# 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理

> Herbrand 商で局所体と代数体の巡回拡大のノルム指数を計算し、不分岐拡大の相互写像、Q_p の Abel 拡大の決定、大域の 2 つの不等式、Q 上の類体論を証明する。一般の相互法則と存在定理は主張を正確に述べ、Hilbert 類体・p = x² + ny²・Chebotarev の密度定理を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebraic-number-theory/class-field-theory

## 0. この記事の要点

素数 $p$ が平方数の和 $x^2 + y^2$ で書けるのは $p \equiv 1 \bmod 4$ のときですが、$x^2 + 5y^2$ ではどうなるでしょうか。こうした「素数がどんな形の式で表せるか」「ある方程式が $\bmod p$ で解けるか」は、実は数の体の拡大の分類と同じ問題です。類体論は、拡大のうち掛け算が可換なもの（Abel 拡大）を、もとの体の内側の情報だけで分類します。この記事を読み終えると、その主張の形と、どこまでを証明でき、どこから先が深い定理に頼るのかが分かり、$p = x^2 + 5y^2$ の判定条件が導けるようになります。

- **類体論**は、体 $K$ の有限次 Abel 拡大 $L$ を、$K$ 自身から作った群（局所体では $K^{\times}$、代数体では[イデール類群](/mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#def-idele-group) $C_K$）の部分群「ノルム群」で分類する理論です。主定理は、同型 $C_K/N_{L/K}C_L \cong \mathrm{Gal}(L/K)$（**Artin の相互法則**）と、「指数有限の開部分群はすべてノルム群である」（**存在定理**）の 2 つです。
- 巡回群の Tate コホモロジーの位数の比 **Herbrand 商** $h(M) = |\widehat{H}^0|/|\widehat{H}^{-1}|$ は短完全列で乗法的です（<Ref to="lem-herbrand-quotient" />）。これを使うと、局所体の巡回拡大で $[K^{\times} : N L^{\times}] = [L:K]$（<Ref to="thm-local-norm-index" />）、代数体の巡回拡大で $[C_K : NC_L] \ge [L:K]$（**第 1 不等式**。<Ref to="thm-first-inequality" />）が出ます。
- 第 6 章の解析的な評価から $[C_K : NC_L] \le [L:K]$（**第 2 不等式**。<Ref to="thm-second-inequality" />）が出るので、巡回拡大ではノルム指数が次数に等しく、**Hasse のノルム定理**（<Ref to="cor-hasse-norm" />）が従います。
- [不分岐](/mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#def-local-ef)拡大の局所相互写像（<Ref to="thm-local-reciprocity-unramified" />）、$\mathbb{Q}_p$ の Abel 拡大がすべて円分体に含まれること（<Ref to="thm-local-kronecker-weber" />）、$\mathbb{Q}$ 上の類体論（<Ref to="thm-cft-over-q" />）は完全に証明します。
- 一般の局所相互法則・局所存在定理・Artin の相互法則・大域の存在定理は**主張のみ**です。これらを仮定して、Hilbert 類体（<Ref to="cor-hilbert-class-field" />）、$p = x^2 + 5y^2 \iff p \equiv 1, 9 \bmod 20$（<Ref to="cor-primes-x2-ny2" />）、Chebotarev の密度定理（<Ref to="thm-chebotarev-from-artin" />）を導きます。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **$G$ 加群**: 群 $G$ が加法群 $M$ に自己同型として作用しているもの。→ [G 加群・不変部分](/mathematics/category-homological-algebra/group-cohomology#def-g-module)
- **イデール類群**: イデール群を、体の乗法群 $K^{\times}$ で割った群。素点ごとの情報を一つにまとめたもの。→ [イデール類群](/mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#def-idele-group)
- **射線類群**: モジュラス（合同条件を表すデータ）で定まるイデアル類群の一般化。→ [射線類群](/mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#def-modulus)
- **分解群・惰性群**: Galois 群のうち、素イデアルを動かさない元の集まりと、さらに剰余体にも自明に作用する元の集まり。→ [分解群・惰性群](/mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#def-decomposition-inertia)
- **分岐指数・剰余次数・不分岐**: 素数が拡大でどう分かれるかを測る 2 つの数と、分岐指数が 1 になる（剰余体の拡大だけが起きる）場合。→ [分岐指数・剰余次数・不分岐](/mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#def-local-ef)

</Aside>

## 1. 動機

平方剰余の相互法則（<Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#thm-qr" />）は、「$x^2 \equiv q \bmod p$ が解けるかどうかは $p \bmod 4q$ だけで決まる」と述べます。体の言葉では、素数 $p$ が二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{q^{*}})$ で分解するかどうかが、$p$ の合同類で決まるということです。円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ ではもっと単純で、$p$ の分解の仕方は $p \bmod m$ で決まります。Kronecker–Weber の定理（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#thm-kronecker-weber" />）により $\mathbb{Q}$ の Abel 拡大はすべて円分体に含まれるので、**$\mathbb{Q}$ の Abel 拡大での素数の分解は、合同条件で決まります**。

一方、Abel でない拡大ではこうなりません。$x^3 - 2$ が $\bmod p$ で 1 次式の積に分解する素数 $p$ は、どんな $m$ を取っても $p \bmod m$ では特徴づけられません。もし「$p \bmod m$ が剰余類のある集合 $A$ に入ること」で特徴づけられたとします。$L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \zeta_3)$ と $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ の合成体で完全分解する素数は無限個あり（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#thm-density-split-completely" />）、それらは $p \equiv 1 \bmod m$ を満たして $L$ でも完全分解するので、$1 \in A$ です。すると $p \equiv 1 \bmod m$ の素数、すなわち $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ で完全分解する素数は（有限個を除いて）すべて $L$ で完全分解することになり、$L \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_m)$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#cor-bauer" />）、したがって $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong S_3$ が Abel 群であることになってしまいます。

類体論は、この現象を一般の代数体 $K$ に拡張します。「合同条件」は[射線類群](/mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#def-modulus) $\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)$、あるいはそれらをまとめたイデール類群 $C_K$ の言葉になり、主張は次の形を取ります。

1. $K$ の有限次 Abel 拡大 $L$ に対し、$C_K$ の指数有限の開部分群 $N_{L/K}C_L$ が定まり、$C_K/N_{L/K}C_L \cong \mathrm{Gal}(L/K)$ である（相互法則）。
2. 逆に、$C_K$ の指数有限の開部分群はすべてこの形である（存在定理）。

つまり $K$ の Abel 拡大の全体は、$K$ の「内側」の情報だけで完全に記述されます。局所体 $K$ では $C_K$ を $K^{\times}$ に置き換えた同じ主張が成り立ちます。

**何を証明し、何を主張のみとするか。** 完全な証明は本 1 冊分になるので、本章は次のように線を引きます。

| 内容 | 本章での扱い |
|---|---|
| Herbrand 商の性質 | 証明する（<Ref to="lem-herbrand-quotient" />、<Ref to="lem-semilocal" />） |
| 局所体の巡回拡大のノルム指数 | 証明する（<Ref to="thm-local-norm-index" />） |
| 不分岐拡大の局所相互写像 | 証明する（<Ref to="thm-local-reciprocity-unramified" />） |
| $\mathbb{Q}_p$ の Abel 拡大の決定 | 証明する（<Ref to="thm-local-kronecker-weber" />） |
| 第 1 不等式・第 2 不等式・Hasse のノルム定理 | 証明する（<Ref to="thm-first-inequality" />、<Ref to="thm-second-inequality" />、<Ref to="cor-hasse-norm" />） |
| $\mathbb{Q}$ 上の相互法則と存在定理 | 証明する（<Ref to="thm-cft-over-q" />） |
| 一般の局所相互法則・局所存在定理 | 主張のみ（<Ref to="thm-local-reciprocity" />、<Ref to="thm-local-existence" />） |
| Artin の相互法則・大域の存在定理 | 主張のみ（<Ref to="thm-artin-reciprocity" />、<Ref to="thm-global-existence" />） |
| Hilbert 類体、分解法則、$p = x^2 + ny^2$、Chebotarev、立方剰余 | 上の主張のみの定理を仮定して証明する（第 8 節） |

**既出の章から使うもの。** Frobenius 元と分解群は[第 1 章](/mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius)、円分体と Kronecker–Weber の定理は[第 2 章](/mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields)、局所体の拡大論は[第 4 章](/mathematics/algebraic-number-theory/local-fields)、イデール類群と射線類群は[第 5 章](/mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles)、密度と第 2 不等式は[第 6 章](/mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions)、Hilbert の定理 90 と Kummer 理論と S 単数定理は [S 単数と Kummer 理論](/mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory)のものを使います。体はすべて標数 $0$ とし、局所体は $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大を指します。

## 2. 巡回群の Tate コホモロジーと Herbrand 商

この節のねらいは、ノルム群の指数（ノルムにならない元がどれだけあるか）を数える道具を用意することです。指数を直接数えるのは難しいので、「不変な元のうちノルムにならないものの個数（$\widehat{H}^0$）」と「ノルムが 1 になる元のうち $\sigma(x)/x$ の形に書けないものの個数（$\widehat{H}^{-1}$）」の比（Herbrand 商）を考えます。この比は短完全列に沿って掛け算になるので、複雑な群を単純な部分と商に分けて計算できます。最初の補題は、その掛け算の性質を完全列から出す部分で、少し長い代数的な議論です。

$G = \langle\sigma\rangle$ を位数 $n$ の巡回群、$M$ を $G$ 加群（$G$ が加法群 $M$ に自己同型として作用するもの。<Ref to="mathematics/category-homological-algebra/group-cohomology#def-g-module" />）とします。$M$ の自己準同型
$$
N := 1 + \sigma + \cdots + \sigma^{n - 1}, \qquad \Delta := \sigma - 1
$$
は $N\Delta = \Delta N = \sigma^n - 1 = 0$ を満たします。$\ker\Delta = M^G$（不変部分）です。

<Definition id="def-tate-cohomology" title="巡回群の Tate コホモロジーと Herbrand 商">
$$
\widehat{H}^0(G, M) := \ker\Delta/\operatorname{im}N = M^G/NM, \qquad \widehat{H}^{-1}(G, M) := \ker N/\operatorname{im}\Delta = \ker N/\Delta M
$$
とおく。両方が有限群のとき、
$$
h(M) = h(G, M) := \frac{|\widehat{H}^0(G, M)|}{|\widehat{H}^{-1}(G, M)|}
$$
を $M$ の **Herbrand 商**という。
</Definition>

$M$ の演算を乗法で書くとき（$M = L^{\times}$ など）は、$N(x) = \prod_i\sigma^i(x)$ はノルム、$\Delta(x) = \sigma(x)/x$ です。巡回群のコホモロジー（<Ref to="mathematics/category-homological-algebra/group-cohomology#thm-cyclic-cohomology" />）と比べると、$\widehat{H}^0(G, M) \cong H^2(G, M)$、$\widehat{H}^{-1}(G, M) \cong H^1(G, M)$ です。$\widehat{H}^{-1}$ は生成元 $\sigma$ の取り方によりません（$\Delta M$ は $\{\tau x - x\}$ で生成される部分群に等しい）。たとえば体の巡回拡大 $L/K$ では、$\widehat{H}^0(G, L^{\times}) = K^{\times}/N_{L/K}L^{\times}$ がノルム剰余群で、$\widehat{H}^{-1}(G, L^{\times}) = 1$ が Hilbert の定理 90 です。

<Lemma id="lem-herbrand-quotient" title="Herbrand 商の性質">
$G$ を有限巡回群とする。

1. $G$ 加群の短完全列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ に対し、次の六角形の完全列がある。
$$
\widehat{H}^0(A) \to \widehat{H}^0(B) \to \widehat{H}^0(C) \to \widehat{H}^{-1}(A) \to \widehat{H}^{-1}(B) \to \widehat{H}^{-1}(C) \to \widehat{H}^0(A)
$$
（最後の項は最初の項と同じもので、列は巡回的に完全。）
2. 1 の状況で、$h(A), h(B), h(C)$ のうち 2 つが定義されれば残りも定義され、$h(B) = h(A)\,h(C)$ である。
3. $M$ が有限群ならば $h(M) = 1$ である。
4. $M' \subseteq M$ が指数有限の $G$ 部分加群ならば、$h(M)$ と $h(M')$ は一方が定義されれば他方も定義されて等しい。
</Lemma>

<Proof of="lem-herbrand-quotient">
**1.** $G$ 加群 $M$ に対し、$N\Delta = 0$ なので $N$ は $\overline{N} : M/\Delta M \to M^G$ を誘導し（$\Delta N = 0$ なので像は $M^G$ に入る）、$\ker\overline{N} = \widehat{H}^{-1}(M)$、$\operatorname{Coker}\overline{N} = \widehat{H}^0(M)$ です。短完全列から可換図式
$$
\begin{matrix} & & A/\Delta A & \to & B/\Delta B & \to & C/\Delta C & \to & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \to & A^G & \to & B^G & \to & C^G & & \end{matrix}
$$
（縦は $\overline{N}$）ができます。下の行は、$A \to B$ が単射で、$B^G$ の元が $C$ で $0$ になれば $A$ から来て、$B$ の中で不変なので $A^G$ に入ることから完全です。上の行は、$B \to C$ の全射性と、次の確認から完全です。$b \in B$ の像が $\Delta C$ に入れば、像は $\Delta c'$ で、$c'$ の持ち上げ $b'$ について $b - \Delta b' \in A$ です。蛇の補題（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/modules-exact-sequences-nakayama#lem-snake" />）により
$$
\widehat{H}^{-1}(A) \to \widehat{H}^{-1}(B) \to \widehat{H}^{-1}(C) \to \widehat{H}^0(A) \to \widehat{H}^0(B) \to \widehat{H}^0(C)
$$
は完全です。同様に、$\Delta$ は $\overline{\Delta} : M/NM \to \ker N$ を誘導し、$\ker\overline{\Delta} = M^G/NM = \widehat{H}^0(M)$、$\operatorname{Coker}\overline{\Delta} = \widehat{H}^{-1}(M)$ です。行が $A/NA \to B/NB \to C/NC \to 0$ と $0 \to \ker N_A \to \ker N_B \to \ker N_C$ の図式（行の完全性は上と同じ議論）に蛇の補題を使うと
$$
\widehat{H}^0(A) \to \widehat{H}^0(B) \to \widehat{H}^0(C) \to \widehat{H}^{-1}(A) \to \widehat{H}^{-1}(B) \to \widehat{H}^{-1}(C)
$$
が完全です。2 つの列を合わせると、六角形の 6 つの頂点すべてでの完全性が得られます。

**2.** 六角形の 6 つの群を順に $X_1, \ldots, X_6$、写像を $f_i : X_i \to X_{i + 1}$（添字は $6$ を法とする）と書きます。たとえば $h(A), h(B)$ が定義されるとすると、$X_1, X_2, X_4, X_5$ が有限で、$X_3$ は有限群 $X_2$ の像（$= \ker f_3$）と有限群 $X_4$ の部分群 $\operatorname{im}f_3$ の拡大なので有限、$X_6$ も同様です。ほかの組み合わせでも同じです。すべて有限のとき、完全性から $|X_i| = |\ker f_i|\,|\operatorname{im}f_i| = |\operatorname{im}f_{i - 1}|\,|\operatorname{im}f_i|$ なので
$$
|X_1|\,|X_3|\,|X_5| = \prod_{i = 1}^6|\operatorname{im}f_i| = |X_2|\,|X_4|\,|X_6|
$$
です。すなわち $|\widehat{H}^0(A)|\,|\widehat{H}^0(C)|\,|\widehat{H}^{-1}(B)| = |\widehat{H}^0(B)|\,|\widehat{H}^{-1}(A)|\,|\widehat{H}^{-1}(C)|$ で、これは $h(A)h(C) = h(B)$ です。

**3.** $M$ が有限のとき、完全列 $0 \to M^G \to M \xrightarrow{\Delta} M$ と $0 \to \ker N \to M \xrightarrow{N} M$ から $|\Delta M| = |M|/|M^G|$、$|NM| = |M|/|\ker N|$ です。よって $|\widehat{H}^{-1}(M)| = |\ker N|/|\Delta M| = |\ker N|\,|M^G|/|M| = |M^G|/|NM| = |\widehat{H}^0(M)|$ です。

**4.** $0 \to M' \to M \to M/M' \to 0$ に 2 と 3（$h(M/M') = 1$）を使います。
</Proof>

次の補題は、「いくつかの成分を $G$ が推移的に入れ替える」形の加群のコホモロジーを、1 つの成分の固定部分群のコホモロジーに帰着するものです（Shapiro の補題 <Ref to="mathematics/category-homological-algebra/group-cohomology#lem-shapiro" /> の、巡回群の $\widehat{H}^0$ と $\widehat{H}^{-1}$ についての形）。

<Lemma id="lem-semilocal" title="半局所加群の補題">
$G = \langle\sigma\rangle$ を位数 $n$ の巡回群、$g \mid n$、$D := \langle\sigma^g\rangle$ とする。$G$ 加群 $M$ が部分群 $M_0$ により
$$
M = \bigoplus_{j = 0}^{g - 1}\sigma^jM_0, \qquad \sigma^gM_0 = M_0
$$
と書けるとする（$M_0$ は $D$ 加群）。このとき $q = 0, -1$ について $\widehat{H}^q(G, M) \cong \widehat{H}^q(D, M_0)$ である。特に $g = n$（$D = 1$）のとき $\widehat{H}^q(G, M) = 0$ である。また、$G$ 加群の族 $(M_v)_v$ の直積 $\prod_vM_v$ について $\widehat{H}^q(G, \prod_vM_v) \cong \prod_v\widehat{H}^q(G, M_v)$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-semilocal">
$N_D := \sum_{k = 0}^{n/g - 1}\sigma^{gk}$、$S := \sum_{j = 0}^{g - 1}\sigma^j$ とおくと $N = N_G = SN_D$ です。$M$ の元を $y = \sum_{j = 0}^{g - 1}\sigma^jx_j$（$x_j \in M_0$）とただ 1 通りに書きます。

**$q = 0$.** $\sigma y = \sum_{j = 1}^{g - 1}\sigma^jx_{j - 1} + \sigma^gx_{g - 1}$ で、$\sigma^gx_{g - 1} \in M_0$ です。よって $\sigma y = y$ は $x_0 = x_1 = \cdots = x_{g - 1}$ かつ $\sigma^gx_{g - 1} = x_0$ と同値で、$x \mapsto Sx$ は同型 $M_0^D \to M^G$ です。また $N(\sigma^jx_j) = N(x_j) = S(N_Dx_j)$ なので $NM = S(N_DM_0)$ です。よって $M^G/NM \cong M_0^D/N_DM_0$ です。

**$q = -1$.** $Ny = S\,N_D(\sum_jx_j)$ で、$S$ は $M_0$ の上で単射なので、$Ny = 0$ は $N_D(\sum_jx_j) = 0$ と同値です。準同型 $\phi : \ker N \to \ker N_D/(\sigma^g - 1)M_0$、$y \mapsto \sum_jx_j$ を考えます。$x \in \ker N_D$ は $y = x$ の像なので $\phi$ は全射です。$\Delta M \subseteq \ker\phi$：$\Delta(\sigma^jx) = \sigma^{j + 1}x - \sigma^jx$ は、$j \lt g - 1$ のとき $\phi$ で $x - x = 0$ に、$j = g - 1$ のとき $\sigma^gx - x \in (\sigma^g - 1)M_0$ に写ります。$\ker\phi \subseteq \Delta M$：$\sigma^jx_j - x_j = (\sigma^j - 1)x_j \in \Delta M$ なので $y \equiv \sum_jx_j \bmod \Delta M$ で、$\sum_jx_j = (\sigma^g - 1)z$（$z \in M_0$）ならば $\sum_jx_j \in \Delta M$ です。よって $\ker N/\Delta M \cong \ker N_D/(\sigma^g - 1)M_0 = \widehat{H}^{-1}(D, M_0)$ です。

$D = 1$ のときは $N_D = \mathrm{id}$、$\sigma^g - 1 = 0$ なので、$\widehat{H}^0 = M_0/M_0 = 0$、$\widehat{H}^{-1} = 0/0 = 0$ です。直積については、$N$ と $\Delta$ が成分ごとに作用するので、核も像も成分ごとの核・像の直積になります。
</Proof>

<Lemma id="lem-cyclic-normal-basis" title="巡回拡大の正規基底">
$L/K$ を $n$ 次巡回拡大、$\sigma$ を Galois 群の生成元とする。$\alpha, \sigma\alpha, \ldots, \sigma^{n - 1}\alpha$ が $L$ の $K$ 上の基底になる $\alpha \in L$ が存在する。
</Lemma>

<Proof of="lem-cyclic-normal-basis">
$L$ を、$X$ が $\sigma$ として作用する $K[X]$ 加群とみます。$1, \sigma, \ldots, \sigma^{n - 1}$ は相異なる体の準同型 $L \to L$ なので、Dedekind の補題（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#lem-dedekind" />）により $L$ 上、したがって $K$ 上一次独立です。よって $K$ 線形写像 $\sigma$ の最小多項式の次数は $n$ 以上で、$\sigma^n = 1$ なので最小多項式は $X^n - 1$ です。有理標準形（<Ref to="mathematics/algebra/modules-over-pid#thm-rational-form" />）により $L \cong \bigoplus_{i = 1}^sK[X]/(d_i)$、$d_1 \mid \cdots \mid d_s$、$d_s = X^n - 1$ で、次元を比べると $\sum_i\deg d_i = n = \deg d_s$ なので $s = 1$ です。$L \cong K[X]/(X^n - 1)$ の生成元 $1$ に対応する元を $\alpha$ とすると、$1, X, \ldots, X^{n - 1}$ に対応する $\alpha, \sigma\alpha, \ldots, \sigma^{n - 1}\alpha$ が基底です。
</Proof>

## 3. 局所体の巡回拡大のノルム指数

$K$ を局所体、$\mathcal{O}_K$ を付値環、$\pi_K$ を素元、$U_K = \mathcal{O}_K^{\times}$ を単数群、$v_K$ を正規化した離散付値とします。$L/K$ が有限次拡大のとき、$e$ と $f$ を分岐指数と剰余次数とします（$[L:K] = ef$。<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-local-ef" />）。

次の定理の証明の方針を先に述べます。単数群 $U_L$ の Herbrand 商が $1$ であることを示すのが中心で、そのために $U_L$ を、$1$ に近づく部分群の列 $V_0 \supseteq V_1 \supseteq \cdots$ で近似します。各段の商 $V_i/V_{i+1}$ は、正規基底から作った「置換加群」と同じ形になってコホモロジーが消えるので、ノルムの像に入るかどうかを段ごとに修正できます。修正を無限に重ねても収束するのは、局所体が完備でコンパクトだからです。残りは、付値の完全列と Hilbert の定理 90 から機械的に出ます。

<Theorem id="thm-local-norm-index" title="局所体の巡回拡大のノルム指数">
$L/K$ を局所体の $n$ 次巡回拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とする。

1. $h(G, U_L) = 1$、$h(G, L^{\times}) = n$ である。
2. $[K^{\times} : N_{L/K}L^{\times}] = n = [L:K]$ である。
3. $[U_K : N_{L/K}U_L] = e$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-local-norm-index">
$\sigma$ を $G$ の生成元とします。$G$ の元は付値を保つ（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-unique-extension" /> の延長の一意性）ので、$U_L$ は $L^{\times}$ の $G$ 部分加群で、$v_L : L^{\times} \to \mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ に自明な作用を入れて $G$ 準同型です。

**$h(\mathbb{Z}) = n$.** 自明な作用では $N$ は $n$ 倍、$\Delta = 0$ なので、$\widehat{H}^0(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、$\widehat{H}^{-1}(\mathbb{Z}) = \ker(n)/0 = 0$ です。

**$h(U_L) = 1$.** <Ref to="lem-cyclic-normal-basis" /> の $\alpha$ を、$K$ の元を掛けて $\alpha \in \mathcal{O}_L$ となるように取り、$M := \sum_{i = 0}^{n - 1}\mathcal{O}_K\sigma^i\alpha \subseteq \mathcal{O}_L$ とおきます。$M$ は $G$ で保たれ、$M = \bigoplus_i\sigma^i(\mathcal{O}_K\alpha)$ です。$\mathcal{O}_L$ は有限生成 $\mathcal{O}_K$ 加群（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-local-ef" />）で $M$ は $L$ を $K$ 上張るので、ある $a \ge 0$ で $\pi_K^a\mathcal{O}_L \subseteq M$ です。したがって $M\cdot M \subseteq \mathcal{O}_L \subseteq \pi_K^{-a}M$ です。$k := a + 1$ とし、$i \ge 0$ について
$$
V_i := 1 + \pi_K^{k + i}M
$$
とおきます。$M$ はコンパクト集合 $\mathcal{O}_K^n$ の連続像なので $L$ の中でコンパクト、したがって閉です。

(a) $V_i$ は $U_L$ の $G$ 部分加群（乗法について部分群で、$G$ で保たれる）です。$x, y \in \pi_K^{k + i}M$ なら $xy \in \pi_K^{2(k + i) - a}M \subseteq \pi_K^{k + i + 1}M$（$k + i \ge a + 1$）なので $(1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy \in V_i$ です。また帰納的に $x^j \in \pi_K^{k + i}M$（$j \ge 1$）で、$(1 + x)^{-1} = \sum_{j \ge 0}(-x)^j$ は閉集合 $1 + \pi_K^{k + i}M$ の中で収束します。

(b) $V_i/V_{i + 1} \to \pi_K^{k + i}M/\pi_K^{k + i + 1}M$、$1 + x \mapsto x$ は、(a) の計算 $xy \in \pi_K^{k + i + 1}M$ により準同型で、全単射な $G$ 同型です。右辺は $M/\pi_KM = \bigoplus_i\sigma^i(\mathcal{O}_K\alpha/\pi_K\mathcal{O}_K\alpha)$ に $G$ 同型なので、<Ref to="lem-semilocal" />（$g = n$）により $\widehat{H}^q(G, V_i/V_{i + 1}) = 0$（$q = 0, -1$）です。

(c) $\widehat{H}^0(G, V_0) = 1$：$x \in V_0^G$ とします。$x$ の $V_0/V_1$ での類は $G$ 不変なので、(b) により $y_0 \in V_0$ があって $x \equiv N(y_0) \bmod V_1$、すなわち $x_1 := x/N(y_0) \in V_1^G$ です。これを繰り返して $y_i \in V_i$、$x/N(y_0y_1\cdots y_i) \in V_{i + 1}$ を得ます。$y_i \to 1$ なので無限積 $y := \prod_iy_i$ は閉集合 $V_0$ の中で収束し、$N$ は連続なので $x = N(y)$ です。

(d) $\widehat{H}^{-1}(G, V_0) = 1$：$x \in V_0$、$N(x) = 1$ とします。$x$ の $V_0/V_1$ での類は $N$ の核に入るので、(b) により $z_0 \in V_0$ があって $x_1 := x\cdot(\sigma(z_0)/z_0)^{-1} \in V_1$、$N(x_1) = 1$ です。繰り返して $z_i \in V_i$ を得て、$z := \prod_iz_i$ とおくと $x = \sigma(z)/z$ です。

(c)(d) から $h(V_0) = 1$ です。$V_0 \supseteq 1 + \pi_K^{k + a}\mathcal{O}_L$ は $U_L$ の開部分群で、$U_L$ はコンパクト（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#prop-local-field-compact" />）なので指数は有限です。<Ref to="lem-herbrand-quotient" /> の 4 により $h(U_L) = h(V_0) = 1$ です。

**1 と 2.** 完全列 $1 \to U_L \to L^{\times} \xrightarrow{v_L} \mathbb{Z} \to 0$ と <Ref to="lem-herbrand-quotient" /> の 2 から $h(L^{\times}) = h(U_L)h(\mathbb{Z}) = n$ です。Hilbert の定理 90（<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#thm-hilbert-90" />）により、$N(x) = 1$ なら $x = c/\sigma(c) = \Delta(c^{-1})$ なので $\widehat{H}^{-1}(G, L^{\times}) = 1$ です。よって $[K^{\times} : NL^{\times}] = |\widehat{H}^0(G, L^{\times})| = h(L^{\times}) = n$ です。

**3.** 同じ完全列の六角形（<Ref to="lem-herbrand-quotient" /> の 1）の一部
$$
\widehat{H}^{-1}(\mathbb{Z}) = 0 \to \widehat{H}^0(U_L) \to \widehat{H}^0(L^{\times}) \xrightarrow{v_L} \widehat{H}^0(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
$$
を見ます。$x \in K^{\times}$ では $v_L(x) = e\,v_K(x)$ なので、右の写像の像は $e\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ で位数は $n/e = f$ です。よって $[U_K : NU_L] = |\widehat{H}^0(U_L)| = |\widehat{H}^0(L^{\times})|/f = n/f = e$ です。
</Proof>

2 は「ノルムにならない元がちょうど $[L:K]$ 個分ある」という主張で、局所類体論の入口です。$K = \mathbb{R}$、$L = \mathbb{C}$ でも同じ形が成り立ちます。$\mathbb{R}^{\times}/N\mathbb{C}^{\times} = \mathbb{R}^{\times}/\mathbb{R}_{\gt 0}$ は位数 $2$ です。

<Theorem id="thm-local-reciprocity-unramified" title="不分岐拡大の局所相互写像">
$L/K$ を局所体の $n$ 次不分岐拡大、$\mathrm{Frob} \in \mathrm{Gal}(L/K)$ を Frobenius 元とする。写像
$$
\theta_{L/K} : K^{\times} \to \mathrm{Gal}(L/K), \qquad x \mapsto \mathrm{Frob}^{v_K(x)}
$$
は全射準同型で、核は $N_{L/K}L^{\times} = \pi_K^{n\mathbb{Z}} \times U_K$ である。したがって $K^{\times}/N_{L/K}L^{\times} \cong \mathrm{Gal}(L/K)$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-local-reciprocity-unramified">
$\mathrm{Gal}(L/K)$ は $\mathrm{Frob}$ が生成する位数 $n$ の巡回群です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-unramified-classification" />）。$v_K$ は全射準同型なので $\theta_{L/K}$ も全射準同型で、核は $\{x \mid n \mid v_K(x)\} = \pi_K^{n\mathbb{Z}} \times U_K$ です。不分岐拡大では $\pi_K$ は $L$ の素元でもあるので $L^{\times} = \pi_K^{\mathbb{Z}} \times U_L$ で、$N(\pi_K) = \pi_K^n$、$N(U_L) = U_K$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-unramified-norm-units" />）です。よって $NL^{\times} = \pi_K^{n\mathbb{Z}} \times U_K$ で、核に一致します。
</Proof>

一般の Abel 拡大では、次が成り立ちます。

<Theorem id="thm-local-reciprocity" title="局所相互法則">
$K$ を局所体とする。$K$ の有限次 Abel 拡大 $L$ のそれぞれに対し、同型
$$
\theta_{L/K} : K^{\times}/N_{L/K}L^{\times} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Gal}(L/K)
$$
（**局所ノルム剰余記号**、局所 Artin 写像）があって、次を満たす。

1. $L/K$ が不分岐ならば、$\theta_{L/K}$ は <Ref to="thm-local-reciprocity-unramified" /> のもの（$\pi_K \mapsto \mathrm{Frob}$）である。
2. $K \subseteq L' \subseteq L$ ならば、$\theta_{L'/K}(x) = \theta_{L/K}(x)|_{L'}$ である。
3. $\theta_{L/K}$ は $U_K$ の像を惰性群 $I(L/K)$ の上へ写す。特に、$L/K$ が不分岐であることと $U_K \subseteq N_{L/K}L^{\times}$ は同値である。
</Theorem>

<Remark id="rem-local-reciprocity" title="主張のみとする理由と出典">
<Ref to="thm-local-reciprocity" /> は証明しません。標準的な証明は、$H^2(\mathrm{Gal}(L/K), L^{\times})$ が位数 $[L:K]$ の巡回群であること（Brauer 群の計算）を示し、Tate の定理で $\widehat{H}^{-2}(G, \mathbb{Z}) = G^{\mathrm{ab}}$ と $\widehat{H}^0(G, L^{\times})$ を結ぶもの（Serre『Local Fields』第 XI・XIII 章、Cassels–Fröhlich 第 VI 章）か、形式群を使って相互写像を明示的に構成するもの（Lubin–Tate 理論。Milne『Class Field Theory』第 I 章）で、どちらも一般の有限群の Tate コホモロジーか形式群の理論を 1 章分以上必要とします。Neukirch『Algebraic Number Theory』は、巡回拡大での $\widehat{H}^0$ と $\widehat{H}^{-1}$ の位数（本章の <Ref to="thm-local-norm-index" /> に当たる「類体公理」）だけから相互写像を作る抽象類体論（第 IV 章）を経由して第 V 章で証明し、同じ章で Lubin–Tate 拡大も扱います。本章で証明したのは、巡回拡大での位数の一致（<Ref to="thm-local-norm-index" />）、不分岐の場合（<Ref to="thm-local-reciprocity-unramified" />）、$K = \mathbb{Q}_p$ の場合の拡大の決定（<Ref to="thm-local-kronecker-weber" />）です。
</Remark>

<Theorem id="thm-local-existence" title="局所存在定理">
$K$ を局所体とし、代数閉包 $\overline{K}$ を固定する。対応 $L \mapsto N_{L/K}L^{\times}$ は、$\overline{K}$ に含まれる $K$ の有限次 Abel 拡大の全体から、$K^{\times}$ の指数有限の開部分群の全体への、包含関係を逆にする全単射である。さらに $N(LL') = N(L) \cap N(L')$、$N(L \cap L') = N(L)N(L')$ が成り立つ（$N(L) := N_{L/K}L^{\times}$）。
</Theorem>

<Remark id="rem-local-existence" title="主張のみとする理由と出典">
<Ref to="thm-local-existence" /> も証明しません。単射性と包含の逆転は <Ref to="thm-local-reciprocity" /> から形式的に出ますが、全射性（すべての指数有限の開部分群がノルム群であること）には、Kummer 理論と相互法則を組み合わせる議論か Lubin–Tate 拡大の構成が必要です（Serre『Local Fields』第 XIV 章、Neukirch 第 V 章 §1、Milne 第 I 章）。$K = \mathbb{Q}_p$ では、次節で見るように、ノルム群の候補 $\langle p^f\rangle \times U^{(k)}$ に対応する体は円分体 $\mathbb{Q}_p(\zeta_{(p^f - 1)p^k})$ として具体的に書けます。
</Remark>

## 4. $\mathbb{Q}_p$ の Abel 拡大

$K = \mathbb{Q}_p$ では、相互法則と存在定理に当たる内容を初等的に証明できます。主結果は Kronecker–Weber の定理（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#thm-kronecker-weber" />）の局所版です。証明の構成は大域の場合と同じで、素数冪次数の巡回拡大に帰着し、次数が $p$ と素な場合（順分岐）と $p$ 冪の場合（野性分岐。$p = 2$ を分ける）に分けます。大域の証明で「$\mathbb{Q}$ 上不分岐な拡大は無い」が果たした役割を、ここでは「不分岐拡大は円分拡大である」（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-unramified-classification" />）が果たします。

### 4.1. 準備の補題

<Lemma id="lem-p-power-units" title="単数の p 乗">
$F$ を剰余標数 $p$ の局所体、$e_F := v_F(p)$ とする。整数 $i \gt e_F/(p - 1)$ について $(U_F^{(i)})^p = U_F^{(i + e_F)}$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-p-power-units">
$\pi$ を素元、$x \in \mathcal{O}_F$ とします。二項展開
$$
(1 + x\pi^i)^p = 1 + px\pi^i + \sum_{j = 2}^{p - 1}\binom pjx^j\pi^{ij} + x^p\pi^{pi}
$$
で、$v_F(px\pi^i) \ge e_F + i$、中間の項は $v_F \ge e_F + 2i \gt e_F + i$、最後の項は $v_F \ge pi \gt e_F + i$（$i(p - 1) \gt e_F$）です。よって $(1 + x\pi^i)^p \equiv 1 + (p/\pi^{e_F})x\,\pi^{i + e_F} \bmod \pi^{i + e_F + 1}$ で、$(U_F^{(i)})^p \subseteq U_F^{(i + e_F)}$ です。$p/\pi^{e_F}$ は単数なので、$x \mapsto (p/\pi^{e_F})x$ は剰余体の全単射を誘導し、任意の $u \in U_F^{(i + e_F)}$ に対し $y_0 \in U_F^{(i)}$ で $u/y_0^p \in U_F^{(i + e_F + 1)}$ となるものがあります。$i + 1$ も仮定を満たすので、繰り返して $y_j \in U_F^{(i + j)}$、$u/(y_0\cdots y_j)^p \in U_F^{(i + e_F + j + 1)}$ を得ます。$y := \prod_jy_j$ は閉集合 $U_F^{(i)}$ の中で収束し、$y^p = u$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-unit-root-unramified" title="単数の冪根の添加は不分岐">
$F$ を剰余標数 $p$ の局所体、$m$ を $p$ と素な正の整数、$u \in U_F$ とする。$\beta^m = u$ となる $\overline{F}$ の元 $\beta$ について、$F(\beta)/F$ は不分岐である。特に $F(\zeta_m)/F$ は不分岐で、$F$ に含まれる位数が $p$ と素な 1 の冪根は、剰余体の位数を $q$ として $\mu_{q - 1}$ の元に限る。
</Lemma>

<Proof of="lem-unit-root-unramified">
$E := F(\beta)$ とし、$E_0$ を $E/F$ の最大不分岐部分拡大とします（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#cor-ur-then-ram" />）。$E_0$ と $E$ の剰余体は一致します。$g(X) := X^m - u$ の剰余体での像 $\bar g = X^m - \bar u$ は、$\bar g' = mX^{m - 1}$ と共通根をもたない（$m \ne 0$、$\bar u \ne 0$）ので分離的です。$\bar\beta$ は $E_0$ の剰余体における $\bar g$ の単根なので、Hensel の補題（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/valuations-and-completions#thm-hensel-newton" />）により $g$ の根 $\beta_0 \in \mathcal{O}_{E_0}$ で $\bar\beta_0 = \bar\beta$ となるものがあります。$g$ の根は $E$ の剰余体で相異なる（分離性）ので、同じ剰余類に入る根 $\beta$ と $\beta_0$ は一致します。よって $E = F(\beta) \subseteq E_0$ で、$E/F$ は不分岐です。$u = 1$ として $F(\zeta_m)/F$ は不分岐です。同じ分離性により、$X^m - 1$ の $F$ での根は剰余体での根に単射に写るので、$F$ の中の位数 $m$ の 1 の冪根の位数は $q - 1$ を割り、$\mu_{q - 1} \subseteq F$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-local-units-structure" />）に入ります。
</Proof>

<Lemma id="lem-qp-cyclotomic" title="Q_p の p 冪分点の体">
$k \ge 1$ とし、$E_k := \mathbb{Q}_p(\zeta_{p^k})$ とおく。

1. $E_k/\mathbb{Q}_p$ は次数 $\varphi(p^k)$ の完全分岐な Galois 拡大で、$1 - \zeta_{p^k}$ は素元、$N_{E_k/\mathbb{Q}_p}(1 - \zeta_{p^k}) = p$ であり、$a \mapsto (\zeta_{p^k} \mapsto \zeta_{p^k}^a)$ は同型 $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{\times} \cong \mathrm{Gal}(E_k/\mathbb{Q}_p)$ である。
2. $E_1 = \mathbb{Q}_p(\zeta_p) = \mathbb{Q}_p(\gamma)$、$\gamma^{p - 1} = -p$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-qp-cyclotomic">
**1.** $\Phi(X) := (X^{p^k} - 1)/(X^{p^{k - 1}} - 1)$ は $\zeta_{p^k}$ を根にもつ次数 $\varphi(p^k)$ のモニック多項式です。$\mathbb{F}_p[X]$ で $(X + 1)^{p^j} - 1 = X^{p^j}$ なので、$\Phi(X + 1)\cdot X^{p^{k - 1}} \equiv X^{p^k} \bmod p$、よって $\Phi(X + 1) \equiv X^{\varphi(p^k)} \bmod p$ です。定数項は $\Phi(1) = p$（$\Phi(X) = \sum_{j = 0}^{p - 1}X^{jp^{k - 1}}$）なので、$\Phi(X + 1)$ は Eisenstein 多項式です。<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-totally-ramified-eisenstein" /> により、根 $\zeta_{p^k} - 1$ は次数 $\varphi(p^k)$ の完全分岐拡大を生成し、その素元です。$\Phi$ は既約で、根は $\zeta_{p^k}^a$（$p \nmid a$）なので、$E_k/\mathbb{Q}_p$ は Galois で、Galois 群は $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{\times}$ に埋め込まれ、位数が一致するので同型です。$N(1 - \zeta_{p^k}) = \prod_a(1 - \zeta_{p^k}^a) = \Phi(1) = p$ です。

**2.** $\zeta = \zeta_p$、$\pi = 1 - \zeta$ とします。$1 \le a \le p - 1$ について $(1 - \zeta^a)/(1 - \zeta) = 1 + \zeta + \cdots + \zeta^{a - 1} \equiv a \bmod \pi$ なので、1 の $p = \prod_{a = 1}^{p - 1}(1 - \zeta^a)$ から $p/\pi^{p - 1} \equiv (p - 1)! \equiv -1 \bmod \pi$（Wilson の定理。<Ref to="mathematics/hs-algebra/congruences#thm-wilson" />）です。よって $y := -p/\pi^{p - 1} \in U_{E_1}^{(1)}$ です。$X^{p - 1} - y$ は $X = 1$ で $|1 - y| \lt 1 = |p - 1|^2$ を満たすので、Hensel の補題（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/valuations-and-completions#thm-hensel-newton" />）により $y = z^{p - 1}$ となる $z \in E_1$ があり、$\gamma := \pi z$ は $\gamma^{p - 1} = -p$ を満たします。$X^{p - 1} + p$ は Eisenstein 多項式なので $[\mathbb{Q}_p(\gamma):\mathbb{Q}_p] = p - 1 = [E_1:\mathbb{Q}_p]$ で、$\mathbb{Q}_p(\gamma) = E_1$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-degree-p-count" title="Q_p の p 次巡回拡大の個数">
$p$ を奇素数とする。$\overline{\mathbb{Q}}_p$ に含まれる $\mathbb{Q}_p$ の $p$ 次巡回拡大は高々 $p + 1$ 個である。したがって、Galois 群が $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^3$ に同型な $\mathbb{Q}_p$ の拡大は存在しない。
</Lemma>

<Proof of="lem-degree-p-count">
$F := \mathbb{Q}_p(\zeta_p)$、$\Delta := \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q}_p)$、$\zeta = \zeta_p$、$\pi = 1 - \zeta$ とします。<Ref to="lem-qp-cyclotomic" /> により $F/\mathbb{Q}_p$ は次数 $p - 1$ の完全分岐拡大で、$e_F = p - 1$、剰余体は $\mathbb{F}_p$ です。$\omega : \Delta \to \mathbb{F}_p^{\times}$ を $\delta(\zeta) = \zeta^{\omega(\delta)}$ で定めると同型で、$p$ が奇数なので $\omega$ は自明でありません。$V := F^{\times}/F^{\times p}$ は $\mathbb{F}_p$ 上のベクトル空間で、$\Delta$ が作用します。$V_\omega := \{b \in V \mid \delta(b) = b^{\omega(\delta)}\ (\delta \in \Delta)\}$ とおきます。

**(i) $p$ 次巡回拡大から $V_\omega$ の位数 $p$ の部分群への単射。** $L/\mathbb{Q}_p$ を $p$ 次巡回拡大とします。$[F:\mathbb{Q}_p] = p - 1$ は $p$ と素なので $L \cap F = \mathbb{Q}_p$ で、$LF/\mathbb{Q}_p$ は Galois 群が $\mathbb{Z}/p \times \Delta$ の Abel 拡大、$LF/F$ は $p$ 次巡回拡大です。Kummer 理論（<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#thm-kummer" />）により、$B_L := (F^{\times} \cap (LF)^{\times p})/F^{\times p}$ は $V$ の位数 $p$ の部分群で、$LF = F(\sqrt[p]{B_L})$ です。$B_L$ は $LF$ を決め、$L$ は $LF$ の中の $\mathbb{Q}_p$ 上 $p$ 次のただ 1 つの部分体（$\mathbb{Z}/p \times \Delta$ の指数 $p$ の部分群は $\Delta$ だけ）なので、$L \mapsto B_L$ は単射です。

$B_L \subseteq V_\omega$ を示します。$B_L$ の生成元の代表 $b \in F^{\times}$ と $\beta \in LF$、$\beta^p = b$ を取り、$\tau$ を $\mathrm{Gal}(LF/F)$ の生成元とすると、$\tau(\beta) = \zeta'\beta$（$\zeta'$ は 1 の原始 $p$ 乗根）です。$\delta \in \Delta$ の $LF$ への延長 $\tilde\delta$ を取ります。$\tilde\delta(\beta)^p = \delta(b)$ で $\tilde\delta(\beta) \in LF$ なので、$\delta(b) \in F^{\times} \cap (LF)^{\times p}$、すなわち $\delta(b) = b^kc^p$（$k \in \mathbb{Z}$、$c \in F^{\times}$）です。$(\tilde\delta(\beta)/(\beta^kc))^p = 1$ なので $\tilde\delta(\beta) = \xi\beta^kc$（$\xi \in \mu_p$）です。$\mathrm{Gal}(LF/\mathbb{Q}_p)$ は Abel 群なので $\tau\tilde\delta = \tilde\delta\tau$ で、
$$
\tau\tilde\delta(\beta) = \xi\zeta'^k\beta^kc, \qquad \tilde\delta\tau(\beta) = \tilde\delta(\zeta')\,\xi\beta^kc = \zeta'^{\omega(\delta)}\xi\beta^kc
$$
を比べると $k \equiv \omega(\delta) \bmod p$ です。よって $V$ の中で $\delta(b) = b^{\omega(\delta)}$ です。

**(ii) $\dim_{\mathbb{F}_p}V_\omega \le 2$.** $F^{\times} = \pi^{\mathbb{Z}} \times \mu_{p - 1} \times U_F^{(1)}$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-local-units-structure" />）で、$\mu_{p - 1} \subseteq F^{\times p}$ です。$V$ の部分群の列 $V \supseteq V_1 \supseteq \cdots \supseteq V_{p + 1}$ を、$V_i := U_F^{(i)}$ の像として定めます。<Ref to="lem-p-power-units" />（$i = 2 \gt e_F/(p - 1) = 1$）により $U_F^{(p + 1)} = (U_F^{(2)})^p$ なので $V_{p + 1} = 0$ です。各段を調べます。

- $V/V_1$ は $\pi$ の類で生成されます。$\delta(\pi)/\pi \in U_F = \mu_{p - 1}U_F^{(1)}$ なので、$\Delta$ は $V/V_1$ に自明に作用します。
- $1 \le i \le p$ について、$V_i/V_{i + 1}$ は $U_F^{(i)}/U_F^{(i + 1)} \cong \mathbb{F}_p$（$1 + x\pi^i \mapsto \bar x$）の商です。$\delta(\pi) = 1 - \zeta^{a} = \pi(1 + \zeta + \cdots + \zeta^{a - 1}) \equiv a\pi \bmod \pi^2$（$a$ は $\omega(\delta)$ の代表）で、剰余体が $\mathbb{F}_p$ なので $\delta(x) \equiv x \bmod \pi$ です。よって $\delta(1 + x\pi^i) \equiv 1 + \omega(\delta)^ix\pi^i \bmod \pi^{i + 1}$ で、$\Delta$ は $V_i/V_{i + 1}$ に指標 $\omega^i$ で作用します。

$|\Delta| = p - 1$ は $\mathbb{F}_p$ で可逆なので、$\epsilon_\omega := \frac{1}{p - 1}\sum_{\delta \in \Delta}\omega(\delta)^{-1}\delta$ は $\mathbb{F}_p[\Delta]$ の冪等元で、$\Delta$ の作用をもつ $\mathbb{F}_p$ ベクトル空間 $W$ に対し $\epsilon_\omega W = W_\omega$、$W \mapsto \epsilon_\omega W$ は完全列を完全列に写します。したがって $\dim V_\omega$ は、各段 $V/V_1, V_1/V_2, \ldots, V_p/V_{p + 1}$ の $\omega$ 部分の次元の和です。$\Delta$ が指標 $\psi$ で作用する 1 次元以下の空間の $\omega$ 部分は、$\psi = \omega$ のとき全体、$\psi \ne \omega$ のとき $0$ です。$\omega$ の位数は $p - 1 \ge 2$ なので、自明な指標は $\omega$ と異なり、$\omega^i = \omega$（$1 \le i \le p$）となるのは $i = 1$ と $i = p$ だけです。よって $\dim V_\omega \le 2$ です。

**(iii)** $V_\omega$ の位数 $p$ の部分群は高々 $(p^2 - 1)/(p - 1) = p + 1$ 個なので、(i) により $p$ 次巡回拡大は高々 $p + 1$ 個です。$(\mathbb{Z}/p)^3$ を Galois 群とする拡大があれば、その指数 $p$ の部分群 $(p^3 - 1)/(p - 1) = p^2 + p + 1$ 個に対応して、それだけの個数の $p$ 次巡回拡大があることになり、矛盾です。
</Proof>

<Lemma id="lem-no-cyclic-quartic" title="Q_2(i) を含む 4 次巡回拡大は無い">
$\mathbb{Q}_2$ の $4$ 次巡回拡大で $\mathbb{Q}_2(i)$ を含むものは存在しない（$i = \sqrt{-1}$）。
</Lemma>

<Proof of="lem-no-cyclic-quartic">
$L/\mathbb{Q}_2$ を $4$ 次巡回拡大、$\sigma$ を Galois 群の生成元とし、$E := \mathbb{Q}_2(i) \subseteq L$ と仮定します。$L/E$ は $2$ 次拡大なので $L = E(\sqrt\gamma)$、$\gamma \in E^{\times}$ と書け、$\sigma^2$ は $\mathrm{Gal}(L/E)$ の生成元で $\sigma^2(\sqrt\gamma) = -\sqrt\gamma$ です。$\sigma(\sqrt\gamma)^2 = \sigma(\gamma)$ で $\sigma(\sqrt\gamma) \in L = E \oplus E\sqrt\gamma$ です。$\sigma(\sqrt\gamma) = s + t\sqrt\gamma$（$s, t \in E$）と書くと、$\sigma(\gamma) = s^2 + t^2\gamma + 2st\sqrt\gamma \in E$ から $st = 0$ です。$t = 0$ なら $\sigma(\sqrt\gamma) \in E$ で、$\sigma$ を施して $\sigma^2(\sqrt\gamma) \in E$ となり矛盾です。よって $s = 0$、$\sigma(\sqrt\gamma) = t\sqrt\gamma$ で、
$$
-\sqrt\gamma = \sigma^2(\sqrt\gamma) = \sigma(t)\,t\sqrt\gamma
$$
から $N_{E/\mathbb{Q}_2}(t) = t\,\sigma(t) = -1$ です。$t = x + yi$（$x, y \in \mathbb{Q}_2$）と書くと $x^2 + y^2 = -1$ です。分母を払うと、$X^2 + Y^2 + Z^2 = 0$ を満たす $X, Y, Z \in \mathbb{Z}_2$ で、すべてが偶数ではないものがあることになります。しかし $\mathbb{Z}_2$ の元の平方は $4$ を法として $0$ か $1$ で、3 つの和が $0 \bmod 4$ になるのは 3 つとも $0$、すなわち $X, Y, Z$ がすべて偶数のときだけです。矛盾です。
</Proof>

### 4.2. 局所 Kronecker–Weber の定理

<Theorem id="thm-local-kronecker-weber" title="Q_p の Abel 拡大と円分拡大の相互写像">
$p$ を素数とする。

1. $\mathbb{Q}_p$ の有限次 Abel 拡大は、ある $m \ge 1$ について $\mathbb{Q}_p(\zeta_m)$ に含まれる。
2. $m = p^km'$（$p \nmid m'$）とし、$f$ を $p$ の $(\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z})^{\times}$ での位数とする。$x = p^au$（$a \in \mathbb{Z}$、$u \in \mathbb{Z}_p^{\times}$）に、
$$
\theta_m(x) : \quad \zeta_{m'} \mapsto \zeta_{m'}^{\,p^a}, \qquad \zeta_{p^k} \mapsto \zeta_{p^k}^{\,u^{-1}}
$$
で定まる $\mathbb{Q}_p(\zeta_m)$ の自己同型を対応させる写像 $\theta_m : \mathbb{Q}_p^{\times} \to \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}_p(\zeta_m)/\mathbb{Q}_p)$ は全射準同型で、核は $\langle p^f\rangle \times U^{(k)}$ である（$U^{(k)} = 1 + p^k\mathbb{Z}_p$、$U^{(0)} = \mathbb{Z}_p^{\times}$）。
3. $N(\mathbb{Q}_p(\zeta_{m'})^{\times}) = \langle p^f\rangle \times \mathbb{Z}_p^{\times}$ であり、$p$ が奇数のとき $N(\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^k})^{\times}) = \langle p\rangle \times U^{(k)}$ である。すなわち、これらの体では $\theta$ の核はノルム群に一致する。
</Theorem>

<Proof of="thm-local-kronecker-weber">
**2.** $\mathbb{Q}_p(\zeta_{m'})/\mathbb{Q}_p$ は不分岐（<Ref to="lem-unit-root-unramified" />）で、Galois 群は Frobenius 元が生成する巡回群です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-unramified-classification" />）。Frobenius 元は剰余体で $p$ 乗として作用し、1 の $m'$ 乗根は剰余体に単射に写るので、$\zeta_{m'} \mapsto \zeta_{m'}^p$ で、その位数は $f$ です。$E_k = \mathbb{Q}_p(\zeta_{p^k})$ は完全分岐（<Ref to="lem-qp-cyclotomic" />）なので、不分岐拡大との共通部分は $\mathbb{Q}_p$ で、
$$
\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}_p(\zeta_m)/\mathbb{Q}_p) \cong \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}_p(\zeta_{m'})/\mathbb{Q}_p) \times \mathrm{Gal}(E_k/\mathbb{Q}_p) \cong \mathbb{Z}/f\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{\times}
$$
です。この同型のもとで $\theta_m(p^au) = (a \bmod f,\ u^{-1} \bmod p^k)$ で、$\mathbb{Q}_p^{\times} = p^{\mathbb{Z}} \times \mathbb{Z}_p^{\times}$ からの準同型です。$\mathbb{Z}_p^{\times} \to (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{\times}$ は全射なので $\theta_m$ は全射で、核は $f \mid a$ かつ $u \equiv 1 \bmod p^k$ となる元の全体です。

**3.** 前半は <Ref to="thm-local-reciprocity-unramified" /> です。後半：$p$ を奇数、$d := \varphi(p^k)$ とします。$(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{\times}$ は巡回群（<Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#thm-primitive-root-power" />）なので $E_k/\mathbb{Q}_p$ は巡回拡大で、<Ref to="thm-local-norm-index" /> により $[\mathbb{Q}_p^{\times} : NE_k^{\times}] = d$ です。よって $(\mathbb{Q}_p^{\times})^d \subseteq NE_k^{\times}$ で、$p = N(1 - \zeta_{p^k}) \in NE_k^{\times}$ です。$U^{(k)} \subseteq (\mathbb{Z}_p^{\times})^d$ を示します。<Ref to="lem-p-power-units" />（$F = \mathbb{Q}_p$、$e_F = 1$、$i \ge 1 \gt 1/(p - 1)$）を繰り返すと $U^{(k)} = (U^{(1)})^{p^{k - 1}}$ で、$y \in U^{(1)}$ は Hensel の補題（$X^{p - 1} - y$、$|1 - y| \lt 1 = |p - 1|^2$）により $(p - 1)$ 乗です。よって $U^{(k)}$ の元は $d = (p - 1)p^{k - 1}$ 乗です。以上から $\langle p\rangle \times U^{(k)} \subseteq NE_k^{\times}$ で、左辺の $\mathbb{Q}_p^{\times}$ での指数は $[\mathbb{Z}_p^{\times} : U^{(k)}] = d$ なので、等号が成り立ちます。

**1.** $L/\mathbb{Q}_p$ を有限次 Abel 拡大とします。$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}_p)$ は素数冪位数の巡回群の直積 $\prod_jC_j$ で（<Ref to="mathematics/algebra/modules-over-pid#cor-fg-abelian" />）、$L_j$ を $\prod_{j' \ne j}C_{j'}$ の固定体とすると、$L_j/\mathbb{Q}_p$ は Galois 群 $C_j$ の巡回拡大で、$L$ は $L_j$ たちの合成体です（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-fundamental" />）。円分体の合成体は円分体なので、$L$ が素数 $\ell$ の冪 $\ell^r$ 次の巡回拡大の場合に示せば十分です。

**(a) $\ell \ne p$ の場合。** $L_0$ を $L/\mathbb{Q}_p$ の最大不分岐部分拡大とすると、$L/L_0$ は完全分岐で（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#cor-ur-then-ram" />）、次数 $e$ は $\ell^r$ の約数なので $p$ と素、すなわち順分岐です。<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-tame-structure" /> により、$L_0$ の素元 $\varpi$ があって $L = L_0(\varpi^{1/e})$ です。$L_0/\mathbb{Q}_p$ は不分岐なので $p$ も $L_0$ の素元で、$\varpi = -pu$、$u \in U_{L_0}$ と書けます。$u$ の $e$ 乗根 $u^{1/e}$ を 1 つ取り、$T := L_0(\zeta_e, u^{1/e})$ とおくと、<Ref to="lem-unit-root-unramified" /> により $T/L_0$ は不分岐で、$T/\mathbb{Q}_p$ も不分岐、したがって $T = \mathbb{Q}_p(\zeta_{p^{f'} - 1})$（$f' = [T:\mathbb{Q}_p]$）は Abel 拡大です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-unramified-classification" />）。$\alpha := \varpi^{1/e}/u^{1/e} \in LT$ は $\alpha^e = -p$ を満たし、$LT = T(\alpha)$ です。

$LT/\mathbb{Q}_p$ は Abel 拡大の合成なので Abel 拡大で、その部分体 $\mathbb{Q}_p(\alpha)$ は $\mathbb{Q}_p$ 上 Galois です。$X^e + p$ は Eisenstein 多項式なので既約で、$\mathbb{Q}_p(\alpha)/\mathbb{Q}_p$ は $e$ 次の完全分岐拡大です。Galois なので $X^e + p$ のほかの根 $\zeta_e^j\alpha$ も含み、$\zeta_e \in \mathbb{Q}_p(\alpha)$ です。$\mathbb{Q}_p(\zeta_e)/\mathbb{Q}_p$ は不分岐（<Ref to="lem-unit-root-unramified" />）で、完全分岐拡大の部分体でもあるので自明、すなわち $\zeta_e \in \mathbb{Q}_p$ で、同補題により $e \mid p - 1$ です。<Ref to="lem-qp-cyclotomic" /> の $\gamma \in \mathbb{Q}_p(\zeta_p)$（$\gamma^{p - 1} = -p$）について $\gamma^{(p - 1)/e}$ は $-p$ の $e$ 乗根なので、$\alpha = \zeta_e^j\gamma^{(p - 1)/e} \in \mathbb{Q}_p(\zeta_p)$ です。よって $L \subseteq LT = T(\alpha) \subseteq \mathbb{Q}_p(\zeta_{p^{f'} - 1}, \zeta_p)$ です。

**(b) $\ell = p$ が奇数の場合。** $B_r$ を $\mathbb{Q}_p$ の $p^r$ 次不分岐拡大、$A_r$ を巡回拡大 $E_{r + 1}/\mathbb{Q}_p$（次数 $(p - 1)p^r$。Galois 群 $(\mathbb{Z}/p^{r + 1}\mathbb{Z})^{\times}$ は巡回群。<Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#thm-primitive-root-power" />）の $p^r$ 次の部分体とします。$A_r$ は完全分岐なので $A_r \cap B_r = \mathbb{Q}_p$ で、$K_r := A_rB_r$ は Galois 群が $(\mathbb{Z}/p^r)^2$ の円分拡大です。$G := \mathrm{Gal}(LK_r/\mathbb{Q}_p)$ は $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}_p) \times \mathrm{Gal}(K_r/\mathbb{Q}_p)$ の部分群に同型なので、$p^r$ 乗で消える Abel $p$ 群です。$G/G^p$ は $(\mathbb{Z}/p)^c$ に同型で、$c$ は $G$ を巡回群の直積に分けたときの因子の個数です。$G/G^p$ を Galois 群とする部分拡大があるので、<Ref to="lem-degree-p-count" /> により $c \le 2$ です。よって $|G| \le (p^r)^2 = [K_r:\mathbb{Q}_p]$ で、$LK_r = K_r$、$L \subseteq K_r$ です。

**(c) $\ell = p = 2$ の場合。** $B_r$ を $2^r$ 次不分岐拡大、$K_r := B_rE_{r + 2}$ とします。$[E_{r + 2}:\mathbb{Q}_2] = 2^{r + 1}$ で $E_{r + 2}$ は完全分岐なので $[K_r:\mathbb{Q}_2] = 2^{2r + 1}$ です。$\mathrm{Gal}(E_{r + 2}/\mathbb{Q}_2) \cong (\mathbb{Z}/2^{r + 2})^{\times}$ は $2^r$ 乗で消えます。奇数 $a$ について $a^2 \equiv 1 \bmod 8$ で、$x \equiv 1 \bmod 2^j$（$j \ge 2$）なら $x^2 \equiv 1 \bmod 2^{j + 1}$ なので、帰納的に $a^{2^r} \equiv 1 \bmod 2^{r + 2}$ だからです。よって $G := \mathrm{Gal}(LK_r/\mathbb{Q}_2)$ は $2^r$ 乗で消える Abel $2$ 群で、$G \cong \mathbb{Z}/2^{a_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}/2^{a_c}$（$r \ge a_1 \ge \cdots \ge a_c \ge 1$）と書けます。

$\mathbb{Q}_2^{\times}/(\mathbb{Q}_2^{\times})^2$ の位数は $8$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/valuations-and-completions#prop-squares-qp" />）なので、Kummer 理論（<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#thm-kummer" />、$n = 2$）により $\mathbb{Q}_2$ の $2$ 次拡大は $7$ 個で、$G/G^2 \cong (\mathbb{Z}/2)^c$ は指数 $2$ の部分群を $2^c - 1$ 個もつので $c \le 3$ です。$a_3 \ge 2$ と仮定します。このとき $G$ は $A := (\mathbb{Z}/4)^3$ への全射をもち、Galois 群が $A$ の拡大 $M/\mathbb{Q}_2$ があります。$M$ は $2$ 次の部分拡大を $7$ 個もつので、$\mathbb{Q}_2(i)$ を含みます。$\mathbb{Q}_2(i)$ に対応する指数 $2$ の部分群は、全射 $\phi : A \to \mathbb{Z}/2$ の核です。$A$ の標準的な生成元 $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3$ に対し、$\tilde\phi(\epsilon_j) \in \{0, 1\} \subseteq \mathbb{Z}/4$ を $\phi(\epsilon_j)$ の持ち上げとして準同型 $\tilde\phi : A \to \mathbb{Z}/4$ を定めると、$\tilde\phi$ は全射で $\ker\tilde\phi \subseteq \ker\phi$ です。$\ker\tilde\phi$ の固定体は $\mathbb{Q}_2(i)$ を含む $4$ 次巡回拡大で、<Ref to="lem-no-cyclic-quartic" /> に反します。よって $a_3 \le 1$（または $c \le 2$）で、$|G| \le 2^r\cdot 2^r\cdot 2 = [K_r:\mathbb{Q}_2]$、$L \subseteq K_r$ です。
</Proof>

<Remark id="rem-theta-sign" title="θ_m と局所相互写像">
<Ref to="thm-local-reciprocity" /> を認めると、$\theta_m$ は $\mathbb{Q}_p(\zeta_m)/\mathbb{Q}_p$ の局所ノルム剰余記号です。完全分岐な成分で $u$ ではなく $u^{-1}$ が現れるのは、大域の相互法則との整合性から来ます。有理数 $x \gt 0$ を主イデールとみると、すべての素点での局所記号の積は自明でなければなりません。$\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})$ で $x = \ell$（$\ell \ne p$ は素数）を考えると、$\ell$ での局所記号は Frobenius $\zeta \mapsto \zeta^{\ell}$ で、これを打ち消すのは $p$ での記号 $\zeta \mapsto \zeta^{\ell^{-1}}$ です。<Ref to="thm-local-kronecker-weber" /> により、$\mathbb{Q}_p$ については存在定理の内容も分かります。$\mathbb{Q}_p^{\times}$ の指数有限の開部分群は、ある $\langle p^f\rangle \times U^{(k)}$ を含み、これは $\theta_m$（$m = (p^f - 1)p^k$）の核です。
</Remark>

<Example id="ex-q2-quadratic" title="Q_2 の 2 次拡大 7 個と指数 2 のノルム群 7 個">
$\mathbb{Q}_2^{\times}/(\mathbb{Q}_2^{\times})^2$ は $-1, 2, 5$ の類で生成される位数 $8$ の群で、単数 $u$ が平方であることは $u \equiv 1 \bmod 8$ と同値です。$2$ 次拡大は $\mathbb{Q}_2(\sqrt d)$、$d \in \{-1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\}$ の $7$ 個で、ノルム群 $N_d = \{x^2 - dy^2\} \setminus \{0\}$ は <Ref to="thm-local-norm-index" /> により指数 $2$ です。$N_d$ は平方をすべて含むので、$\mathbb{Q}_2^{\times}/(\mathbb{Q}_2^{\times})^2$ の指数 $2$ の部分群（$7$ 個）に対応します。$N_d$ に入る元を 2 つ見つければ $N_d$ が決まります。

| $d$ | $N_d$ の元 | $N_d$（平方の類を法として） | 分岐 |
|---|---|---|---|
| $5$ | $-1 = 2^2 - 5\cdot 1^2$、$5 = 5^2 - 5\cdot 2^2$ | $\langle -1, 5\rangle$（付値が偶数の元） | 不分岐 |
| $-1$ | $2 = 1 + 1$、$5 = 1 + 4$ | $\langle 2, 5\rangle$ | 分岐 |
| $2$ | $-1 = 1 - 2$、$2 = 4 - 2$ | $\langle -1, 2\rangle$ | 分岐 |
| $-2$ | $2 = 0 + 2$、$3 = 1 + 2 \sim -5$ | $\langle 2, -5\rangle$ | 分岐 |
| $-5$ | $5 = 0 + 5$、$6 = 1 + 5 \sim -10$ | $\langle 5, -2\rangle$ | 分岐 |
| $10$ | $-10 = 0 - 10$、$-9 = 1 - 10 \sim -1$ | $\langle -1, 10\rangle$ | 分岐 |
| $-10$ | $10 = 0 + 10$、$11 = 1 + 10 \sim -5$ | $\langle 10, -5\rangle$ | 分岐 |

ここで $\sim$ は平方を法として等しいこと（$3\cdot(-5) = -15 \equiv 1$、$11\cdot(-5) = -55 \equiv 1 \bmod 8$、$6\cdot(-10) = -60 = 4\cdot(-15)$）を表します。$7$ 個のノルム群はすべて異なり、$7$ 個の指数 $2$ の部分群を尽くしています。これが $\mathbb{Q}_2$ の $2$ 次拡大についての相互法則と存在定理です。単数群 $\langle -1, 5\rangle$ をノルム群にもつのは不分岐拡大 $\mathbb{Q}_2(\sqrt5) = \mathbb{Q}_2(\zeta_3)$ だけで、<Ref to="thm-local-reciprocity" /> の 3 と合っています。7 個の体はすべて $\mathbb{Q}_2(\zeta_{24}) = \mathbb{Q}_2(i, \sqrt2, \sqrt{-3})$ に含まれます（$-3 \sim 5$）。
</Example>

## 5. 大域の Artin 写像

以下 $K$ を代数体とし、記号は[第 5 章](/mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles)のもの（イデール群 $\mathbb{I}_K$、イデール類群 $C_K$、モジュラス $\mathfrak{m}$、$I^{\mathfrak{m}}$、$P_{\mathfrak{m}}$、$U_{\mathfrak{m}}$）を使います。

<Definition id="def-artin-map" title="Artin 写像・ノルム群">
$L/K$ を代数体の有限次 Abel 拡大、$\mathfrak{m}$ を、$L$ で分岐する $K$ の素イデアルをすべて $\mathfrak{m}_0$ が割るモジュラスとする。$\mathfrak{m}_0$ を割らない素イデアル $\mathfrak{p}$ に Frobenius 元 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}} = (L/K, \mathfrak{p}) \in \mathrm{Gal}(L/K)$ を対応させ、乗法的に延ばした準同型
$$
\mathrm{Art}_{L/K} : I^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Gal}(L/K), \qquad \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{k_{\mathfrak{p}}} \mapsto \prod_{\mathfrak{p}}\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}^{\,k_{\mathfrak{p}}}
$$
を **Artin 写像**という。$C_K$ の部分群 $N_{L/K}C_L$ を $L/K$ の（イデールの）**ノルム群**、$I^{\mathfrak{m}}$ の部分群 $P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ を $\mathfrak{m}$ を法とするイデアルのノルム群という。
</Definition>

Abel 拡大では、$\mathfrak{p}$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ の Frobenius 元は互いに共役で、したがって等しいので、$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ だけで決まります（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#prop-frobenius-properties" />）。$I^{\mathfrak{m}}$ は $\mathfrak{m}_0$ を割らない素イデアルで生成される自由 Abel 群なので、$\mathrm{Art}_{L/K}$ は定義できます。

<Proposition id="prop-artin-map-surjective" title="Artin 写像は全射で、ノルムの上で自明">
<Ref to="def-artin-map" /> の状況で、$\mathrm{Art}_{L/K} : I^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Gal}(L/K)$ は全射であり、$N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}}) \subseteq \ker\mathrm{Art}_{L/K}$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-artin-map-surjective">
像を $H \subseteq G := \mathrm{Gal}(L/K)$ とし、$F := L^H$ とします。$\mathfrak{m}_0$ を割らないすべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}} \in H$ なので、$F/K$ での Frobenius 元 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}|_F$ は自明で、$\mathfrak{p}$ は $F$ で完全分解します（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#prop-frobenius-properties" />）。よって $\mathrm{Spl}(F/K)$ は有限個を除くすべての素イデアルを含み、密度は $1$ です。一方その密度は $1/[F:K]$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#thm-density-split-completely" />）。よって $F = K$、$H = G$ です（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-fundamental" />）。

後半。$\mathfrak{P}$ を $\mathfrak{m}_0$ と素な $L$ の素イデアル、$\mathfrak{p}$ をその下の素イデアル、$f$ を剰余次数とすると、$N_{L/K}(\mathfrak{P}) = \mathfrak{p}^f$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#def-relative-norm" />）で、$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ の位数は $f$ なので $\mathrm{Art}_{L/K}(\mathfrak{p}^f) = 1$ です。
</Proof>

したがって $\mathrm{Art}_{L/K}$ は全射 $I^{\mathfrak{m}}/N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}}) \to \mathrm{Gal}(L/K)$ を誘導します。Artin の相互法則は、$\mathfrak{m}$ を十分大きく取れば核が $P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ にちょうど一致する、つまり「$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ の射線類だけで決まる」と主張します。この主張のうち「位数が合うこと」を次節で証明します。

## 6. 2 つの不等式

### 6.1. イデールの $G$ 加群としての構造

この節の目標は、イデール類群に対しても Herbrand 商を計算できるようにすることです。そのために、イデールを素点ごとの局所体の積と見て、Galois 群が素点を入れ替える様子を調べます。$K$ の 1 つの素点 $v$ の上に $L$ の素点が複数あっても、それらは $G$ で互いに移り合うので、積全体は 1 つの局所体 $L_w^{\times}$ のコピーの直和になり、前の節の半局所加群の補題が使えます。

$L/K$ を代数体の有限次 Galois 拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とします。$\sigma \in G$ は $L$ の素点を入れ替え、完備化の間の位相体の同型 $\sigma : L_w \to L_{\sigma w}$ を誘導します。$b \in \mathbb{I}_L$ に対し $(\sigma b)_{w} := \sigma(b_{\sigma^{-1}w})$ と定めると、$\mathbb{I}_L$ は $G$ 加群で、$L^{\times}$ は $G$ 部分加群、$C_L$ も $G$ 加群です。$K$ の素点 $v$ の上の素点 $w$ を 1 つ固定すると、$w$ の固定部分群は[分解群](/mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#def-decomposition-inertia) $G_w \cong \mathrm{Gal}(L_w/K_v)$ で（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-local-global-tensor" />）、$G$ は $v$ の上の素点に推移的に作用するので
$$
\prod_{w' \mid v}L_{w'}^{\times} = \bigoplus_{\tau \in G/G_w}\tau\bigl(L_w^{\times}\bigr)
$$
です。$n_v := |G_w| = [L_w : K_v]$ とおきます。

<Lemma id="lem-idele-invariants" title="イデール類群の不変部分">
$L/K$ を代数体の有限次巡回拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とする。対角埋め込みによる $\mathbb{I}_K \to \mathbb{I}_L$ は $\mathbb{I}_K$ を $\mathbb{I}_L^G$ の上へ同型に写し、$C_K \to C_L$ は単射で像は $C_L^G$ である。$G$ のノルム $N = \sum_{\sigma \in G}\sigma$ は、この同一視のもとでイデールのノルム写像 $N_{L/K}$ に一致する。したがって $\widehat{H}^0(G, \mathbb{I}_L) = \mathbb{I}_K/N_{L/K}\mathbb{I}_L$、$\widehat{H}^0(G, C_L) = C_K/N_{L/K}C_L$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-idele-invariants">
$\sigma$ を $G$ の生成元とします。各 $v$ について <Ref to="lem-semilocal" /> の状況（$M = \prod_{w' \mid v}L_{w'}^{\times}$、$M_0 = L_w^{\times}$、$D = G_w$）にあり、その証明により $M^G = \{\prod_j\sigma^j(x) \mid x \in (L_w^{\times})^{G_w} = K_v^{\times}\}$ は $K_v^{\times}$ の対角埋め込みの像、$N(y) = \prod_j\sigma^j\bigl(N_{L_w/K_v}(\prod_jx_j)\bigr)$ は $\prod_{w' \mid v}N_{L_{w'}/K_v}(y_{w'})$ の対角埋め込みです（$\sigma^jx_j$ の $L_{\sigma^jw}/K_v$ でのノルムは $x_j$ の $L_w/K_v$ でのノルムに等しい）。よって $\mathbb{I}_L^G = \mathbb{I}_K$ で、$N$ は $N_{L/K}$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#def-idele-norm-map" />）です。

$x \in L^{\times} \cap \mathbb{I}_K$ は $\sigma x = x$ を満たすので $x \in K^{\times}$ で、$C_K \to C_L$ は単射です。像が $C_L^G$ に入ることは明らかです。逆に $b \in \mathbb{I}_L$ の類が $G$ 不変ならば $x := \sigma(b)/b \in L^{\times}$ で、$N_{L/K}(x) = N(\sigma b)/N(b) = 1$ です。Hilbert の定理 90（<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#thm-hilbert-90" />）により $x = c/\sigma(c)$（$c \in L^{\times}$）で、$\sigma(bc) = bc$、すなわち $bc \in \mathbb{I}_L^G = \mathbb{I}_K$ です。$b$ の類は $bc$ の類に等しく、$C_K$ の像に入ります。
</Proof>

### 6.2. 第 1 不等式

この節のねらいは、$[C_K : NC_L] \ge [L:K]$ を示すことです。イデール類群の Herbrand 商 $h(C_L)$ を、単数や $S$ 単数の格子（対数写像で実ベクトル空間に移した整数点の集まり）を経由して、素点の置換加群の Herbrand 商と比べ、$n$ になることを見ます。次の補題は、同じ空間を張る格子なら Herbrand 商が変わらないという、その比較に使う道具です。

<Lemma id="lem-lattice-herbrand" title="同じ空間を張る格子の Herbrand 商">
$G$ を有限巡回群、$W$ を $G$ が線形に作用する有限次元実ベクトル空間、$\Lambda', \Lambda'' \subseteq W$ を $G$ で保たれる格子（$W$ の基底で生成される部分群）とする。$h(\Lambda')$ と $h(\Lambda'')$ は一方が定義されれば他方も定義されて等しい。
</Lemma>

<Proof of="lem-lattice-herbrand">
$d = \dim W$ とし、$\Lambda', \Lambda''$ の $\mathbb{Z}$ 基底を取って、生成元 $\sigma$ の作用を整数行列 $\rho', \rho''$ で表します。体 $F \supseteq \mathbb{Q}$ に対し $X_F := \{P \in M_d(F) \mid P\rho' = \rho''P\}$ とおくと、これは有理数係数の斉次連立一次方程式の解空間なので、$X_{\mathbb{Q}}$ の $\mathbb{Q}$ 基底 $P_1, \ldots, P_k$ は $X_{\mathbb{R}}$ の $\mathbb{R}$ 基底です。$W$ の恒等写像を 2 つの基底で表した行列 $C$ は $C\rho' = \rho''C$ を満たし、可逆です。よって多項式 $\phi(t_1, \ldots, t_k) := \det(\sum_it_iP_i) \in \mathbb{Q}[t_1, \ldots, t_k]$ は恒等的に $0$ ではありません。$0$ でない多項式は $\mathbb{Q}^k$ の上で恒等的に $0$ にはならない（$k$ についての帰納法。1 変数の $0$ でない多項式の根は有限個）ので、$\det P \ne 0$ となる $P \in X_{\mathbb{Q}}$ があり、整数倍して $P$ は整数行列としてよいです。$P$ は単射な $G$ 準同型 $\varphi : \Lambda' \to \Lambda''$ を定め、$\varphi(\Lambda')$ の指数は $|\det P|$ で有限です。<Ref to="lem-herbrand-quotient" /> の 4 により $h(\Lambda') = h(\varphi(\Lambda')) = h(\Lambda'')$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-first-inequality" title="第 1 不等式">
$L/K$ を代数体の $n$ 次巡回拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とする。このとき $h(G, C_L) = n$ であり、したがって
$$
[C_K : N_{L/K}C_L] = n\cdot|\widehat{H}^{-1}(G, C_L)| \ge n = [L:K]
$$
である。
</Theorem>

<Proof of="thm-first-inequality">
**素点の集合 $S$ の選択。** $\mathrm{Cl}(L)$ は有限（<Ref to="mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#thm-class-number-finite" />）なので、各イデアル類の代表 $\mathfrak{A}_1, \ldots, \mathfrak{A}_h$ を取ります。$S$ を、$K$ の無限素点、$L$ で分岐する素イデアル、$\mathfrak{A}_i$ の素因子の下にある素イデアルをすべて含む $K$ の素点の有限集合とし、$S_L$ を $S$ の上にある $L$ の素点の集合（$G$ で保たれる）とします。$\mathbb{I}_{L,S} := \prod_{w \in S_L}L_w^{\times} \times \prod_{w \notin S_L}U_w$ は $\mathbb{I}_L$ の $G$ 部分加群です。$\mathbb{I}_L = L^{\times}\mathbb{I}_{L,S}$ です。実際 $b \in \mathbb{I}_L$ のイデアル $\iota(b)$ は $x\mathfrak{A}_i$（$x \in L^{\times}$）と書け、$bx^{-1}$ のイデアル $\mathfrak{A}_i$ は $S_L$ の外の素イデアルを含まないので、$bx^{-1} \in \mathbb{I}_{L,S}$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#thm-idele-ideal-class" />）。$L_S := L^{\times} \cap \mathbb{I}_{L,S}$ は $S_L$ 単数の群（<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#def-s-units" />）で、$G$ 加群の完全列
$$
1 \to L_S \to \mathbb{I}_{L,S} \to C_L \to 1
$$
を得ます。$h(\mathbb{I}_{L,S})$ と $h(L_S)$ を計算します。

**$h(\mathbb{I}_{L,S}) = \prod_{v \in S}n_v$.** $\mathbb{I}_{L,S} = \prod_{v \in S}\bigl(\prod_{w \mid v}L_w^{\times}\bigr) \times \prod_{v \notin S}\bigl(\prod_{w \mid v}U_w\bigr)$ で、<Ref to="lem-semilocal" /> により
$$
\widehat{H}^q(G, \mathbb{I}_{L,S}) \cong \prod_{v \in S}\widehat{H}^q(G_w, L_w^{\times}) \times \prod_{v \notin S}\widehat{H}^q(G_w, U_w)
$$
です（各 $v$ について $w \mid v$ を 1 つ選ぶ）。$G_w$ は巡回群 $G$ の部分群なので巡回群です。$v \notin S$ のとき $L_w/K_v$ は不分岐で、$\widehat{H}^0(G_w, U_w) = U_v/NU_w = 1$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-unramified-norm-units" />）、$h(G_w, U_w) = 1$（<Ref to="thm-local-norm-index" />）から $\widehat{H}^{-1}(G_w, U_w) = 1$ です。$v \in S$ が有限素点のとき $h(G_w, L_w^{\times}) = n_v$（<Ref to="thm-local-norm-index" />）です。$v$ が無限素点のとき、$L_w = K_v$ なら $G_w = 1$ で $h = 1 = n_v$、$L_w = \mathbb{C}$、$K_v = \mathbb{R}$ なら $\widehat{H}^0 = \mathbb{R}^{\times}/\mathbb{R}_{\gt 0}$ は位数 $2$、$\widehat{H}^{-1} = \{|z| = 1\}/\{\bar z/z\} = 1$（$\bar z/z = e^{-2i\theta}$ は単位円周をすべて動く）で $h = 2 = n_v$ です。積は有限個の有限群の積なので、$h(\mathbb{I}_{L,S}) = \prod_{v \in S}n_v$ です。

**$h(L_S) = \frac1n\prod_{v \in S}n_v$.** $W := \mathbb{R}^{S_L}$（$S_L$ の上の実数値関数の空間）に $G$ を $(\sigma t)_w := t_{\sigma^{-1}w}$ で作用させ、
$$
\lambda : L_S \to W, \qquad \lambda(x) := \bigl(\log|x|_w\bigr)_{w \in S_L}
$$
とおきます。$|\sigma x|_{\sigma w} = |x|_w$ なので $\lambda$ は $G$ 準同型です。積公式により $\Lambda := \lambda(L_S)$ は超平面 $H_S := \{t \mid \sum_wt_w = 0\}$ に入ります。$\ker\lambda$ は、すべての素点で絶対値が $1$ の元、すなわちすべての無限素点で絶対値が $1$ の単数からなり、有限群です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#lem-log-units-discrete" />）。$\Lambda$ は離散的です。$\lambda(x)$ が有界な $x \in L_S$ は、有限素点 $w \in S_L$ での付値が下から押さえられるので 1 つの分数イデアル $\mathfrak{a}$ に入り、無限素点での絶対値が有界なので $j(x)$ は格子 $j(\mathfrak{a})$ の有界集合に入って、有限個しかないからです（<Ref to="mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#lem-fundamental-domain" />）。よって $\Lambda \cong \mathbb{Z}^k$、$k$ は $\Lambda$ の張る空間の次元です（<Ref to="mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#lem-discrete-subgroup" />）。S 単数定理（<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#thm-s-unit" />）により $L_S$ の階数は $|S_L| - 1$ で、$\ker\lambda$ は有限なので $k = |S_L| - 1 = \dim H_S$ です。すなわち $\Lambda$ は $H_S$ を張る格子です。

$e_0 := (1, \ldots, 1) \in W$ は $G$ 不変で $H_S$ に入らないので、$\Lambda' := \Lambda \oplus \mathbb{Z}e_0$ は $W$ の $G$ で保たれる格子で、完全列 $0 \to \Lambda \to \Lambda' \to \mathbb{Z} \to 0$（$\mathbb{Z}$ には自明な作用）があります。一方 $\Lambda'' := \bigoplus_{w \in S_L}\mathbb{Z}e_w$（$e_w$ は標準基底）も $G$ で保たれる格子で、$\Lambda'' = \bigoplus_{v \in S}\bigl(\bigoplus_{w \mid v}\mathbb{Z}e_w\bigr)$、$\bigoplus_{w \mid v}\mathbb{Z}e_w = \bigoplus_{\tau \in G/G_w}\tau(\mathbb{Z}e_w)$ です。<Ref to="lem-semilocal" /> と、自明な作用での $h(G_w, \mathbb{Z}) = |G_w| = n_v$（<Ref to="thm-local-norm-index" /> の証明の最初の計算）から $h(\Lambda'') = \prod_{v \in S}n_v$ です。<Ref to="lem-lattice-herbrand" /> と <Ref to="lem-herbrand-quotient" /> により
$$
\prod_{v \in S}n_v = h(\Lambda'') = h(\Lambda') = h(\Lambda)\,h(\mathbb{Z}) = n\,h(\Lambda), \qquad h(L_S) = h(\ker\lambda)\,h(\Lambda) = h(\Lambda)
$$
で、$h(L_S) = \frac1n\prod_{v \in S}n_v$ です。

**結論。** <Ref to="lem-herbrand-quotient" /> の 2 を最初の完全列に使うと、$h(C_L)$ は定義されて $h(C_L) = h(\mathbb{I}_{L,S})/h(L_S) = n$ です。<Ref to="lem-idele-invariants" /> により $|\widehat{H}^0(G, C_L)| = [C_K : N_{L/K}C_L]$ なので、$[C_K : N_{L/K}C_L] = n\,|\widehat{H}^{-1}(G, C_L)| \ge n$ です。
</Proof>

局所の計算（<Ref to="thm-local-norm-index" />）と比べると、2 つの証明は同じ型をしています。局所では $L^{\times}$ を「単数群 $U_L$」と「付値 $\mathbb{Z}$」に分け、単数群の Herbrand 商が $1$ であることを、正規基底から作った加群（成分を $G$ が入れ替えるだけの加群）と比べて示しました。大域では $C_L$ を「$S$ イデール」と「$S$ 単数」に分け、$S$ 単数の Herbrand 商を、対数で写した格子を、素点を $G$ が入れ替えるだけの格子 $\Lambda''$ と比べて求めました。どちらも、難しい加群を「置換加群」と有限指数で比べるという 1 つの考えで済んでいます。

### 6.3. 第 2 不等式と Hasse のノルム定理

<Theorem id="thm-second-inequality" title="第 2 不等式">
$L/K$ を代数体の有限次 Galois 拡大とする。このとき
$$
[C_K : N_{L/K}C_L] \le [L:K]
$$
である。より詳しく、$U_{\mathfrak{m}} \subseteq N_{L/K}\mathbb{I}_L$ となるモジュラス $\mathfrak{m}$ について、<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#thm-ray-class-group" /> の同型 $C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}} \cong I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}$ は
$$
C_K/N_{L/K}C_L \cong I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})
$$
を誘導する。
</Theorem>

<Proof of="thm-second-inequality">
$U_{\mathfrak{m}} \subseteq N_{L/K}\mathbb{I}_L$ となる $\mathfrak{m}$ は存在します（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#prop-idele-norm" /> の 2）。$\mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})}$ と $\psi : \mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})} \to I^{\mathfrak{m}}$ を同定理のものとします。同型 $\mathbb{I}_K/K^{\times}U_{\mathfrak{m}} \to I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}$ は、$a$ の類を、$xa \in \mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})}$ となる $x \in K^{\times}$ を選んで $\psi(xa)$ の類に写すものです。$K^{\times}N_{L/K}\mathbb{I}_L \supseteq K^{\times}U_{\mathfrak{m}}$ の像が $P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})/P_{\mathfrak{m}}$ であることを示せば、後半の同型が得られます。

(a) $b \in \mathbb{I}_L$ とします。$\mathfrak{m}$ を割る $K$ の素点の上にある $L$ の素点 $w$（有限個）のそれぞれについて、局所ノルム $N_{L_w/K_v}$ は連続で $1$ を $1$ に写し、$U_{\mathfrak{m},v}$ は $K_v^{\times}$ の開部分群なので、$1$ の近傍 $O_w \subseteq L_w^{\times}$ で $\prod_{w \mid v}N_{L_w/K_v}(O_w) \subseteq U_{\mathfrak{m},v}$ となるものがあります。弱近似定理（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/valuations-and-completions#thm-weak-approximation" />）により、これらの $w$ すべてで $yb_w \in O_w$ となる $y \in L^{\times}$ があります。このとき $N_{L/K}(yb) \in \mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})}$ で、$yb$ の $\mathfrak{m}$ の上の成分は単数なので、$yb$ のイデアル $\iota_L(yb)$ の $\mathfrak{m}_0$ と素な部分を $\mathfrak{B}$ とすると、$\psi(N_{L/K}(yb)) = N_{L/K}(\mathfrak{B}) \in N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#prop-idele-norm" /> の 3。$\mathfrak{m}$ の上の素点では $yb_w \in O_w$ が単数であるように $O_w$ を取っておけば $\mathfrak{B} = \iota_L(yb)$）。$N_{L/K}(b)$ の類の像は、$N_{L/K}(y)N_{L/K}(b) = N_{L/K}(yb) \in \mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})}$ を使って計算でき、$N_{L/K}(\mathfrak{B})$ の類です。

(b) 逆に $\mathfrak{B} \in I_L^{\mathfrak{m}}$ に対し、$\mathfrak{m}_0$ の上にない有限素点 $w$ の成分が $\pi_w^{v_w(\mathfrak{B})}$、ほかの成分が $1$ のイデール $b$ を取ると、$N_{L/K}(b) \in \mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})}$ で $\psi(N_{L/K}(b)) = N_{L/K}(\mathfrak{B})$ です。

(a)(b) により像は $P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})/P_{\mathfrak{m}}$ で、$C_K/N_{L/K}C_L = \mathbb{I}_K/K^{\times}N_{L/K}\mathbb{I}_L \cong I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ です。右辺の位数は $[L:K]$ 以下です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#thm-universal-norm-inequality" />）。
</Proof>

<Corollary id="cor-hasse-norm" title="巡回拡大のノルム指数と Hasse のノルム定理">
$L/K$ を代数体の $n$ 次巡回拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$ とする。

1. $[C_K : N_{L/K}C_L] = n$ であり、$\widehat{H}^{-1}(G, C_L) = 1$ である。
2. （Hasse のノルム定理）$x \in K^{\times}$ が $L^{\times}$ の元のノルムであるための必要十分条件は、$K$ のすべての素点 $v$ で、$x$ が $L_w^{\times}$（$w \mid v$）の元のノルムであることである。
</Corollary>

<Proof of="cor-hasse-norm">
**1.** <Ref to="thm-first-inequality" /> と <Ref to="thm-second-inequality" /> から $n \le n\,|\widehat{H}^{-1}(G, C_L)| = [C_K : N_{L/K}C_L] \le n$ です。

**2.** 必要性は $N_{L/K}(y) = \prod_{w \mid v}N_{L_w/K_v}(y)$ と、$v$ の上の素点 $w$ のノルム群 $N_{L_w/K_v}L_w^{\times}$ が $w$ によらないこと（$\sigma : L_w \to L_{\sigma w}$ は $K_v$ 上の同型）から従います。十分性を示します。$x$ がすべての $v$ で局所ノルムとします。有限個を除く $v$ では、$x \in \mathcal{O}_v^{\times}$ かつ $v$ は不分岐なので、$x = N_{L_w/K_v}(u_w)$ となる $u_w \in U_w$ があります（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-unramified-norm-units" />）。各 $v$ で、1 つの $w \mid v$ の成分に $x$ の原像を、ほかの $w' \mid v$ の成分に $1$ を置くと、イデール $b \in \mathbb{I}_L$ で $N_{L/K}(b) = x$（主イデール）となるものが得られます。

完全列 $1 \to L^{\times} \to \mathbb{I}_L \to C_L \to 1$ の六角形（<Ref to="lem-herbrand-quotient" /> の 1）の一部
$$
\widehat{H}^{-1}(G, C_L) \to \widehat{H}^0(G, L^{\times}) \to \widehat{H}^0(G, \mathbb{I}_L)
$$
は完全で、1 により左端は自明なので、$K^{\times}/N_{L/K}L^{\times} \to \mathbb{I}_K/N_{L/K}\mathbb{I}_L$（<Ref to="lem-idele-invariants" />）は単射です。$x$ の右辺での像は自明なので、$x \in N_{L/K}L^{\times}$ です。
</Proof>

<Remark id="rem-hasse-fails" title="巡回でない Abel 拡大ではノルム定理は成り立たない">
Hasse のノルム定理で「巡回」の仮定は落とせません。$K = \mathbb{Q}$、$L = \mathbb{Q}(\sqrt{13}, \sqrt{17})$（Galois 群 $(\mathbb{Z}/2)^2$）では、すべての素点で局所ノルムであるのに大域ノルムでない有理数が存在します。この例の検証は Cassels–Fröhlich『Algebraic Number Theory』の巻末の演習 5 にあります。障害は、$\widehat{H}^{-1}(G, \mathbb{I}_L) \to \widehat{H}^{-1}(G, C_L)$ の余核（<Ref to="cor-hasse-norm" /> の証明の六角形で、$K^{\times}/NL^{\times} \to \mathbb{I}_K/N\mathbb{I}_L$ の核に当たる群）で測られます。Tate の定理（第 9 節）により $\widehat{H}^{-1}(G, C_L) \cong \widehat{H}^{-3}(G, \mathbb{Z})$ で、巡回群では $\widehat{H}^{-3}(G, \mathbb{Z}) \cong \widehat{H}^{-1}(G, \mathbb{Z}) = 0$ ですが、$(\mathbb{Z}/2)^2$ では位数 $2$ です。この例では $13 \equiv 17 \equiv 1 \bmod 4$、$17 \equiv 4 = 2^2 \bmod 13$、$13 \equiv 8^2 \bmod 17$、$17 \equiv 1 \bmod 8$ なので、$13$ と $17$ と $2$ の上でも分解群は位数 $2$ 以下の巡回群で、すべての素点の分解群が巡回群になります。したがって局所の側 $\widehat{H}^{-1}(G, \mathbb{I}_L)$ は自明で、位数 $2$ の障害がそのまま残ります。本章では一般の有限群の Tate コホモロジーを定義していないので、主張と出典にとどめます。$n = 2$ の場合のノルム定理は「二次形式 $x^2 - dy^2 - cz^2$ が $\mathbb{Q}$ で非自明な零点をもつことと、すべての $\mathbb{Q}_p$ と $\mathbb{R}$ で零点をもつことは同値」という Hasse–Minkowski の定理の 3 変数の場合です。
</Remark>

## 7. 主定理と $\mathbb{Q}$ 上の類体論

### 7.1. 主定理の主張

<Theorem id="thm-artin-reciprocity" title="Artin の相互法則">
$L/K$ を代数体の有限次 Abel 拡大とする。

1. 連続な全射準同型 $\psi_{L/K} : C_K \to \mathrm{Gal}(L/K)$（**大域ノルム剰余記号**）で、核が $N_{L/K}C_L$ のものがある。したがって $C_K/N_{L/K}C_L \cong \mathrm{Gal}(L/K)$ である。
2. $K$ の素点 $v$ と $w \mid v$ について、合成 $K_v^{\times} \to C_K \xrightarrow{\psi_{L/K}} \mathrm{Gal}(L/K)$ は局所ノルム剰余記号 $\theta_{L_w/K_v}$（<Ref to="thm-local-reciprocity" />）に一致する（像は分解群 $G_w \cong \mathrm{Gal}(L_w/K_v)$ に入る。無限素点では、$L_w = \mathbb{C}$、$K_v = \mathbb{R}$ のとき $\theta_{L_w/K_v}$ は同型 $\mathbb{R}^{\times}/\mathbb{R}_{\gt 0} \cong \mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$、$L_w = K_v$ のとき自明な写像とする）。特に、$L$ で不分岐な有限素点 $v$ では、$v$ 成分が $\pi_v$ でほかの成分が $1$ のイデールの類は $\mathrm{Frob}_v$ に写り、$\mathcal{O}_v^{\times}$ の像は自明である。
3. 有限素点 $v$ が $L$ で不分岐であることと、$\mathcal{O}_v^{\times}$ の $C_K$ での像が $N_{L/K}C_L$ に含まれることは同値である。実素点 $v$ の上の素点がすべて実であることと、$K_v^{\times}$ の像が $N_{L/K}C_L$ に含まれることは同値である。
4. $\mathfrak{m}$ を $\overline{U}_{\mathfrak{m}} \subseteq N_{L/K}C_L$ を満たすモジュラスとする（3 により、$\mathfrak{m}_0$ は分岐する素イデアルをすべて割る）。このとき Artin 写像 $\mathrm{Art}_{L/K} : I^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Gal}(L/K)$ の核は $P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ であり、同型 $C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}} \cong I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}$ のもとで $\psi_{L/K}$ は $\mathrm{Art}_{L/K}$ に対応する。特に $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ の $\mathfrak{m}$ を法とする射線類だけで決まる。
</Theorem>

<Remark id="rem-artin-reciprocity" title="主張のみとする理由と出典">
<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> は証明しません。本章で証明した内容との差は次のとおりです。巡回拡大では、$C_K/N_{L/K}C_L$ と $\mathrm{Gal}(L/K)$ の位数が等しいこと（<Ref to="cor-hasse-norm" />）と、Artin 写像 $I^{\mathfrak{m}}/N(I_L^{\mathfrak{m}}) \to \mathrm{Gal}(L/K)$ が全射であること（<Ref to="prop-artin-map-surjective" />）は示しました。残るのは「Artin 写像が $P_{\mathfrak{m}}$ の上で自明である」こと、つまり $\alpha \equiv 1 \bmod^{\times}\mathfrak{m}$ ならば $\mathrm{Art}_{L/K}((\alpha)) = 1$ という主張で、これが相互法則の核心です。Artin の原証明は、円分拡大との合成体に移って $\mathbb{Q}$ 上の場合（<Ref to="thm-cft-over-q" />）に帰着する「Artin の補題」（Chebotarev の方法）を使います（Lang『Algebraic Number Theory』第 X 章、Janusz『Algebraic Number Fields』第 V 章）。コホモロジーによる証明は、$H^2(G, C_L)$ が位数 $[L:K]$ の巡回群であることを示して Tate の定理を使います（Cassels–Fröhlich 第 VII 章、Artin–Tate『Class Field Theory』）。Neukirch『Algebraic Number Theory』第 VI 章は、巡回拡大での <Ref to="cor-hasse-norm" /> の 1 に当たる主張（類体公理）から、第 IV 章の抽象類体論によって導きます。いずれも 1 章分以上の準備が必要です。
</Remark>

<Theorem id="thm-global-existence" title="大域の存在定理">
$K$ を代数体とし、代数閉包 $\overline{K}$ を固定する。対応 $L \mapsto N_{L/K}C_L$ は、$\overline{K}$ に含まれる $K$ の有限次 Abel 拡大の全体から、$C_K$ の開部分群（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#thm-open-subgroups" /> により指数有限）の全体への、包含関係を逆にする全単射である。さらに $N(LL') = N(L) \cap N(L')$、$N(L \cap L') = N(L)N(L')$ が成り立つ（$N(L) := N_{L/K}C_L$）。
</Theorem>

<Remark id="rem-global-existence" title="主張のみとする理由と出典">
<Ref to="thm-global-existence" /> も証明しません。単射性と包含の逆転は <Ref to="thm-artin-reciprocity" /> から出ます。全射性の証明は、1 の冪根を添加して Kummer 拡大に帰着し、$S$ の外で不分岐な指数 $n$ の Kummer 拡大の全体（<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#thm-finiteness" /> の群 $K(S, n)$ で記述される）のノルム群を $S$ 単数定理で計算するもので、第 1 不等式の証明と同じ道具を使います（Neukirch 第 VI 章 §6、Cassels–Fröhlich 第 VII 章 §12、Lang 第 XI 章）。$K = \mathbb{Q}$ の場合は <Ref to="thm-cft-over-q" /> で証明します。
</Remark>

<Definition id="def-class-field" title="類体・導手・射線類体・Hilbert 類体">
<Ref to="thm-global-existence" /> のもとで、$C_K$ の開部分群 $N$ に対応する Abel 拡大 $L$（$N_{L/K}C_L = N$）を $N$ の**類体**という。

- Abel 拡大 $L/K$ に対し、$\overline{U}_{\mathfrak{m}} \subseteq N_{L/K}C_L$ を満たすモジュラス $\mathfrak{m}$ のうち最小のもの（各素点での指数が最小のもの）を $L/K$ の**導手** $\mathfrak{f}(L/K)$ という。
- モジュラス $\mathfrak{m}$ に対し、$\overline{U}_{\mathfrak{m}}$ の類体 $K_{\mathfrak{m}}$ を $\mathfrak{m}$ を法とする**射線類体**という。$\mathrm{Gal}(K_{\mathfrak{m}}/K) \cong C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}} \cong \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)$ である。
- $\mathfrak{m} = 1$ の射線類体 $H_K := K_1$ を $K$ の **Hilbert 類体**という。
</Definition>

導手が定義できること（条件を満たすモジュラスの全体に最小元があること）は、$U_{\mathfrak{m}}U_{\mathfrak{m}'} = U_{\gcd(\mathfrak{m}, \mathfrak{m}')}$（成分ごとに確かめられる）から従います。

### 7.2. $\mathbb{Q}$ の場合

<Theorem id="thm-cft-over-q" title="Q 上の相互法則と存在定理">
1. $m \ge 1$、$\mathfrak{m} = (m)\infty$ とする。$\mathrm{Art}_{\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q}} : I^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})$ は、$m$ と素な正の整数 $a$ のイデアル $(a)$ を $\sigma_a : \zeta_m \mapsto \zeta_m^a$ に写し、核は $P_{\mathfrak{m}}$ である。したがって $\mathrm{Cl}_{(m)\infty}(\mathbb{Q}) \cong \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})$ である。
2. $L/\mathbb{Q}$ を有限次 Abel 拡大とする。$L \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_m)$ となる $m$ が存在し、そのような任意の $m$ と $\mathfrak{m} = (m)\infty$ について、$\mathrm{Art}_{L/\mathbb{Q}} : I^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ は全射で、核は
$$
P_{\mathfrak{m}}N_{L/\mathbb{Q}}(I_L^{\mathfrak{m}}) = \{(a) \mid a \in \mathbb{Q}_{\gt 0}\ \text{は } m \text{ と素},\ \sigma_a|_L = 1\}
$$
である。また $C_{\mathbb{Q}}/N_{L/\mathbb{Q}}C_L \cong \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ である。
3. 対応 $L \mapsto N_{L/\mathbb{Q}}C_L$ は、$\mathbb{C}$ に含まれる $\mathbb{Q}$ の有限次 Abel 拡大の全体から $C_{\mathbb{Q}}$ の開部分群の全体への、包含関係を逆にする全単射である。
</Theorem>

<Proof of="thm-cft-over-q">
**1.** 素数 $p \nmid m$ の Frobenius 元は $\sigma_p$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#thm-cyclotomic-splitting" />）で、$a \mapsto \sigma_a$ は乗法的なので、$\mathrm{Art}((a)) = \sigma_a$ です。$I^{\mathfrak{m}}$ を $m$ と素な正の有理数の群と同一視すると、$\mathrm{Art}$ は $a/b \mapsto \sigma_{ab^{-1} \bmod m}$ で、$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times} \cong \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})$（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#thm-cyclotomic-irreducible" />）により、核は $ab^{-1} \equiv 1 \bmod m$ となる $a/b$ の全体 $P_{\mathfrak{m}}$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#prop-idele-class-q" />）。

**2.** $m$ の存在は Kronecker–Weber の定理（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#thm-kronecker-weber" />）です。$L \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_m)$ とします。$L$ での Frobenius 元は $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ での Frobenius 元の制限（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#prop-frobenius-properties" />）なので、$\mathrm{Art}_{L/\mathbb{Q}}((a)) = \sigma_a|_L$ で、核 $H_L$ は右辺の集合です。$H_L \supseteq P_{\mathfrak{m}}$ で、1 と制限写像の全射性から $[I^{\mathfrak{m}} : H_L] = [L:\mathbb{Q}]$ です。<Ref to="prop-artin-map-surjective" /> により $P_{\mathfrak{m}}N(I_L^{\mathfrak{m}}) \subseteq H_L$ で、解析的な不等式（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#thm-universal-norm-inequality" />）により $[I^{\mathfrak{m}} : P_{\mathfrak{m}}N(I_L^{\mathfrak{m}})] \le [L:\mathbb{Q}]$ です。指数を比べて $P_{\mathfrak{m}}N(I_L^{\mathfrak{m}}) = H_L$ です。

$C_{\mathbb{Q}}/NC_L$ について。$U_{\mathfrak{m}'} \subseteq N_{L/\mathbb{Q}}\mathbb{I}_L$ となるモジュラス $\mathfrak{m}'$ があり（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#prop-idele-norm" />）、$\mathfrak{m}'$ を大きくしても条件は保たれるので、$\mathfrak{m}' = (m')\infty$、$m \mid m'$ としてよいです。$L \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{m'})$ なので、<Ref to="thm-second-inequality" /> と、いま示したことを $m'$ に使うと
$$
C_{\mathbb{Q}}/N_{L/\mathbb{Q}}C_L \cong I^{\mathfrak{m}'}/P_{\mathfrak{m}'}N(I_L^{\mathfrak{m}'}) = I^{\mathfrak{m}'}/\ker\mathrm{Art}_{L/\mathbb{Q}} \cong \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})
$$
です。

**3.** まず、$\mathfrak{m} \mid \mathfrak{m}'$ のとき、同型 $C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}} \cong I^{\mathfrak{m}}/P_{\mathfrak{m}}$ と $C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}'} \cong I^{\mathfrak{m}'}/P_{\mathfrak{m}'}$ は、自然な全射 $C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}'} \to C_K/\overline{U}_{\mathfrak{m}}$ と包含 $I^{\mathfrak{m}'} \subseteq I^{\mathfrak{m}}$ が誘導する写像について両立します。イデール $a$ に対し $xa \in \mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m}')} \subseteq \mathbb{I}_K^{(\mathfrak{m})}$ となる $x$ を取ると、$\mathfrak{m}'_0$ を割る素点での $xa$ の成分は単数なので、2 つの $\psi$ による像は同じイデアルだからです。したがって、$\overline{U}_{\mathfrak{m}}$ を含む部分群 $N$ に $\mathfrak{m}$ を法として対応する合同部分群を $H$ とすると、$\mathfrak{m}'$ を法として対応する合同部分群は $H \cap I^{\mathfrak{m}'}$ です。

全射性。$N$ を $C_{\mathbb{Q}}$ の開部分群とします。$N \supseteq \overline{U}_{\mathfrak{m}}$ となる $\mathfrak{m} = (m)\infty$ があり（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#thm-open-subgroups" />）、対応する合同部分群を $H$ とします。1 の同型により $\mathrm{Art}(H)$ は $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})$ の部分群で、その固定体を $L$ とすると、2 により $\ker\mathrm{Art}_{L/\mathbb{Q}} = \{\mathfrak{a} \mid \mathrm{Art}(\mathfrak{a}) \in \mathrm{Art}(H)\} = H$ です。$m \mid m'$、$U_{\mathfrak{m}'} \subseteq N_{L/\mathbb{Q}}\mathbb{I}_L$ となる $\mathfrak{m}' = (m')\infty$ を取ります。$N_{L/\mathbb{Q}}C_L$ に $\mathfrak{m}'$ を法として対応する合同部分群は $P_{\mathfrak{m}'}N(I_L^{\mathfrak{m}'})$（<Ref to="thm-second-inequality" />）で、2 によりこれは $\ker(\mathrm{Art}_{L/\mathbb{Q}}|_{I^{\mathfrak{m}'}}) = H \cap I^{\mathfrak{m}'}$ です。$N$ に対応する合同部分群も $H \cap I^{\mathfrak{m}'}$ なので、$N = N_{L/\mathbb{Q}}C_L$ です。

単射性と包含の逆転。$L, L'$ を有限次 Abel 拡大とし、$L, L' \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{m'})$、$U_{\mathfrak{m}'} \subseteq N\mathbb{I}_L \cap N\mathbb{I}_{L'}$ となる $\mathfrak{m}' = (m')\infty$ を取ります。上と同じく、$NC_L$ と $NC_{L'}$ に対応する合同部分群は $\ker\mathrm{Art}_{L/\mathbb{Q}}$ と $\ker\mathrm{Art}_{L'/\mathbb{Q}}$ で、1 の同型のもとでこれらは $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{m'})/L)$ と $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{m'})/L')$ に対応します。Galois 理論の基本定理（<Ref to="mathematics/algebra/galois-theory#thm-fundamental" />）により、$L \subseteq L'$ は $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{m'})/L) \supseteq \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{m'})/L')$、すなわち $NC_L \supseteq NC_{L'}$ と同値です。特に $NC_L = NC_{L'}$ なら $L = L'$ です。
</Proof>

2 は、平方剰余の相互法則の一般化になっています。$L = \mathbb{Q}(\sqrt{q^{*}})$ では、「$p$ が $L$ で分解するかどうか」（$q^{*}$ が $\bmod p$ で平方かどうか）が、「$p \bmod q$ が指数 $2$ の部分群に入るかどうか」（$p$ が $\bmod q$ で平方かどうか）で決まる、という主張です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/cyclotomic-fields#prop-qr-via-frobenius" />）。

<Example id="ex-sqrt2-conductor" title="Q(√2) の導手と Artin 写像の核">
$L = \mathbb{Q}(\sqrt2) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_8)$（$\sqrt2 = \zeta_8 + \zeta_8^{-1}$）です。$\sigma_a(\sqrt2) = \zeta_8^a + \zeta_8^{-a}$ は $a \equiv \pm 1 \bmod 8$ で $\sqrt2$、$a \equiv \pm 3$ で $-\sqrt2$ なので、$\mathfrak{m} = (8)\infty$ として
$$
\ker\mathrm{Art}_{L/\mathbb{Q}} = \{(a) \mid a \equiv \pm 1 \bmod 8\}
$$
です。奇素数 $p$ が $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ で分解することと $p \equiv \pm 1 \bmod 8$ は同値、という第 2 補充法則（<Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#prop-two" />）がこれです。核は $-1$ の類を含むので、無限素点を外した $\mathfrak{m} = (8)$ でも合同部分群として定義できます。一方 $4$ を法としては定義できません（$3 \equiv -1 \bmod 4$ ですが $3$ は惰性）。よって導手は $\mathfrak{f} = (8)$ で、判別式 $8$ と一致し、無限素点を含みません。これは $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ が実の体であること（<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> の 3）に対応します。$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ では核は $a \equiv 1, 3 \bmod 8$ で、$-1$ の類を含まないので、導手は $(8)\infty$ です。
</Example>

## 8. 主定理からの帰結

この節の主張は、<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> と <Ref to="thm-global-existence" />（どちらも主張のみ）を仮定して証明します。各主張の直後に、どの定理に依存するかを書きます。

<Corollary id="cor-hilbert-class-field" title="Hilbert 類体">
$K$ を代数体、$H = H_K$ を Hilbert 類体とする。

1. $\mathrm{Gal}(H/K) \cong \mathrm{Cl}(K)$ で、$[H:K] = h_K$ である。
2. $H/K$ はすべての有限素点で不分岐で、$K$ の実素点の上の素点はすべて実である。$L/K$ が同じ性質をもつ有限次 Abel 拡大ならば $L \subseteq H$ である。
3. Artin 写像 $\mathrm{Art}_{H/K} : \mathrm{Div}(K) \to \mathrm{Gal}(H/K)$ の核は単項分数イデアルの群 $P(K)$ である。特に、$K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ が $H$ で完全分解することと、$\mathfrak{p}$ が単項イデアルであることは同値で、一般に $\mathfrak{p}$ の $H$ での剰余次数は $\mathfrak{p}$ の類の $\mathrm{Cl}(K)$ での位数に等しい。
</Corollary>

<Proof of="cor-hilbert-class-field">
**1.** 定義により $N_{H/K}C_H = \overline{U}_1$ で、<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> の 1 と <Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#thm-idele-ideal-class" /> から $\mathrm{Gal}(H/K) \cong C_K/\overline{U}_1 \cong \mathrm{Cl}(K)$ です。

**2.** $U_1 = \prod_{v \mid \infty}K_v^{\times} \times \prod_{v \nmid \infty}\mathcal{O}_v^{\times}$ なので、すべての有限素点 $v$ で $\mathcal{O}_v^{\times}$ の像が、すべての実素点で $K_v^{\times}$ の像が $N_{H/K}C_H$ に入り、<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> の 3 により前半が従います。$L$ が同じ性質をもつとします。$N_{L/K}C_L$ は開部分群なので、あるモジュラス $\mathfrak{m}$ で $\overline{U}_{\mathfrak{m}}$ を含み、同定理の 3 により、すべての有限素点の $\mathcal{O}_v^{\times}$ と実素点の $K_v^{\times}$ の像も含みます（複素素点では $L_w = K_v$ で、$K_v^{\times}$ の元はそれ自身のノルムです）。$U_1$ は、$U_{\mathfrak{m}}$ と、$\mathfrak{m}$ を割る有限個の素点での $\mathcal{O}_v^{\times}$ または $K_v^{\times}$ で生成されるので、$\overline{U}_1 \subseteq N_{L/K}C_L$、すなわち $N(H) \subseteq N(L)$ です。<Ref to="thm-global-existence" /> により $L \subseteq H$ です。

**3.** <Ref to="thm-artin-reciprocity" /> の 4 を $\mathfrak{m} = 1$ に使うと、$\mathrm{Art}_{H/K}$ は同型 $C_K/\overline{U}_1 \cong \mathrm{Div}(K)/P(K)$ のもとで $\psi_{H/K}$ に対応し、$\ker\psi_{H/K} = \overline{U}_1$ なので $\ker\mathrm{Art}_{H/K} = P(K)$ です。$\mathfrak{p}$ の剰余次数は $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}} = \mathrm{Art}_{H/K}(\mathfrak{p})$ の位数で、同型 $\mathrm{Cl}(K) \cong \mathrm{Gal}(H/K)$ により $\mathfrak{p}$ の類の位数です。
</Proof>

依存：<Ref to="thm-artin-reciprocity" />、<Ref to="thm-global-existence" />（主張のみ）。

<Corollary id="cor-abelian-splitting-law" title="Abel 拡大での分解法則は合同条件で決まる">
$L/K$ を代数体の有限次 Abel 拡大、$\mathfrak{m}$ を $\overline{U}_{\mathfrak{m}} \subseteq N_{L/K}C_L$ を満たすモジュラス、$H_L := P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ とする。$\mathfrak{m}_0$ を割らない素イデアル $\mathfrak{p}$ は $L$ で不分岐で、その剰余次数は $\mathfrak{p}$ の類の $I^{\mathfrak{m}}/H_L$ での位数 $f$ に等しく、$\mathfrak{p}$ は $[L:K]/f$ 個の素イデアルに分解する。特に、$\mathfrak{p}$ の分解の仕方は $\mathfrak{p}$ の $\mathfrak{m}$ を法とする射線類だけで決まり、$\mathfrak{p}$ が完全分解することと $\mathfrak{p} \in H_L$ は同値である。逆に $L$ は $H_L$ によって決まる。
</Corollary>

<Proof of="cor-abelian-splitting-law">
<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> の 3 と 4 により、$\mathfrak{p} \nmid \mathfrak{m}_0$ は不分岐で、$\mathrm{Art}_{L/K}$ は同型 $I^{\mathfrak{m}}/H_L \cong \mathrm{Gal}(L/K)$ を誘導します。$\mathfrak{p}$ の剰余次数は $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ の位数（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#prop-frobenius-properties" />）で、これは $\mathfrak{p}$ の類の位数です。個数は $efg = [L:K]$、$e = 1$ から出ます。$H_L \supseteq P_{\mathfrak{m}}$ なので類の位数は射線類で決まります。最後の主張：$H_L$ は有限個を除いて $\mathrm{Spl}(L/K)$ を決めるので、<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#cor-bauer" /> により $L$ が決まります。
</Proof>

依存：<Ref to="thm-artin-reciprocity" />（主張のみ）。$K = \mathbb{Q}$ では <Ref to="thm-cft-over-q" /> により無条件に成り立ちます。

<Corollary id="cor-primes-x2-ny2" title="p = x² + ny² と Hilbert 類体">
$n$ を平方因子のない正の整数で $n \not\equiv 3 \bmod 4$ とし、$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-n})$、$H$ をその Hilbert 類体とする。$2n$ を割らない素数 $p$ について
$$
p = x^2 + ny^2\ (x, y \in \mathbb{Z}) \iff p \text{ は } H \text{ で完全分解する}.
$$
$n = 5$ のとき $H = \mathbb{Q}(\sqrt{-5}, i)$ であり、素数 $p \ne 2, 5$ について
$$
p = x^2 + 5y^2 \iff p \equiv 1, 9 \bmod 20 .
$$
</Corollary>

<Proof of="cor-primes-x2-ny2">
$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$、$d_K = -4n$ です（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-quadratic-integers" />）。$p \nmid 2n$ は $K$ で不分岐です。$\alpha = x + y\sqrt{-n}$ のノルムは $x^2 + ny^2$ で、$N((\alpha)) = N(\alpha)$ です（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-ideal-norm" />）。

($\Rightarrow$) $p = N(\alpha)$ ならば $\mathfrak{p} := (\alpha)$ はノルム $p$ の単項な素イデアルで、$p\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}\bar{\mathfrak{p}}$、$\bar{\mathfrak{p}} = (\bar\alpha)$ も単項です。<Ref to="cor-hilbert-class-field" /> の 3 により $\mathfrak{p}$ と $\bar{\mathfrak{p}}$ は $H$ で完全分解するので、$p$ の上の $H$ の素イデアルはすべて剰余次数 $1$ で不分岐、すなわち $p$ は $H$ で完全分解します。

($\Leftarrow$) $p$ が $H$ で完全分解すれば、$K$ で分解し（$p\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}\bar{\mathfrak{p}}$、$N\mathfrak{p} = p$）、$\mathfrak{p}$ は $H$ で完全分解します。<Ref to="cor-hilbert-class-field" /> の 3 により $\mathfrak{p} = (\alpha)$ で、$p = N\mathfrak{p} = N(\alpha) = x^2 + ny^2$ です。

$n = 5$。$M := K(i) = \mathbb{Q}(i, \sqrt5)$ とおきます。$M/\mathbb{Q}$ で分岐しうる素数は $2$ と $5$ だけです。$\mathbb{Q}(\sqrt5)$ は $2$ で不分岐なので、$2$ の上の素イデアルの惰性群は $\mathrm{Gal}(M/\mathbb{Q}(\sqrt5))$ に含まれ（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#cor-splitting-fields" />）、$M/\mathbb{Q}$ での $2$ の分岐指数は $2$ 以下です。$K/\mathbb{Q}$ で $2$ はすでに分岐指数 $2$ なので、$M/K$ は $2$ の上で不分岐です。$\mathbb{Q}(i)$ が $5$ で不分岐であることから、$5$ の上でも同じです。$K$ の無限素点は複素なので、$M/K$ は <Ref to="cor-hilbert-class-field" /> の 2 の性質をもつ $2$ 次拡大で、$M \subseteq H$ です。$h_K = 2$ です。実際、$\mathrm{Cl}(K)$ はノルムが Minkowski 限界 $M_K = \frac{2}{\pi}\sqrt{20} \lt 3$ 以下の素イデアルの類で生成され（<Ref to="mathematics/number-theory/class-group-and-minkowski-bound#thm-class-number-finite" />）、そのような素イデアルは $\mathfrak{p}_2 = (2, 1 + \sqrt{-5})$ だけで、$\mathfrak{p}_2^2 = (2)$、$\mathfrak{p}_2$ は単項でない（$x^2 + 5y^2 = 2$ は解けない）からです。よって $[H:K] = 2$ で、$H = M$ です。$p \ne 2, 5$ が $M = \mathbb{Q}(i)\mathbb{Q}(\sqrt5)$ で完全分解することは、$\mathbb{Q}(i)$ と $\mathbb{Q}(\sqrt5)$ の両方で分解すること（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#cor-compositum" />）、すなわち $p \equiv 1 \bmod 4$ かつ $p \equiv \pm 1 \bmod 5$（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#prop-quadratic-splitting" /> と平方剰余の相互法則 <Ref to="mathematics/number-theory/quadratic-reciprocity#thm-qr" />）と同値で、これは $p \equiv 1, 9 \bmod 20$ です。
</Proof>

依存：<Ref to="cor-hilbert-class-field" />、したがって <Ref to="thm-artin-reciprocity" /> と <Ref to="thm-global-existence" />（主張のみ）。

<Example id="ex-hilbert-class-field-23" title="Q(√−23) の Hilbert 類体と x³ − x − 1">
$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ の類数は $3$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#ex-class-number-23-163" />）。$g(X) = X^3 - X - 1$ の判別式は $-4(-1)^3 - 27 = -23$ で、分解体 $M$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ を含む $S_3$ 拡大です。$23$ 以外の素数は $M$ で不分岐です。$23$ では $g \equiv (X - 3)(X - 10)^2 \bmod 23$ なので、3 次体 $\mathbb{Q}(\theta)$ で $23$ は $\mathfrak{q}_1\mathfrak{q}_2^2$ と分解し（<Ref to="mathematics/number-theory/rings-of-integers-and-dedekind-domains#thm-kummer-dedekind" />）、惰性群は 3 つの根のうち 1 つを固定する位数 $2$ の群です。$K$ で $23$ はすでに分岐指数 $2$ なので、$M/K$ は不分岐な $3$ 次巡回拡大で、<Ref to="cor-hilbert-class-field" /> により $M = H_K$ です。

$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\frac{1 + \sqrt{-23}}{2}]$ のノルム形式は $x^2 + xy + 6y^2$ なので、<Ref to="cor-primes-x2-ny2" /> と同じ議論で、$p \ne 23$ について「$p = x^2 + xy + 6y^2$」と「$g$ が $\bmod p$ で 3 つの根をもつ」が同値になります。計算すると、$p \le 230$ で $g$ が 3 つの根をもつ素数は $59, 101, 167, 173, 211, 223$ で、$59 = 5^2 + 5\cdot 2 + 6\cdot 2^2$、$101 = (-5)^2 + (-5)\cdot 4 + 6\cdot 4^2 = 25 - 20 + 96$ などと表せます。この条件は、どんな $m$ についても $p \bmod m$ だけでは書けません。$M/\mathbb{Q}$ が Abel 拡大でないからです。$K$ の上では Abel 拡大なので、$K$ の素イデアルの言葉（単項かどうか）では合同条件になっています。
</Example>

<Remark id="rem-x2-14y2" title="n = 14 の場合">
$n = 14$ では $h(-56) = 4$ で、Hilbert 類体は $K(\sqrt{2\sqrt2 - 1})$ です。$p \ne 2, 7$ について「$p = x^2 + 14y^2 \iff (\frac{-14}{p}) = 1$ かつ $(X^2 + 1)^2 = 8$ が $\bmod p$ で解ける」となります。合同条件 $(\frac{-14}{p}) = 1$ だけでは $x^2 + 14y^2$ と $2x^2 + 7y^2$ を区別できず、4 次式の条件が必要になります。証明は D. A. Cox『Primes of the Form $x^2 + ny^2$』第 5 節にあります。本章では証明しません（$p \lt 20000$ の素数については、この同値が成り立つことを計算で確かめられます）。
</Remark>

<Theorem id="thm-chebotarev-from-artin" title="Chebotarev の密度定理">
$L/K$ を代数体の有限次 Galois 拡大、$G = \mathrm{Gal}(L/K)$、$C \subseteq G$ を共役類とする。$L$ で不分岐で、Frobenius 元の共役類が $C$ である $K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ の集合は、Dirichlet 密度 $|C|/|G|$ をもつ。
</Theorem>

<Proof of="thm-chebotarev-from-artin">
**(i) Abel 拡大の場合。** $L/K$ を Abel 拡大、$\tau \in G$ とします。<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> の 4 により、モジュラス $\mathfrak{m}$ があって $\mathrm{Art}_{L/K}$ は同型 $I^{\mathfrak{m}}/H \cong G$（$H = P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$）を誘導します。$I^{\mathfrak{m}}/H$ の自明でない指標 $\chi$ について $L(1, \chi) \ne 0$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#thm-universal-norm-inequality" />）。よって <Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#prop-ray-density" /> の 3 により、$I^{\mathfrak{m}}/H$ の各類、すなわち $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}} = \tau$ となる $\mathfrak{p}$ の集合の密度は $1/[I^{\mathfrak{m}} : H] = 1/|G|$ です。

**(ii) 一般の場合。** $\tau \in C$ を取り、位数を $m$、$E := L^{\langle\tau\rangle}$ とします。$L/E$ は $m$ 次巡回拡大です。$L/K$ で不分岐な $\mathfrak{p}$ に対し、
$$
A_{\mathfrak{p}} := \{\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P} \text{ は } \mathfrak{p} \text{ の上の } L \text{ の素イデアルで } \mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}} = \tau\}
$$
とおきます。$\mathfrak{p}$ の上の素イデアルは $\sigma\mathfrak{P}_0$（$\sigma \in G/D$、$D = \langle\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}_0}\rangle$）で、$\mathrm{Frob}_{\sigma\mathfrak{P}_0} = \sigma\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}_0}\sigma^{-1}$ です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/decomposition-inertia-frobenius#prop-frobenius-properties" />）。よって $\mathfrak{p}$ の Frobenius 類が $C$ でなければ $A_{\mathfrak{p}} = \emptyset$、$C$ ならば $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}_0} = \tau$ としてよく、$|A_{\mathfrak{p}}| = |Z_G(\tau)|/m$ です（$Z_G(\tau)$ は中心化群。$\sigma\tau\sigma^{-1} = \tau$ となる $\sigma$ の、$D = \langle\tau\rangle$ を法とする類の個数）。

$\mathfrak{P} \in A_{\mathfrak{p}}$ とし、$\mathfrak{q} := \mathfrak{P} \cap \mathcal{O}_E$ とします。$\mathfrak{P}$ の $L/K$ での分解群は $\langle\tau\rangle = \mathrm{Gal}(L/E)$ なので、$L/E$ での分解群も $\langle\tau\rangle$ で、$f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{q}) = m = f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$、したがって $f(\mathfrak{q} \mid \mathfrak{p}) = 1$、$N\mathfrak{q} = N\mathfrak{p}$ で、$\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{q}$ の上のただ 1 つの素イデアル、$L/E$ での $\mathfrak{q}$ の Frobenius 元は $\tau^{f(\mathfrak{q} \mid \mathfrak{p})} = \tau$ です。逆に、$E$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ が、$K$ 上の剰余次数 $1$ で、下の $\mathfrak{p}$ が $L$ で不分岐で、$L/E$ での Frobenius 元が $\tau$ ならば、$\mathfrak{q}$ の上の $\mathfrak{P}$ について $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(L/K)^{1} = \mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}(L/E) = \tau$ で $\mathfrak{P} \in A_{\mathfrak{p}}$ です。こうして、そのような $\mathfrak{q}$ の集合 $B$ と $\bigsqcup_{\mathfrak{p}}A_{\mathfrak{p}}$ は 1 対 1 に対応し、
$$
\sum_{\mathfrak{q} \in B}N\mathfrak{q}^{-s} = \frac{|Z_G(\tau)|}{m}\sum_{\mathfrak{p}:\ \mathrm{Frob} = C}N\mathfrak{p}^{-s}
$$
です。(i) を Abel 拡大 $L/E$ に使うと、$L/E$ での Frobenius 元が $\tau$ である $E$ の素イデアルの集合の密度は $1/m$ です。そのうち $B$ に入らないものは、$K$ 上の剰余次数が $2$ 以上のもの（$N\mathfrak{q}^{-s}$ の和は有界。<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#lem-prime-sum" />）と、有限個の例外です。よって左辺は $\frac1m\log\frac{1}{s - 1} + O(1)$ で、
$$
\sum_{\mathfrak{p}:\ \mathrm{Frob} = C}N\mathfrak{p}^{-s} = \frac{1}{|Z_G(\tau)|}\log\frac{1}{s - 1} + O(1) = \frac{|C|}{|G|}\log\frac{1}{s - 1} + O(1)
$$
です（軌道・固定群の関係 $|C| = |G|/|Z_G(\tau)|$）。
</Proof>

依存：<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> の 4 を巡回拡大 $L/E$ に使っています（主張のみ）。これで <Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#thm-chebotarev" /> が、Artin の相互法則を除いて証明されました。$K = \mathbb{Q}$ 上の Abel 拡大では <Ref to="thm-cft-over-q" /> により無条件で、これは算術級数定理（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/dedekind-zeta-and-l-functions#thm-dirichlet-arithmetic-progressions" />）です。なお (ii) の還元は、非 Abel な $G$ についても巡回拡大 $L/E$ の相互法則しか使わないことに注意してください。

<Proposition id="prop-cubic-reciprocity" title="立方剰余記号と相互法則">
$\omega = \zeta_3$、$K = \mathbb{Q}(\omega)$、$\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\omega]$ とする。$a \in \mathcal{O}_K$、$a \ne 0$ とし、$\mathfrak{p}$ を $3a$ を割らない $K$ の素イデアル、$q := N\mathfrak{p}$ とする。

1. $q \equiv 1 \bmod 3$ であり、$a^{(q - 1)/3} \equiv \left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3 \bmod \mathfrak{p}$ を満たす 1 の 3 乗根 $\left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3 \in \{1, \omega, \omega^2\}$ がただ 1 つある（**立方剰余記号**）。$\left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3 = 1$ は、$x^3 \equiv a \bmod \mathfrak{p}$ が $\mathcal{O}_K$ で解けることと同値である。
2. $a$ が $K$ で立方数でないとき、$L := K(\sqrt[3]{a})$ は $K$ の 3 次巡回拡大で、$\mathfrak{p}$ は $L$ で不分岐であり、
$$
\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}\bigl(\sqrt[3]{a}\bigr) = \left(\frac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3\sqrt[3]{a}
$$
である。
3. $3a$ の素因子だけで割れる整イデアル $\mathfrak{m}_0$ があって、$3a$ を割らない素イデアル $\mathfrak{p} = (\pi)$、$\mathfrak{p}' = (\pi')$ が $\pi \equiv \pi' \bmod \mathfrak{m}_0$ を満たせば $\left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3 = \left(\dfrac{a}{\mathfrak{p}'}\right)_3$ である。
</Proposition>

<Proof of="prop-cubic-reciprocity">
**1.** $\mathbb{F} := \mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ は $q$ 元体です。$(1 - \omega)(1 - \omega^2) = 3 \notin \mathfrak{p}$ なので $1, \omega, \omega^2$ は $\mathbb{F}$ で相異なり、$\mathbb{F}^{\times}$ は位数 $3$ の元をもつので $3 \mid q - 1$ です。$\bar a \ne 0$ で、$c := \bar a^{(q - 1)/3}$ は $c^3 = \bar a^{q - 1} = 1$ を満たすので、$\mathbb{F}$ の中の 1 の 3 乗根 $\bar1, \bar\omega, \bar\omega^2$ のどれかちょうど 1 つに等しいです。$\mathbb{F}^{\times}$ は位数 $q - 1$ の巡回群（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#thm-unit-cyclic" />）なので、$\bar a$ が 3 乗であることと $\bar a^{(q - 1)/3} = 1$ は同値です。

**2.** $K$ は $\mu_3$ を含むので、Kummer 理論（<Ref to="mathematics/number-theory/s-units-and-kummer-theory#thm-kummer-cyclic" />）により $L/K$ は 3 次巡回拡大です。$\mathfrak{p} \nmid 3a$ なので、完備化 $K_{\mathfrak{p}}$ で $a$ は単数、$3$ は剰余標数と素で、<Ref to="lem-unit-root-unramified" /> により $K_{\mathfrak{p}}(\sqrt[3]{a})/K_{\mathfrak{p}}$ は不分岐です。$\mathfrak{p}$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ での完備化 $L_{\mathfrak{P}}$ はこの体なので、$\mathfrak{p}$ は $L$ で不分岐です（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/local-fields#thm-local-global-tensor" />）。$\beta := \sqrt[3]{a} \in \mathcal{O}_L$、$\sigma := \mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ とすると、$\sigma(\beta) = \zeta\beta$（$\zeta \in \mu_3$）で、Frobenius 元の定義から
$$
\zeta\beta = \sigma(\beta) \equiv \beta^q = \beta\cdot a^{(q - 1)/3} \equiv \left(\frac{a}{\mathfrak{p}}\right)_3\beta \bmod \mathfrak{P}
$$
です。$\beta^3 = a \notin \mathfrak{P}$ なので $\beta$ は $\mathfrak{P}$ を法として可逆で、$\zeta \equiv (a/\mathfrak{p})_3 \bmod \mathfrak{P}$、1 の 3 乗根は $\mathfrak{P}$ を法として相異なるので $\zeta = (a/\mathfrak{p})_3$ です。

**3.** $a$ が立方数なら記号はつねに $1$ です。そうでないとき、<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> の 4 により、モジュラス $\mathfrak{m}$ があって $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ の $\mathfrak{m}$ を法とする射線類だけで決まります。$\mathfrak{m}$ として導手を取ると、同定理の 3 により $\mathfrak{m}_0$ の素因子は $L$ で分岐する素イデアルで、2 によりそれは $3a$ を割ります（$K$ に実素点は無いので $\mathfrak{m}_\infty = \emptyset$）。$\pi \equiv \pi' \bmod \mathfrak{m}_0$ で $\pi, \pi'$ が $\mathfrak{m}_0$ と素ならば $\pi/\pi' \in K_{\mathfrak{m},1}$ で、$\mathfrak{p}$ と $\mathfrak{p}'$ は同じ射線類に属します。2 により記号が一致します。
</Proof>

依存：3 は <Ref to="thm-artin-reciprocity" />（主張のみ）。1 と 2 は無条件です。

<Remark id="rem-eisenstein" title="Eisenstein の立方剰余の相互法則">
3 は「$(a/\pi)_3$ は $\pi$ の合同類で決まる」という形の相互法則です。古典的な形は次のとおりです。$3$ を割らない $\mathbb{Z}[\omega]$ の素元 $\pi$ は、同伴元のうちちょうど 1 つが $\pi \equiv 2 \bmod 3$ を満たします（**準素**）。準素な素元 $\pi, \theta$ で $N\pi \ne N\theta$ のものについて $(\theta/\pi)_3 = (\pi/\theta)_3$ が成り立ちます（Eisenstein）。Gauss 和と Jacobi 和による初等的な証明は Ireland–Rosen『A Classical Introduction to Modern Number Theory』第 9 章にあります。4 次の場合（$\mathbb{Z}[i]$ の 4 次剰余記号）も同章にあります。<Ref to="thm-artin-reciprocity" /> からは、積公式 $\prod_v\theta_v(x) = 1$ と $3$ の上の素点での局所記号の計算によって導かれます（Cassels–Fröhlich の巻末の演習にある、冪剰余記号とノルム剰余記号の計算）。たとえば $a = 2$ については、「素数 $p \equiv 1 \bmod 3$ について、$2$ が $\bmod p$ で立方剰余であることと $p = x^2 + 27y^2$ と書けることは同値」という Gauss の結果が知られていて（Cox 第 4 節）、$p \le 160$ では $p = 31, 43, 109, 127, 157$ がそうです（$4^3 = 64 \equiv 2 \bmod 31$、$31 = 2^2 + 27$）。
</Remark>

## 9. この先

本章で主張のみとした 4 つの定理の証明には、次の道具が要ります。

- **一般の有限群の Tate コホモロジー** $\widehat{H}^q(G, M)$（$q \in \mathbb{Z}$）と、カップ積、次元移行。[群のコホモロジー](/mathematics/category-homological-algebra/group-cohomology)の $H^q$（$q \ge 0$）とホモロジー $H_q$ をノルム写像でつないだものです。
- **Tate の定理**：$G$ のすべての Sylow 部分群 $G_p$ について $H^1(G_p, C) = 0$ で $H^2(G_p, C)$ が位数 $|G_p|$ の巡回群ならば（**類形成**で満たされる条件）、$H^2(G, C)$ の生成元（基本類）とのカップ積が同型 $\widehat{H}^q(G, \mathbb{Z}) \cong \widehat{H}^{q + 2}(G, C)$ を与える。$q = -2$ で $G^{\mathrm{ab}} \cong C^G/NC$、すなわち相互法則です。
- **Brauer 群**：局所体では $H^2(\mathrm{Gal}(\overline{K}/K), \overline{K}^{\times}) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$（不変量写像）、代数体では完全列 $0 \to \mathrm{Br}(K) \to \bigoplus_v\mathrm{Br}(K_v) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0$。本章の <Ref to="thm-local-norm-index" /> と <Ref to="cor-hasse-norm" /> は、その巡回拡大での影です。
- **Lubin–Tate 理論**：局所体の完全分岐な Abel 拡大を、形式群の等分点で具体的に作る。$\mathbb{Q}_p$ での $\zeta_{p^k}$（乗法群の等分点。<Ref to="thm-local-kronecker-weber" />）の一般化です。

これらは、群のコホモロジーの章の拡充とあわせて別のテーマで扱う余地があります。また、類体論の先には、単項化定理（$K$ のすべてのイデアルは Hilbert 類体で単項になる。Furtwängler。証明は群論の移送の定理に帰着する。Artin–Tate『Class Field Theory』、Neukirch 第 VI 章 §7）と、類体塔の問題（Hilbert 類体を取る操作を繰り返すと類数 $1$ の体に到達するか。Golod–Shafarevich が否定的に解決。Cassels–Fröhlich 第 IX 章）があります。Abel でない拡大での分解法則を記述する試みが Langlands プログラムで、そこでは $C_K$ の指標が保型表現に置き換わります。

## 10. 演習

<Exercise id="exr-herbrand-sign" difficulty="易">
$G = \{1, \sigma\}$ を位数 $2$ の群とし、$\mathbb{Z}_{-}$ を、$\sigma$ が $-1$ 倍で作用する $\mathbb{Z}$ とする。$h(\mathbb{Z}_{-})$ を求め、完全列 $0 \to \mathbb{Z}_{-} \to \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z} \to 0$（$1 \mapsto 1 - \sigma$、$a + b\sigma \mapsto a + b$）について <Ref to="lem-herbrand-quotient" /> の乗法性を確かめよ。
<Solution>
$\mathbb{Z}_{-}$ では $N = 1 + \sigma$ は $0$ 倍、$\Delta = \sigma - 1$ は $-2$ 倍です。$\widehat{H}^0 = \ker\Delta/\operatorname{im}N = 0/0$ は位数 $1$、$\widehat{H}^{-1} = \ker N/\operatorname{im}\Delta = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は位数 $2$ なので $h(\mathbb{Z}_{-}) = 1/2$ です。$\mathbb{Z}$（自明な作用）では $h = 2$（<Ref to="thm-local-norm-index" /> の証明）、$\mathbb{Z}[G] = \mathbb{Z}\cdot 1 \oplus \sigma(\mathbb{Z}\cdot 1)$ では <Ref to="lem-semilocal" /> により $\widehat{H}^q = 0$ で $h = 1$ です。列が完全であることは、$a + b\sigma \mapsto a + b$ の核が $a(1 - \sigma)$ の全体で、$\sigma(1 - \sigma) = -(1 - \sigma)$ であることから分かります。$h(\mathbb{Z}[G]) = 1 = \frac12\cdot 2 = h(\mathbb{Z}_{-})h(\mathbb{Z})$ で、乗法性が成り立っています。$L/K$ が 2 次拡大のとき、$\mathbb{Z}_{-}$ は「ノルムが $1$ の方向」を表す加群として現れます。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-ray-class-field-gaussian" difficulty="標準">
$K = \mathbb{Q}(i)$、$\mathfrak{m} = (3)$ とする。$\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)$ は位数 $2$ である（<Ref to="mathematics/algebraic-number-theory/adeles-and-ideles#exr-ray-class-gaussian" />）。$L = K(\sqrt{-3}) = \mathbb{Q}(\zeta_{12})$ について、$3$ を割らない素イデアル $\mathfrak{p} = (\pi)$ が $L$ で分解する条件を $N\pi$ で表し、それが $\pi$ の射線類だけで決まることを直接確かめよ。<Ref to="thm-global-existence" /> を認めると、$L$ は何と呼ばれる体か。
<Solution>
$L = K(\omega)$（$\omega = \zeta_3$）で、$\mathfrak{p} \nmid 3$ は $L$ で不分岐です（<Ref to="lem-unit-root-unramified" />）。$\mathfrak{p}$ が分解することは、$X^2 + X + 1$ が剰余体 $\mathbb{F} = \mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ で根をもつこと、すなわち $\mathbb{F}^{\times}$ が位数 $3$ の元をもつことと同値で、$3 \mid N\pi - 1$、すなわち $N\pi \equiv 1 \bmod 3$ と同値です（$N\pi \equiv 2 \bmod 3$ なら惰性）。

射線類で決まること：$P_{\mathfrak{m}}$ は $\alpha \equiv 1 \bmod 3$ となる $\alpha$ の生成する単項イデアルの群で、$(\pi)$ と $(\pi')$ が同じ射線類に属するのは、ある単数 $u \in \{\pm 1, \pm i\}$ について $\pi \equiv u\pi' \bmod 3$ となるときです。このとき $N\pi \equiv N(u)N\pi' = N\pi' \bmod 3$ です（$\pi \equiv \rho \bmod 3$ なら $\bar\pi \equiv \bar\rho$ なので $N\pi \equiv N\rho$）。実際、ノルムは全射準同型 $(\mathcal{O}_K/3)^{\times} = \mathbb{F}_9^{\times} \to \mathbb{F}_3^{\times}$（$x \mapsto x^4$）を誘導し、核は位数 $4$ で、単数の像 $\{\pm 1, \pm i\}$ に一致します。よって $\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}} \cong \mathbb{F}_9^{\times}/\{\pm 1, \pm i\} \cong \mathbb{F}_3^{\times}$、$(\pi) \mapsto N\pi \bmod 3$ で、$(\pi)$ が分解することと $(\pi) \in P_{\mathfrak{m}}$ は同値です。

$L/K$ は $(3)$ の外で不分岐な $2$ 次拡大で、完全分解する素イデアルの集合が $P_{\mathfrak{m}}$ の素イデアルの集合に一致します。<Ref to="thm-global-existence" /> と <Ref to="cor-abelian-splitting-law" /> を認めると、$L$ は $\mathfrak{m} = (3)$ を法とする射線類体 $K_{(3)}$ です。たとえば $\pi = 2 + i$（$N\pi = 5 \equiv 2$）は惰性、$\pi = 2 + 3i$（$N\pi = 13 \equiv 1$）は分解します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-x2-5y2" difficulty="標準">
<Ref to="cor-primes-x2-ny2" /> を認めて、次を示せ。(1) $p = 29, 41, 61, 89$ を $x^2 + 5y^2$ の形に表せ。(2) 素数 $p \equiv 3, 7 \bmod 20$ は $x^2 + 5y^2$ と書けないが、$2p = x^2 + 5y^2$ と書けることを示し、$p = 3, 7, 23$ で確かめよ。
<Solution>
(1) $29 = 3^2 + 5\cdot 2^2$、$41 = 6^2 + 5\cdot 1^2$、$61 = 4^2 + 5\cdot 3^2$、$89 = 3^2 + 5\cdot 4^2$ です。いずれも $p \equiv 1, 9 \bmod 20$ です。

(2) $p \equiv 3, 7 \bmod 20$ は $1, 9$ でないので $x^2 + 5y^2$ と書けません。一方 $(\frac{-5}{p}) = (\frac{-1}{p})(\frac{5}{p}) = (-1)(-1) = 1$（$p \equiv 3 \bmod 4$、$p \equiv \pm 2 \bmod 5$）なので $p$ は $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ で分解し、$p\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}\bar{\mathfrak{p}}$ です。$\mathfrak{p}$ は単項でない（単項なら $p = x^2 + 5y^2$）ので、位数 $2$ の群 $\mathrm{Cl}(K)$ の自明でない類に属します。$\mathfrak{p}_2 = (2, 1 + \sqrt{-5})$ も自明でない類に属する（$2 = x^2 + 5y^2$ は解けない）ので、$\mathfrak{p}\mathfrak{p}_2$ は単項で、$\mathfrak{p}\mathfrak{p}_2 = (\alpha)$、$N(\alpha) = 2p$ です。$\alpha = x + y\sqrt{-5}$ と書くと $2p = x^2 + 5y^2$ です。$6 = 1^2 + 5\cdot 1^2$、$14 = 3^2 + 5\cdot 1^2$、$46 = 1^2 + 5\cdot 3^2$ です。この議論は類数の有限性と $h = 2$ しか使っておらず、類体論に依存するのは「単項であること $\iff p \equiv 1, 9 \bmod 20$」の部分だけです。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

1. J. W. S. Cassels, A. Fröhlich (eds.), *Algebraic Number Theory*, Academic Press, 1967 — 第 VI 章（J.-P. Serre「Local class field theory」）、第 VII 章（J. Tate「Global class field theory」。Herbrand 商による第 1 不等式）、巻末の演習。
2. J. Neukirch, *Algebraic Number Theory*, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Springer, 1999 — 第 IV 章（抽象類体論、Herbrand 商）、第 V 章（局所類体論、Lubin–Tate）、第 VI 章（大域類体論、射線類体、Hilbert 類体）。
3. S. Lang, *Algebraic Number Theory*, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 110, Springer, 1994 — 第 IX 章（ノルム指数の計算）、第 X 章（Artin 記号と相互法則）、第 XI 章（存在定理）。
4. J.-P. Serre, *Local Fields*, Graduate Texts in Mathematics 67, Springer, 1979 — 第 VIII 章（巡回群と Herbrand 商）、第 XI〜XIV 章（局所類体論）。
5. L. C. Washington, *Introduction to Cyclotomic Fields*, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 83, Springer, 1997 — 第 14 章（Kronecker–Weber の定理の局所的な証明。本章の <Ref to="thm-local-kronecker-weber" /> の筋はこれによります）。
6. D. A. Cox, *Primes of the Form $x^2 + ny^2$*, 2nd ed., Wiley, 2013 — 第 1 章（平方剰余・立方剰余と $x^2 + ny^2$）、第 2 章（Hilbert 類体と類体論の主張）。
7. E. Artin, J. Tate, *Class Field Theory*, AMS Chelsea Publishing, 2009 — 類形成と Tate の定理、存在定理、単項化定理。
8. K. Ireland, M. Rosen, *A Classical Introduction to Modern Number Theory*, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 84, Springer, 1990 — 第 9 章（立方剰余と 4 次剰余の相互法則）。