# 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群

> Galois 拡大での素イデアルの分解を分解群・惰性群・Frobenius 元で記述し、分解体と惰性体の塔、Dedekind の巡回型定理、共役差積と判別式、Dedekind の共役差積定理、高次分岐群と Hilbert の公式を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius

## 0. この記事の要点

整数 $5$ は、ガウス整数 $\mathbb{Z}[i]$ の中では $5 = (2+i)(2-i)$ と二つに割れ、$3$ は割れずに素数のままで、$2$ は $2 = -i(1+i)^2$ と同じ因子の二乗になります。同じ素数でも、広い数の世界に出ると「割れる・割れない・二乗になる」という三つの振る舞いに分かれます。この記事は、その違いが対称性（Galois 群の部分群）から自然に読み取れることを説明します。読み終えると、素数が拡大でどう分解するかを群の言葉で調べ、どれだけ分岐するかを数で測れるようになります。

- Galois 拡大 $L/K$ では、Galois 群 $G$ が素イデアル $\mathfrak{p}$ の上の素イデアルに推移的に作用します（<Ref to="lem-transitive" />）。$\mathfrak{P}$ を固定する元の全体が**分解群** $D$、さらに剰余体に自明に作用する元の全体が**惰性群** $I$ で、$1 \to I \to D \to \mathrm{Gal}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p})) \to 1$ は完全、$|D| = ef$、$|I| = e$ です（<Ref to="thm-decomposition-exact" />）。
- 固定体の塔 $K \subseteq L^D \subseteq L^I \subseteq L$ は、$\mathfrak{p}$ の分解を「分かれる・剰余体が伸びる・分岐する」の 3 段に切り分けます（<Ref to="thm-decomposition-tower" />、<Ref to="cor-splitting-fields" />）。
- 不分岐な $\mathfrak{P}$ には $x \mapsto x^{q}$ を持ち上げる **Frobenius 元**（剰余体での「$q$ 乗する」操作に対応する Galois 群の元）が定まり（<Ref to="prop-frobenius-properties" />）、多項式を $\mathfrak{p}$ で還元したときの既約因子の次数が、根の置換としての巡回型になります（<Ref to="thm-dedekind-cycle-type" />）。
- トレース形式に関する $B$ の双対の逆イデアルが**共役差積** $\mathfrak{D}_{L/K}$（分岐の様子を $L$ 側のイデアルとして記録するもの）です。塔で乗法的（<Ref to="thm-different-tower" />）、ノルムが判別式（<Ref to="prop-discriminant-norm-different" />）、$B = A[\alpha]$ なら $(g'(\alpha))$（<Ref to="prop-different-monogenic" />）で、$v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}) \ge e - 1$、等号は順分岐のときに限ります（<Ref to="thm-different-ramification" />）。
- 惰性群は**高次分岐群** $G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots$（惰性群を分岐の深さで段階づけた部分群の列）で細分され、$G_0/G_1$ は巡回群、$G_1$ は $p$ 群です（<Ref to="thm-ramification-groups" />）。共役差積の指数は $\sum_{i \ge 0}(|G_i| - 1)$ に等しくなります（<Ref to="thm-hilbert-different" />）。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **Dedekind 整域**: $0$ でないイデアルが素イデアルの積に一意に分解できる整域。→ [Dedekind 整域](/mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#def-dedekind)
- **整閉包**: 体の拡大の中で、環 $A$ 上整な元（$A$ 係数のモニック多項式の根）全体のなす環。→ [整閉包](/mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#def-integral)
- **局所化**: 分母に素イデアルの外の元を許して分数を作る操作。→ [局所化](/mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#def-localization)
- **離散付値環**: 極大イデアルが 1 つで、$0$ でないイデアルがすべて極大イデアルの生成元の冪で生成される環。→ [離散付値環](/mathematics/commutative-algebra/dvr-and-dedekind-rings#def-dvr)
- **分岐指数と剰余次数**: 素イデアルの分解 $\mathfrak{p}B = \prod \mathfrak{P}_i^{e_i}$ の指数 $e_i$ と、剰余体の拡大次数 $f_i$。→ [分岐指数と剰余次数](/mathematics/commutative-algebra/dvr-and-dedekind-rings#def-ramification-general)
- **Galois 群**: 拡大 $L/K$ の体の自己同型のうち $K$ を固定するものの全体。→ [自己同型群](/mathematics/algebra/galois-theory#def-galois)

</Aside>

## 1. 動機

[代数体の整数環と Dedekind 整域](/mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains) では、素数 $p$ が代数体の整数環で $p\mathcal{O}_K = \prod \mathfrak{P}_i^{e_i}$ と分解し、$\sum e_if_i = n$ が成り立つことを示しました。Galois 拡大なら $e_i$ と $f_i$ は共通で $efg = n$ です。この等式は「$n$ が 3 つの数の積に割れる」と言っているだけで、なぜ割れるのかは語りません。

本記事の答えは、$n = |G|$ の分解 $efg$ が部分群の列 $G \supseteq D \supseteq I \supseteq 1$ の指数 $g = [G : D]$、$f = [D : I]$、$e = |I|$ の積だ、というものです。部分群には固定体が対応するので、拡大 $L/K$ そのものが 3 段の塔に分かれ、各段で起こることが 1 種類に限られます。さらに $D/I$ は有限体の Galois 群なので標準的な生成元（Frobenius 写像）をもち、その持ち上げが Frobenius 元です。「素イデアルごとに Galois 群の元が 1 つ定まる」というこの仕組みが、[第 2 章](/mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields) の円分体の分解法則と、類体論の Artin 写像の出発点になります。

後半では分岐の量を測ります。分岐するかどうかは判別式で判定できましたが、判別式は $K$ のイデアルなので、$\mathfrak{p}$ の上のどの $\mathfrak{P}$ がどれだけ分岐しているかまでは見えません。$L$ 側のイデアルである共役差積がこれを補い、その指数は惰性群のフィルター（高次分岐群）の位数で書けます。

本記事では完備化を使いません。[局所化](/mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#def-localization)で Dedekind 整域を[離散付値環](/mathematics/commutative-algebra/dvr-and-dedekind-rings#def-dvr)に落とす操作（<Ref to="lem-localize" />）だけで進め、局所体の言葉への翻訳は [第 4 章](/mathematics/algebraic-number-theory/local-fields) で行います。

## 2. 設定と局所化

### 2.1. 記号と仮定

本記事を通じて次の設定を固定します。以下の定義・定理の主張で「2.1 節の設定で」と書くときは、この 2 項目（商体の標数が $0$、剰余体が有限）を仮定に含めています。

- $A$ は Dedekind 整域（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#def-dedekind" />）で、商体 $K$ の[標数](/mathematics/algebra/rings-and-fields#def-characteristic)は $0$、$0$ でない各素イデアル $\mathfrak{p}$ の剰余体 $\kappa(\mathfrak{p}) := A/\mathfrak{p}$ は有限体とする。
- $L/K$ は $n$ 次拡大、$B$ は $L$ における $A$ の[整閉包](/mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#def-integral)とする。

代数体の整数環 $A = \mathcal{O}_K$、その局所化、[第 4 章](/mathematics/algebraic-number-theory/local-fields) の標数 $0$ の局所体の整数環がこの仮定を満たします。標数を $0$ とするのは、Galois 理論の基本定理（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-fundamental" />）を標数 $0$ の形で使うためです。標数 $0$ なので $L/K$ は分離拡大です（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#prop-separable-criterion" />）。剰余体のほうは標数 $p > 0$ で、そこでは有限体の Galois 理論（<Ref to="lem-finite-field-galois" />）を直接証明して使います。

トレース $\mathrm{Tr}_{L/K}(x)$ は $x$ 倍写像の $K$ 上のトレース（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#def-trace" />）、ノルム $N_{L/K}(x)$ は同じ写像の行列式とします。$K = \mathbb{Q}$ のときは埋め込みによる定義（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#def-trace-norm" />）に一致します（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-trace-norm" /> の 5）。

<Lemma id="lem-setup" title="設定から従う基本事実">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で、$0$ でない素イデアルの剰余体がすべて有限な Dedekind 整域、$L/K$ は $n$ 次拡大、$B$ は $L$ における $A$ の整閉包）のもとで、次が成り立つ。
1. $B$ は Dedekind 整域で $\operatorname{Frac} B = L$、$B$ は有限生成 $A$ 加群である。
2. $B$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{P}$ について、$\mathfrak{p} = \mathfrak{P} \cap A$ は $A$ の $0$ でない素イデアルである（$\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{p}$ の**上にある**といい、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ と書く）。$\mathfrak{p}$ の上にある素イデアルは $\mathfrak{p}B$ の素因子 $\mathfrak{P}_1, \ldots, \mathfrak{P}_g$ にちょうど一致し、$\mathfrak{p}B = \prod_i \mathfrak{P}_i^{e_i}$、$f_i = [\kappa(\mathfrak{P}_i) : \kappa(\mathfrak{p})]$ について $\sum_{i=1}^g e_if_i = n$ である。特に $\kappa(\mathfrak{P}) = B/\mathfrak{P}$ は有限体である。
3. $M$ を中間体（$K \subseteq M \subseteq L$）とすると、$B_M := B \cap M$ は $M$ における $A$ の整閉包であり、$B$ は $L$ における $B_M$ の整閉包である。組 $(B_M, M)$ は 2.1 節の仮定を満たす。
</Lemma>

<Proof of="lem-setup">
1. <Ref to="mathematics/commutative-algebra/dvr-and-dedekind-rings#cor-dedekind-extension" /> と <Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#prop-separable-finite" /> です。
2. $B$ は Dedekind 整域なので $\mathfrak{P}$ は極大イデアルで、$B$ は $A$ 上整ですから、<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#cor-integral-maximal" /> により $\mathfrak{p}$ は $A$ の極大イデアルです。$A$ は体でないので $\mathfrak{p} \ne 0$ です。残りは <Ref to="mathematics/commutative-algebra/dvr-and-dedekind-rings#thm-sum-ef-general" /> です（$L/K$ は分離拡大なので等号が成り立ちます）。$\kappa(\mathfrak{P})$ は有限体 $\kappa(\mathfrak{p})$ の $f_i$ 次拡大なので有限です。
3. $M$ の元が $A$ 上整であることと $B$ に属することは同値なので、$B_M$ は $M$ での $A$ の整閉包です。$B$ の元は $A$ 上整なので $B_M$ 上整であり、逆に $L$ の元が $B_M$ 上整なら整性の推移性（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#cor-integral-closure-ring" />）により $A$ 上整で $B$ に入ります。1 と 2 を $(A, K, M)$ に使うと $B_M$ は Dedekind 整域で剰余体は有限、$M$ の標数は $0$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-tower-ef" title="分岐指数と剰余次数は塔で乗法的">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$M$ を中間体、$B_M = B \cap M$、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$、$\mathfrak{P}_M := \mathfrak{P} \cap B_M$ とする。このとき
$$
e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)\, e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}), \qquad f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) = f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)\, f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}).
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-tower-ef">
剰余次数は体の塔 $\kappa(\mathfrak{p}) \subseteq \kappa(\mathfrak{P}_M) \subseteq \kappa(\mathfrak{P})$ の次数の連鎖律（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#prop-tower" />）です。分岐指数について、$\mathfrak{p}B_M = \prod_j \mathfrak{q}_j^{a_j}$（$\mathfrak{q}_j$ は相異なる）と分解すると $\mathfrak{p}B = \prod_j (\mathfrak{q}_jB)^{a_j}$ です。$\mathfrak{P}$ が $\mathfrak{q}_jB$ を割るのは $\mathfrak{P} \cap B_M = \mathfrak{q}_j$ のとき、すなわち $\mathfrak{q}_j = \mathfrak{P}_M$ のときだけで（<Ref to="lem-setup" /> の 2 を $(B_M, M, L)$ に使う）、そのときの指数が $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)$ です。したがって $\mathfrak{p}B$ における $\mathfrak{P}$ の指数は $e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p})\,e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)$ で、素イデアル分解の一意性（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-ideal-factorization" />）によりこれが $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ です。
</Proof>

### 2.2. 局所化で離散付値環に落とす

1 つの素イデアル $\mathfrak{p}$ での分解を調べるときは、$\mathfrak{p}$ 以外の素イデアルを局所化で消してしまうのが便利です。以後「局所化して $A$ を離散付値環としてよい」と言うときは、次の補題を指します。この補題のねらいは、$\mathfrak{p}$ の上にない素イデアルを視野から外し、$B$ を単項イデアル整域にすることです。そうすると、素元を取ればイデアルがその冪で書けるようになります。以降の証明では「素元 $t$ を 1 つ取る」という形で使います。

<Lemma id="lem-localize" title="局所化の補題">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は $n$ 次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$\mathfrak{p}$ を $A$ の $0$ でない素イデアル、$S = A \setminus \mathfrak{p}$、$A_{\mathfrak{p}} = S^{-1}A$、$B_{\mathfrak{p}} := S^{-1}B$ とし、$\mathfrak{p}B = \prod_{i=1}^g\mathfrak{P}_i^{e_i}$ とする。
1. $A_{\mathfrak{p}}$ は離散付値環で、$B_{\mathfrak{p}}$ は $L$ における $A_{\mathfrak{p}}$ の整閉包である。組 $(A_{\mathfrak{p}}, K)$ は 2.1 節の仮定を満たす。
2. $B_{\mathfrak{p}}$ の $0$ でない素イデアルは $\mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}}$（$1 \le i \le g$）の $g$ 個で、$\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}} = \prod_i(\mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}})^{e_i}$、自然な写像 $B/\mathfrak{P}_i \to B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}}$ は同型である。したがって分岐指数と剰余次数は局所化で変わらない。
3. $B$ の分数イデアル $\mathfrak{B} = \prod_{\mathfrak{Q}}\mathfrak{Q}^{a_{\mathfrak{Q}}}$ について $\mathfrak{B}B_{\mathfrak{p}} = \prod_{i}(\mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}})^{a_{\mathfrak{P}_i}}$。特に $x \in L^{\times}$ の付値 $v_{\mathfrak{P}_i}(x)$ は $B$ で測っても $B_{\mathfrak{p}}$ で測っても同じである。
4. $B_{\mathfrak{p}}$ は単項イデアル整域であり、階数 $n$ の自由 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群である。
</Lemma>

<Proof of="lem-localize">
1. $A_{\mathfrak{p}}$ が離散付値環であることは <Ref to="mathematics/commutative-algebra/dvr-and-dedekind-rings#thm-dedekind-characterization" /> の 2、整閉包であることは <Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#prop-integral-localization" /> です。離散付値環は Dedekind 整域で（同じ定理の 2 から 1）、剰余体は $A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} \cong A/\mathfrak{p}$（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#prop-localization-quotient" />。体 $A/\mathfrak{p}$ では $S$ の像はすでに単元）で有限です。
2. <Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#thm-localization-ideals" /> の 4 により、$B_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $S$ と交わらない $B$ の素イデアル $\mathfrak{Q}$ に対応します。$\mathfrak{Q} \ne 0$ なら $\mathfrak{Q} \cap A$ は $A$ の極大イデアルで（<Ref to="lem-setup" /> の 2）、$S$ と交わらないことは $\mathfrak{Q} \cap A \subseteq \mathfrak{p}$、すなわち $\mathfrak{Q} \cap A = \mathfrak{p}$ と同値です。よって $\mathfrak{Q}$ は $\mathfrak{P}_i$ のどれかです。$\mathfrak{p}B = \prod \mathfrak{P}_i^{e_i}$ の両辺に $B_{\mathfrak{p}}$ を掛ければ分解の式が出ます。剰余体は <Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#prop-localization-quotient" /> により $B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}} \cong \bar S^{-1}(B/\mathfrak{P}_i)$ で、$s \in S$ は $\mathfrak{P}_i \cap A = \mathfrak{p}$ に入らないので、体 $B/\mathfrak{P}_i$ での像は単元であり、$\bar S^{-1}(B/\mathfrak{P}_i) = B/\mathfrak{P}_i$ です。
3. $\mathfrak{Q}$ が $\mathfrak{p}$ の上にないとき $\mathfrak{Q} \cap S \ne \varnothing$ なので $\mathfrak{Q}B_{\mathfrak{p}} = B_{\mathfrak{p}}$ です（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#thm-localization-ideals" /> の 1）。分解の式に $B_{\mathfrak{p}}$ を掛け、$B_{\mathfrak{p}}$ での分解の一意性を使います。
4. 1 と <Ref to="lem-setup" /> により $B_{\mathfrak{p}}$ は Dedekind 整域です。$\mathfrak{P}_i' := \mathfrak{P}_iB_{\mathfrak{p}}$ と書きます。相異なる極大イデアルの冪は互いに素なので（$\mathfrak{P}_i'^2 + \mathfrak{P}_j'$ を含む極大イデアルは $\mathfrak{P}_i'$ と $\mathfrak{P}_j'$ の両方を含むことになり、存在しません）、中国剰余定理（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#lem-crt" />）により、$\pi_i \in \mathfrak{P}_i' \setminus \mathfrak{P}_i'^2$ かつ $j \ne i$ で $\pi_i \equiv 1 \pmod{\mathfrak{P}_j'}$ となる $\pi_i \in B_{\mathfrak{p}}$ が取れます（$\mathfrak{P}_i' \ne \mathfrak{P}_i'^2$ は分解の一意性から）。$\pi_iB_{\mathfrak{p}}$ の素イデアル分解に現れるのは $\mathfrak{P}_i'$ だけで指数は $1$ ですから $\pi_iB_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{P}_i'$ です。$0$ でないイデアルはすべて $\prod \mathfrak{P}_i'^{a_i} = (\prod\pi_i^{a_i})$ と書けるので、$B_{\mathfrak{p}}$ は単項イデアル整域です。$B_{\mathfrak{p}}$ は単項イデアル整域 $A_{\mathfrak{p}}$ 上の有限生成で捩れのない加群なので自由です（<Ref to="mathematics/algebra/modules-over-pid#thm-structure" />。捩れがないので $R/(d_i)$ の成分は現れません）。$L$ の元は $b/a$（$b \in B$、$0 \ne a \in A$）と書けるので（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#prop-clear-denominators" />）、$A_{\mathfrak{p}}$ 基底は $L$ の $K$ 基底でもあり、階数は $n$ です。
</Proof>

## 3. 分解群と惰性群

この節から 5 節まで、$L/K$ は Galois 拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とします。$\sigma \in G$ は $A$ 上整な元を整な元に移すので $\sigma(B) = B$ で、$B$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ に対し $\sigma(\mathfrak{P})$ も素イデアル、$\sigma(\mathfrak{P}) \cap A = \sigma(\mathfrak{P} \cap A) = \mathfrak{P} \cap A$ です。こうして $G$ は $\mathfrak{p}$ の上にある素イデアルの集合に作用します。

<Lemma id="lem-transitive" title="Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は $n$ 次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$L/K$ を Galois 拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$、$\mathfrak{p}$ を $A$ の $0$ でない素イデアルとする。$G$ は $\mathfrak{p}$ の上にある素イデアルの集合 $\{\mathfrak{P}_1, \ldots, \mathfrak{P}_g\}$ に推移的に作用する。したがって分岐指数と剰余次数は $i$ によらず（$e$、$f$ と書く）、
$$
\mathfrak{p}B = (\mathfrak{P}_1\cdots\mathfrak{P}_g)^e, \qquad efg = n.
$$
</Lemma>

<Proof of="lem-transitive">
$\mathfrak{P}, \mathfrak{P}'$ を $\mathfrak{p}$ の上の素イデアルとし、どの $\sigma \in G$ についても $\mathfrak{P}' \ne \sigma\mathfrak{P}$ と仮定します。$\mathfrak{P}'$ と $\sigma\mathfrak{P}$（$\sigma \in G$）のうち相異なるものは相異なる極大イデアルなので 2 つずつ互いに素で、中国剰余定理（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#lem-crt" />）により
$$
x \equiv 0 \pmod{\mathfrak{P}'}, \qquad x \equiv 1 \pmod{\sigma\mathfrak{P}} \quad (\sigma \in G)
$$
を満たす $x \in B$ があります。$y = \prod_{\sigma \in G}\sigma(x)$ は $G$ で不変なので $K$ に属し（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-fundamental" /> の 1）、$A$ 上整なので $A$ に属します。$y$ は因子 $x$ を含むので $y \in \mathfrak{P}' \cap A = \mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{P}$ です。$\mathfrak{P}$ は素イデアルなので、ある $\sigma$ で $\sigma(x) \in \mathfrak{P}$、すなわち $x \in \sigma^{-1}\mathfrak{P}$ となり、$x \equiv 1 \pmod{\sigma^{-1}\mathfrak{P}}$ に反します。

$\sigma\mathfrak{P}_i = \mathfrak{P}_j$ とします。$\sigma$ は環の同型 $B/\mathfrak{P}_i \to B/\mathfrak{P}_j$ を誘導し、$A/\mathfrak{p}$ 上で恒等的なので $f_i = f_j$ です。$\mathfrak{p}B = \prod_k\mathfrak{P}_k^{e_k}$ に $\sigma$ を施すと $\mathfrak{p}B = \prod_k(\sigma\mathfrak{P}_k)^{e_k}$ で、$\mathfrak{P}_j$ の指数を比べると分解の一意性から $e_j = e_i$ です。$\sum e_if_i = n$（<Ref to="lem-setup" />）は $efg = n$ になります。
</Proof>

$A = \mathbb{Z}$ の場合が <Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-efg" /> です。

<Definition id="def-decomposition-inertia" title="分解群・惰性群・分解体・惰性体">
$L/K$ を Galois 拡大、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ とする。
$$
D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) := \{\sigma \in G \mid \sigma\mathfrak{P} = \mathfrak{P}\}, \qquad
I(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) := \{\sigma \in D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) \mid \text{すべての } x \in B \text{ で } \sigma x \equiv x \pmod{\mathfrak{P}}\}
$$
をそれぞれ $\mathfrak{P}$ の**分解群**、**惰性群**という。固定体 $Z := L^{D}$ を**分解体**、$T := L^{I}$ を**惰性体**という。
</Definition>

$\sigma \in D$ は $\sigma(\mathfrak{P}) = \mathfrak{P}$ を満たすので体の自己同型 $\bar\sigma \colon \kappa(\mathfrak{P}) \to \kappa(\mathfrak{P})$、$x \bmod \mathfrak{P} \mapsto \sigma x \bmod \mathfrak{P}$ を誘導し、これは $\kappa(\mathfrak{p})$ の元を動かしません。$I$ は準同型 $\sigma \mapsto \bar\sigma$ の核です。また $\tau \in G$ について $\sigma\mathfrak{P} = \mathfrak{P}$ と $(\tau\sigma\tau^{-1})(\tau\mathfrak{P}) = \tau\mathfrak{P}$ は同値なので
$$
D(\tau\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) = \tau D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})\tau^{-1}, \qquad I(\tau\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) = \tau I(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})\tau^{-1}
$$
です（惰性群については、$\sigma x - x \in \mathfrak{P}$ に $\tau$ を施して $x$ を $\tau^{-1}x$ に置き換えます）。$G$ が Abel 群なら $D$ と $I$ は $\mathfrak{p}$ だけで決まります。

剰余体の側の Galois 群を先に決めておきます。

<Lemma id="lem-finite-field-galois" title="有限体の拡大の自己同型群">
$k \subseteq k'$ を有限体、$|k| = q$、$[k' : k] = f$ とする。$\varphi_q \colon k' \to k'$、$x \mapsto x^q$ は $k$ の元を固定する体の自己同型で、$k$ 上の $k'$ の自己同型群 $\mathrm{Aut}(k'/k)$ は $\varphi_q$ が生成する位数 $f$ の巡回群である。$\varphi_q$ の固定体は $k$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-finite-field-galois">
$q$ は標数 $p$ の冪なので、<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#lem-frobenius" /> により $\varphi_q$ は環準同型で、体の間の準同型なので単射、有限集合なので全単射です。$k^{\times}$ は位数 $q - 1$ の群なので $k$ の元は $x^q = x$ を満たし、$x^q - x$ の根は高々 $q$ 個ですから、$\varphi_q$ の固定体はちょうど $k$ です。$|k'| = q^f$ なので同様に $k'$ の元はすべて $x^{q^f} = x$ を満たし、$\varphi_q^f = \mathrm{id}$ です。$0 < j < f$ なら $x^{q^j} = x$ の根は高々 $q^j < q^f$ 個なので $\varphi_q^j \ne \mathrm{id}$ で、$\varphi_q$ の位数は $f$ です。

$k'^{\times}$ は巡回群なので（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#thm-unit-cyclic" />）生成元 $\gamma$ を取ると $k' = k(\gamma)$ で、$\gamma$ の $k$ 上の最小多項式 $h$ の次数は $f$ です（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#prop-simple-extension" />）。$\varphi_q^j(\gamma)$（$0 \le j < f$）は $h$ の根で（$h$ の係数は $\varphi_q$ で不変）、相異なります（$\varphi_q^i(\gamma) = \varphi_q^j(\gamma)$ なら $\varphi_q^{j-i}$ は $\gamma$ を、したがって $k'$ 全体を固定するから）。よってこれらが $h$ の根のすべてです。$\sigma \in \mathrm{Aut}(k'/k)$ は $\gamma$ を $h$ の根 $\varphi_q^j(\gamma)$ に移し、$k' = k(\gamma)$ 上で $\varphi_q^j$ と一致します。
</Proof>

<Theorem id="thm-decomposition-exact" title="分解群の完全列">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は $n$ 次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$L/K$ を Galois 拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$、$D = D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$、$I = I(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$、$q = |\kappa(\mathfrak{p})|$ とし、$e$、$f$、$g$ を <Ref to="lem-transitive" /> のとおりとする。準同型 $D \to \mathrm{Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p}))$、$\sigma \mapsto \bar\sigma$ は全射で核は $I$ である。すなわち
$$
1 \longrightarrow I \longrightarrow D \longrightarrow \mathrm{Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p})) \longrightarrow 1
$$
は完全で、$I$ は $D$ の正規部分群、$D/I$ は $x \mapsto x^q$ の類が生成する位数 $f$ の巡回群であり、
$$
[G : D] = g, \qquad |D| = ef, \qquad |I| = e.
$$
</Theorem>

証明の方針です。位数の式は、軌道・安定化群の公式からすぐ出ます。難しいのは $D \to \mathrm{Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p}))$ の全射性です。剰余体の生成元 $\gamma$ を取り、$\gamma$ に還元され、$\mathfrak{P}$ 以外の $\mathfrak{p}$ 上の素イデアルには入る元 $\theta \in B$ を取って、$G$ の全元を使った多項式 $h(X) = \prod_{\sigma}(X - \sigma\theta)$ を作ります。その係数は $G$ 不変なので $K$ に落ち、還元すると $\kappa(\mathfrak{p})$ 上の多項式になります。すると $\gamma$ が根なら $\gamma^q$ も根になるので、$\gamma^q$ はある $\sigma\theta$ の像に一致し、$\theta$ の取り方から $\sigma$ は $D$ に入り、これが求める元になります。

<Proof of="thm-decomposition-exact">
$D$ は $G$ の $\mathfrak{p}$ の上の素イデアルの集合への作用における $\mathfrak{P}$ の安定化群で、作用は推移的（<Ref to="lem-transitive" />）なので、軌道・安定化群の公式（<Ref to="mathematics/algebra/group-actions-sylow#thm-orbit-stabilizer" />）により $[G : D] = g$、$|D| = n/g = ef$ です。

全射性を示します。$\kappa(\mathfrak{P})^{\times}$ の生成元 $\gamma$ を取ります（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#thm-unit-cyclic" />）。中国剰余定理（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#lem-crt" />）により
$$
\theta \bmod \mathfrak{P} = \gamma, \qquad \theta \equiv 0 \pmod{\mathfrak{P}'} \quad (\mathfrak{P}' \mid \mathfrak{p},\ \mathfrak{P}' \ne \mathfrak{P})
$$
を満たす $\theta \in B$ があります。$h(X) = \prod_{\sigma \in G}(X - \sigma\theta)$ の係数は $G$ 不変かつ $A$ 上整なので $h \in A[X]$ です。係数を $\mathfrak{p}$ を法として還元した $\bar h \in \kappa(\mathfrak{p})[X]$ は、$\kappa(\mathfrak{P})$ で $\gamma$ を根にもちます。$\bar h$ の係数 $c$ は $c^q = c$ を満たすので（<Ref to="lem-finite-field-galois" />）、$\bar h(\gamma^q) = \bar h(\gamma)^q = 0$ です。$\kappa(\mathfrak{P})[X]$ で $\bar h = \prod_{\sigma}(X - \overline{\sigma\theta})$ ですから、ある $\sigma \in G$ で $\sigma\theta \equiv \theta^q \pmod{\mathfrak{P}}$ です。$\sigma \notin D$ なら $\sigma^{-1}\mathfrak{P} \ne \mathfrak{P}$ で $\theta \in \sigma^{-1}\mathfrak{P}$、すなわち $\sigma\theta \in \mathfrak{P}$ となり、$\gamma^q \ne 0$ に反します。よって $\sigma \in D$ で、$\bar\sigma(\gamma) = \gamma^q$ です。$\kappa(\mathfrak{P}) = \kappa(\mathfrak{p})(\gamma)$ なので $\bar\sigma = \varphi_q$ で、<Ref to="lem-finite-field-galois" /> により $\varphi_q$ は $\mathrm{Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p}))$ を生成しますから、$\sigma \mapsto \bar\sigma$ は全射です。

核は定義により $I$ で、準同型定理（<Ref to="mathematics/algebra/homomorphism-theorems#thm-first-isomorphism" />）から $D/I$ は位数 $f$ の巡回群、$|I| = ef/f = e$ です。
</Proof>

「$\mathfrak{p}$ が $L$ で不分岐」は $I = 1$、「完全分解（$e = f = 1$）」は $D = 1$ と言い換えられます。

## 4. 分解体と惰性体の塔

<Theorem id="thm-decomposition-tower" title="分解体・惰性体での分解">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$L/K$ を Galois 拡大、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$、$e$、$f$、$g$ を <Ref to="lem-transitive" /> のとおりとし、$Z = L^D$、$T = L^I$、$\mathfrak{P}_Z = \mathfrak{P} \cap Z$、$\mathfrak{P}_T = \mathfrak{P} \cap T$ とする。
1. $[Z : K] = g$、$[T : Z] = f$、$[L : T] = e$。
2. $\mathfrak{P}_Z$ の上にある $L$ の素イデアルは $\mathfrak{P}$ だけで、$e(\mathfrak{P}_Z \mid \mathfrak{p}) = f(\mathfrak{P}_Z \mid \mathfrak{p}) = 1$。
3. $T/Z$ は Galois 拡大で $\mathrm{Gal}(T/Z) \cong D/I$ は位数 $f$ の巡回群、$e(\mathfrak{P}_T \mid \mathfrak{P}_Z) = 1$、$f(\mathfrak{P}_T \mid \mathfrak{P}_Z) = f$、$\mathfrak{P}_T$ は $\mathfrak{P}_Z$ の上のただ 1 つの素イデアルである（$\mathfrak{P}_Z$ は $T$ で**惰性**）。
4. $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_T) = e = [L : T]$、$f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_T) = 1$（$\mathfrak{P}_T$ は $L$ で**完全分岐**）。
</Theorem>

<Proof of="thm-decomposition-tower">
1. Galois 理論の基本定理（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-fundamental" /> の 3）と <Ref to="thm-decomposition-exact" /> から $[L : Z] = |D| = ef$、$[L : T] = |I| = e$、$[Z : K] = [G : D] = g$ で、$[T : Z] = ef/e = f$ です。

2. $L/Z$ は Galois 拡大で $\mathrm{Gal}(L/Z) = D$ です（同定理の 2）。<Ref to="lem-setup" /> の 3 により $(B_Z, Z, L)$ にこれまでの結果が使えます。$\mathfrak{P}_Z$ の上の $L$ の素イデアルは $D$ の 1 つの軌道をなし（<Ref to="lem-transitive" />）、$D\mathfrak{P} = \{\mathfrak{P}\}$ なので $\mathfrak{P}$ だけです。$L/Z$ について $g = 1$ ですから $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_Z)\,f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_Z) = [L : Z] = ef$ です。<Ref to="lem-tower-ef" /> により左辺の 2 つの因子はそれぞれ $e$、$f$ の約数なので、$e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_Z) = e$、$f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_Z) = f$ で、再び <Ref to="lem-tower-ef" /> から $e(\mathfrak{P}_Z \mid \mathfrak{p}) = f(\mathfrak{P}_Z \mid \mathfrak{p}) = 1$ です。

4. $L/T$ は Galois 拡大で群は $I$ です。$L/T$ に関する $\mathfrak{P}$ の分解群は $\{\sigma \in I \mid \sigma\mathfrak{P} = \mathfrak{P}\} = I$、惰性群も定義から $I$ です。<Ref to="thm-decomposition-exact" /> を $L/T$ に使うと、$e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_T)\,f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_T) = |I| = e$、$e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_T) = |I| = e$ で、$f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_T) = 1$ です。

3. $I$ は $D$ の正規部分群なので、<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-fundamental" /> の 4 を $L/Z$ に使うと $T/Z$ は Galois 拡大で $\mathrm{Gal}(T/Z) \cong D/I$ です。<Ref to="lem-tower-ef" /> と 2、4 から $e(\mathfrak{P}_T \mid \mathfrak{P}_Z) = e/e = 1$、$f(\mathfrak{P}_T \mid \mathfrak{P}_Z) = f/1 = f = [T : Z]$ です。$T/Z$ についての $efg = [T : Z]$ から、$\mathfrak{P}_Z$ の上の $T$ の素イデアルは 1 個です。
</Proof>

<Figure caption="素イデアル 𝔓 に付随する塔。各段で e, f, g のうち 1 つだけが 1 でない値を取る。">
<svg viewBox="0 0 520 250" width="100%" role="img" aria-label="体の塔 K, Z, T, L と、各段の拡大次数 g, f, e、および対応する部分群 G, D, I, 1 を示す図">
  <line x1="120" y1="205" x2="120" y2="165" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <line x1="120" y1="140" x2="120" y2="100" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <line x1="120" y1="75" x2="120" y2="35" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <text x="113" y="225" font-size="15" fill="currentColor">K</text>
  <text x="97" y="158" font-size="15" fill="currentColor">Z = Lᴰ</text>
  <text x="97" y="93" font-size="15" fill="currentColor">T = Lᴵ</text>
  <text x="114" y="28" font-size="15" fill="currentColor">L</text>
  <text x="30" y="190" font-size="13" fill="var(--sl-color-accent)">次数 g</text>
  <text x="30" y="125" font-size="13" fill="var(--sl-color-accent)">次数 f</text>
  <text x="30" y="60" font-size="13" fill="var(--sl-color-accent)">次数 e</text>
  <text x="190" y="190" font-size="13" fill="currentColor">e = f = 1（𝔭 の因子として分かれる）</text>
  <text x="190" y="125" font-size="13" fill="currentColor">惰性：e = 1，剰余体が f 次伸びる，群は D/I（巡回）</text>
  <text x="190" y="60" font-size="13" fill="currentColor">完全分岐：f = 1，群は I</text>
  <text x="190" y="225" font-size="13" fill="currentColor">G</text>
  <text x="190" y="158" font-size="13" fill="currentColor">D</text>
  <text x="190" y="93" font-size="13" fill="currentColor">I</text>
  <text x="190" y="28" font-size="13" fill="currentColor">1</text>
</svg>
</Figure>

塔の各段は「$\mathfrak{P}$ から見て」定まることに注意してください。$Z/K$ は一般に Galois 拡大ではなく、$\mathfrak{p}$ の上の $Z$ の素イデアルのうち $e = f = 1$ が保証されるのは $\mathfrak{P}_Z$ だけです（<Ref to="ex-cubic-closure" /> で実例を見ます）。

<Corollary id="cor-splitting-fields" title="中間体での完全分解・不分岐の判定">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$L/K$ を Galois 拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$、$M$ を中間体、$H = \mathrm{Gal}(L/M)$、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$、$\mathfrak{P}_M = \mathfrak{P} \cap M$ とし、$D$、$I$ を $\mathfrak{P}$ の $L/K$ に関する分解群と惰性群、$Z = L^D$、$T = L^I$ とする。
1. $L/M$ に関する $\mathfrak{P}$ の分解群と惰性群は $D \cap H$、$I \cap H$ であり、$e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = [I : I \cap H]$、$e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p})\,f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = [D : D \cap H]$ である。
2. $e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = 1 \iff M \subseteq Z$。また $e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p}) = 1 \iff M \subseteq T$。
3. $\mathfrak{p}$ が $M$ で完全分解する（$\mathfrak{p}$ の上の $M$ のすべての素イデアルで $e = f = 1$）ことと、$H$ が $D$ の共役 $\tau D\tau^{-1}$（$\tau \in G$）をすべて含むことは同値である。$\mathfrak{p}$ が $M$ で不分岐であることと、$H$ が $I$ の共役をすべて含むことは同値である。
4. $M/K$ が Galois 拡大なら、$\mathfrak{p}$ が $M$ で完全分解 $\iff M \subseteq Z$、$\mathfrak{p}$ が $M$ で不分岐 $\iff M \subseteq T$。
</Corollary>

<Proof of="cor-splitting-fields">
1. 分解群と惰性群の定義の条件は $\mathfrak{P}$ と $B$ だけで書かれているので、$H$ の元でそれを満たすものの全体は $D \cap H$、$I \cap H$ です。<Ref to="thm-decomposition-exact" /> を $L/M$ と $L/K$ に使うと $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M) = |I \cap H|$、$e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M) = |D \cap H|$、$e = |I|$、$ef = |D|$ で、<Ref to="lem-tower-ef" /> で割り算します。

2. 1 により、前半の条件は $D \cap H = D$、すなわち $D \subseteq H$ と同値です。基本定理（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-fundamental" /> の 2）の対応は包含を逆にするので、$D \subseteq H \iff L^H \subseteq L^D$、つまり $M \subseteq Z$ です。後半も $I \subseteq H \iff M \subseteq T$ です。

3. $\mathfrak{p}$ の上の $M$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ には、その上にある $L$ の素イデアルがあり（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#thm-lying-over" />）、それは $\mathfrak{p}$ の上にあるので <Ref to="lem-transitive" /> により $\tau\mathfrak{P}$ の形です。逆に $(\tau\mathfrak{P}) \cap M$ は $\mathfrak{p}$ の上の $M$ の素イデアルです。$\tau\mathfrak{P}$ の分解群と惰性群は $\tau D\tau^{-1}$、$\tau I\tau^{-1}$ なので、2 を各 $\tau\mathfrak{P}$ に使えば主張が出ます。

4. $M/K$ が Galois 拡大なら $H$ は正規部分群で（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-fundamental" /> の 4）、$\tau D\tau^{-1} \subseteq H \iff D \subseteq \tau^{-1}H\tau = H$ です。3 と 2 から従います。
</Proof>

<Corollary id="cor-compositum" title="合成体での不分岐・完全分解の遺伝">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域）で、$L/K$ を有限次 Galois 拡大、$\mathfrak{p}$ を $A$ の $0$ でない素イデアル、$M_1, M_2$ を中間体、$M_1M_2$ をその合成体（$M_1$ と $M_2$ を含む最小の部分体）とする。$\mathfrak{p}$ が $M_1$ と $M_2$ で不分岐なら $M_1M_2$ でも不分岐であり、$M_1$ と $M_2$ で完全分解するなら $M_1M_2$ でも完全分解する。
</Corollary>

<Proof of="cor-compositum">
$H_i = \mathrm{Gal}(L/M_i)$ とします。$L$ の自己同型が $M_1M_2$ を固定することと $M_1$、$M_2$ をともに固定することは同値なので $\mathrm{Gal}(L/M_1M_2) = H_1 \cap H_2$ です。$H_1$ と $H_2$ が $I$（または $D$）の共役をすべて含めば $H_1 \cap H_2$ も含むので、<Ref to="cor-splitting-fields" /> の 3 から従います。
</Proof>

$K$ の有限次拡大 $M_1, M_2$ が共通の体に含まれていれば、それらを含む Galois 拡大 $L/K$ が取れます（$M_1M_2$ の生成元の最小多項式の積の分解体を取る。<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#thm-splitting-field" />）。したがってこの系は Galois でない拡大にもそのまま使えます。

## 5. Frobenius 元

### 5.1. 定義と性質

$\mathfrak{P}$ が $\mathfrak{p}$ 上不分岐（$e = 1$）なら $I = 1$ で、<Ref to="thm-decomposition-exact" /> の写像は同型 $D \cong \mathrm{Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p}))$ になります。右辺には標準的な生成元 $x \mapsto x^q$ があります。

<Definition id="def-frobenius" title="Frobenius 元と Artin 記号">
$L/K$ を Galois 拡大、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ を不分岐な素イデアル、$q = |\kappa(\mathfrak{p})|$ とする。$D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ の元で、$\kappa(\mathfrak{P})$ に $x \mapsto x^q$ を誘導するただ 1 つのものを $\mathfrak{P}$ の **Frobenius 元**といい、$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ または $\mathrm{Frob}(\mathfrak{P}, L/K)$ と書く。$L/K$ が Abel 拡大（$G$ が Abel 群）で $\mathfrak{p}$ が $L$ で不分岐のとき、$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ は $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ の取り方によらない（<Ref to="prop-frobenius-properties" /> の 2）。これを **Artin 記号**といい $(L/K, \mathfrak{p})$ と書く。
</Definition>

<Proposition id="prop-frobenius-properties" title="Frobenius 元の性質">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$L/K$ を Galois 拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ を不分岐な素イデアル、$q = |\kappa(\mathfrak{p})|$、$\sigma = \mathrm{Frob}(\mathfrak{P}, L/K)$ とする。
1. $\sigma$ は、すべての $x \in B$ で $\sigma x \equiv x^q \pmod{\mathfrak{P}}$ を満たす $G$ のただ 1 つの元である。$\sigma$ の位数は $f = f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ で、$D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ は $\sigma$ が生成する巡回群である。
2. $\tau \in G$ について $\mathrm{Frob}(\tau\mathfrak{P}, L/K) = \tau\sigma\tau^{-1}$。
3. $M$ を中間体、$\mathfrak{P}_M = \mathfrak{P} \cap M$ とすると、$\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{P}_M$ 上不分岐で $\mathrm{Frob}(\mathfrak{P}, L/M) = \sigma^{f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p})}$。
4. 3 でさらに $M/K$ が Galois 拡大なら、$\mathfrak{P}_M$ は $\mathfrak{p}$ 上不分岐で $\mathrm{Frob}(\mathfrak{P}_M, M/K) = \sigma|_M$。
5. $\mathfrak{p}$ が $L$ で完全分解することと $\sigma = 1$ は同値である。
</Proposition>

<Proof of="prop-frobenius-properties">
1. $\tau \in G$ がすべての $x \in B$ で $\tau x \equiv x^q \pmod{\mathfrak{P}}$ を満たすとします。$x \in \mathfrak{P}$ なら $\tau x \in \mathfrak{P}$ なので $\tau\mathfrak{P} \subseteq \mathfrak{P}$ で、両辺は極大イデアルですから $\tau\mathfrak{P} = \mathfrak{P}$、つまり $\tau \in D$ です。$\bar\tau = \varphi_q = \bar\sigma$ で、$I = 1$ なので $\tau = \sigma$ です。位数と生成については、$D \cong \mathrm{Aut}(\kappa(\mathfrak{P})/\kappa(\mathfrak{p}))$ で $\sigma$ に $\varphi_q$ が対応し、<Ref to="lem-finite-field-galois" /> により $\varphi_q$ は位数 $f$ の生成元です。

2. $x \in B$ について $\sigma(\tau^{-1}x) - (\tau^{-1}x)^q \in \mathfrak{P}$ で、$\tau$ を施すと $\tau\sigma\tau^{-1}x - x^q \in \tau\mathfrak{P}$ です。$\tau\mathfrak{P}$ も不分岐なので（<Ref to="lem-transitive" />）、1 の一意性から従います。

3. <Ref to="lem-tower-ef" /> により $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)$ は $e = 1$ の約数です。$f_M = f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p})$、$H = \mathrm{Gal}(L/M)$ とおきます。$L/M$ の分解群 $D \cap H$（<Ref to="cor-splitting-fields" /> の 1）の位数は $f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M) = f/f_M$ です。位数 $f$ の巡回群 $D = \langle\sigma\rangle$ の位数 $f/f_M$ の部分群は $\langle\sigma^{f_M}\rangle$ だけなので、$\sigma^{f_M} \in H$ です。$|\kappa(\mathfrak{P}_M)| = q^{f_M}$ で、$\sigma^{f_M}x \equiv x^{q^{f_M}} \pmod{\mathfrak{P}}$ ですから、1 を $L/M$ に使って $\sigma^{f_M} = \mathrm{Frob}(\mathfrak{P}, L/M)$ です。

4. $e(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p})$ は $e = 1$ の約数です。$\sigma|_M \in \mathrm{Gal}(M/K)$ は $x \in B_M$ について $\sigma x - x^q \in \mathfrak{P} \cap B_M = \mathfrak{P}_M$ を満たすので、1 を $M/K$ に使います。

5. 不分岐なので、完全分解は $f = 1$ と同値で、1 により $\sigma$ の位数は $f$ です。
</Proof>

性質 4 と 5 を合わせると、Abel 拡大 $L/K$ の中間体 $M$ について「$\mathfrak{p}$ が $M$ で完全分解する $\iff (L/K, \mathfrak{p}) \in \mathrm{Gal}(L/M)$」が得られます。素イデアルの分解という数論の問題が、Galois 群の元がどの部分群に入るかという群論の問題に移りました。$\mathfrak{p} \mapsto (L/K, \mathfrak{p})$ を不分岐な素イデアルが生成する分数イデアルの群へ乗法的に延ばした準同型が Artin 写像で、[第 7 章](/mathematics/algebraic-number-theory/class-field-theory) の主役になります。

### 5.2. 多項式の還元と巡回型

Frobenius 元を具体的に求めるには、多項式を $\mathfrak{p}$ を法として因数分解すれば足ります。

<Theorem id="thm-dedekind-cycle-type" title="Dedekind の巡回型定理">
$A$ を商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域（2.1 節の設定）とする。$h \in A[X]$ を次数 $m$ のモニック多項式、$L$ を $h$ の $K$ 上の最小分解体、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とし、$h$ の $L$ での根を重複込みで $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ とする。$\mathfrak{p}$ を $A$ の $0$ でない素イデアルとし、$h$ の係数を $\mathfrak{p}$ を法として還元した $\bar h \in \kappa(\mathfrak{p})[X]$ が、相異なるモニック既約多項式の積 $\bar h = h_1\cdots h_r$、$\deg h_j = d_j$ に分解するとする。このとき
1. $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ は相異なり、$\mathfrak{p}$ は $L$ で不分岐である。
2. 任意の $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ について、$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ は根の集合 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\}$ の置換として、長さ $d_1, \ldots, d_r$ の互いに交わらない巡回置換の積である。
</Theorem>

証明の方針です。多項式の根を $\mathfrak{p}$ を法として還元すると、根と根が一対一に対応します。この対応のもとで、Galois 群の元 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ の作用は、有限体の中の「$q$ 乗する」写像の作用に移ります。一方、$q$ 乗写像は既約因子 $h_j$ の根を一周りする輪として並べ替えるので、輪の長さが $d_j$ になります。

<Proof of="thm-dedekind-cycle-type">
$\alpha_i$ はモニック多項式 $h \in A[X]$ の根なので $B$ に属します。$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ を取り、$x \in B$ の $\kappa(\mathfrak{P})$ での像を $\bar x$ と書きます。$L[X]$ での等式 $h = \prod_i(X - \alpha_i)$ は $B[X]$ の等式なので、還元して $\kappa(\mathfrak{P})[X]$ で $\bar h = \prod_i(X - \bar\alpha_i)$ です。

各 $h_j$ は有限体上の既約多項式なので重根をもちません（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#prop-finite-separable" />）。$j \ne j'$ なら $h_j$ と $h_{j'}$ は共通根をもちません（共通根があれば、その $\kappa(\mathfrak{p})$ 上の最小多項式が既約モニック多項式 $h_j$、$h_{j'}$ の両方に一致してしまいます。<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#prop-simple-extension" />）。よって $\bar h$ は重根をもたず、$\bar\alpha_1, \ldots, \bar\alpha_m$ は相異なります。特に $\alpha_i$ は相異なり、還元 $\alpha_i \mapsto \bar\alpha_i$ は $h$ の根の集合から $\bar h$ の根の集合への全単射です。

$\sigma \in I(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ は根を根に移し（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#lem-permute-roots" />）、$\overline{\sigma\alpha_i} = \bar\alpha_i$ なので、還元の単射性から $\sigma\alpha_i = \alpha_i$ です。$L$ は $K$ 上 $\alpha_i$ で生成されるので $\sigma = 1$ です。よって $I = 1$、$e = |I| = 1$（<Ref to="thm-decomposition-exact" />）で、$\mathfrak{P}$ は任意だったので $\mathfrak{p}$ は不分岐です。

$\sigma = \mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$、$q = |\kappa(\mathfrak{p})|$ とすると $\overline{\sigma\alpha_i} = \bar\alpha_i^q = \varphi_q(\bar\alpha_i)$ です。つまり全単射 $\alpha_i \mapsto \bar\alpha_i$ は、$\sigma$ の作用を $\varphi_q$ の作用に移します。したがって $\varphi_q$ が $\bar h$ の根の集合に引き起こす置換の巡回型を求めれば足ります。$\beta$ を $h_j$ の根とし、$\varphi_q^s(\beta) = \beta$ となる最小の $s \ge 1$ を取ります。$u(X) = \prod_{k=0}^{s-1}(X - \varphi_q^k(\beta))$ は $\varphi_q$ で係数ごとに不変なので $u \in \kappa(\mathfrak{p})[X]$ です（<Ref to="lem-finite-field-galois" />）。$\varphi_q^k(\beta)$ は $h_j$ の根なので、$u$ は相異なる 1 次式の積として $h_j$ を割り、$h_j$ は既約ですから $u = h_j$、$s = d_j$ です。よって $h_j$ の根の全体が $\varphi_q$ の長さ $d_j$ の 1 つの軌道をなします。
</Proof>

仮定「$\bar h$ が相異なる既約多項式の積」は、$\bar h$ が重根をもたないことと同じです。この定理は Galois 群を下から決める道具になります。素イデアルを 1 つ選んで因数分解するたびに、$G$ が特定の巡回型の元を含むことが分かるからです。

## 6. 例：分解の型を読む

<Example id="ex-quadratic-frobenius" title="二次体での D, I, Frobenius">
$K = \mathbb{Q}$、$L = \mathbb{Q}(\sqrt m)$（$m$ は平方因子をもたない整数、$m \ne 1$）、$G = \{1, c\}$ とします。<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-quadratic-splitting" /> と <Ref to="thm-decomposition-exact" /> から次の表が得られます。

| $p$ の型 | $(e, f, g)$ | $D$ | $I$ | $\mathrm{Frob}$ |
|---|---|---|---|---|
| 分岐（$p \mid d_L$） | $(2, 1, 1)$ | $G$ | $G$ | 定義されない |
| 分解 | $(1, 1, 2)$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| 惰性 | $(1, 2, 1)$ | $G$ | $1$ | $c$ |

$L = \mathbb{Q}(i)$ では $2$ が分岐、$p \equiv 1 \pmod 4$ が分解、$p \equiv 3 \pmod 4$ が惰性です。$L = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$（$d_L = -20$）では $2$ と $5$ が分岐し、$\left(\frac{-5}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right) = 1$ なので $3$ は分解、$-5 \equiv 6 \pmod{11}$ は $11$ を法とする平方剰余 $\{1, 3, 4, 5, 9\}$ に入らないので $11$ は惰性で $\mathrm{Frob} = c$ です。$G \cong \{\pm 1\}$ と見ると、奇素数 $p \nmid m$ の Artin 記号は Legendre 記号 $\left(\frac{m}{p}\right)$ そのものです。
</Example>

<Example id="ex-cubic-closure" title="ℚ(∛2) の Galois 閉包">
$h = X^3 - 2$、$\alpha = \sqrt[3]{2}$、$\omega = e^{2\pi i/3}$、$L = \mathbb{Q}(\alpha, \omega)$ とします。$L$ は $h$ の最小分解体で $[L : \mathbb{Q}] = 6$、$G \cong S_3$（根 $\alpha, \omega\alpha, \omega^2\alpha$ の置換）です。<Ref to="thm-dedekind-cycle-type" /> で不分岐な素数の Frobenius を読みます。

- $p = 5$：$3^3 = 27 \equiv 2$ なので $X^3 - 2 \equiv (X - 3)(X^2 + 3X + 4) \pmod 5$ です。$X^2 + 3X + 4$ の判別式 $9 - 16 = -7 \equiv 3$ は $5$ を法として平方非剰余なので既約で、型は $(1, 2)$、$\mathrm{Frob}$ は互換、$f = 2$、$g = 3$ です。
- $p = 7$：$7$ を法とする立方数は $0, 1, 6$ だけなので $X^3 - 2$ は根をもたず既約で、型は $(3)$、$\mathrm{Frob}$ は長さ 3 の巡回置換、$f = 3$、$g = 2$ です。
- $p = 31$：$4^3 = 64 \equiv 2$、$5^3 = 125 \equiv 1$ なので根は $4, 20, 7$ の 3 つで、型は $(1, 1, 1)$、$\mathrm{Frob} = 1$、$31$ は完全分解します。

分岐する素数は $2$ と $3$ です。$2$ について、$\alpha^3 = 2$ から $\mathfrak{P} \mid 2$ で $v_{\mathfrak{P}}(2) = 3v_{\mathfrak{P}}(\alpha)$ なので $3 \mid e$、また $\mathbb{Q}(\omega) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ で $2$ は惰性（$-3 \equiv 5 \pmod 8$）なので $2 \mid f$ です。$efg = 6$ から $(e, f, g) = (3, 2, 1)$、$D = S_3$、$I = A_3$ です。$3$ については $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ で分岐するので $2 \mid e$、また $\beta = \alpha + 1$ は $\beta^3 - 3\beta^2 + 3\beta - 3 = 0$ を満たし、$\mathfrak{P} \mid 3$ で $v = v_{\mathfrak{P}}$、$e = v(3)$ とおくと $v(\beta) \ge 1$、$3v(\beta) = v(3\beta^2 - 3\beta + 3) = e$（3 項の付値 $e + 2v(\beta)$、$e + v(\beta)$、$e$ の最小は最後の項だけが取る）なので $3 \mid e$ です。よって $(e, f, g) = (6, 1, 1)$、$D = I = S_3$ です。

| $p$ | $(e, f, g)$ | $D$ | $I$ | $\mathrm{Frob}$ の共役類 |
|---|---|---|---|---|
| $2$ | $(3, 2, 1)$ | $S_3$ | $A_3$ | — |
| $3$ | $(6, 1, 1)$ | $S_3$ | $S_3$ | — |
| $5$ | $(1, 2, 3)$ | 位数 2 | $1$ | 互換 |
| $7$ | $(1, 3, 2)$ | $A_3$ | $1$ | 3 次巡回置換 |
| $31$ | $(1, 1, 6)$ | $1$ | $1$ | $1$ |

$p = 5$ では $D$ が正規部分群でないので、分解体 $Z = L^D$ は $\mathbb{Q}(\alpha)$ の共役の 1 つで Galois 拡大ではありません。実際 $\mathbb{Q}(\alpha)$ で $5$ は $f = 1$ の素イデアルと $f = 2$ の素イデアルに分かれ、$e = f = 1$ なのは一方だけです（<Ref to="cor-splitting-fields" /> の 2 と 3 の違い）。
</Example>

<Example id="ex-galois-group-reduction" title="還元から Galois 群を決める">
**$h = X^3 - X - 1$。** $2$ を法として $X^3 + X + 1$ は根をもたないので既約で、Galois 群 $G \le S_3$ は長さ 3 の巡回置換を含みます。$5$ を法として $h \equiv (X - 2)(X^2 + 2X + 3)$（$X^2 + 2X + 3$ の判別式 $4 - 12 \equiv 2$ は平方非剰余）なので、$G$ は互換を含みます。位数が $3$ と $2$ で割り切れるので $G = S_3$ です。

**$h = X^5 - X - 1$。** $3$ を法として $h$ は根をもたず（$h(0) = h(1) = -1$、$h(2) = 29 \equiv 2$）、$\mathbb{F}_3$ 上の既約な 2 次式 $X^2 + 1$、$X^2 + X + 2$、$X^2 + 2X + 2$ で割った余りはそれぞれ $-1$、$X - 1$、$X - 1$ で $0$ でないので既約です（2 番目は $X^2 \equiv 2X + 1$ から $X^3 \equiv 2X + 2$、$X^4 \equiv 2$、$X^5 \equiv 2X$ と計算します）。よって $\mathrm{Frob}$ は長さ 5 の巡回置換です。$2$ を法として $h \equiv (X^2 + X + 1)(X^3 + X^2 + 1)$ は相異なる既約多項式の積で、$\mathrm{Frob}$ は型 $(2, 3)$、その 3 乗は互換です。5 次の巡回置換と互換を含む $S_5$ の部分群は $S_5$ 全体なので（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#lem-transposition-pcycle" />）、$G = S_5$ です。したがって $X^5 - X - 1 = 0$ は根号で解けません（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-galois-criterion" />、<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#prop-s5-not-solvable" />）。
</Example>

## 7. イデアルの相対ノルム

この節と次の節では $L/K$ は Galois 拡大とは限りません。

<Definition id="def-relative-norm" title="イデアルの相対ノルム">
$B$ の素イデアル $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ に対し $N_{L/K}(\mathfrak{P}) := \mathfrak{p}^{f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})}$ とおき、分数イデアル $\mathfrak{B} = \prod\mathfrak{P}^{a_{\mathfrak{P}}}$ に対して $N_{L/K}(\mathfrak{B}) := \prod N_{L/K}(\mathfrak{P})^{a_{\mathfrak{P}}}$ と定める。$N_{L/K}$ は $B$ の分数イデアルの群から $A$ の分数イデアルの群への準同型である。
</Definition>

元のノルムとの関係を示すために、有限な剰余環の元の個数を 2 通りに数えます。

<Lemma id="lem-counting" title="指数と行列式・イデアルの付値">
$A$ を離散付値環（2.1 節の仮定を満たすもの）、$v$ をその付値、$q$ を剰余体の元の個数とする。
1. $T \in M_n(A)$、$\det T \ne 0$ ならば $|A^n/TA^n| = q^{v(\det T)}$。
2. $B$ の $0$ でないイデアル $\mathfrak{B}$ について $|B/\mathfrak{B}| = q^{\sum_i f_iv_{\mathfrak{P}_i}(\mathfrak{B})} = q^{v(N_{L/K}(\mathfrak{B}))}$。ここで $v(\mathfrak{p}^m) := m$ とする。
</Lemma>

<Proof of="lem-counting">
素元 $t$ を取ります。$t^j$ 倍は同型 $A/tA \to t^jA/t^{j+1}A$ を与えるので、$|A/t^mA| = \prod_{j=0}^{m-1}|t^jA/t^{j+1}A| = q^m$ です。

1. Smith 標準形（<Ref to="mathematics/algebra/modules-over-pid#thm-smith" />）により、可逆行列 $P, Q \in GL_n(A)$ で $PTQ = \mathrm{diag}(d_1, \ldots, d_n)$ となるものがあります（$\det T \ne 0$ なので $d_i \ne 0$）。$QA^n = A^n$ で $P$ は $A^n$ の自己同型なので $A^n/TA^n \cong A^n/PTQA^n = \bigoplus_iA/d_iA$ で、元の個数は $q^{\sum v(d_i)}$ です。$\det P, \det Q$ は単元なので $v(\det T) = \sum_iv(d_i)$ です。

2. $\mathfrak{B} = \prod\mathfrak{P}_i^{a_i}$ とすると、中国剰余定理（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#lem-crt" />）で $B/\mathfrak{B} \cong \prod_iB/\mathfrak{P}_i^{a_i}$ です。$\mathfrak{P}_i = \pi_iB$（<Ref to="lem-localize" /> の 4）とすると、$\pi_i^j$ 倍は同型 $B/\mathfrak{P}_i \to \mathfrak{P}_i^j/\mathfrak{P}_i^{j+1}$ を与えるので $|B/\mathfrak{P}_i^{a_i}| = |B/\mathfrak{P}_i|^{a_i} = q^{f_ia_i}$ です。$N_{L/K}(\mathfrak{B}) = \mathfrak{p}^{\sum f_ia_i}$ なので 2 つ目の等号も成り立ちます。
</Proof>

<Proposition id="prop-relative-norm" title="相対ノルムの性質">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は $n$ 次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包。$L/K$ は Galois 拡大とは限らない）で、次が成り立つ。
1. $A$ の分数イデアル $\mathfrak{a}$ について $N_{L/K}(\mathfrak{a}B) = \mathfrak{a}^n$。
2. 中間体 $M$ について $N_{L/K} = N_{M/K} \circ N_{L/M}$。
3. $x \in L^{\times}$ について $N_{L/K}(xB) = N_{L/K}(x)A$。
4. $L/K$ が Galois 拡大なら、$B$ の分数イデアル $\mathfrak{B}$ について $N_{L/K}(\mathfrak{B})B = \prod_{\sigma \in G}\sigma(\mathfrak{B})$。
5. $A = \mathbb{Z}$、$L$ が代数体のとき、$\mathcal{O}_L$ の $0$ でないイデアル $\mathfrak{B}$ について $N_{L/\mathbb{Q}}(\mathfrak{B}) = (N\mathfrak{B})\mathbb{Z}$（右辺の $N\mathfrak{B} = |\mathcal{O}_L/\mathfrak{B}|$ は絶対ノルム）。
</Proposition>

<Proof of="prop-relative-norm">
1. 乗法性から $\mathfrak{a} = \mathfrak{p}$ の場合に帰着し、$N_{L/K}(\mathfrak{p}B) = \prod_i\mathfrak{p}^{f_ie_i} = \mathfrak{p}^n$ です（<Ref to="lem-setup" /> の 2）。

2. 素イデアル $\mathfrak{P}$ で確かめれば足り、$N_{M/K}(N_{L/M}(\mathfrak{P})) = N_{M/K}(\mathfrak{P}_M)^{f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)} = \mathfrak{p}^{f(\mathfrak{P}_M \mid \mathfrak{p})f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)}$ で、<Ref to="lem-tower-ef" /> により $\mathfrak{p}^{f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})}$ です。

3. $x = b/a$（$b \in B$、$0 \ne a \in A$）と書けます（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#prop-clear-denominators" />）。$a$ 倍写像の行列は $a$ 倍の単位行列なので $N_{L/K}(a) = a^n$ で、1 から $N_{L/K}(aB) = a^nA$ です。行列式とイデアルのノルムの乗法性から、$x \in B$、$x \ne 0$ の場合を示せば足ります。両辺は $A$ の整イデアルなので、各 $\mathfrak{p}$ で指数が等しいことを示します。<Ref to="lem-localize" /> により $A$ を $A_{\mathfrak{p}}$、$B$ を $B_{\mathfrak{p}}$ に取り替えても両辺の $\mathfrak{p}$ での指数は変わらないので、$A$ は離散付値環としてよく、$B$ は $A$ 上の基底 $\omega_1, \ldots, \omega_n$ をもちます。この基底に関する $x$ 倍写像の行列 $T$ は $A$ 成分で、$\det T = N_{L/K}(x)$、$B/xB \cong A^n/TA^n$ です。<Ref to="lem-counting" /> の 1 と 2 で $|B/xB|$ を 2 通りに数えると $q^{v(N_{L/K}(x))} = q^{v(N_{L/K}(xB))}$ です。

4. 素イデアル $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ で確かめます。$N_{L/K}(\mathfrak{P})B = \mathfrak{p}^fB = (\mathfrak{P}_1\cdots\mathfrak{P}_g)^{ef}$ です（<Ref to="lem-transitive" />）。一方 $\sigma\mathfrak{P} = \mathfrak{P}_i$ となる $\sigma$ は $D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ の 1 つの剰余類をなし、その個数は $|D| = ef$ です（<Ref to="thm-decomposition-exact" />）。よって $\prod_\sigma\sigma\mathfrak{P} = (\mathfrak{P}_1\cdots\mathfrak{P}_g)^{ef}$ です。

5. $N_{L/\mathbb{Q}}(\mathfrak{P}) = p^f\mathbb{Z}$ で、$N\mathfrak{P} = |\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}| = p^f$ です。両辺とも乗法的なので（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-ideal-norm" /> の 3）一致します。
</Proof>

## 8. 共役差積と判別式

### 8.1. 双対格子と共役差積

§8 全体の目標は、分岐を $L$ 側のイデアルで測る共役差積を定義し、判別式（$K$ 側のイデアル）との関係を示すことです。定義そのものは、$B$ を「トレースで測った双対」に取り替えて、その逆イデアルを取るだけです。次の補題は、そのために使うトレースの基本性質です。

<Lemma id="lem-trace-transitive" title="トレースの推移律">
体の有限次拡大の塔 $K \subseteq L \subseteq M$ について $\mathrm{Tr}_{M/K} = \mathrm{Tr}_{L/K} \circ \mathrm{Tr}_{M/L}$。
</Lemma>

<Proof of="lem-trace-transitive">
$u_1, \ldots, u_n$ を $L$ の $K$ 基底、$w_1, \ldots, w_m$ を $M$ の $L$ 基底とします。$x \in M$ について $xw_k = \sum_jc_{jk}w_j$（$c_{jk} \in L$）、$c_{jk}u_b = \sum_a\gamma^{(jk)}_{ab}u_a$（$\gamma^{(jk)}_{ab} \in K$）とすると、$x\,u_bw_k = \sum_{j,a}\gamma^{(jk)}_{ab}\,u_aw_j$ です。$\{u_aw_j\}$ は $M$ の $K$ 基底なので、$x$ 倍写像の $K$ 上の行列の対角成分の和は $\sum_{j}\sum_{a}\gamma^{(jj)}_{aa} = \sum_j\mathrm{Tr}_{L/K}(c_{jj}) = \mathrm{Tr}_{L/K}\bigl(\sum_jc_{jj}\bigr) = \mathrm{Tr}_{L/K}(\mathrm{Tr}_{M/L}(x))$ です。
</Proof>

<Definition id="def-different" title="双対格子・共役差積・相対判別式">
$B$ の分数イデアル $\mathfrak{B}$ に対し
$$
\mathfrak{B}^{*} := \{x \in L \mid \mathrm{Tr}_{L/K}(x\mathfrak{B}) \subseteq A\}
$$
を $\mathfrak{B}$ の**双対**という。$B^{*}$ は $B$ を含む分数イデアルである（<Ref to="lem-dual" />）。その逆イデアル
$$
\mathfrak{D}_{L/K} := (B^{*})^{-1} \subseteq B
$$
を $L/K$ の**共役差積**（different）という。$\mathfrak{D}_{B/A}$ とも書く。また、$x_1, \ldots, x_n \in B$ に対する $d(x_1, \ldots, x_n) := \det(\mathrm{Tr}_{L/K}(x_ix_j))$ の全体が生成する $A$ のイデアルを**相対判別式**といい $\mathfrak{d}_{L/K}$ と書く。
</Definition>

<Lemma id="lem-dual" title="双対の基本性質">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、次が成り立つ。
1. $B^{*}$ は $B$ を含む $B$ の分数イデアルである。
2. $B$ の分数イデアル $\mathfrak{B}$ について $\mathfrak{B}^{*} = \mathfrak{B}^{-1}B^{*} = (\mathfrak{B}\mathfrak{D}_{L/K})^{-1}$。
3. $A$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ について $(B_{\mathfrak{p}})^{*} = B^{*}B_{\mathfrak{p}}$（左辺は $B_{\mathfrak{p}}$ の $A_{\mathfrak{p}}$ に関する双対）。したがって $\mathfrak{D}_{B_{\mathfrak{p}}/A_{\mathfrak{p}}} = \mathfrak{D}_{B/A}B_{\mathfrak{p}}$、$\mathfrak{d}_{B_{\mathfrak{p}}/A_{\mathfrak{p}}} = \mathfrak{d}_{B/A}A_{\mathfrak{p}}$。
</Lemma>

<Proof of="lem-dual">
1. $x, y \in B^{*}$、$b \in B$ なら $\mathrm{Tr}((x + y)B) \subseteq A$、$\mathrm{Tr}(bxB) \subseteq \mathrm{Tr}(xB) \subseteq A$ なので $B^{*}$ は $B$ 部分加群です。$A$ 上整な元のトレースは $A$ に入るので（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#lem-trace-minpoly" /> の 3）$B \subseteq B^{*}$ です。$L$ の $K$ 基底 $v_1, \ldots, v_n$ を $B$ の中に取り（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#prop-clear-denominators" /> で分母を払う）、$\mathrm{Tr}(v_iw_j) = \delta_{ij}$ となる双対基底 $w_j$ を取ります（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#lem-separable-trace" /> の 3）。$x \in B^{*}$ を $x = \sum_jc_jw_j$（$c_j \in K$）と書くと $c_i = \mathrm{Tr}(xv_i) \in A$ なので $B^{*} \subseteq \sum_jAw_j$ です。$dw_j \in B$ となる共通の $0 \ne d \in A$ を取れば $dB^{*} \subseteq B$ で、$B^{*}$ は分数イデアルです。

2. $\mathfrak{B}B = \mathfrak{B}$ とトレースの $K$ 線形性から、$x \in \mathfrak{B}^{*} \iff \mathrm{Tr}(x\mathfrak{B}\cdot B) \subseteq A \iff x\mathfrak{B} \subseteq B^{*} \iff x \in \mathfrak{B}^{-1}B^{*}$ です。最後の同値は分数イデアルの群での計算です（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-fractional-group" />）。

3. $S = A \setminus \mathfrak{p}$ とします。$x \in B^{*}$、$s \in S$ なら $\mathrm{Tr}((x/s)(b/s')) = \mathrm{Tr}(xb)/(ss') \in A_{\mathfrak{p}}$ なので $B^{*}B_{\mathfrak{p}} \subseteq (B_{\mathfrak{p}})^{*}$ です。逆に $x \in (B_{\mathfrak{p}})^{*}$ とし、$B$ の $A$ 加群としての生成元 $b_1, \ldots, b_r$ を取ると（<Ref to="lem-setup" /> の 1）、$\mathrm{Tr}(xb_j) = a_j/s_j$（$a_j \in A$、$s_j \in S$）で、$s = \prod s_j$ とすれば $\mathrm{Tr}(sxb_j) \in A$、すなわち $sx \in B^{*}$ です。逆イデアルを取れば共役差積の式が出ます。判別式について、$x_i \in B$ の組は $B_{\mathfrak{p}}$ の組でもあり、逆に $y_i \in B_{\mathfrak{p}}$ の組は共通の分母 $s \in S$ で $y_i = x_i/s$ と書けて $d(y) = s^{-2n}d(x)$ ですから、両者が生成する $A_{\mathfrak{p}}$ のイデアルは一致します。
</Proof>

<Theorem id="thm-different-tower" title="共役差積の推移律">
$A$ を商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域（2.1 節の設定）とする。体の塔 $K \subseteq L \subseteq M$（$M/K$ は有限次拡大）について、$B$、$C$ を $L$、$M$ における $A$ の整閉包とし、$\mathfrak{D}_{M/L}$ を $C$ の $B$ に関する共役差積とすると
$$
\mathfrak{D}_{M/K} = \mathfrak{D}_{M/L}\cdot\mathfrak{D}_{L/K}C.
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-different-tower">
$C$ は $L$ における整閉包 $B$ の $M$ での整閉包でもあります（<Ref to="lem-setup" /> の 3）。$x \in M$ について、次の条件はすべて同値です。
$$
\begin{aligned}
x \in \mathfrak{D}_{M/L}^{-1}\cdot\mathfrak{D}_{L/K}^{-1}C
&\iff x\,\mathfrak{D}_{L/K} \subseteq \mathfrak{D}_{M/L}^{-1} \\
&\iff \mathrm{Tr}_{M/L}(x\,\mathfrak{D}_{L/K}C) \subseteq B \\
&\iff \mathfrak{D}_{L/K}\,\mathrm{Tr}_{M/L}(xC) \subseteq B \\
&\iff \mathrm{Tr}_{M/L}(xC) \subseteq \mathfrak{D}_{L/K}^{-1} = B^{*} \\
&\iff \mathrm{Tr}_{L/K}\bigl(\mathrm{Tr}_{M/L}(xC)\bigr) \subseteq A \\
&\iff \mathrm{Tr}_{M/K}(xC) \subseteq A.
\end{aligned}
$$
2 行目は $\mathfrak{D}_{M/L}^{-1}$ が $C$ の $B$ に関する双対であること、3 行目は $\mathrm{Tr}_{M/L}$ の $L$ 線形性、5 行目は $\mathrm{Tr}_{M/L}(xC)$ が $B$ 加群であること（$B\cdot\mathrm{Tr}_{M/L}(xC) = \mathrm{Tr}_{M/L}(xBC) = \mathrm{Tr}_{M/L}(xC)$）と $B^{*}$ の定義、6 行目は <Ref to="lem-trace-transitive" /> です。最後の条件は $x \in \mathfrak{D}_{M/K}^{-1}$ ですから、逆イデアルを取れば定理の式になります。
</Proof>

<Proposition id="prop-discriminant-norm-different" title="判別式は共役差積のノルム">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$\mathfrak{d}_{L/K} = N_{L/K}(\mathfrak{D}_{L/K})$。
</Proposition>

<Proof of="prop-discriminant-norm-different">
各 $\mathfrak{p}$ で両辺の指数を比べます。<Ref to="lem-dual" /> の 3 と <Ref to="lem-localize" /> により $A$ を離散付値環としてよく、$B$ は $A$ 基底 $\omega_1, \ldots, \omega_n$ をもち、単項イデアル整域です。

$x_i = \sum_jp_{ij}\omega_j$（$P = (p_{ij}) \in M_n(A)$）なら、トレース形式の双線形性から $(\mathrm{Tr}(x_ix_j)) = P\,(\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j))\,P^{\mathsf{T}}$ で $d(x) = (\det P)^2d(\omega)$ です。よって $\mathfrak{d}_{L/K} = d(\omega)A$ です。

双対基底 $\omega_j^{*}$（$\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j^{*}) = \delta_{ij}$）を取ると、$x = \sum_jc_j\omega_j^{*}$ について $\mathrm{Tr}(x\omega_i) = c_i$ なので $B^{*} = \bigoplus_jA\omega_j^{*}$ で、$\omega_i = \sum_j\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)\omega_j^{*}$ です。つまり基底 $\omega^{*}$ による同型 $B^{*} \cong A^n$ のもとで、$B$ は行列 $T = (\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j))$ の像 $TA^n$ に対応します。$T$ は基底 $\omega^{*}$ から基底 $\omega$ への変換行列なので $\det T = d(\omega) \ne 0$ で、<Ref to="lem-counting" /> の 1 から $|B^{*}/B| = q^{v(d(\omega))}$ です。

一方 $\mathfrak{D}_{L/K} = \delta B$ と書くと $B^{*} = \delta^{-1}B$ で、$\delta$ 倍は同型 $B^{*}/B \to B/\delta B$ を与えます。<Ref to="lem-counting" /> の 2 から $|B/\mathfrak{D}_{L/K}| = q^{v(N_{L/K}(\mathfrak{D}_{L/K}))}$ です。2 つを比べて $v(\mathfrak{d}_{L/K}) = v(N_{L/K}(\mathfrak{D}_{L/K}))$ です。
</Proof>

$A = \mathbb{Z}$ のとき $\mathfrak{d}_{L/\mathbb{Q}} = d_L\mathbb{Z}$ なので（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-integral-basis" /> の 3）、<Ref to="prop-relative-norm" /> の 5 と合わせて $|d_L| = N\mathfrak{D}_{L/\mathbb{Q}} = |\mathcal{O}_L/\mathfrak{D}_{L/\mathbb{Q}}|$ です。

### 8.2. 単生成の場合

<Proposition id="prop-different-monogenic" title="Euler の補題と単生成の場合の共役差積">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は $n$ 次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$\alpha \in B$、$L = K(\alpha)$ とし、$g \in A[X]$ を $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式とする。
1. $0 \le k \le n - 2$ で $\mathrm{Tr}_{L/K}\bigl(\alpha^k/g'(\alpha)\bigr) = 0$、$\mathrm{Tr}_{L/K}\bigl(\alpha^{n-1}/g'(\alpha)\bigr) = 1$。
2. $A[\alpha]$ の $A$ に関する双対 $\{x \in L \mid \mathrm{Tr}(xA[\alpha]) \subseteq A\}$ は $g'(\alpha)^{-1}A[\alpha]$ に等しい。
3. $B = A[\alpha]$ ならば $\mathfrak{D}_{L/K} = g'(\alpha)B$。
</Proposition>

<Proof of="prop-different-monogenic">
最小多項式が $A$ 係数であることは <Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions#prop-minpoly-ideal" /> です。

1. <Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#lem-separable-trace" /> の 1 により、$L$ を含む体 $N$ と相異なる $K$ 上の準同型 $\sigma_1, \ldots, \sigma_n \colon L \to N$ で $\mathrm{Tr}_{L/K}(x) = \sum_i\sigma_i(x)$ となるものがあります。$\alpha_i = \sigma_i(\alpha)$ は $g$ の根で、$L = K(\alpha)$ なので $\sigma_i$ は $\alpha_i$ で決まり、$\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ は相異なります。$\deg g = n$ ですから $g = \prod_i(X - \alpha_i)$、$g'(\alpha_i) = \prod_{j \ne i}(\alpha_i - \alpha_j) \ne 0$ です。$0 \le k \le n - 1$ について多項式
$$
u_k(X) := \sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i^k}{g'(\alpha_i)}\cdot\frac{g(X)}{X - \alpha_i} - X^k \in N[X]
$$
は次数が $n - 1$ 以下で、$X = \alpha_j$ を代入すると $g(X)/(X - \alpha_i)$ は $i = j$ のとき $g'(\alpha_j)$、$i \ne j$ のとき $0$ なので $u_k(\alpha_j) = 0$ です。相異なる $n$ 個の根をもつので $u_k = 0$ です。$X^{n-1}$ の係数を比べると、$g(X)/(X - \alpha_i)$ はモニックな $n - 1$ 次式なので
$$
\sum_{i=1}^n\frac{\alpha_i^k}{g'(\alpha_i)} = \begin{cases}0 & (0 \le k \le n - 2) \\ 1 & (k = n - 1)\end{cases}
$$
で、左辺は $\sum_i\sigma_i(\alpha^k/g'(\alpha)) = \mathrm{Tr}_{L/K}(\alpha^k/g'(\alpha))$ です。

2. $t_k := \mathrm{Tr}(\alpha^k/g'(\alpha))$ とおきます。$g = X^n + a_1X^{n-1} + \cdots + a_n$ とすると、$k \ge n$ で $\alpha^k = -\sum_{j=1}^na_j\alpha^{k-j}$ なので $t_k = -\sum_ja_jt_{k-j}$ で、1 と帰納法からすべての $k \ge 0$ で $t_k \in A$ です。$\mu_j := \alpha^j/g'(\alpha)$（$0 \le j \le n - 1$）は $L$ の $K$ 基底で、行列 $U = (\mathrm{Tr}(\alpha^i\mu_j))_{0 \le i, j \le n-1} = (t_{i+j})$ は $A$ 成分、$i + j < n - 1$ で $0$、$i + j = n - 1$ で $1$ です。反対角線より上がすべて $0$ なので $\det U = \pm 1$ で、$U \in GL_n(A)$ です。$x = \sum_jc_j\mu_j$（$c_j \in K$）について、$x$ が双対に入ることは、すべての $i$ で $\mathrm{Tr}(\alpha^ix) = \sum_jU_{ij}c_j \in A$ となることと同値で、$U$ が $A$ 上可逆なのでこれは $c_j \in A$（すべての $j$）と同値です。すなわち双対は $\bigoplus_jA\mu_j = g'(\alpha)^{-1}A[\alpha]$ です。

3. 2 から $B^{*} = g'(\alpha)^{-1}B$ で、逆イデアルを取ります。
</Proof>

### 8.3. Dedekind の共役差積定理

<Definition id="def-tame-wild" title="順分岐と野性分岐">
$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$、$e = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) \ge 2$ とし、$p$ を剰余体 $\kappa(\mathfrak{p})$ の標数とする。$p \nmid e$ のとき $\mathfrak{P}$ は**順分岐**（tamely ramified）、$p \mid e$ のとき**野性分岐**（wildly ramified）であるという。
</Definition>

<Theorem id="thm-different-ramification" title="Dedekind の共役差積定理">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包。$L/K$ は Galois 拡大とは限らない）で、$\mathfrak{P}$ を $B$ の $0$ でない素イデアル、$\mathfrak{p} = \mathfrak{P} \cap A$、$e = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$、$p$ を $\kappa(\mathfrak{p})$ の標数とする。
1. $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/K}) \ge e - 1$。
2. 等号 $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/K}) = e - 1$ が成り立つことと $p \nmid e$ は同値である。
特に、$\mathfrak{P}$ が $\mathfrak{D}_{L/K}$ を割ることと $\mathfrak{P}$ が $\mathfrak{p}$ 上分岐する（$e \ge 2$）ことは同値である。
</Theorem>

証明の方針です。核心は、$B$ のイデアル $J$ のトレースが $tA$ に入るかどうかを、共役差積の指数に翻訳する (b) の同値です。あとは、$J$ の元のトレースが $\kappa$ 上の線形代数として計算できること（(a) と (c)）を使い、(b) の左辺を調べます。素イデアルの指数が $e$ のとき、出てくるトレースが $e$ 倍の形になるので、$p \mid e$ かどうかが等号の成否を決めます。

<Proof of="thm-different-ramification">
<Ref to="lem-dual" /> の 3 と <Ref to="lem-localize" /> により、$A$ は素元 $t$ をもつ離散付値環としてよく、$B$ は $A$ 基底 $\omega_1, \ldots, \omega_n$ をもちます。$\kappa = A/tA$、$\mathfrak{p}B = tB = \prod_{i=1}^g\mathfrak{P}_i^{e_i}$、$\mathfrak{P} = \mathfrak{P}_1$ とします。証明は 3 つの観察からなります。

**(a) トレースの還元。** $x \in B$ について、基底 $\omega$ に関する $x$ 倍写像の行列 $M_x$ は $A$ 成分で、その成分を $t$ を法として還元したものは、$\kappa$ 線形空間 $V := B/tB$ の基底 $\bar\omega_1, \ldots, \bar\omega_n$ に関する $\bar x$ 倍写像の行列です。したがって
$$
\mathrm{Tr}_{L/K}(x) \bmod tA = \mathrm{tr}_\kappa(\bar x \mid V).
$$

**(b) イデアルのトレースと共役差積。** $B$ のイデアル $J$ について
$$
\mathrm{Tr}_{L/K}(J) \subseteq tA \iff t^{-1}J \subseteq B^{*} = \mathfrak{D}_{L/K}^{-1} \iff J\mathfrak{D}_{L/K} \subseteq tB \iff \text{すべての } i \text{ で } v_{\mathfrak{P}_i}(J) + v_{\mathfrak{P}_i}(\mathfrak{D}_{L/K}) \ge e_i.
$$
最初の同値は $J$ がイデアルで $\mathrm{Tr}(t^{-1}JB) = t^{-1}\mathrm{Tr}(J)$ であること、最後は「含むことは割ること」（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-fractional-group" /> の 4）です。

**(c) 線形代数。** 有限次元線形空間 $V$ の自己準同型 $\phi$ と $\phi$ 不変な部分空間 $W$ について、$W$ の基底を $V$ の基底に延ばすと $\phi$ の行列はブロック上三角になるので $\mathrm{tr}(\phi \mid V) = \mathrm{tr}(\phi \mid W) + \mathrm{tr}(\phi \mid V/W)$ です。特に冪零な $\phi$ のトレースは $0$ です（$W = \ker\phi \ne 0$ として次元に関する帰納法）。

**1 の証明。** $J = \mathfrak{P}_1\cdots\mathfrak{P}_g$ とします。$x \in J$ なら $m = \max e_i$ について $x^m \in tB$ なので、$\bar x$ 倍は $V$ 上冪零で、(a) と (c) から $\mathrm{Tr}(x) \in tA$ です。(b) により、すべての $i$ で $1 + v_{\mathfrak{P}_i}(\mathfrak{D}_{L/K}) \ge e_i$ です。

**2 の証明。** $J = \mathfrak{P}_2\cdots\mathfrak{P}_g$（$g = 1$ なら $J = B$）とします。(b) により、$\mathrm{Tr}(J) \subseteq tA$ は「$v_{\mathfrak{P}_1}(\mathfrak{D}_{L/K}) \ge e_1$ かつ $i \ge 2$ で $v_{\mathfrak{P}_i}(\mathfrak{D}_{L/K}) \ge e_i - 1$」と同値で、後半は 1 で示したので、$\mathrm{Tr}(J) \subseteq tA \iff v_{\mathfrak{P}_1}(\mathfrak{D}_{L/K}) \ge e_1$ です。

$\mathrm{Tr}(x)$（$x \in J$）を計算します。中国剰余定理（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#lem-crt" />）により $V \cong \prod_iV_i$、$V_i = B/\mathfrak{P}_i^{e_i}$ で、各 $V_i$ は $\bar x$ 倍で不変なので $\mathrm{tr}(\bar x \mid V) = \sum_i\mathrm{tr}(\bar x \mid V_i)$ です。$i \ge 2$ では $x \in \mathfrak{P}_i$ なので $\bar x$ は $V_i$ 上冪零で、トレースは $0$ です。$V_1$ には不変部分空間の列 $V_1 \supseteq \mathfrak{P}_1/\mathfrak{P}_1^{e_1} \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{P}_1^{e_1}/\mathfrak{P}_1^{e_1} = 0$ があり、$\mathfrak{P}_1 = \pi B$ とすると $\pi^k$ 倍は $B$ 加群の同型 $B/\mathfrak{P}_1 \to \mathfrak{P}_1^k/\mathfrak{P}_1^{k+1}$ を与えます。よって各段の商の上で $x$ 倍は $\kappa(\mathfrak{P}_1)$ の元 $y := x \bmod \mathfrak{P}_1$ による掛け算で、そのトレースは、$\kappa(\mathfrak{P}_1)$ を $\kappa$ 上の線形空間と見たときの $y$ 倍写像のトレース $\mathrm{tr}_\kappa(y \mid \kappa(\mathfrak{P}_1))$ です。(c) を繰り返して
$$
\mathrm{Tr}_{L/K}(x) \bmod tA = e_1\cdot\mathrm{tr}_\kappa\bigl(y \mid \kappa(\mathfrak{P}_1)\bigr) \qquad (x \in J).
$$
$J + \mathfrak{P}_1 = B$ なので $y$ は $\kappa(\mathfrak{P}_1)$ の全体を動きます。$\kappa(\mathfrak{P}_1)/\kappa$ のトレース $\mathrm{tr}_\kappa(y \mid \kappa(\mathfrak{P}_1))$ は恒等的に $0$ ではありません（<Ref to="lem-finite-field-trace-relative" />）。したがって $\mathrm{Tr}(J) \subseteq tA$ は $e_1$ が $\kappa$ で $0$、すなわち $p \mid e_1$ と同値です。以上から $v_{\mathfrak{P}_1}(\mathfrak{D}_{L/K}) \ge e_1 \iff p \mid e_1$ で、1 と合わせて 2 が従います。最後の主張は、$e = 1$ なら 2 から指数が $0$、$e \ge 2$ なら 1 から指数が $1$ 以上であることによります。
</Proof>

<Lemma id="lem-finite-field-trace-relative" title="有限体の相対トレースは 0 でない">
$k \subseteq k'$ を有限体とする。$y \in k'$ に対し、$y$ 倍写像の $k$ 上のトレースを $\mathrm{tr}_k(y \mid k')$ と書く。$\mathrm{tr}_k(y \mid k') \ne 0$ となる $y \in k'$ が存在する。
</Lemma>

<Proof of="lem-finite-field-trace-relative">
$k$ の素体を $\mathbb{F}_p$ とします。<Ref to="lem-trace-transitive" />（標数によらず成り立ちます）を塔 $\mathbb{F}_p \subseteq k \subseteq k'$ に使うと、$y$ 倍写像の $\mathbb{F}_p$ 上のトレースは $\mathrm{tr}_{\mathbb{F}_p}\bigl(\mathrm{tr}_k(y \mid k') \mid k\bigr)$ に等しくなります。すべての $y$ で $\mathrm{tr}_k(y \mid k') = 0$ なら、$k'$ の $\mathbb{F}_p$ 上のトレース $t$ が恒等的に $0$ になり、<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#lem-finite-field-trace" /> の 2（$x = 1$ に対し $t(y) \ne 0$ となる $y$ がある）に反します。
</Proof>

<Corollary id="cor-discriminant-ramification" title="相対判別式と分岐">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$A$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ が $L$ で分岐する（ある $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ で $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) \ge 2$）ことと $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{d}_{L/K}$ は同値である。特に $L$ で分岐する素イデアルは有限個である。
</Corollary>

<Proof of="cor-discriminant-ramification">
<Ref to="prop-discriminant-norm-different" /> と定義から $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{d}_{L/K}) = \sum_{\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}}f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})\,v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/K})$ です。これが正であることは、ある $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ が $\mathfrak{D}_{L/K}$ を割ることと同値で、<Ref to="thm-different-ramification" /> によりそれは $\mathfrak{P}$ の分岐と同値です。$\mathfrak{d}_{L/K}$ は $0$ でないイデアルなので、その素因子は有限個です。
</Proof>

$A = \mathbb{Z}$ の場合が <Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-ramified-divides" /> と <Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-discriminant-ramified" /> です。共役差積を経由すると、判別式の指数まで $\sum f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D})$ と読めます。

## 9. 高次分岐群と Hilbert の公式

この節では $L/K$ は再び Galois 拡大です。野性分岐のとき共役差積の指数は $e - 1$ より大きくなります。その超過分を惰性群のフィルターで測ります。

<Definition id="def-ramification-groups" title="高次分岐群（下付き番号）">
$L/K$ を Galois 拡大、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$、$D = D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ とする。整数 $i \ge 0$ に対し
$$
G_i = G_i(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) := \{\sigma \in D \mid \text{すべての } x \in B \text{ で } \sigma x \equiv x \pmod{\mathfrak{P}^{i+1}}\}
$$
を第 $i$ **分岐群**という。$G_0 = I(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ である。
</Definition>

計算の鍵は、完全分岐な拡大では整数環が素元 1 つで生成されることです。

<Lemma id="lem-totally-ramified-monogenic" title="完全分岐なら素元で生成される">
$A$ を離散付値環（2.1 節の仮定を満たすもの）、$v$ をその付値とし、$B$ の $0$ でない素イデアルが $\mathfrak{P}$ ただ 1 つで $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) = n = [L : K]$ であるとする。このとき $B$ は離散付値環で、$a \in K^{\times}$ について $v_{\mathfrak{P}}(a) = n\,v(a)$ である。さらに $v_{\mathfrak{P}}(\pi) = 1$ となる任意の $\pi \in B$ について、$1, \pi, \ldots, \pi^{n-1}$ は $B$ の $A$ 基底であり、$B = A[\pi]$、$L = K(\pi)$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-totally-ramified-monogenic">
$B$ は極大イデアルがただ 1 つの単項イデアル整域なので（<Ref to="lem-localize" /> の 4）、離散付値環です（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/dvr-and-dedekind-rings#thm-dvr-characterization" /> の 3 から 1）。その付値は $v_{\mathfrak{P}}$ です。$aA = \mathfrak{p}^{v(a)}$ と $\mathfrak{p}B = \mathfrak{P}^n$ から $aB = \mathfrak{P}^{nv(a)}$ で、$v_{\mathfrak{P}}(a) = nv(a)$ です。

$a_0, \ldots, a_{n-1} \in K$ とし、$x = \sum_{j=0}^{n-1}a_j\pi^j$ とおきます。$a_j \ne 0$ のとき $v_{\mathfrak{P}}(a_j\pi^j) = nv(a_j) + j$ で、これを $n$ で割った余りは $j$ ですから、$0$ でない項の付値は相異なります。付値が相異なる元の和の付値は最小のものに等しいので（$v_{\mathfrak{P}}(y) < v_{\mathfrak{P}}(z)$ なら $v_{\mathfrak{P}}(y + z) \ge v_{\mathfrak{P}}(y)$ で、$y = (y + z) - z$ から逆向きも出ます）、$a_j$ がすべて $0$ でない限り
$$
v_{\mathfrak{P}}(x) = \min_{a_j \ne 0}\bigl(nv(a_j) + j\bigr) < \infty
$$
です。よって $x = 0$ なら全部の $a_j$ が $0$ で、$1, \pi, \ldots, \pi^{n-1}$ は $K$ 上一次独立、個数が $n$ なので $L$ の基底です。また $x \in B \iff v_{\mathfrak{P}}(x) \ge 0 \iff$ すべての $j$ で $nv(a_j) + j \ge 0$ で、$0 \le j < n$ なのでこれは $v(a_j) \ge 0$、すなわち $a_j \in A$ と同値です。
</Proof>

次の定理は主張が多いので、先に全体像を述べます。分岐群の列 $G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots$ は、惰性群の元を「$B$ の元を $\mathfrak{P}$ の何乗を法として動かさないか」で段階づけたものです。最初の商 $G_0/G_1$ は巡回群で、$G_1$ は $p$ 群になります。つまり惰性群は、順分岐の部分（巡回群）と野性分岐の部分（$p$ 群）に分かれます。

<Theorem id="thm-ramification-groups" title="高次分岐群の構造">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$L/K$ を Galois 拡大、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$、$D$、$I$ を $\mathfrak{P}$ の分解群と惰性群、$e = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$、$p$ を $\kappa(\mathfrak{p})$ の標数とし、$\pi \in \mathfrak{P} \setminus \mathfrak{P}^2$ を取る。$B_{\mathfrak{P}}$ は $B$ の $\mathfrak{P}$ での局所化である。
1. 各 $G_i$ は $D$ の正規部分群で、$I = G_0 \supseteq G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots$ である。
2. $\sigma \in I$ について $\sigma \in G_i \iff v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi) \ge i + 1$。$\sigma \ne 1$ なら $\sigma\pi \ne \pi$ であり、十分大きい $i$ で $G_i = 1$ である。
3. $\sigma \mapsto \sigma\pi/\pi \bmod \mathfrak{P}$ は $\pi$ の取り方によらない単射準同型 $G_0/G_1 \to \kappa(\mathfrak{P})^{\times}$ を与える。したがって $G_0/G_1$ は位数が $p$ と互いに素な巡回群である。
4. $i \ge 1$ について、$\sigma \mapsto \sigma\pi/\pi - 1$ は加法群への単射準同型 $G_i/G_{i+1} \to \mathfrak{P}^iB_{\mathfrak{P}}/\mathfrak{P}^{i+1}B_{\mathfrak{P}}$ を与える。右辺は $\kappa(\mathfrak{P})$ 上 1 次元の線形空間なので、$G_i/G_{i+1}$ は Abel 群で位数は $p$ の冪である。
5. $G_1$ は位数が $e$ の $p$ 部分（$e = e_0p^k$、$p \nmid e_0$ としたときの $p^k$）に等しい $I$ の正規部分群で、$\mathfrak{P}$ が順分岐または不分岐であることと $G_1 = 1$ は同値である。$I$ と $D$ は可解群である。
</Theorem>

<Proof of="thm-ramification-groups">
1. $\sigma \in D$ は $\mathfrak{P}^{i+1}$ を保つので環 $B/\mathfrak{P}^{i+1}$ の自己同型を誘導し、$G_i$ は準同型 $D \to \mathrm{Aut}(B/\mathfrak{P}^{i+1})$ の核です。包含は定義から従います。

2. 惰性体 $T = L^I$、$\mathfrak{P}_T = \mathfrak{P} \cap T$ を取り、$S = B_T \setminus \mathfrak{P}_T$ で局所化して $A' = S^{-1}B_T$、$B' = S^{-1}B$ とおきます。<Ref to="thm-decomposition-tower" /> の 4 により $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_T) = [L : T]$ で、基本等式（<Ref to="lem-setup" /> の 2）から $\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{P}_T$ の上のただ 1 つの素イデアルです。<Ref to="lem-localize" /> により $A'$ は離散付値環、$B'$ はその $L$ での整閉包で、$0$ でない素イデアルは $\mathfrak{P}B'$ だけ、付値は $v_{\mathfrak{P}}$ です。したがって $B' = B_{\mathfrak{P}}$（$B$ の $\mathfrak{P}$ での局所化）で、<Ref to="lem-totally-ramified-monogenic" /> から $B' = A'[\pi]$、$L = T(\pi)$ です。

$\sigma \in I$ とします。$x = b/s \in B'$（$b \in B$、$s \in S$）について、$\sigma$ は $T$ の元 $s$ を固定するので $\sigma x - x = (\sigma b - b)/s$ で、$s$ は $B'$ の単元ですから、「すべての $b \in B$ で $v_{\mathfrak{P}}(\sigma b - b) \ge i + 1$」と「すべての $x \in B'$ で $v_{\mathfrak{P}}(\sigma x - x) \ge i + 1$」は同値です。$x = \sum_ja_j\pi^j$（$a_j \in A'$）と書くと、$\sigma a_j = a_j$ なので
$$
\sigma x - x = \sum_ja_j\bigl((\sigma\pi)^j - \pi^j\bigr) = (\sigma\pi - \pi)\sum_ja_j\sum_{k=0}^{j-1}(\sigma\pi)^k\pi^{j-1-k}
$$
で、右の和は $B'$ の元です。よって $v_{\mathfrak{P}}(\sigma x - x) \ge v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi)$ で、$x = \pi$ のとき等号ですから、$\sigma \in G_i \iff v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi) \ge i + 1$ です。$\sigma\pi = \pi$ なら $\sigma$ は $L = T(\pi)$ を固定し $\sigma = 1$ です。$I$ は有限群なので、$i \ge \max_{\sigma \ne 1}v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi)$ で $G_i = 1$ です。

3 と 4 の準備として、$\sigma \in I$ に対し $u_\sigma := \sigma\pi/\pi$ とおきます。$\sigma\mathfrak{P} = \mathfrak{P}$ なので $v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi) = 1$ で、$u_\sigma$ は $B'$ の単元です。$\sigma, \tau \in I$ について
$$
u_{\sigma\tau} = \frac{\sigma(\tau\pi)}{\pi} = \frac{\sigma(u_\tau\pi)}{\pi} = \sigma(u_\tau)\,u_\sigma.
$$

3. $\sigma \in I$ は $B'$ の元を $\mathfrak{P}B'$ を法として動かさないので $\sigma(u_\tau) \equiv u_\tau$、よって $u_{\sigma\tau} \equiv u_\sigma u_\tau \pmod{\mathfrak{P}B'}$ です。$B'/\mathfrak{P}B' \cong \kappa(\mathfrak{P})$ なので、$\theta_0(\sigma) := u_\sigma \bmod \mathfrak{P}$ は準同型 $I \to \kappa(\mathfrak{P})^{\times}$ です。別の素元 $\pi' = w\pi$（$w$ は $B'$ の単元）を取ると $\sigma\pi'/\pi' = (\sigma w/w)u_\sigma$ で $\sigma w \equiv w \pmod{\mathfrak{P}B'}$ ですから、$\theta_0$ は $\pi$ によりません。$\theta_0(\sigma) = 1 \iff v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi) \ge 2 \iff \sigma \in G_1$（2 による）なので、核は $G_1$ です。$\kappa(\mathfrak{P})^{\times}$ は位数 $|\kappa(\mathfrak{P})| - 1$ の巡回群で（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#thm-unit-cyclic" />）、$|\kappa(\mathfrak{P})|$ は $p$ の冪ですから、その部分群に同型な $G_0/G_1$ は位数が $p$ と互いに素な巡回群です。

4. $i \ge 1$、$\sigma, \tau \in G_i$ とし、$u_\sigma = 1 + a_\sigma$ と書くと、2 から $a_\sigma = (\sigma\pi - \pi)/\pi \in \mathfrak{P}^iB'$ です。$\sigma \in G_i$ は $B'$ の元を $\mathfrak{P}^{i+1}B'$ を法として動かさないので $\sigma(a_\tau) \equiv a_\tau$ で、
$$
1 + a_{\sigma\tau} = (1 + \sigma(a_\tau))(1 + a_\sigma) \equiv 1 + a_\sigma + a_\tau \pmod{\mathfrak{P}^{i+1}B'}
$$
です（$a_\sigma\sigma(a_\tau) \in \mathfrak{P}^{2i}B' \subseteq \mathfrak{P}^{i+1}B'$）。よって $\theta_i(\sigma) := a_\sigma \bmod \mathfrak{P}^{i+1}B'$ は加法群への準同型で、核は $v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi) \ge i + 2$ となる $\sigma$ の全体、すなわち $G_{i+1}$ です。$\pi^i$ 倍が同型 $B'/\mathfrak{P}B' \to \mathfrak{P}^iB'/\mathfrak{P}^{i+1}B'$ を与えるので、右辺は元の個数が $|\kappa(\mathfrak{P})|$（$p$ の冪）の Abel 群で、その部分群に同型な $G_i/G_{i+1}$ の位数も $p$ の冪です（<Ref to="mathematics/algebra/subgroups-and-lagrange#thm-lagrange" />）。

5. 2 により $G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots$ は有限段で $1$ に達するので、$|G_1| = \prod_{i \ge 1}[G_i : G_{i+1}]$ は 4 から $p$ の冪です。$|I| = e = [G_0 : G_1]\,|G_1|$ で、3 から $[G_0 : G_1]$ は $p$ と素なので、$|G_1| = p^k$、$[G_0 : G_1] = e_0$ です。特に $G_1 = 1 \iff p \nmid e$ です。列 $D \supseteq G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots \supseteq 1$ は、各項が前の項の正規部分群で、商 $D/G_0$（<Ref to="thm-decomposition-exact" /> により巡回群）、$G_i/G_{i+1}$ がすべて Abel 群なので、$D$ と $I$ は可解群です（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#def-solvable-group" />）。
</Proof>

順完全分岐な Galois 拡大は巡回拡大に限られる、というのが 3 と 5 の帰結です（$G_1 = 1$ なら $I = G_0/G_1$ は巡回群）。[第 2 章](/mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields) の Kronecker–Weber の定理の証明では、この事実と次の公式を繰り返し使います。

<Theorem id="thm-hilbert-different" title="Hilbert の公式">
2.1 節の設定（$A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、$B$ は有限次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、$L/K$ を Galois 拡大、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ とする。このとき
$$
v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/K}) = \sum_{i=0}^{\infty}\bigl(|G_i(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})| - 1\bigr).
$$
</Theorem>

<Proof of="thm-hilbert-different">
惰性体 $T$ を取り、$B_T$ を $T$ での整閉包とします。<Ref to="thm-different-tower" /> により $\mathfrak{D}_{L/K} = \mathfrak{D}_{L/T}\cdot\mathfrak{D}_{T/K}B$ です。$\mathfrak{P}_T$ は $\mathfrak{p}$ 上不分岐なので（<Ref to="thm-decomposition-tower" /> の 2 と 3、<Ref to="lem-tower-ef" />）、<Ref to="thm-different-ramification" /> の 2 から $v_{\mathfrak{P}_T}(\mathfrak{D}_{T/K}) = 0$ で、$\mathfrak{D}_{T/K}B$ の素因子はどれも $\mathfrak{P}_T$ の上になく、$\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{D}_{T/K}B$ を割りません。よって $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/K}) = v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/T})$ です。

<Ref to="thm-ramification-groups" /> の証明の 2 の記号で、$\mathfrak{P}_T$ で局所化すると $B' = A'[\pi]$ です。$\pi$ の $T$ 上の最小多項式を $h$ とします。$\prod_{\sigma \in I}(X - \sigma\pi)$ は係数が $I$ 不変なので $T[X]$ に属し、$\pi$ を根にもつ次数 $|I| = [L : T] = [T(\pi) : T] = \deg h$ のモニック多項式ですから $h$ に一致します。<Ref to="lem-dual" /> の 3 と <Ref to="prop-different-monogenic" /> の 3 から
$$
\mathfrak{D}_{L/T}B' = h'(\pi)B', \qquad h'(\pi) = \prod_{\sigma \in I,\ \sigma \ne 1}(\pi - \sigma\pi)
$$
で、$v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/T}) = \sum_{\sigma \ne 1}v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi)$ です。<Ref to="thm-ramification-groups" /> の 2 により、$\sigma \ne 1$ について $v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi)$ は $\sigma \in G_i$ となる $i \ge 0$ の個数に等しいので、和の順序を入れ替えて
$$
\sum_{\sigma \ne 1}v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi - \pi) = \sum_{i \ge 0}\#\{\sigma \in G_i \mid \sigma \ne 1\} = \sum_{i \ge 0}(|G_i| - 1)
$$
です。
</Proof>

最初の項が $|G_0| - 1 = e - 1$ で、残りの項が $0$ になるのは $G_1 = 1$、すなわち順分岐のときです。これは <Ref to="thm-different-ramification" /> の Galois 拡大での精密化になっています。

## 10. 例：共役差積と分岐群

<Example id="ex-quadratic-different" title="二次体の共役差積と分岐群">
$L = \mathbb{Q}(\sqrt m)$（$m$ は平方因子をもたない）とします。$m \equiv 2, 3 \pmod 4$ なら $\mathcal{O}_L = \mathbb{Z}[\sqrt m]$ で、$g = X^2 - m$ から $\mathfrak{D} = (2\sqrt m)$ です。$m \equiv 1 \pmod 4$ なら $\mathcal{O}_L = \mathbb{Z}[\omega]$、$\omega = (1 + \sqrt m)/2$、$g = X^2 - X + (1 - m)/4$ で $g'(\omega) = 2\omega - 1 = \sqrt m$ なので $\mathfrak{D} = (\sqrt m)$ です（<Ref to="prop-different-monogenic" />、<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-quadratic-integers" />）。どちらも $\mathfrak{D} = (\sqrt{d_L})$ とまとめられ、$N\mathfrak{D} = |d_L|$ です。

$L = \mathbb{Q}(i)$、$\mathfrak{P} = (1 + i)$ では $c(1 + i) - (1 + i) = -2i$、$v_{\mathfrak{P}}(2) = 2$ なので $G_0 = G_1 = G$、$G_2 = 1$ で、Hilbert の公式は $1 + 1 = 2 = v_{\mathfrak{P}}((2))$ です。$L = \mathbb{Q}(\sqrt 2)$、$\mathfrak{P} = (\sqrt 2)$ では $c\sqrt 2 - \sqrt 2 = -2\sqrt 2$ で付値は $3$、$G_0 = G_1 = G_2 = G$、$G_3 = 1$、公式は $3 = v_{\mathfrak{P}}((2\sqrt 2))$ です。どちらも $p = 2 = e$ の野性分岐で、指数は $e - 1 = 1$ より大きくなっています。奇素数 $p \mid m$ では $e = 2$ は順分岐で、$v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}) = v_{\mathfrak{P}}(\sqrt m) = 1 = e - 1$ です。
</Example>

<Example id="ex-pure-cubic" title="ℤ[∛2] の判別式と共役差積">
$L = \mathbb{Q}(\alpha)$、$\alpha^3 = 2$ とします。まず $\mathcal{O}_L = \mathbb{Z}[\alpha]$ を示します。$\mathrm{Tr}(1) = 3$、$\mathrm{Tr}(\alpha) = \mathrm{Tr}(\alpha^2) = 0$、$\mathrm{Tr}(\alpha^3) = 6$、$\mathrm{Tr}(\alpha^4) = 0$ なので
$$
d(1, \alpha, \alpha^2) = \det\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 6 & 0\end{pmatrix} = -108 = -2^2\cdot 3^3
$$
で、$[\mathcal{O}_L : \mathbb{Z}[\alpha]]^2d_L = -108$ です（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-integral-basis" /> の 3）。指数の素因子は $2$ と $3$ に限られます。<Ref to="ex-cubic-closure" /> と同じ付値の計算で、$2$ の上の素イデアルは $e = 3$ の 1 つだけで $\alpha$ が素元、$3$ の上の素イデアルも $e = 3$ の 1 つだけで $\alpha + 1$ が素元です。<Ref to="lem-totally-ramified-monogenic" /> を $A = \mathbb{Z}_{(2)}$ と $A = \mathbb{Z}_{(3)}$ に使うと、$\mathcal{O}_L$ の $2$ と $3$ での局所化は $\mathbb{Z}_{(2)}[\alpha]$、$\mathbb{Z}_{(3)}[\alpha + 1] = \mathbb{Z}_{(3)}[\alpha]$ に等しく、指数は $2$ でも $3$ でも割れません。よって $\mathcal{O}_L = \mathbb{Z}[\alpha]$、$d_L = -108$ です。

<Ref to="prop-different-monogenic" /> から $\mathfrak{D} = (3\alpha^2)$ で、$N\mathfrak{D} = |N(3\alpha^2)| = 27\cdot 4 = 108 = |d_L|$ です。$2$ の上の $\mathfrak{P}_2 = (\alpha)$ では $v(\mathfrak{D}) = 2 = e - 1$（$2 \nmid 3$、順分岐）、$3$ の上の $\mathfrak{P}_3 = (\alpha + 1)$ では $v(\mathfrak{D}) = v(3) + 2v(\alpha) = 3 + 0 = 3 > e - 1$（$3 \mid 3$、野性分岐）で、<Ref to="thm-different-ramification" /> のとおりです。同じ計算を $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$ の素元 $\beta = \sqrt[3]{3}$ で行うと、$3$ の上で $v((3\beta^2)) = 3 + 2 = 5$ となります。野性分岐では指数が $e - 1$ をどれだけ超えるかが拡大ごとに違います。
</Example>

<Example id="ex-cyclotomic-p" title="ℚ(ζ_p) の p での分岐群">
$p$ を奇素数、$\zeta$ を 1 の原始 $p$ 乗根、$L = \mathbb{Q}(\zeta)$ とします。$[L : \mathbb{Q}] = p - 1$ で $G \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$、$\sigma_a\zeta = \zeta^a$ です（[第 2 章](/mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields)）。$1 + X + \cdots + X^{p-1} = \prod_{a=1}^{p-1}(X - \zeta^a)$ に $X = 1$ を代入して $p = \prod_a(1 - \zeta^a)$ です。$(1 - \zeta^a)/(1 - \zeta) = 1 + \zeta + \cdots + \zeta^{a-1}$ と、$ab \equiv 1 \pmod p$ として $(1 - \zeta)/(1 - \zeta^a) = (1 - \zeta^{ab})/(1 - \zeta^a) = 1 + \zeta^a + \cdots + \zeta^{a(b-1)}$ はどちらも $\mathcal{O}_L$ の元なので、$1 - \zeta^a$ は $1 - \zeta$ の単数倍で、$p\mathcal{O}_L = (1 - \zeta)^{p-1}$ です。$efg = p - 1$ から $\mathfrak{P} = (1 - \zeta)$ は素イデアルで $e = p - 1$、$D = I = G$ です。

$\pi = 1 - \zeta$ について、$a \not\equiv 1$ なら $\sigma_a\pi - \pi = \zeta - \zeta^a = \zeta(1 - \zeta^{a-1})$ の付値は $1$ です。<Ref to="thm-ramification-groups" /> の 2 から $G_0 = G$、$G_1 = 1$（$p \nmid p - 1$ の順分岐）で、$G_0/G_1 \to \mathbb{F}_p^{\times}$ は $\sigma_a \mapsto (1 - \zeta^a)/(1 - \zeta) = 1 + \zeta + \cdots + \zeta^{a-1} \equiv a$ という同型です。Hilbert の公式から $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}) = p - 2$、$|d_L| = N\mathfrak{D} = p^{p-2}$ となります（$p$ 以外の素数が分岐しないことは第 2 章で示します）。
</Example>

## 11. 演習

<Exercise id="exr-no-inert" difficulty="易">
$L/K$ を Galois 拡大で、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ が巡回群でないとする。$A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ で、$\mathfrak{p}B$ が素イデアルになるものは存在しないことを示せ。また $L = \mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)$ での $5$ の $(e, f, g)$ と分解体を求めよ。
<Solution>
$\mathfrak{p}B = \mathfrak{P}$ が素イデアルなら $e = g = 1$、$f = n$ で、<Ref to="thm-decomposition-exact" /> から $|D| = n$、$|I| = 1$、すなわち $D = G$ かつ $G = D/I$ は巡回群です。これは仮定に反します。

$L = \mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)$ は $G \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ で、二次の部分体は $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$、$\mathbb{Q}(\sqrt 3)$、$\mathbb{Q}(\sqrt 6)$ です。$5$ を法とする平方剰余は $1, 4$ なので $\left(\frac 25\right) = \left(\frac 35\right) = -1$、$\left(\frac 65\right) = \left(\frac 15\right) = 1$ で、$5$ は $\mathbb{Q}(\sqrt 6)$ で分解し、他の 2 つで惰性です。$5$ はどの部分体でも不分岐なので合成体 $L$ でも不分岐で（<Ref to="cor-compositum" />）、$e = 1$ です。$f \ge 2$（惰性の部分体がある）かつ $g \ge 2$（分解する部分体がある）と $fg = 4$ から $(e, f, g) = (1, 2, 2)$ です。<Ref to="cor-splitting-fields" /> の 4 により分解体は $5$ が完全分解する最大の部分体で、$\mathbb{Q}(\sqrt 6)$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-quartic-s4" difficulty="標準">
$h = X^4 + X + 1$ の $\mathbb{Q}$ 上の Galois 群が $S_4$ であることを、$2$ と $3$ を法とする分解から示せ。
<Solution>
$\mathbb{F}_2$ 上で $h$ は根をもたず（$h(0) = h(1) = 1$）、$\mathbb{F}_2$ 上の既約な 2 次式は $X^2 + X + 1$ だけで $(X^2 + X + 1)^2 = X^4 + X^2 + 1 \ne h$ なので、$h$ は既約です。<Ref to="thm-dedekind-cycle-type" /> により $G$ は長さ 4 の巡回置換を含みます（特に $h$ は $\mathbb{Q}$ 上既約で重根をもちません）。$\mathbb{F}_3$ 上で $h(1) = 3 = 0$ で、$h = (X - 1)(X^3 + X^2 + X + 2)$ です（展開すると $X^4 + X - 2$）。3 次の因子は $0, 1, 2$ での値が $2, 2, 1$ で根をもたないので既約です。よって $G$ は型 $(1, 3)$ の元、すなわち長さ 3 の巡回置換を含みます。

$|G|$ は $4$ と $3$ で割り切れるので $12$ の倍数で、$G \le S_4$ から $|G| = 12$ または $24$ です。位数 $12$ の部分群は指数 $2$ なので正規で、$S_4/G$ は位数 $2$ ですから、$G$ はすべての元の平方を含みます。長さ 3 の巡回置換 $\rho$ は $\rho = (\rho^2)^2$ と平方なので $G$ はそれらをすべて含み、$G = A_4$ となります。しかし長さ 4 の巡回置換は奇置換なので $A_4$ に入りません。よって $|G| = 24$、$G = S_4$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-s3-ramification" difficulty="標準">
<Ref to="ex-cubic-closure" /> の $L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$ について、$p = 2$ と $p = 3$ の上の素イデアルの分岐群 $G_0$、$G_1$ を求めよ。また $3$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ について、$d_L$ の $3$ の指数が $7$ であることを使って $G_i$（$i \ge 2$）を決定せよ。
<Solution>
$p = 2$：$I = G_0 = A_3$ は位数 $3$ で、$2 \nmid 3$ なので順分岐、$G_1 = 1$ です（<Ref to="thm-ramification-groups" /> の 5）。

$p = 3$：$G_0 = I = S_3$、$e = 6 = 2\cdot 3$ です。$G_1$ は位数 $3$ の正規部分群なので $G_1 = A_3$、$G_0/G_1$ は位数 $2$ の巡回群です。$g = 1$、$f = 1$ なので <Ref to="cor-discriminant-ramification" /> の証明の式から $v_3(d_L) = v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/\mathbb{Q}})$ で、これが $7$ だとすると Hilbert の公式（<Ref to="thm-hilbert-different" />）から $7 = (6 - 1) + \sum_{i \ge 1}(|G_i| - 1)$ です。$i \ge 1$ で $|G_i| \in \{3, 1\}$ なので $|G_i| - 1 \in \{2, 0\}$ で、和が $2$ になるのは $G_1 = A_3$、$G_2 = 1$ のときです。

指数 $7$ は次のように確かめられます。$M = \mathbb{Q}(\omega)$ では $\mathfrak{D}_{M/\mathbb{Q}} = (\sqrt{-3})$ で、$\mathfrak{P}$ での付値は $e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P}_M)\cdot 1 = 3$ です。$L/M$ は $3$ 次の完全分岐で、分岐群は $G_i \cap \mathrm{Gal}(L/M)$（定義から）、すなわち $i = 0, 1$ で $A_3$ です。<Ref to="thm-different-tower" /> から $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/\mathbb{Q}}) = v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/M}) + 3$ で、<Ref to="ex-pure-cubic" /> の $\mathbb{Q}(\alpha)$ を経由する塔でも $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/\mathbb{Q}}) = v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/\mathbb{Q}(\alpha)}) + 2\cdot 3$ です。$L/\mathbb{Q}(\alpha)$ は $2$ 次で順分岐（$3 \nmid 2$）なので前の項は $1$、合計 $7$ です。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-norm-different" difficulty="難">
$L/K$ を次数 $n$ の Galois 拡大とし、$\mathfrak{p}$ は $L$ で完全分岐（$\mathfrak{p}B = \mathfrak{P}^n$）とする。$\kappa(\mathfrak{p})$ の標数 $p$ が $n$ を割らないなら、$G$ は巡回群で、$n$ は $|\kappa(\mathfrak{p})| - 1$ を割り、$v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{d}_{L/K}) = n - 1$ であることを示せ。
<Solution>
$e = n$、$f = g = 1$ なので $D = I = G = G_0$ です。$p \nmid e$ ですから <Ref to="thm-ramification-groups" /> の 5 により $G_1 = 1$ で、同定理の 3 から $G = G_0/G_1$ は $\kappa(\mathfrak{P})^{\times}$ の部分群に同型な巡回群です。$f = 1$ なので $\kappa(\mathfrak{P}) = \kappa(\mathfrak{p})$ で、Lagrange の定理から $n = |G|$ は $|\kappa(\mathfrak{p})| - 1$ を割ります。<Ref to="thm-different-ramification" /> の 2 から $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{L/K}) = n - 1$ で、<Ref to="prop-discriminant-norm-different" /> と $N_{L/K}(\mathfrak{P}) = \mathfrak{p}$ から $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{d}_{L/K}) = n - 1$ です。例えば $\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q}$ の $p$ では $n = p - 1$ で、判別式の $p$ の指数は $p - 2$ です（<Ref to="ex-cyclotomic-p" />）。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- J. Neukirch, *Algebraic Number Theory*, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Springer, 1999 — Chapter I §9（Hilbert の分岐理論）、Chapter III §2（共役差積と判別式）。
- J.-P. Serre, *Local Fields*, Graduate Texts in Mathematics 67, Springer, 1979 — Chapter I §7–8（分解群・惰性群と Frobenius）、Chapter III（判別式と共役差積）、Chapter IV（分岐群）。
- D. A. Marcus, *Number Fields*, Universitext, Springer — Chapter 3（素イデアルの分解）、Chapter 4（Galois 理論と分解）。
- S. Lang, *Algebraic Number Theory*, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 110, Springer, 1994 — Chapter I §5（分解群）、Chapter III（共役差積と判別式）。
- 加藤和也・黒川信重・斎藤毅『数論 I：Fermat の夢と類体論』岩波書店、2005 — 第 6 章（局所と大域）。