline{\chi(c)}\sum_{\mathfrak{p}}\chi(\mathfrak{p})N\mathfrak{p}^{-s} = \frac{1}{h_H}\sum_\chi\overline{\chi(c)}\,\ell(s, \chi) + O(1)
$$
です。$\chi \ne 1$ の項は、仮定と <Ref to="lem-log-bounded" /> により有界です。$\chi = 1$ の項は $\frac{1}{h_H}\log\frac{1}{s - 1} + O(1)$ です。
</Proof>

2 の不等式 $\sum m(\chi) \le 1$ は、「L 関数のうち $s = 1$ で $0$ になるものは高々 1 つで、その零点は 1 位」という、何の算術も使わずに出る制約です。残る 1 つの可能性を排除するには、$H$ に属する素イデアルが実際に正の密度で存在することを別の方法で示す必要があります。次の 2 つの節でそれを行います。

## 7. 円分体のゼータの分解と算術級数定理

<Theorem id="thm-zeta-cyclotomic-factorization" title="円分体のゼータ関数の分解">
$m \ge 1$、$K = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ とする。$\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で
$$
\prod_{\mathfrak{p} \nmid m}\bigl(1 - N\mathfrak{p}^{-s}\bigr)^{-1} = \prod_{\chi}L(s, \chi)
$$
が成り立つ。左辺は $m$ を割らない $K$ の素イデアルにわたる積、右辺は $m$ を法とする Dirichlet 指標すべてにわたる積である。したがって $\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p} \mid m}(1 - N\mathfrak{p}^{-s})^{-1}\cdot\prod_\chi L(s, \chi)$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-zeta-cyclotomic-factorization">
素数 $p \nmid m$ を取り、$p$ の $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ での位数を $f$、$g := \varphi(m)/f$ とします。$p$ は $K$ で不分岐で、剰余次数 $f$ の素イデアル $g$ 個に分解します（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#thm-cyclotomic-splitting" />）。よって左辺の $p$ の上の因子は $(1 - p^{-fs})^{-g}$ です。右辺の $p$ の因子は $\prod_\chi(1 - \chi(p)p^{-s})^{-1}$ で、<Ref to="lem-character-orthogonality" /> の 4（群 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ とその位数 $f$ の元 $p \bmod m$ に、$T = p^{-s}$ として適用）により $(1 - p^{-fs})^{-\varphi(m)/f} = (1 - p^{-fs})^{-g}$ に等しいです。$p \mid m$ では $\chi(p) = 0$ なので右辺に因子はありません。両辺とも絶対収束する積（<Ref to="lem-euler-product" />、<Ref to="thm-l-function-continuation" />）なので、素数ごとの因子が等しければ全体が等しいです。
</Proof>

<Theorem id="thm-l1-nonvanishing" title="L(1, χ) ≠ 0">
$\chi$ を $m$ を法とする Dirichlet 指標で $\chi \ne \chi_0$ とする。このとき $L(1, \chi) \ne 0$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-l1-nonvanishing">
$K = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ とします。<Ref to="thm-zeta-cyclotomic-factorization" /> により、実数 $s \gt 1$ について
$$
(s - 1)\zeta_K(s)\prod_{\mathfrak{p} \mid m}\bigl(1 - N\mathfrak{p}^{-s}\bigr) = (s - 1)L(s, \chi_0)\cdot\prod_{\chi \ne \chi_0}L(s, \chi)
$$
です。$s \to 1 + 0$ とします。左辺は $h_K\kappa\prod_{\mathfrak{p} \mid m}(1 - N\mathfrak{p}^{-1})$ に収束し（<Ref to="thm-class-number-formula" />）、これは正の数です。右辺の第 1 因子は $\prod_{p \mid m}(1 - p^{-1})$ に収束し、$\chi \ne \chi_0$ の因子は $s = 1$ で連続（<Ref to="thm-l-function-continuation" /> の 2）なので $L(1, \chi)$ に収束します。よって
$$
\prod_{\chi \ne \chi_0}L(1, \chi) = \frac{h_K\kappa\prod_{\mathfrak{p} \mid m}(1 - N\mathfrak{p}^{-1})}{\prod_{p \mid m}(1 - p^{-1})} \ne 0
$$
で、どの $L(1, \chi)$ も $0$ ではありません。
</Proof>

証明の核心は、左辺の極が**ちょうど 1 位**であること、すなわち $h_K\kappa$ が有限の正の数であることです。これは第 4 節の格子点の数え上げから出ました。

<Theorem id="thm-dirichlet-arithmetic-progressions" title="Dirichlet の算術級数定理">
$m \ge 1$、$\gcd(a, m) = 1$ とする。$p \equiv a \bmod m$ を満たす素数 $p$ の集合の Dirichlet 密度は $1/\varphi(m)$ である。特にそのような素数は無限個存在する。
</Theorem>

<Proof of="thm-dirichlet-arithmetic-progressions">
$K = \mathbb{Q}$、$\mathfrak{m} = (m)\infty$、$H = P_{\mathfrak{m}}$ として <Ref to="prop-ray-density" /> を使います。$I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}} = \mathrm{Cl}_{(m)\infty}(\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ で、素数 $p \nmid m$ のイデアル $(p)$ の類は $p \bmod m$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#prop-idele-class-q" />）。この同型により、射線類指標は $m$ を法とする Dirichlet 指標、その L 関数は Dirichlet の L 関数で、$h_H = \varphi(m)$ です。<Ref to="thm-l1-nonvanishing" /> によりすべての $\chi \ne \chi_0$ で $L(1, \chi) \ne 0$ なので、<Ref to="prop-ray-density" /> の 3 により、類 $a \bmod m$ に属する素数の密度は $1/\varphi(m)$ です。
</Proof>

<Example id="ex-characters-mod-4-8" title="mod 4 と mod 8 の指標">
$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^{\times} = \{1, 3\}$ の指標は主指標 $\chi_0$ と、$\chi_4(1) = 1$、$\chi_4(3) = -1$ の 2 つです。$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} = \{1, 3, 5, 7\} \cong (\mathbb{Z}/2)^2$ の指標は 4 つあります。

| $a$ | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ | 導手 | 偶奇 | 対応する体 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\chi_0$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | 偶 | $\mathbb{Q}$ |
| $\chi_4$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $-1$ | $4$ | 奇 | $\mathbb{Q}(i)$ |
| $\chi_8$ | $1$ | $-1$ | $-1$ | $1$ | $8$ | 偶 | $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ |
| $\chi_4\chi_8$ | $1$ | $1$ | $-1$ | $-1$ | $8$ | 奇 | $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ |

$\chi_4$ は $a \bmod 4$ だけで決まるので導手は $4$ です。残りの 2 つは $\chi(5) = -1 \ne \chi(1)$ なので $4$ を法としては定義できず、導手は $8$ です。<Ref to="thm-zeta-cyclotomic-factorization" /> により $\zeta_{\mathbb{Q}(\zeta_8)}(s)$ は、$2$ の上の因子を除いて、この 4 つの L 関数の積です。「対応する体」は次節の <Ref to="lem-quadratic-character" /> の意味で、$\chi(p) = 1$ となる奇素数 $p$ がその体で分解します。たとえば $p \equiv \pm 1 \bmod 8$ のとき $p$ は $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ で分解し、これは平方剰余の第 2 補充法則（<Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#prop-two" />）と一致します。
</Example>

<Remark id="rem-landau-alternative" title="Landau の補題による別証明">
<Ref to="thm-l1-nonvanishing" /> は、類数公式を使わずに <Ref to="lem-landau" /> から導くこともできます。$F(s) := \prod_\chi L(s, \chi)$ の Dirichlet 級数の係数は非負（<Ref to="thm-zeta-cyclotomic-factorization" /> の左辺の展開）です。ある $L(1, \chi) = 0$ ならば $F$ は $\mathrm{Re}\,s \gt 0$ で正則になり、<Ref to="lem-landau" /> を繰り返し使うと $F$ の級数は $\mathrm{Re}\,s \gt 0$ で収束することになります。しかし係数の評価から $F(s) \ge \sum_{p \nmid m}p^{-\varphi(m)s}$ で、これは $s = 1/\varphi(m)$ で発散するので矛盾です。この証明は J.-P. Serre『A Course in Arithmetic』第 VI 章にあります。本章では、類体論で必要になる <Ref to="prop-ray-density" /> と同じ型の議論を採りました。
</Remark>

## 8. 二次体の類数公式

<Lemma id="lem-quadratic-character" title="二次体の指標">
$K$ を判別式 $d$ の二次体とする。$|d|$ を法とする Dirichlet 指標 $\chi_d$ で、すべての素数 $p$ について
$$
\chi_d(p) = \begin{cases} 1 & (p \text{ は } K \text{ で分解}), \\ -1 & (p \text{ は } K \text{ で惰性}), \\ 0 & (p \text{ は } K \text{ で分岐}) \end{cases}
$$
を満たすものがただ 1 つ存在する。$\chi_d$ の値は $0, \pm 1$ で、$\chi_d \ne \chi_0$、$\chi_d(-1) = \mathrm{sgn}(d)$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-quadratic-character">
$m := |d|$ とおきます。一意性は、Dirichlet 指標が完全乗法的で、素数での値で決まることから従います。

**$\sqrt d \in \mathbb{Q}(\zeta_m)$ であること。** 奇素数 $p$ に対し $p^{*} := (-1)^{(p - 1)/2}p \equiv 1 \bmod 4$ とおき、$P := \prod_{p \mid d,\ p\,\text{奇}}p^{*}$ とします。$P \equiv 1 \bmod 4$ で、$|P|$ は $|d|$ の奇数部分です。<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-quadratic-integers" /> により、$d$ は平方因子のない $m_0 \equiv 1 \bmod 4$ か、平方因子のない $m_0 \equiv 2, 3 \bmod 4$ の $4$ 倍です。$d = m_0 \equiv 1 \bmod 4$ のとき、$d = \pm P$ で $-P \equiv 3 \bmod 4$ なので $d = P$ です。$d = 4m_0$、$m_0 \equiv 3 \bmod 4$ のとき、$m_0 = \pm P$ で $m_0 = -P$、$d = -4P$ です。$d = 4m_0$、$m_0 = 2m_1$（$m_1$ は奇数）のとき、$d = 8m_1 = \pm 8P$ です。したがって $d = d_2P$、$d_2 \in \{1, -4, 8, -8\}$ です。$\sqrt{p^{*}} \in \mathbb{Q}(\zeta_p)$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#thm-quadratic-gauss-sum" />）、$\sqrt{-4} = 2\zeta_4$、$\sqrt{8} = 2(\zeta_8 + \zeta_8^{-1})$、$\sqrt{-8} = 2(\zeta_8 + \zeta_8^{3})$ です。最後の 2 つは $(\zeta_8 + \zeta_8^{-1})^2 = \zeta_4 + 2 + \zeta_4^{-1} = 2$、$(\zeta_8 + \zeta_8^3)^2 = \zeta_4 + 2\zeta_8^4 + \zeta_4^3 = -2$ から分かります。$p \mid m$ で、$d_2 = -4$ のとき $4 \mid m$、$d_2 = \pm 8$ のとき $8 \mid m$ なので、これらの円分体はすべて $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ に含まれ、$\sqrt d = \sqrt{d_2}\prod\sqrt{p^{*}} \in \mathbb{Q}(\zeta_m)$ です。

**$\chi_d$ の構成。** $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$、$a \mapsto \sigma_a$（$\sigma_a(\zeta_m) = \zeta_m^a$）です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#thm-cyclotomic-irreducible" />）。$\chi_d(a) := \sigma_a(\sqrt d)/\sqrt d \in \{\pm 1\}$ は $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ の指標で、$\sqrt d \notin \mathbb{Q}$ なので自明ではありません。素数 $p \nmid m$ は $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ で不分岐で、Frobenius 元は $\sigma_p$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#thm-cyclotomic-splitting" />）。その $K$ への制限は $K$ での $p$ の Frobenius 元で、$p$ が $K$ で分解することと、これが自明であることは同値です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#prop-frobenius-properties" />）。$\sigma_p|_K$ が自明であることは $\chi_d(p) = 1$ と同値なので、$p \nmid m$ について主張が成り立ちます。$p \mid m = |d|$ のとき、Dirichlet 指標として $\chi_d(p) = 0$ で、$p$ は $K$ で分岐します（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-quadratic-splitting" />）。

**$\chi_d(-1)$。** $\sigma_{-1}$ は $\mathbb{Q}(\zeta_m) \subseteq \mathbb{C}$ の複素共役です。$\sqrt d$ が実数であることは $d \gt 0$ と同値なので、$\chi_d(-1) = \mathrm{sgn}(d)$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-odd-l1" title="奇指標の L(1, χ) の有限和表示">
$\chi$ を $m \ge 3$ を法とする奇な Dirichlet 指標（$\chi(-1) = -1$）とする。このとき
$$
L(1, \chi) = \frac{\pi}{2m}\sum_{a = 1}^{m - 1}\chi(a)\cot\frac{\pi a}{m}.
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-odd-l1">
$\chi \ne \chi_0$ なので $L(1, \chi) = \sum_{b \ge 1}\chi(b)/b$ は収束し（<Ref to="thm-l-function-continuation" />）、長さ $m$ の区間ごとにまとめた部分和の極限として計算できます。
$$
L(1, \chi) = \lim_{M \to \infty}\sum_{k = 0}^{M - 1}\sum_{a = 1}^{m - 1}\frac{\chi(a)}{km + a}.
$$
内側の和で $a$ を $m - a$ に取り替えた式と平均すると、$\chi(m - a) = \chi(-a) = -\chi(a)$ なので
$$
\sum_{a = 1}^{m - 1}\frac{\chi(a)}{km + a} = \frac12\sum_{a = 1}^{m - 1}\chi(a)\Bigl(\frac{1}{km + a} - \frac{1}{(k + 1)m - a}\Bigr)
$$
です。$z := a/m \in (0, 1)$ とおくと
$$
\sum_{k = 0}^{M - 1}\Bigl(\frac{1}{km + a} - \frac{1}{(k + 1)m - a}\Bigr) = \frac1m\Bigl(\frac1z + \sum_{k = 1}^{M - 1}\Bigl(\frac{1}{k + z} - \frac{1}{k - z}\Bigr) - \frac{1}{M - z}\Bigr) = \frac1m\Bigl(\frac1z + \sum_{k = 1}^{M - 1}\frac{2z}{z^2 - k^2} - \frac{1}{M - z}\Bigr)
$$
で、$M \to \infty$ で $\frac{\pi}{m}\cot\pi z$ に収束します（<Ref to="mathematics/complex-analysis/entire-functions-gamma#prop-cot" />）。有限個の $a$ について和を取って主張を得ます。
</Proof>

<Corollary id="cor-quadratic-class-number" title="二次体の類数公式">
$K$ を判別式 $d$ の二次体、$\chi_d$ を <Ref to="lem-quadratic-character" /> の指標とする。

1. $\mathrm{Re}\,s \gt 1$ で $\zeta_K(s) = \zeta(s)L(s, \chi_d)$ である。
2. $d \lt 0$ のとき $h_K = \dfrac{w_K\sqrt{|d|}}{2\pi}L(1, \chi_d)$。$d \gt 0$ のとき、$\varepsilon \gt 1$ を基本単数として $h_K\log\varepsilon = \dfrac{\sqrt d}{2}L(1, \chi_d)$。
3. $d \lt 0$ のとき
$$
h_K = \frac{w_K}{4\sqrt{|d|}}\sum_{a = 1}^{|d| - 1}\chi_d(a)\cot\frac{\pi a}{|d|}.
$$
</Corollary>

<Proof of="cor-quadratic-class-number">
**1.** Euler 積（<Ref to="thm-dedekind-zeta-pole" />、<Ref to="thm-l-function-continuation" />）の素数 $p$ ごとの因子を比べます。$p$ が分解するとき、$p$ の上にノルム $p$ の素イデアルが 2 つあり、$\zeta_K$ の因子は $(1 - p^{-s})^{-2} = (1 - p^{-s})^{-1}(1 - \chi_d(p)p^{-s})^{-1}$ です。惰性のとき、ノルム $p^2$ の素イデアルが 1 つで、$(1 - p^{-2s})^{-1} = (1 - p^{-s})^{-1}(1 + p^{-s})^{-1}$ です。分岐のとき、ノルム $p$ の素イデアルが 1 つで、$(1 - p^{-s})^{-1}$、$\chi_d(p) = 0$ です。

**2.** 1 から $(s - 1)\zeta_K(s) = (s - 1)\zeta(s)\cdot L(s, \chi_d) \to L(1, \chi_d)$（$s \to 1 + 0$）です。<Ref to="thm-class-number-formula" /> と比べます。$d \lt 0$ では $r_1 = 0$、$r_2 = 1$、$R_K = 1$ で $L(1, \chi_d) = 2\pi h_K/(w_K\sqrt{|d|})$ です。$d \gt 0$ では $r_1 = 2$、$r_2 = 0$、$w_K = 2$、$R_K = |\log|\rho_1(\varepsilon)|| = \log\varepsilon$ で $L(1, \chi_d) = 4h_K\log\varepsilon/(2\sqrt d)$ です。

**3.** $d \lt 0$ のとき $\chi_d(-1) = -1$（<Ref to="lem-quadratic-character" />）で $|d| \ge 3$ なので、<Ref to="lem-odd-l1" /> を 2 に代入します。
</Proof>

<Example id="ex-leibniz" title="ζ_{Q(i)} = ζ · L(s, χ₄) と Leibniz の級数">
$K = \mathbb{Q}(i)$ では $d = -4$、$w = 4$、$\chi_{-4} = \chi_4$ です。<Ref to="lem-odd-l1" /> により
$$
L(1, \chi_4) = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots = \frac{\pi}{8}\Bigl(\cot\frac\pi4 - \cot\frac{3\pi}4\Bigr) = \frac\pi8\cdot 2 = \frac\pi4
$$
で、これは Leibniz の級数です。類数公式から $h = \dfrac{4\cdot 2}{2\pi}\cdot\dfrac\pi4 = 1$ となり、$\mathbb{Z}[i]$ が単項イデアル整域であることと合います。逆に読むと、「$\mathbb{Z}[i]$ の類数が $1$ で 1 の冪根が $4$ 個ある」という算術的な事実が、円周率の級数表示 $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - \cdots$ を決めています。
</Example>

<Example id="ex-class-number-23-163" title="h(−23) = 3 と h(−163) = 1">
<Ref to="cor-quadratic-class-number" /> の 3 は有限和なので、そのまま計算できます。$\chi_d(a)$ は、$a$ を素因数分解し、奇素数 $p$ では Euler の規準 $d^{(p - 1)/2} \bmod p$（<Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#thm-euler-criterion" />）、$p = 2$ では $d \bmod 8$（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-quadratic-splitting" />）で決めます。

```python
# Python 3（標準ライブラリのみ）
import math

def chi(d, a):
    """基本判別式 d の二次体の指標 chi_d(a)（a は正の整数）"""
    result, p = 1, 2
    while a > 1:
        if a % p == 0:
            if p == 2:
                s = 0 if d % 2 == 0 else (1 if d % 8 in (1, 7) else -1)
            else:
                t = pow(d % p, (p - 1) // 2, p)      # Euler の規準
                s = 0 if t == 0 else (1 if t == 1 else -1)
            while a % p == 0:
                result *= s
                a //= p
        p += 1
    return result

def class_number(d, w=2):
    """虚二次体の類数: h = w / (4 sqrt|d|) * sum chi(a) cot(pi a / |d|)"""
    m = -d
    total = sum(chi(d, a) / math.tan(math.pi * a / m) for a in range(1, m))
    return w / (4 * math.sqrt(m)) * total

for d, w in [(-3, 6), (-4, 4), (-7, 2), (-20, 2), (-23, 2), (-163, 2)]:
    print(d, round(class_number(d, w), 10))
```

出力は次のとおりです。

```text
-3 1.0
-4 1.0
-7 1.0
-20 2.0
-23 3.0
-163 1.0
```

$d = -23$ では和は $22$ 項で、$h = 3$ です。$d = -163$ では $162$ 項の和が $4\sqrt{163}/2 = 25.53\ldots$ にちょうど等しくなり、$h = 1$ です。$d = -20$（$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$）の $h = 2$ は <Ref to="mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#ex-class-number-minus5" /> と一致します。浮動小数点の計算ですが、類数は整数と分かっているので、丸めれば確定します。
</Example>

<Example id="ex-real-quadratic-sqrt2" title="Q(√2) で h R を求める">
$K = \mathbb{Q}(\sqrt2)$ では $d = 8$、$\chi_8$ は <Ref to="ex-characters-mod-4-8" /> の偶指標です。$L(1, \chi_8) = \sum_{k \ge 0}\bigl(\frac{1}{8k + 1} - \frac{1}{8k + 3} - \frac{1}{8k + 5} + \frac{1}{8k + 7}\bigr)$ を積分で求めます。$\frac{1}{8k + c} = \int_0^1x^{8k + c - 1}\,dx$ なので、$k \lt M$ の部分和は
$$
\int_0^1(1 - x^2 - x^4 + x^6)\frac{1 - x^{8M}}{1 - x^8}\,dx = \int_0^1\frac{1 - x^2}{1 + x^4}(1 - x^{8M})\,dx
$$
です（$1 - x^2 - x^4 + x^6 = (1 - x^2)(1 - x^4)$、$1 - x^8 = (1 - x^4)(1 + x^4)$）。$0 \le \frac{1 - x^2}{1 + x^4} \le 1$ なので $x^{8M}$ の項の寄与は $\int_0^1x^{8M}dx = 1/(8M + 1)$ 以下で、$M \to \infty$ で消えます。原始関数 $F(x) = \frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{x^2 + \sqrt2x + 1}{x^2 - \sqrt2x + 1}$ は、微分すると
$$
F'(x) = \frac{1}{2\sqrt2}\cdot\frac{(2x + \sqrt2)(x^2 - \sqrt2x + 1) - (2x - \sqrt2)(x^2 + \sqrt2x + 1)}{x^4 + 1} = \frac{1}{2\sqrt2}\cdot\frac{2\sqrt2(1 - x^2)}{x^4 + 1}
$$
となるので、
$$
L(1, \chi_8) = F(1) - F(0) = \frac{1}{2\sqrt2}\log\frac{2 + \sqrt2}{2 - \sqrt2} = \frac{1}{2\sqrt2}\log(1 + \sqrt2)^2 = \frac{\log(1 + \sqrt2)}{\sqrt2}
$$
です（$\frac{2 + \sqrt2}{2 - \sqrt2} = \frac{(2 + \sqrt2)^2}{2} = 3 + 2\sqrt2 = (1 + \sqrt2)^2$）。類数公式から $h\log\varepsilon = \frac{\sqrt8}{2}\cdot\frac{\log(1 + \sqrt2)}{\sqrt2} = \log(1 + \sqrt2)$ です。$1 + \sqrt2$ は $1$ より大きい最小の単数（単数 $a + b\sqrt2 \gt 1$ は $a, b \ge 1$ を満たす）なので $\varepsilon = 1 + \sqrt2$ で、$h = 1$ です。L 関数の値に基本単数の対数がそのまま現れます。
</Example>

## 9. 完全分解する素イデアルの密度と第 2 不等式

$L/K$ を代数体の有限次 Galois 拡大とし、$K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ で、$L$ で完全分解する（不分岐で、上にあるすべての素イデアルの剰余次数が $1$。すなわち $[L:K]$ 個の素イデアルに分かれる）ものの集合を $\mathrm{Spl}(L/K)$ と書きます。

<Theorem id="thm-density-split-completely" title="完全分解する素イデアルの密度">
$L/K$ を代数体の $N$ 次 Galois 拡大とする。$\mathrm{Spl}(L/K)$ の Dirichlet 密度は $1/N$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-density-split-completely">
$L$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ にわたる和 $\sum N\mathfrak{P}^{-s}$ を、下にある $K$ の素イデアル $\mathfrak{p} = \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_K$ で分類します。Galois 拡大では $\mathfrak{p}$ の上の素イデアルの分岐指数 $e$ と剰余次数 $f$ は共通です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#lem-transitive" />）。

- $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spl}(L/K)$ のとき、$\mathfrak{p}$ の上に $N$ 個の $\mathfrak{P}$ があり、$N\mathfrak{P} = N\mathfrak{p}$ です。寄与は $N\cdot N\mathfrak{p}^{-s}$ です。
- $\mathfrak{p}$ が $L$ で分岐するとき。そのような $\mathfrak{p}$ は有限個（$\mathfrak{p}$ の下の素数は $d_L$ を割る。<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-ramified-divides" />）で、寄与は有界です。
- $\mathfrak{p}$ が不分岐で $f \ge 2$ のとき、$\mathfrak{P}$ の $\mathbb{Q}$ 上の剰余次数は $2$ 以上なので、<Ref to="lem-prime-sum" /> の後半（$L$ に適用）により、これらの $\mathfrak{P}$ 全体の寄与は $[L:\mathbb{Q}]$ 以下です。

よって <Ref to="lem-prime-sum" />（$L$ に適用）から
$$
\log\frac{1}{s - 1} + O(1) = \sum_{\mathfrak{P}}N\mathfrak{P}^{-s} = N\sum_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spl}(L/K)}N\mathfrak{p}^{-s} + O(1)
$$
で、$N\log\frac{1}{s - 1}$ で割ると密度 $1/N$ を得ます。
</Proof>

これは Chebotarev の密度定理（<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#thm-chebotarev" />。そこでは主張のみ）の、共役類が単位元 $\{1\}$ の場合です。円分拡大 $\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q}$ の場合は <Ref to="thm-dirichlet-arithmetic-progressions" /> で、すべての共役類について証明しました。

<Corollary id="cor-bauer" title="完全分解する素イデアルが Galois 拡大を決める（Bauer）">
$L, M$ を、$K$ の固定した代数閉包に含まれる $K$ の有限次 Galois 拡大とする。密度 $0$ の例外集合 $Z$ があって $\mathrm{Spl}(L/K) \setminus Z \subseteq \mathrm{Spl}(M/K)$ ならば、$M \subseteq L$ である。特に $\mathrm{Spl}(L/K) = \mathrm{Spl}(M/K)$ ならば $L = M$ である。
</Corollary>

<Proof of="cor-bauer">
合成体 $LM$ は $K$ の Galois 拡大で、$\mathfrak{p}$ が $LM$ で完全分解することは、$L$ と $M$ の両方で完全分解することと同値です（両方で完全分解すれば合成体でも完全分解することは <Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#cor-compositum" />、逆は分岐指数と剰余次数の乗法性 <Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#lem-tower-ef" />）。よって $\mathrm{Spl}(LM/K) = \mathrm{Spl}(L/K) \cap \mathrm{Spl}(M/K) \supseteq \mathrm{Spl}(L/K) \setminus Z$ です。$s \gt 1$ について
$$
\sum_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spl}(LM/K)}N\mathfrak{p}^{-s} \ge \sum_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spl}(L/K)}N\mathfrak{p}^{-s} - \sum_{\mathfrak{p} \in Z}N\mathfrak{p}^{-s}
$$
で、$\log\frac{1}{s - 1}$ で割って極限を取ると、<Ref to="thm-density-split-completely" /> により $1/[LM:K] \ge 1/[L:K] - 0$ です。$L \subseteq LM$ なので $[LM:K] = [L:K]$、$LM = L$、すなわち $M \subseteq L$ です。
</Proof>

<Example id="ex-cubic-density" title="x³ − 2 が mod p で根をもつ素数の密度">
$F = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ の Galois 閉包は $L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$（$\omega = \zeta_3$）で、$[L:\mathbb{Q}] = 6$、Galois 群は $S_3$ です。素数 $p \ne 2, 3$ を、$x^3 - 2$ の $\mathbb{F}_p$ での根の個数で分類します。

- $p \equiv 2 \bmod 3$ のとき。$\gcd(3, p - 1) = 1$ なので $x \mapsto x^3$ は $\mathbb{F}_p^{\times}$ の全単射で、根はちょうど 1 個です。このような $p$ の密度は <Ref to="thm-dirichlet-arithmetic-progressions" /> により $1/2$ です。
- $p \equiv 1 \bmod 3$ のとき。$\mathbb{F}_p$ は 1 の原始 3 乗根を含むので、根があれば 3 個あります。根が 3 個あることは $x^3 - 2$ が $\mathbb{F}_p$ で 1 次式の積に分解することで、$p$ が $F$ で完全分解することと同値（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-kummer-dedekind" />。$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ の判別式 $-108$ は $p$ と素）で、$p \equiv 1 \bmod 3$ と合わせて $p$ が $L$ で完全分解することと同値です。その密度は <Ref to="thm-density-split-completely" /> により $1/6$ です。

したがって、$x^3 - 2$ が $\bmod p$ で根をもつ素数の密度は $1/2 + 1/6 = 2/3$、根を 3 個もつ素数の密度は $1/6$、根をもたない素数の密度は $1 - 2/3 = 1/3$ です。$S_3$ の元を 3 文字の置換と見ると、不動点が 1 個の元（互換）が $3$ 個、$3$ 個の元（単位元）が $1$ 個、$0$ 個の元（3 巡回）が $2$ 個で、割合 $3/6$、$1/6$、$2/6$ に一致しています。これが Chebotarev の密度定理の内容です。小さい素数で確かめると、$p = 31$ は $4^3 = 64 \equiv 2$ で根をもち（$31 \equiv 1 \bmod 3$ なので 3 個）、$p = 7, 13, 19$ は根をもちません。
</Example>

<Theorem id="thm-universal-norm-inequality" title="ノルム群の指数の上界（第 2 不等式）">
$L/K$ を代数体の $N$ 次 Galois 拡大、$\mathfrak{m}$ を $K$ のモジュラスとする。$I_L^{\mathfrak{m}}$ を、$\mathfrak{m}_0\mathcal{O}_L$ と素な $L$ の分数イデアルの群とし、$H := P_{\mathfrak{m}}\cdot N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}}) \subseteq I^{\mathfrak{m}}$ とおく。このとき
$$
[I^{\mathfrak{m}} : H] \le [L : K]
$$
である。さらに、$I^{\mathfrak{m}}/H$ の自明でないすべての指標 $\chi$ について $L(1, \chi) \ne 0$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-universal-norm-inequality">
$\mathfrak{p} \in \mathrm{Spl}(L/K)$、$\mathfrak{p} \nmid \mathfrak{m}_0$ とし、$\mathfrak{P}$ を $\mathfrak{p}$ の上の素イデアルとします。剰余次数が $1$ なので $N_{L/K}(\mathfrak{P}) = \mathfrak{p}$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#def-relative-norm" />）で、$\mathfrak{P} \in I_L^{\mathfrak{m}}$ なので $\mathfrak{p} \in H$ です。$\mathfrak{m}_0$ を割る素イデアルは有限個なので、<Ref to="thm-density-split-completely" /> により
$$
\sum_{\mathfrak{p} \in H}N\mathfrak{p}^{-s} \ge \sum_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spl}(L/K),\ \mathfrak{p} \nmid \mathfrak{m}_0}N\mathfrak{p}^{-s} = \frac1N\log\frac{1}{s - 1} + O(1)
$$
です。<Ref to="prop-ray-density" /> の 2 と比べると、$h_H = [I^{\mathfrak{m}} : H]$、$\mu := \sum_{\chi \ne 1}m(\chi) \in \{0, 1\}$ として
$$
\Bigl(\frac{1 - \mu}{h_H} - \frac1N\Bigr)\log\frac{1}{s - 1} \ge O(1)
$$
です。$\log\frac{1}{s - 1} \to +\infty$ なので、係数は $0$ 以上、すなわち $(1 - \mu)/h_H \ge 1/N \gt 0$ です。よって $\mu = 0$ で、$h_H \le N$ です。$\mu = 0$ は、すべての $\chi \ne 1$ で $m(\chi) = 0$、すなわち $L(1, \chi) \ne 0$ を意味します。
</Proof>

この不等式は、[類体論](/mathematics/algebraic-number-theory/class-field-theory)で「第 2 不等式」と呼ばれるものです。そこでは、イデールの言葉 $[C_K : N_{L/K}C_L] \le [L:K]$ に直し、コホモロジーの計算から出る逆向きの不等式（第 1 不等式）と合わせて、巡回拡大でのノルム指数の等式を導きます。歴史的には解析的に証明されたこちらが先で、「第 1」と呼ばれていました。なお、$K = \mathbb{Q}$、$L = \mathbb{Q}(\zeta_m)$、$\mathfrak{m} = (m)\infty$ の場合、後半の主張は <Ref to="thm-l1-nonvanishing" /> の別証明になっています（$H = P_{\mathfrak{m}}$ であること、つまり円分体からのノルムが $1 \bmod m$ に入ることは第 7 章で示します）。

## 10. 演習

<Exercise id="exr-prime-race" difficulty="標準">
$s \gt 1$ に対し $A_1(s) := \sum_{p \equiv 1\ (4)}p^{-s}$、$A_3(s) := \sum_{p \equiv 3\ (4)}p^{-s}$ とおく。$s \to 1 + 0$ で $A_1(s)$ と $A_3(s)$ はともに発散するが、差 $A_1(s) - A_3(s)$ は有界であることを示せ。
<Solution>
$\chi_4$ を <Ref to="ex-characters-mod-4-8" /> の指標とすると、$A_1(s) - A_3(s) = \sum_p\chi_4(p)p^{-s}$、$A_1(s) + A_3(s) = \sum_{p \ne 2}p^{-s}$ です。<Ref to="lem-euler-product" /> により $|\ell(s, \chi_4) - \sum_p\chi_4(p)p^{-s}| \le 1$ です。$L(s, \chi_4) \to L(1, \chi_4) = \pi/4 \ne 0$（<Ref to="ex-leibniz" /> の計算。非零性は <Ref to="thm-l1-nonvanishing" /> からも出る）なので、<Ref to="lem-log-bounded" /> により $\ell(s, \chi_4)$ は有界で、差 $A_1 - A_3$ は有界です。和 $A_1 + A_3 = \log\frac{1}{s - 1} + O(1)$（<Ref to="lem-prime-sum" />）は発散するので、$A_1 = \frac12(A_1 + A_3) + \frac12(A_1 - A_3)$ と $A_3$ はともに $\frac12\log\frac{1}{s - 1} + O(1)$ で発散します。実は $s \to 1 + 0$ で差は $\log L(1, \chi_4) - \sum_p\sum_{k \ge 2}\chi_4(p)^k/(kp^k)$ に収束します。2 つの類の素数は「同じ速さで」現れ、その食い違いは $L(1, \chi_4) = \pi/4$ という 1 つの数に集約されます。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-sqrt5" difficulty="標準">
$K = \mathbb{Q}(\sqrt5)$ の類数は $1$、基本単数は $\varepsilon = (1 + \sqrt5)/2$ である。類数公式から $L(1, \chi_5) = 1 - \frac12 - \frac13 + \frac14 + \frac16 - \cdots$ の値を求め、$5$ 項ずつまとめた最初の 4 ブロックの和と比べよ。
<Solution>
$d = 5$ で、$\chi_5(a)$ は $a \equiv \pm 1 \bmod 5$ で $1$、$a \equiv \pm 2$ で $-1$（$p \equiv \pm 1 \bmod 5$ が $\mathbb{Q}(\sqrt5)$ で分解する）です。<Ref to="cor-quadratic-class-number" /> の 2 から
$$
L(1, \chi_5) = \frac{2h\log\varepsilon}{\sqrt5} = \frac{2\log\frac{1 + \sqrt5}{2}}{\sqrt5} = \frac{2 \times 0.481212}{2.236068} = 0.430409\ldots
$$
です。ブロック $B_k = \frac{1}{5k + 1} - \frac{1}{5k + 2} - \frac{1}{5k + 3} + \frac{1}{5k + 4}$ は、$B_0 = 0.416667$、$B_1 = 0.009921$、$B_2 = 0.002082$、$B_3 = 0.000752$ で、和は $0.429421$ です。残りは、$c = 5k + 5/2$ として $B_k = \frac{2c}{c^2 - 9/4} - \frac{2c}{c^2 - 1/4} = \frac{4c}{(c^2 - 9/4)(c^2 - 1/4)} \approx 4/c^3$ なので、$\sum_{k \ge 4}B_k \approx \int_{3.5}^{\infty}\frac{4\,dk}{(5k + 5/2)^3} = \frac{2}{5\cdot 20^2} = 0.001$ 程度で、合計は約 $0.4304$ となり一致します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-gaussian-count" difficulty="標準">
$K = \mathbb{Q}(i)$ について <Ref to="thm-ideal-count" /> の $\kappa$ を求め、「ノルムが $x$ 以下の $\mathbb{Z}[i]$ の $0$ でないイデアルの個数」を円の中の格子点の個数で直接数えた結果と一致することを確かめよ。
<Solution>
$r_1 = 0$、$r_2 = 1$、$R = 1$、$w = 4$、$d = -4$ なので $\kappa = \frac{2\pi}{4\cdot 2} = \frac\pi4$ です。直接数えると、$\mathbb{Z}[i]$ は単項イデアル整域なので、$0$ でないイデアルは $0$ でない Gauss 整数 $a + bi$ の同伴類（$4$ 個ずつ）と 1 対 1 に対応し、ノルムは $a^2 + b^2$ です。よって個数は $\frac14\#\{(a, b) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{0\} \mid a^2 + b^2 \le x\}$ で、半径 $\sqrt x$ の円板の中の格子点の個数は $\pi x + O(\sqrt x)$（<Ref to="lem-lattice-point-count" />。円周は Lipschitz 曲線）なので、$\frac\pi4x + O(\sqrt x)$ です。$\kappa = \pi/4$、誤差 $O(x^{1 - 1/2})$ と一致します。この場合、基本錐 $Y$ は平面全体から原点を除いたもの（単数が有限個なので条件 $0 \le \xi_k \lt 1$ が無い）で、$w = 4$ で割ることが同伴類を取ることに当たります。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

1. D. A. Marcus, *Number Fields*, 2nd ed., Universitext, Springer, 2018 — 第 6 章（イデアルの分布。Lipschitz な境界をもつ領域の格子点の数え上げと基本錐の体積）、第 7 章（Dedekind ゼータ関数と類数公式）。本章の第 4 節の筋はこの文献によります。
2. S. Lang, *Algebraic Number Theory*, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 110, Springer, 1994 — 第 VI 章（イデアルの密度）、第 VIII 章（ゼータ関数と L 関数、密度、第 2 不等式）。
3. J. Neukirch, *Algebraic Number Theory*, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Springer, 1999 — 第 VII 章（ゼータ関数と L 級数。Hecke の関数等式を含む）。
4. J.-P. Serre, *A Course in Arithmetic*, Graduate Texts in Mathematics 7, Springer, 1973 — 第 VI 章（算術級数定理。Landau の補題による $L(1, \chi) \ne 0$ の証明）。
5. H. Davenport, *Multiplicative Number Theory*, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics 74, Springer, 2000 — 第 1 章・第 4 章・第 6 章（Dirichlet の原証明と二次体の類数公式）。
6. G. J. Janusz, *Algebraic Number Fields*, 2nd ed., Graduate Studies in Mathematics 7, American Mathematical Society, 1996 — 第 IV 章（解析的方法。L 級数、密度、解析的に証明される指数の不等式）。