# アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書

> 代数閉体上の代数的集合と Zariski 位相を定め、根基イデアルとの対応、既約分解、正則関数環が座標環に一致すること、アフィン多様体の圏と有限生成整域の圏の反変同値、積、次元と超越次数、双有理同値と関数体の関係を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebraic-geometry-1/affine-varieties

## 0. この記事の要点

円や放物線のような図形は、「多項式が 0 になる点の集まり」として書けます。この記事は、そうした図形を、その上の関数が作る環（式の足し算と掛け算ができる集まり）から調べる方法を作ります。図形の形、図形どうしの写し方、大きさ（次元）が、すべて環の言葉に翻訳できることが分かり、読み終えると、幾何の問いを環の計算に直して解けるようになります。

- 代数閉体 $k$ 上のアフィン空間 $\mathbb{A}^n = k^n$ で、多項式の共通零点の集合 $\mathbf{V}(S)$ を閉集合とする位相を **Zariski 位相**といいます。Hilbert の零点定理により、閉集合と $k[x_1, \ldots, x_n]$ の[根基イデアル](/mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#def-radical)は包含を逆にして 1 対 1 に対応し、既約な閉集合は素イデアルに、点は極大イデアルに対応します。
- $\mathbb{A}^n$ は Noether 位相空間（閉集合の降鎖がいつか止まる位相空間）で、閉集合は有限個の既約成分の和にただ一通りに分解します。既約成分はイデアルの極小素イデアルに対応します。
- 既約な閉集合 $X$（**アフィン多様体**）の**座標環** $k[X] = k[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{I}(X)$ は有限生成な整域で、$X$ 上の正則関数の環に一致します。主開集合 $D(f)$ の上では $k[X]_f$、点 $p$ での[局所環](/mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#def-local-ring)は $k[X]_{\mathfrak{m}_p}$ です。
- 射 $X \to Y$ と $k$ 代数の準同型 $k[Y] \to k[X]$ は 1 対 1 に対応し、アフィン多様体の圏は有限生成な整域 $k$ 代数の圏と**反変同値**（矢印の向きを逆にした[圏同値](/mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-equivalence)）です。積 $X \times Y$ の座標環は $k[X] \otimes_k k[Y]$ です。
- $\dim X = \dim k[X] = \operatorname{trdeg}_k k(X)$ で、$\mathbb{A}^n$ の次元は $n$、超曲面の既約成分はすべて $n - 1$ 次元、逆に $n - 1$ 次元の既約閉集合は既約多項式 1 個の零点です。
- 像が稠密な射は関数体の埋め込みを与え、二つのアフィン多様体が**双有理同値**であることと、関数体が $k$ 上同型であることは同値です。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **根基イデアル**: $\sqrt{\mathfrak{a}} = \mathfrak{a}$ となるイデアル。→ [根基](/mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#def-radical)
- **素イデアルと極大イデアル**: 剰余環がそれぞれ整域、体になるイデアル。→ [素イデアルと極大イデアル](/mathematics/algebra/ideals-and-quotient-rings#def-prime-maximal)
- **局所化**: 分母に許す元の集合を決めて、分数を作る操作。→ [局所化](/mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#def-localization)
- **超越次数**: 体の拡大で、代数的に独立にとれる元の最大個数。→ [超越次数](/mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#def-transcendence-degree)
- **閉包と稠密**: 集合を含む最小の閉集合が閉包で、閉包が全体になる集合が稠密。→ [閉包](/mathematics/topology/topological-spaces#def-interior-closure)
- **テンソル積**: 双線形写像を線形写像に直す普遍的な構成。→ [テンソル積](/mathematics/linear-algebra/tensor-products#def-tensor-product)

</Aside>

## 1. 動機

円 $x^2 + y^2 = 1$、放物線 $y = x^2$、尖った曲線 $y^2 = x^3$ は、どれも多項式の零点として書ける図形です。代数幾何は、このような図形を方程式の代数的な性質から調べます。出発点になる問いは次の 2 つです。

1. 図形が同じなら方程式（の生成するイデアル）は同じか。$x = 0$ と $x^2 = 0$ は同じ直線を定めますが、イデアル $(x)$ と $(x^2)$ は異なります。図形からイデアルを復元するには、何を同一視すればよいのか。
2. 二つの図形が「同じ」とはどういうことか。放物線 $y = x^2$ は $t \mapsto (t, t^2)$ で直線と行き来できますが、$y^2 = x^3$ は $t \mapsto (t^2, t^3)$ で直線と全単射に対応するのに、原点が尖っていて直線と同じには見えません。この違いをどう捉えるのか。

1 への答えが **Hilbert の零点定理**です。係数体が代数閉体なら、図形に対応するのは根基イデアルで、$\mathbf{I}(\mathbf{V}(\mathfrak{a})) = \sqrt{\mathfrak{a}}$ が成り立ちます。2 への答えは、図形の上の関数の環（座標環）を見ることです。図形の間の射は座標環の間の準同型と逆向きに 1 対 1 に対応し、図形が同型であることと座標環が同型であることは同値になります。$y^2 = x^3$ の座標環は $k[t^2, t^3]$ と同型で、$k[t]$ より真に小さいので、この曲線は $t \mapsto (t^2, t^3)$ によっては直線と同型になりません。

こうして「幾何の命題を座標環の命題に直し、可換環論で解く」という方針が立ちます。この記事では、この辞書を次の表の範囲で完成させます。

| 幾何 | 代数 |
|---|---|
| 閉集合 $Z \subseteq \mathbb{A}^n$ | 根基イデアル $\mathbf{I}(Z)$ |
| 既約な閉集合 | 素イデアル |
| 点 | 極大イデアル |
| 既約成分 | 極小素イデアル |
| アフィン多様体 $X$ | 有限生成な整域 $k[X]$ |
| 射 $X \to Y$ | 準同型 $k[Y] \to k[X]$ |
| 積 $X \times Y$ | テンソル積 $k[X] \otimes_k k[Y]$ |
| 次元 | Krull 次元、関数体の超越次数 |

環の側の定理（零点定理、局所化、次元論）は記事 [整拡大の応用：Noether の正規化定理と零点定理](/mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz)、[局所化と素イデアルのスペクトル](/mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum)、[Krull 次元と単項イデアル定理](/mathematics/commutative-algebra/krull-dimension) で証明済みのものを使い、再証明しません。この辞書は、係数体が代数閉でないときや、冪零元を覚えておきたいとき（$x^2 = 0$ を「二重の直線」として扱いたいとき）には不足します。それを補うのが記事 [アフィンスキームとスキーム](/mathematics/algebraic-geometry-1/affine-schemes-and-schemes) のスキームで、この記事の多様体はその原型です。

この記事を通して $k$ は代数閉体、環は単位元をもつ可換環とします。$k[x_1, \ldots, x_n]$ を $k[x]$ と略すことがあります。

## 2. 代数的集合と Zariski 位相

<Definition id="def-affine-space" title="アフィン空間・代数的集合・Zariski 位相">
$n \ge 0$ とする。集合 $k^n$ を $\mathbb{A}^n$ と書き、$n$ 次元**アフィン空間**という。$S \subseteq k[x_1, \ldots, x_n]$ と $Z \subseteq \mathbb{A}^n$ に対し

$$
\mathbf{V}(S) = \{ a \in \mathbb{A}^n : \text{すべての } f \in S \text{ で } f(a) = 0 \}, \qquad \mathbf{I}(Z) = \{ f \in k[x_1, \ldots, x_n] : \text{すべての } a \in Z \text{ で } f(a) = 0 \}
$$

とおく（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#def-algebraic-set" /> と同じ記号）。$\mathbf{V}(S)$ の形の集合を**代数的集合**という。代数的集合を閉集合とする $\mathbb{A}^n$ の位相（<Ref to="lem-v-properties" /> で位相になることを示す）を **Zariski 位相**という。$\mathbb{A}^n$ の部分集合には、つねにこの位相の相対位相を入れる。
</Definition>

<Lemma id="lem-v-properties" title="V と I の性質">
$S, T$ を $k[x_1, \ldots, x_n]$ の部分集合、$\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{a}_\lambda$ をイデアル、$Z, W$ を $\mathbb{A}^n$ の部分集合とする。

1. $S \subseteq T$ なら $\mathbf{V}(T) \subseteq \mathbf{V}(S)$。$Z \subseteq W$ なら $\mathbf{I}(W) \subseteq \mathbf{I}(Z)$。
2. $S$ の生成するイデアルを $(S)$ とすると $\mathbf{V}(S) = \mathbf{V}((S)) = \mathbf{V}(\sqrt{(S)})$。
3. $\mathbf{V}(\{0\}) = \mathbb{A}^n$、$\mathbf{V}(\{1\}) = \varnothing$、$\bigcap_\lambda \mathbf{V}(\mathfrak{a}_\lambda) = \mathbf{V}\bigl(\sum_\lambda \mathfrak{a}_\lambda\bigr)$、$\mathbf{V}(\mathfrak{a}) \cup \mathbf{V}(\mathfrak{b}) = \mathbf{V}(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = \mathbf{V}(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b})$。したがって代数的集合の全体は閉集合系の公理を満たす。
4. $\mathbf{I}(Z)$ は根基イデアルであり、$\mathbf{V}(\mathbf{I}(Z))$ は $Z$ の Zariski 位相での閉包 $\overline{Z}$ に等しい。とくに $Z$ が閉集合なら $\mathbf{V}(\mathbf{I}(Z)) = Z$。
5. $\mathbf{I}(Z \cup W) = \mathbf{I}(Z) \cap \mathbf{I}(W)$。
</Lemma>

<Proof of="lem-v-properties">
(1) $a \in \mathbf{V}(T)$ なら $T$ のすべての元が $a$ で消えるので、$S \subseteq T$ の元も消えます。後半も同じです。

(2) $S \subseteq (S) \subseteq \sqrt{(S)}$ と (1) から $\mathbf{V}(\sqrt{(S)}) \subseteq \mathbf{V}((S)) \subseteq \mathbf{V}(S)$ です。逆に $a \in \mathbf{V}(S)$、$f \in \sqrt{(S)}$ とすると、ある $m \ge 1$ と $g_i \in k[x]$、$s_i \in S$ で $f^m = \sum_i g_i s_i$ と書けます。$a$ を代入すると $f(a)^m = \sum_i g_i(a)s_i(a) = 0$ で、$k$ は体なので $f(a) = 0$ です。よって $a \in \mathbf{V}(\sqrt{(S)})$ です。

(3) 定数 $0$ はすべての点で消え、定数 $1$ はどの点でも消えません。$a$ がすべての $\mathfrak{a}_\lambda$ の元の零点であることと、それらの有限和の全体 $\sum_\lambda \mathfrak{a}_\lambda$ の元の零点であることは同値です。最後の等式を示します。$\mathfrak{a}\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ と (1) から $\mathbf{V}(\mathfrak{a}) \cup \mathbf{V}(\mathfrak{b}) \subseteq \mathbf{V}(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}) \subseteq \mathbf{V}(\mathfrak{a}\mathfrak{b})$ です。$a \notin \mathbf{V}(\mathfrak{a}) \cup \mathbf{V}(\mathfrak{b})$ なら $f(a) \ne 0$、$g(a) \ne 0$ となる $f \in \mathfrak{a}$、$g \in \mathfrak{b}$ があり、$fg \in \mathfrak{a}\mathfrak{b}$ かつ $(fg)(a) \ne 0$ なので $a \notin \mathbf{V}(\mathfrak{a}\mathfrak{b})$ です。(2) によりどの代数的集合もイデアルの $\mathbf{V}$ として書けるので、全体と空集合が代数的集合で、任意個の共通部分と 2 個の和で閉じています。

(4) $f^m \in \mathbf{I}(Z)$ なら各 $a \in Z$ で $f(a)^m = 0$、したがって $f(a) = 0$ なので $f \in \mathbf{I}(Z)$ です。和と $k[x]$ の元による積で閉じることは定義から分かるので、$\mathbf{I}(Z)$ は根基イデアルです。$\mathbf{V}(\mathbf{I}(Z))$ は $Z$ を含む閉集合です。$Z$ を含む任意の閉集合 $\mathbf{V}(\mathfrak{a})$ について、$\mathfrak{a}$ の元は $Z$ の上で消えるので $\mathfrak{a} \subseteq \mathbf{I}(Z)$、(1) により $\mathbf{V}(\mathbf{I}(Z)) \subseteq \mathbf{V}(\mathfrak{a})$ です。よって $\mathbf{V}(\mathbf{I}(Z))$ は $Z$ を含む最小の閉集合、すなわち閉包です。

(5) $f$ が $Z \cup W$ の上で消えることは、$Z$ の上でも $W$ の上でも消えることと同値です。
</Proof>

$n = 1$ のとき、$k[x]$ の $0$ でない多項式の根は有限個なので、$\mathbb{A}^1$ の閉集合は全体と有限集合だけです。代数閉体は無限集合です（有限集合 $\{a_1, \ldots, a_q\}$ なら $\prod_i (t - a_i) + 1$ が根をもたない）から、$\mathbb{A}^1$ の空でない二つの開集合は必ず交わり、Zariski 位相は Hausdorff ではありません。

<Theorem id="thm-ideal-variety-correspondence" title="イデアルと代数的集合の対応">
$k$ を代数閉体とする。

1. $k[x_1, \ldots, x_n]$ の任意のイデアル $\mathfrak{a}$ について $\mathbf{I}(\mathbf{V}(\mathfrak{a})) = \sqrt{\mathfrak{a}}$。
2. $Z \mapsto \mathbf{I}(Z)$ と $\mathfrak{a} \mapsto \mathbf{V}(\mathfrak{a})$ は、$\mathbb{A}^n$ の閉集合の全体と $k[x_1, \ldots, x_n]$ の根基イデアルの全体の間の、包含関係を逆にする互いに逆な全単射である。
3. この対応で、閉集合 $Z$ が既約であることと $\mathbf{I}(Z)$ が素イデアルであることは同値である。
4. この対応で、1 点 $\{a\}$ は極大イデアル $\mathfrak{m}_a = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)$ に対応し、極大イデアルはこの形のものに限る。
</Theorem>

<Proof of="thm-ideal-variety-correspondence">
(1) と (2) は Hilbert の零点定理（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#thm-nullstellensatz" /> の (2)、(3)）です。(4) の前半も同じ定理の (3) に含まれ、極大イデアルが $\mathfrak{m}_a$ に限ることは <Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#cor-maximal-ideals-affine" /> の (3) です。

(3) を示します。既約の定義は <Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#def-irreducible" /> のものです。

$Z$ が既約とします。$Z \ne \varnothing$ なので $1 \notin \mathbf{I}(Z)$ です。$fg \in \mathbf{I}(Z)$ とすると、$Z$ の各点で $f$ か $g$ が消えるので $Z = (Z \cap \mathbf{V}(f)) \cup (Z \cap \mathbf{V}(g))$ で、右辺の 2 つは $Z$ の閉集合です。既約性から一方が $Z$ に等しく、たとえば $Z \subseteq \mathbf{V}(f)$ なら $f \in \mathbf{I}(Z)$ です。よって $\mathbf{I}(Z)$ は素イデアルです。

逆に $\mathfrak{p} = \mathbf{I}(Z)$ が素イデアルとします。$\mathfrak{p} \ne k[x]$ なので $Z \ne \varnothing$ です（$\mathbf{I}(\varnothing) = k[x]$）。$Z = Z_1 \cup Z_2$（$Z_i$ は $Z$ の閉集合。$Z$ が閉なので $\mathbb{A}^n$ の閉集合でもある）とすると、<Ref to="lem-v-properties" /> の (5) により $\mathfrak{p} = \mathbf{I}(Z_1) \cap \mathbf{I}(Z_2)$ です。$\mathfrak{p} \ne \mathbf{I}(Z_1)$ なら $f \in \mathbf{I}(Z_1) \setminus \mathfrak{p}$ が取れ、任意の $g \in \mathbf{I}(Z_2)$ について $fg \in \mathbf{I}(Z_1) \cap \mathbf{I}(Z_2) = \mathfrak{p}$、$f \notin \mathfrak{p}$ なので $g \in \mathfrak{p}$ です。したがって $\mathbf{I}(Z_2) \subseteq \mathfrak{p} \subseteq \mathbf{I}(Z_2)$ で、(2) により $Z_2 = \mathbf{V}(\mathbf{I}(Z_2)) = \mathbf{V}(\mathfrak{p}) = Z$ です。$\mathfrak{p} = \mathbf{I}(Z_1)$ なら同じく $Z_1 = Z$ です。よって $Z$ は既約です。
</Proof>

(1) は $k$ が代数閉体でないと成り立ちません。$k = \mathbb{R}$ で $\mathfrak{a} = (x^2 + 1)$ とすると $\mathbf{V}(\mathfrak{a}) = \varnothing$ で $\mathbf{I}(\mathbf{V}(\mathfrak{a})) = \mathbb{R}[x] \ne \sqrt{\mathfrak{a}}$ です。代数閉でない体の上で同じ辞書を作るには、点の集合を $k^n$ ではなく素イデアルの集合に取り替える必要があり、それがスキームの考え方です。

$\mathbb{A}^n$ 自身は $\mathbf{I}(\mathbb{A}^n) = \sqrt{(0)} = (0)$ で、$k[x]$ は整域なので $(0)$ は素イデアル、したがって $\mathbb{A}^n$ は既約です。

## 3. Noether 位相空間と既約成分

<Definition id="def-noetherian-space" title="Noether 位相空間・既約成分">
位相空間 $X$ が **Noether 位相空間**であるとは、閉集合の降鎖 $Z_1 \supseteq Z_2 \supseteq \cdots$ が必ず停留する（ある $N$ があって $i \ge N$ なら $Z_i = Z_N$）ことをいう。位相空間 $X$ の既約な部分集合のうち、包含に関して極大なものを $X$ の**既約成分**という。
</Definition>

既約性について、以下で何度も使う一般的な事実をまとめておきます。部分集合 $Y \subseteq X$ の閉集合は $Z \cap Y$（$Z$ は $X$ の閉集合）の形なので、$Y$ が既約であることは「$Y \ne \varnothing$ で、$X$ の閉集合 $Z_1, Z_2$ が $Y \subseteq Z_1 \cup Z_2$ を満たせば $Y \subseteq Z_1$ または $Y \subseteq Z_2$」と言い換えられます。直観的には、既約とは「二つの小さな閉集合には分けられない」ことです。$\mathbb{A}^1$ のように空でない開集合どうしが必ず交わる空間が既約な例で、ふつうの距離空間では起こらない現象です。

<Lemma id="lem-irreducible-basics" title="既約な集合の基本性質">
$X$ を位相空間とする。

1. 部分集合 $Y \subseteq X$ が既約であることと、閉包 $\overline{Y}$ が既約であることは同値である。とくに既約成分は閉集合である。
2. $X$ が既約で $U \subseteq X$ が空でない開集合なら、$U$ は $X$ で稠密で、$U$ は既約である。空でない二つの開集合は交わる。
3. $f\colon X \to X'$ が連続で $X$ が既約なら、像 $f(X)$ は既約である。
4. 既約な部分集合 $W$ が有限個の閉集合の和 $Z_1 \cup \cdots \cup Z_r$ に含まれれば、ある $i$ で $W \subseteq Z_i$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-irreducible-basics">
(1) 閉集合 $Z$ について $Y \subseteq Z$ と $\overline{Y} \subseteq Z$ は同値で、$Y \ne \varnothing$ と $\overline{Y} \ne \varnothing$ も同値です。したがって上の言い換えの条件は $Y$ と $\overline{Y}$ で同じです。既約成分 $Y$ については、$\overline{Y}$ が $Y$ を含む既約な集合なので、極大性から $Y = \overline{Y}$ です。

(2) $X = \overline{U} \cup (X \setminus U)$ は閉集合 2 つの和で、$X \setminus U \ne X$ なので、既約性から $\overline{U} = X$ です。$X$ の閉集合 $Z_1, Z_2$ が $U \subseteq Z_1 \cup Z_2$ を満たせば、$X = \overline{U} \subseteq Z_1 \cup Z_2$ なので $X \subseteq Z_1$ または $X \subseteq Z_2$ で、$U$ もその一方に含まれます。よって $U$ は既約です。空でない開集合 $U, U'$ が交わらなければ $X = (X \setminus U) \cup (X \setminus U')$ で、どちらも $X$ と異なる閉集合なので既約性に反します。

(3) $f(X) \ne \varnothing$ です。$X'$ の閉集合 $Z_1, Z_2$ が $f(X) \subseteq Z_1 \cup Z_2$ を満たせば、$X = f^{-1}(Z_1) \cup f^{-1}(Z_2)$ は閉集合 2 つの和なので、たとえば $X = f^{-1}(Z_1)$、すなわち $f(X) \subseteq Z_1$ です。

(4) $r$ についての帰納法です。$r = 1$ は自明です。$W \subseteq Z_1 \cup (Z_2 \cup \cdots \cup Z_r)$ は閉集合 2 つの和に含まれるので、$W \subseteq Z_1$ か $W \subseteq Z_2 \cup \cdots \cup Z_r$ で、後者なら帰納法の仮定が使えます。
</Proof>

<Lemma id="lem-affine-space-noetherian" title="アフィン空間は Noether 位相空間">
1. $\mathbb{A}^n$ は Noether 位相空間である。
2. Noether 位相空間の部分空間は Noether 位相空間である。
3. Noether 位相空間はコンパクトである（<Ref to="mathematics/topology/compactness#def-compact" /> の意味で。Hausdorff 性は仮定しない）。したがって、そのすべての部分空間もコンパクトである。
</Lemma>

<Proof of="lem-affine-space-noetherian">
(1) 閉集合の降鎖 $Z_1 \supseteq Z_2 \supseteq \cdots$ に対し、<Ref to="lem-v-properties" /> の (1) によりイデアルの昇鎖 $\mathbf{I}(Z_1) \subseteq \mathbf{I}(Z_2) \subseteq \cdots$ ができます。体 $k$ のイデアルは $(0)$ と $k$ だけなので $k$ は Noether 環で、$k[x_1, \ldots, x_n]$ も Noether 環です（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/noetherian-and-artinian-rings#cor-noetherian-algebras" /> の (3)）。よって昇鎖は停留し、$Z_i = \mathbf{V}(\mathbf{I}(Z_i))$（<Ref to="lem-v-properties" /> の (4)）も停留します。

(2) $X$ を Noether 位相空間、$Y \subseteq X$ とし、$Y$ の閉集合の降鎖 $F_1 \supseteq F_2 \supseteq \cdots$ を取ります。$X$ での閉包 $\overline{F_i}$ は $X$ の閉集合の降鎖なので停留します。$F_i$ は $Y$ の閉集合なので $F_i = Z \cap Y$（$Z$ は $X$ の閉集合）と書け、$F_i \subseteq \overline{F_i} \cap Y \subseteq Z \cap Y = F_i$ から $F_i = \overline{F_i} \cap Y$ です。よって $F_i$ も停留します。

(3) $X$ を Noether 位相空間とし、開被覆 $\{U_\lambda\}$ が有限部分被覆をもたないとします。$\lambda_1$ を任意に選び、$\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ まで選んだとき、$U_{\lambda_1} \cup \cdots \cup U_{\lambda_m} \ne X$ なので、この和に含まれない点を含む $U_{\lambda_{m+1}}$ を選べます。すると $Z_m = X \setminus (U_{\lambda_1} \cup \cdots \cup U_{\lambda_m})$ は閉集合の狭義の降鎖になり、Noether 性に反します。部分空間については (2) を使います。
</Proof>

<Proposition id="prop-noetherian-space-components" title="既約成分への分解">
$X$ を Noether 位相空間、$Z \ne \varnothing$ をその閉集合とする。

1. $Z$ は有限個の既約な閉集合の和 $Z = Z_1 \cup \cdots \cup Z_r$ に書け、$i \ne j$ なら $Z_i \not\subseteq Z_j$ とできる。
2. (1) の $Z_1, \ldots, Z_r$ は $Z$ の既約成分の全体に一致する。とくに (1) の分解は順序を除いて一意で、$Z$ の既約な部分集合はどれかの $Z_i$ に含まれる。
</Proposition>

<Proof of="prop-noetherian-space-components">
(1) 有限個の既約な閉集合の和に書けない空でない閉集合があったとし、その全体を $\Sigma$ とします。$\Sigma$ に包含に関する極小元が無ければ、$\Sigma$ の元の狭義の降鎖を無限に続けられ、Noether 性に反します。極小元 $Z$ を取ります。$Z$ 自身は既約でない（既約なら 1 個の和）ので、$Z = Z' \cup Z''$、$Z' \ne Z$、$Z'' \ne Z$ となる閉集合があります。$Z' = \varnothing$ なら $Z'' = Z$ となるので、$Z'$ も $Z''$ も空ではありません。極小性から $Z', Z'' \notin \Sigma$ で、どちらも有限個の既約な閉集合の和です。すると $Z$ もそうなり、矛盾です。よって $\Sigma = \varnothing$ です。得られた表示から、他の $Z_j$ に含まれる $Z_i$ を一つずつ取り除けば、$i \ne j$ で $Z_i \not\subseteq Z_j$ となる表示が残ります。

(2) $W \subseteq Z$ を既約な部分集合とすると、<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (4) により、ある $i$ で $W \subseteq Z_i$ です。$W$ が既約成分なら、極大性から $W = Z_i$ です。逆に各 $Z_i$ は既約成分です。実際、$Z_i \subseteq W$ となる既約な $W \subseteq Z$ を取ると、いま示したことから $W \subseteq Z_j$ となる $j$ があり、$Z_i \subseteq Z_j$ なので $j = i$、$W = Z_i$ です。したがって、条件を満たす分解に現れる閉集合の全体は、$Z$ だけから決まる既約成分の全体に等しく、分解は順序を除いて一意です。
</Proof>

<Corollary id="cor-components-minimal-primes" title="既約成分と極小素イデアル">
$\mathfrak{a} \ne k[x_1, \ldots, x_n]$ をイデアルとする。$\mathbf{V}(\mathfrak{a})$ の既約成分は、$\mathfrak{a}$ の極小素イデアル $\mathfrak{p}$ についての $\mathbf{V}(\mathfrak{p})$ の全体であり、有限個である。また $\sqrt{\mathfrak{a}}$ は $\mathfrak{a}$ の極小素イデアルの共通部分に等しい。
</Corollary>

<Proof of="cor-components-minimal-primes">
<Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" /> の (2)、(3) により、$\mathbf{V}(\mathfrak{a})$ に含まれる既約な閉集合は、$\mathbf{I}(\mathbf{V}(\mathfrak{a})) = \sqrt{\mathfrak{a}}$ を含む素イデアル $\mathfrak{p}$ についての $\mathbf{V}(\mathfrak{p})$ の全体で、対応は包含を逆にします。素イデアルは根基イデアルなので、$\mathfrak{p} \supseteq \sqrt{\mathfrak{a}}$ と $\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{a}$ は同値です。既約成分は閉集合（<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (1)）なので、包含に関して極大な既約閉集合であり、$\mathfrak{a}$ を含む素イデアルのうち極小なものに対応します。$\mathbf{V}(\mathfrak{a}) \ne \varnothing$（$\sqrt{\mathfrak{a}} \ne k[x]$ による）で $\mathbb{A}^n$ は Noether 位相空間（<Ref to="lem-affine-space-noetherian" />）なので、<Ref to="prop-noetherian-space-components" /> により既約成分は有限個で、$\mathbf{V}(\mathfrak{a}) = \mathbf{V}(\mathfrak{p}_1) \cup \cdots \cup \mathbf{V}(\mathfrak{p}_r)$ です。<Ref to="lem-v-properties" /> の (5) と <Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" /> の (1) から $\sqrt{\mathfrak{a}} = \mathbf{I}(\mathbf{V}(\mathfrak{a})) = \bigcap_i \mathbf{I}(\mathbf{V}(\mathfrak{p}_i)) = \bigcap_i \mathfrak{p}_i$ です。
</Proof>

環の側では、極小素イデアルの有限性は準素分解から出ます（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/primary-decomposition#cor-minimal-primes-finite" />）。上の系は、同じ事実を位相空間の言葉で証明し直したことになります。

<Example id="ex-two-components" title="平面と直線の和">
$\mathfrak{a} = (xy, xz) \subseteq k[x, y, z]$ とします。$xy = xz = 0$ は「$x = 0$ または $y = z = 0$」と同値なので、$\mathbf{V}(\mathfrak{a}) = \mathbf{V}(x) \cup \mathbf{V}(y, z)$ です。$k[x, y, z]/(x) \cong k[y, z]$ と $k[x, y, z]/(y, z) \cong k[x]$ は整域なので $(x)$ と $(y, z)$ は素イデアルで、$\mathbf{V}(x)$（平面）と $\mathbf{V}(y, z)$（直線）は既約です。$(x) \not\subseteq (y, z)$ かつ $(y, z) \not\subseteq (x)$ なので互いに含まれず、これが既約成分への分解です。<Ref to="cor-components-minimal-primes" /> により $\sqrt{\mathfrak{a}} = (x) \cap (y, z)$ です。
</Example>

## 4. アフィン多様体と正則関数

<Definition id="def-affine-variety" title="アフィン多様体・準アフィン多様体・座標環">
$\mathbb{A}^n$ の既約な閉集合を**アフィン多様体**、アフィン多様体の空でない開集合を**準アフィン多様体**という。この記事では両者をあわせて**多様体**という。

アフィン多様体 $X \subseteq \mathbb{A}^n$ に対し

$$
k[X] = k[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{I}(X)
$$

を $X$ の**座標環**という。$\mathbf{I}(X)$ は素イデアル（<Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" />）なので $k[X]$ は有限生成な $k$ 代数である整域で、その商体 $k(X) = \operatorname{Frac} k[X]$ を $X$ の**関数体**という。$f \in k[X]$ は代表元の多項式の値により関数 $X \to k$ を定め、$\mathbf{I}(X)$ の定義から、異なる元は異なる関数を定める。$f \in k[X]$、$T \subseteq k[X]$、$Z \subseteq X$ に対し

$$
D(f) = \{ p \in X : f(p) \ne 0 \}, \quad \mathbf{V}_X(T) = \{ p \in X : \text{すべての } f \in T \text{ で } f(p) = 0 \}, \quad \mathbf{I}_X(Z) = \{ f \in k[X] : f|_Z = 0 \}
$$

とおく。$D(f)$ を**主開集合**という。
</Definition>

多様体は既約で（<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (2)）、Noether 位相空間です（<Ref to="lem-affine-space-noetherian" />）。準アフィン多様体 $Y$ は $\mathbb{A}^n$ の既約な部分集合で、閉包 $\overline{Y}$ がアフィン多様体、$Y$ は $\overline{Y}$ の開集合です。

<Proposition id="prop-closed-subsets-of-variety" title="アフィン多様体の中での対応">
$X \subseteq \mathbb{A}^n$ をアフィン多様体とする。

1. $Z \mapsto \mathbf{I}_X(Z)$ と $\mathfrak{a} \mapsto \mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ は、$X$ の閉集合の全体と $k[X]$ の根基イデアルの全体の間の、包含を逆にする互いに逆な全単射であり、$k[X]$ の任意のイデアル $\mathfrak{a}$ について $\mathbf{I}_X(\mathbf{V}_X(\mathfrak{a})) = \sqrt{\mathfrak{a}}$ である。
2. この対応で既約な閉集合は素イデアルに、点 $p$ は極大イデアル $\mathfrak{m}_p = \{ f \in k[X] : f(p) = 0 \}$ に対応する。$k[X]$ の極大イデアルはこの形に限り、$k[X]/\mathfrak{m}_p \cong k$ である。既約な閉集合 $Z = \mathbf{V}_X(\mathfrak{p})$ はアフィン多様体で、$k[Z] \cong k[X]/\mathfrak{p}$ である。
3. 主開集合の全体は $X$ の開基（<Ref to="mathematics/topology/topological-spaces#def-base" />）であり、$D(f) \cap D(g) = D(fg)$、$D(f) = \varnothing \iff f = 0$ である。$D(f) \subseteq \bigcup_i D(h_i)$ であることと、$f \in \sqrt{(h_i)_i}$ であることは同値である。
4. $g \in k[X]$ が $X$ の空でない開集合の上で $0$ なら、$g = 0$ である。
5. $\mathfrak{a} \ne k[X]$ をイデアルとすると、$\mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ の既約成分は $\mathfrak{a}$ の極小素イデアル $\mathfrak{p}$ についての $\mathbf{V}_X(\mathfrak{p})$ の全体である。
</Proposition>

<Proof of="prop-closed-subsets-of-variety">
$\pi\colon k[x] \to k[X]$ を自然な全射とします。$k[X]$ のイデアル $\mathfrak{a}$ について $\mathbf{V}_X(\mathfrak{a}) = \mathbf{V}(\pi^{-1}(\mathfrak{a}))$（$\pi^{-1}(\mathfrak{a}) \supseteq \mathbf{I}(X)$ なので右辺は $X$ に含まれる）、$Z \subseteq X$ について $\mathbf{I}_X(Z) = \pi(\mathbf{I}(Z))$、$\pi^{-1}(\mathbf{I}_X(Z)) = \mathbf{I}(Z)$ です。

(1) $X$ の閉集合は、$X$ に含まれる $\mathbb{A}^n$ の閉集合と同じもので、<Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" /> の (2) により $\mathbf{I}(X)$ を含む $k[x]$ の根基イデアルと対応します。$\mathbf{I}(X)$ を含む $k[x]$ のイデアルと $k[X]$ のイデアルは $\mathfrak{c} \mapsto \pi(\mathfrak{c})$、$\mathfrak{b} \mapsto \pi^{-1}(\mathfrak{b})$ で包含を保って対応します（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#lem-quotient-correspondence" />）。$\pi(f)^m \in \mathfrak{b}$ と $f^m \in \pi^{-1}(\mathfrak{b})$ は同値なので $\pi^{-1}(\sqrt{\mathfrak{b}}) = \sqrt{\pi^{-1}(\mathfrak{b})}$ で、この対応で根基イデアルは根基イデアルに対応します。2 つの対応を合成したものが主張の全単射です。また $\mathbf{I}_X(\mathbf{V}_X(\mathfrak{a})) = \pi\bigl(\mathbf{I}(\mathbf{V}(\pi^{-1}\mathfrak{a}))\bigr) = \pi\bigl(\sqrt{\pi^{-1}\mathfrak{a}}\bigr) = \pi(\pi^{-1}(\sqrt{\mathfrak{a}})) = \sqrt{\mathfrak{a}}$ です。

(2) <Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#lem-quotient-correspondence" /> の対応は素イデアルと極大イデアルを保つので、<Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" /> の (3)、(4) から従います。$\mathfrak{m}_p = \pi(\mathfrak{m}_a)$（$p = a$）で、$k[X]/\mathfrak{m}_p \cong k[x]/\mathfrak{m}_a \cong k$（代入 $f \mapsto f(a)$ による）です。$Z = \mathbf{V}_X(\mathfrak{p})$ は $\mathbb{A}^n$ の既約な閉集合で、$\mathbf{I}(Z) = \pi^{-1}(\mathbf{I}_X(Z)) = \pi^{-1}(\mathfrak{p})$ なので $k[Z] = k[x]/\pi^{-1}(\mathfrak{p}) \cong k[X]/\mathfrak{p}$ です。

(3) $U \subseteq X$ を開集合、$p \in U$ とします。$X \setminus U = \mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ と書くと $p \notin \mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ なので、$f(p) \ne 0$ となる $f \in \mathfrak{a}$ があり、$p \in D(f) \subseteq U$ です。$(fg)(p) \ne 0$ は $f(p) \ne 0$ かつ $g(p) \ne 0$ と同値です。$D(f) = \varnothing$ は $f$ が関数として $0$ であること、すなわち $f = 0$ と同値です。最後の主張は、$D(f) \subseteq \bigcup_i D(h_i) \iff \mathbf{V}_X((h_i)_i) \subseteq \mathbf{V}_X(f) \iff f \in \mathbf{I}_X(\mathbf{V}_X((h_i)_i)) = \sqrt{(h_i)_i}$ から従います（最後の等号は (1)）。

(4) $g$ が空でない開集合 $U$ の上で $0$ なら $X = \mathbf{V}_X(g) \cup (X \setminus U)$ で、$X$ は既約、$X \setminus U \ne X$ なので $\mathbf{V}_X(g) = X$、すなわち $g = 0$ です。

(5) <Ref to="cor-components-minimal-primes" /> の証明と同じです。(1)、(2) により $\mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ に含まれる既約な閉集合は $\mathfrak{a}$ を含む素イデアルと包含を逆にして対応し、既約成分は極大な既約閉集合なので、極小素イデアルに対応します。
</Proof>

次に、多様体の上の「よい関数」を定義します。多項式だけでなく、分母が消えないところでは多項式の商も許します。

多項式だけを関数と認めると、$D(f)$ のように一部を取り除いた集合の上で $1/f$ のような関数を扱えません。そこで「各点の近くで分数 $G/H$ の形に書ける」関数を正則関数とします。局所環 $\mathcal{O}_{Y,p}$ は、点 $p$ の近くでだけ意味をもつ関数を、近くで一致するものを同一視して集めたものです。

<Definition id="def-regular-function" title="正則関数・射">
$Y \subseteq \mathbb{A}^n$ を多様体、$U \subseteq Y$ を開集合とする。関数 $\varphi\colon U \to k$ が点 $p \in U$ で**正則**であるとは、$p$ の開近傍 $W \subseteq U$ と多項式 $G, H \in k[x_1, \ldots, x_n]$ があって、$H$ は $W$ の上で $0$ にならず、$W$ の上で $\varphi = G/H$ となることをいう。$U$ のすべての点で正則な関数を $U$ 上の**正則関数**といい、その全体を $\mathcal{O}_Y(U)$（または $\mathcal{O}(U)$）と書く。

点 $p \in Y$ に対し、$p$ の開近傍 $W$ と $\varphi \in \mathcal{O}(W)$ の組 $(W, \varphi)$ の全体に、「$p$ のある開近傍 $W'' \subseteq W \cap W'$ の上で $\varphi = \varphi'$」という同値関係を入れた商を $\mathcal{O}_{Y,p}$ と書き、$Y$ の $p$ での**局所環**という。

多様体 $X, Y$ の間の写像 $\phi\colon X \to Y$ が**射**であるとは、$\phi$ が連続で、$Y$ の任意の開集合 $V$ と $f \in \mathcal{O}_Y(V)$ について $f \circ \phi \in \mathcal{O}_X(\phi^{-1}(V))$ となることをいう。射 $\psi\colon Y \to X$ で $\psi \circ \phi = \mathrm{id}_X$、$\phi \circ \psi = \mathrm{id}_Y$ となるものがあるとき、$\phi$ を**同型**という。
</Definition>

射の合成は射で、恒等写像は射なので、多様体と射は圏をなします。正則性は各点の近傍で決まる条件なので、$U$ を開集合で覆ってそれぞれの上で正則な関数は $U$ 上で正則で、正則関数をより小さい開集合に制限したものも正則です。この「局所的に決まり、貼り合わせられる」という性質を公理にしたものが、記事 [層：茎・層化・順像と逆像](/mathematics/algebraic-geometry-1/sheaves) の層です。

<Lemma id="lem-regular-basic" title="正則関数の基本性質">
$Y \subseteq \mathbb{A}^n$ を多様体、$U \subseteq Y$ を空でない開集合とする。

1. $\mathcal{O}(U)$ は、$U$ 上の $k$ 値関数の環の $k$ 部分代数である。
2. $\varphi \in \mathcal{O}(U)$ の零点集合 $\{ p \in U : \varphi(p) = 0 \}$ は $U$ の閉集合であり、その補集合 $U_\varphi$ の上で $1/\varphi$ は正則である。
3. （一致の原理）$\varphi, \psi \in \mathcal{O}(U)$ が $U$ の空でない開集合 $W$ の上で一致すれば、$\varphi = \psi$ である。とくに $\mathcal{O}(U)$ は整域である。
</Lemma>

<Proof of="lem-regular-basic">
(1) 定数関数 $c$ は $c/1$ なので正則です。$\varphi, \psi \in \mathcal{O}(U)$、$p \in U$ とし、$p$ の近傍 $W$ で $\varphi = G/H$、$W'$ で $\psi = G'/H'$ と書くと、$W \cap W'$ の上で $HH'$ は $0$ にならず

$$
\varphi + \psi = \frac{GH' + G'H}{HH'}, \qquad \varphi\psi = \frac{GG'}{HH'}
$$

なので、和と積は $p$ で正則です。

(2) $U$ を、$\varphi = G_i/H_i$ と書ける開集合 $W_i$ で覆います。$W_i$ の中の零点集合は $W_i \cap \mathbf{V}(G_i)$ なので、零点集合の補集合は $\bigcup_i (W_i \setminus \mathbf{V}(G_i))$ で、開集合の和だから開集合です。$W_i \setminus \mathbf{V}(G_i)$ の上で $G_i$ は $0$ にならず $1/\varphi = H_i/G_i$ なので、$1/\varphi$ は $U_\varphi$ の各点で正則です。

(3) $\varphi - \psi \in \mathcal{O}(U)$ の零点集合 $Z$ は (2) により $U$ の閉集合で、$W$ を含みます。$U$ は既約な $Y$ の空でない開集合なので既約で、$W$ は $U$ で稠密です（<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (2)）。よって $Z = U$ です。$\varphi\psi = 0$ なら、$U$ は $\varphi$ の零点集合と $\psi$ の零点集合の和で、どちらも閉なので、$U$ の既約性から一方が $U$ に等しく、$\varphi = 0$ または $\psi = 0$ です。
</Proof>

<Lemma id="lem-morphism-coordinates" title="射は座標関数で判定できる">
$X$ を多様体、$Y \subseteq \mathbb{A}^m$ を多様体とし、$\phi\colon X \to Y$ を写像、$\phi_j = y_j \circ \phi\colon X \to k$（$y_1, \ldots, y_m$ は $\mathbb{A}^m$ の座標関数）とする。$\phi$ が射であることと、$\phi_1, \ldots, \phi_m \in \mathcal{O}(X)$ であることは同値である。
</Lemma>

<Proof of="lem-morphism-coordinates">
$\phi$ が射なら、$y_j|_Y$ は $Y$ 上の正則関数（多項式 $y_j$ と $1$ の商）なので $\phi_j = y_j \circ \phi \in \mathcal{O}(X)$ です。

逆を示します。$F \in k[y_1, \ldots, y_m]$ に対し、$F \circ \phi = F(\phi_1, \ldots, \phi_m)$ は正則関数の多項式なので、<Ref to="lem-regular-basic" /> の (1) により $\mathcal{O}(X)$ の元です。

**連続性。** $Y$ の閉集合は $Y \cap \mathbf{V}(T)$（$T \subseteq k[y]$）の形で、その逆像は $\bigcap_{F \in T} \{ p \in X : (F \circ \phi)(p) = 0 \}$ です。各集合は正則関数の零点集合なので閉（<Ref to="lem-regular-basic" /> の (2)）で、共通部分も閉です。

**正則関数の引き戻し。** $V \subseteq Y$ を開集合、$f \in \mathcal{O}_Y(V)$、$p \in \phi^{-1}(V)$ とします。$\phi(p)$ の開近傍 $W \subseteq V$ と $G, H \in k[y]$ で、$H$ が $W$ の上で $0$ にならず $f = G/H$ となるものがあります。$\phi^{-1}(W)$ は $p$ の開近傍で、その上で $H \circ \phi$ は $0$ にならない正則関数、$f \circ \phi = (G \circ \phi) \cdot (H \circ \phi)^{-1}$ です。<Ref to="lem-regular-basic" /> の (1)、(2) により、これは $\phi^{-1}(W)$ 上の正則関数で、とくに $p$ で正則です。
</Proof>

とくに、多様体 $Y \subseteq \mathbb{A}^m$ への写像が射かどうかは、$Y$ を含むより大きな多様体（たとえば $\mathbb{A}^m$ や $\overline{Y}$）への写像と見ても変わりません。

次の定理のねらいは、正則関数の環を具体的に求めることです。局所的に分数で書ける関数を、関数体 $k(X)$ の元とみなす写像 $r$ を作ると、$D(f)$ の上では分母に $f$ の冪を許した環、点 $p$ の局所環では $\mathfrak{m}_p$ の外の元を分母にした環になります。証明は長いですが、(1) で $r$ を作り、(2) と (3) でその像を決める、という流れです。

<Theorem id="thm-regular-functions-affine" title="アフィン多様体の正則関数">
$X$ をアフィン多様体とする。

1. 空でない開集合 $U \subseteq X$ と $\varphi \in \mathcal{O}(U)$ に対し、$k(X)$ の元 $r(\varphi)$ で次を満たすものがただ一つある: $g, h \in k[X]$（$h \ne 0$）と、$U \cap D(h)$ に含まれる空でない開集合 $W$ があって $W$ の上で $\varphi = g/h$ ならば、$r(\varphi) = g/h$。写像 $r\colon \mathcal{O}(U) \to k(X)$ は単射な $k$ 代数の準同型で、制限と両立する。以下 $r$ により $\mathcal{O}(U) \subseteq k(X)$ とみなす。
2. $f \in k[X]$、$f \ne 0$ について、$k(X)$ の部分環として $\mathcal{O}(D(f)) = k[X]_f$ である。とくに $\mathcal{O}(X) = k[X]$。
3. 点 $p \in X$ について、$k(X)$ の部分環として $\mathcal{O}_{X,p} = k[X]_{\mathfrak{m}_p}$ であり、これは剰余体が $k$ の局所環である。また空でない開集合 $U$ について $\mathcal{O}(U) = \bigcap_{p \in U} \mathcal{O}_{X,p}$ である。
</Theorem>

<Proof of="thm-regular-functions-affine">
$k[X]$ は整域なので、$h \ne 0$ のとき $k[X]_h$ と $k[X]_{\mathfrak{m}_p}$ は $k(X)$ の部分環とみなせます（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#prop-fraction-field" />）。

(1) **存在と一意性。** $U \ne \varnothing$ なので点 $p \in U$ があり、$p$ の近傍 $W \subseteq U$ と多項式 $G, H$ で $W$ の上で $\varphi = G/H$ と書けます。$G, H$ の $k[X]$ での像を $g, h$ とすると、$h$ は $W$ の上で消えないので $h \ne 0$、$W \subseteq U \cap D(h)$ です。よって条件に現れる $(g, h, W)$ は少なくとも一組あります。別の組 $(g', h', W')$ を取ると、$W \cap W' \ne \varnothing$（<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (2)）で、その上で $g/h = \varphi = g'/h'$、すなわち $gh' - g'h$ は $W \cap W'$ の上で $0$ です。<Ref to="prop-closed-subsets-of-variety" /> の (4) により $gh' = g'h$ が $k[X]$ で成り立ち、$k(X)$ で $g/h = g'/h'$ です。したがって $r(\varphi) = g/h$ は組の取り方によらずに定まります。

**準同型であること。** $\varphi, \psi \in \mathcal{O}(U)$ に対し、$(g, h, W)$、$(g', h', W')$ をそれぞれの組とすると、$W \cap W'$ の上で $\varphi + \psi = (gh' + g'h)/(hh')$、$\varphi\psi = gg'/(hh')$ で、$hh' \ne 0$、$W \cap W' \subseteq U \cap D(hh')$ です。よって $r(\varphi + \psi) = r(\varphi) + r(\psi)$、$r(\varphi\psi) = r(\varphi)r(\psi)$ です。定数 $c$ については $r(c) = c/1$ です。

**単射性。** $r(\varphi) = 0$ なら $g = 0$ で、$\varphi$ は $W$ の上で $0$ です。一致の原理（<Ref to="lem-regular-basic" /> の (3)）により $\varphi = 0$ です。

**制限との両立。** $U' \subseteq U$ を空でない開集合とすると、$\varphi|_{U'}$ についての組 $(g, h, W)$ は $\varphi$ についての組でもあるので、$r(\varphi|_{U'}) = r(\varphi)$ です。

(2) $g/f^m \in k[X]_f$ は $D(f)$ 上の正則関数 $p \mapsto g(p)/f(p)^m$ を定め、その $r$ による像は $g/f^m$ なので、$k[X]_f \subseteq \mathcal{O}(D(f))$ です。逆の包含を示します。$\varphi \in \mathcal{O}(D(f))$ とします。各点 $p \in D(f)$ に対し、$p$ の開近傍 $W_p \subseteq D(f)$ と多項式 $G, H$ で、$H$ が $W_p$ の上で消えず $\varphi = G/H$ となるものがあります。主開集合は開基なので（<Ref to="prop-closed-subsets-of-variety" /> の (3)）、$p \in D(a) \subseteq W_p$ となる $a \in k[X]$ があります。$G, H$ の像を $g, h$ とすると $D(a) \subseteq D(h)$ なので、同じ命題の (3) により $a^m = ch$ となる $m \ge 1$ と $c \in k[X]$ があり、$D(a)$ の上で $\varphi = g/h = cg/a^m$ です。$h_p = a^m$、$g_p = cg$ とおくと

$$
p \in D(h_p) \subseteq D(f), \qquad D(h_p) \text{ の上で } \varphi = g_p/h_p
$$

です。$D(h_p) \ne \varnothing$ なので、(1) により $k(X)$ の中で $r(\varphi) = g_p/h_p$、すなわち $r(\varphi)h_p = g_p$ です。$D(f) = \bigcup_p D(h_p)$ なので、<Ref to="prop-closed-subsets-of-variety" /> の (3) により $f \in \sqrt{(h_p)_p}$、つまり有限個の点 $p_1, \ldots, p_s$ と $c_i \in k[X]$、$N \ge 1$ があって $f^N = \sum_{i=1}^s c_i h_{p_i}$ です。$r(\varphi)$ を掛けると

$$
f^N r(\varphi) = \sum_{i=1}^s c_i h_{p_i} r(\varphi) = \sum_{i=1}^s c_i g_{p_i} \in k[X]
$$

なので $r(\varphi) \in k[X]_f$ です。$f = 1$ とすれば $\mathcal{O}(X) = k[X]$ です。

(3) 組 $(W, \varphi)$ に $r(\varphi)$ を対応させます。同値な組は $p$ の近傍 $W''$ の上で一致し、$r$ は制限と両立するので、これは $\mathcal{O}_{X,p} \to k(X)$ を定め、(1) と同じ理由で単射な環準同型です。主開集合が開基なので、どの組も $p \in D(h)$ となる主開集合の上の組と同値で、(2) により像は $\bigcup_{h(p) \ne 0} k[X]_h = \{ g/h : h \notin \mathfrak{m}_p \} = k[X]_{\mathfrak{m}_p}$ です。これは局所環で、剰余体は $\operatorname{Frac}(k[X]/\mathfrak{m}_p) = k$ です（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#prop-local-ring" /> と <Ref to="prop-closed-subsets-of-variety" /> の (2)）。

最後の等式を示します。$\varphi \in \mathcal{O}(U)$、$p \in U$ なら $(U, \varphi)$ の類の像が $r(\varphi)$ なので $\mathcal{O}(U) \subseteq \bigcap_{p \in U} \mathcal{O}_{X,p}$ です。逆に $s \in k(X)$ がすべての $p \in U$ で $\mathcal{O}_{X,p}$ に属するとし、各 $p$ について $s = g_p/h_p$、$h_p(p) \ne 0$ と書きます。$q \in U \cap D(h_p) \cap D(h_{p'})$ なら、$k[X]$ で $g_p h_{p'} = g_{p'} h_p$ なので $g_p(q)/h_p(q) = g_{p'}(q)/h_{p'}(q)$ です。よって $\varphi(q) = g_p(q)/h_p(q)$（$q \in U \cap D(h_p)$）は $U$ 上の関数を矛盾なく定め、各点で正則で、$r(\varphi) = s$ です。
</Proof>

(1) は、複素関数論の一致の定理に当たります。正則関数は空でない開集合の上の値だけで全体が決まり、どの開集合の上の正則関数も一つの体 $k(X)$ の元と見なせます。(2) は「分母に許されるのは、その開集合の上で消えない関数だけ」ということを述べています。

準アフィン多様体 $Y$ の開集合 $U$ は $\overline{Y}$ の開集合でもあり、正則関数の定義は $U$ と周囲の $\mathbb{A}^n$ だけで決まるので $\mathcal{O}_Y(U) = \mathcal{O}_{\overline{Y}}(U)$ です。したがって <Ref to="thm-regular-functions-affine" /> は準アフィン多様体の開集合にもそのまま使えます。

## 5. 射と座標環の準同型

射 $\phi\colon X \to Y$ があると、$f \in \mathcal{O}(Y)$ に $f \circ \phi \in \mathcal{O}(X)$ を対応させる $k$ 代数の準同型 $\phi^*\colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ が定まり、$(\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*$ です。$Y$ がアフィン多様体なら $\mathcal{O}(Y) = k[Y]$ です。

次の定理のねらいは、射を調べる問題を環の準同型を調べる問題に直すことです。関数を引き戻す操作 $f \mapsto f \circ \phi$ は、射 $X \to Y$ とは逆に $Y$ 上の関数から $X$ 上の関数への向きになるので、対応は反変になります。

<Theorem id="thm-affine-antiequivalence" title="射と座標環の準同型・反変同値">
1. $X$ を多様体、$Y$ をアフィン多様体とする。$\phi \mapsto \phi^*$ は、射 $X \to Y$ の全体から $k$ 代数の準同型 $k[Y] \to \mathcal{O}(X)$ の全体への全単射である。
2. アフィン多様体 $X$ に $k[X]$ を、射 $\phi$ に $\phi^*$ を対応させる反変関手は、アフィン多様体と射の圏から、有限生成な $k$ 代数である整域と $k$ 代数の準同型の圏への反変同値である（<Ref to="mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#def-equivalence" />）。とくにアフィン多様体 $X, Y$ について、$\phi\colon X \to Y$ が同型であることと $\phi^*\colon k[Y] \to k[X]$ が同型であることは同値である。
</Theorem>

<Proof of="thm-affine-antiequivalence">
(1) $Y \subseteq \mathbb{A}^m$ とし、座標関数 $y_j$ の $k[Y]$ での像を $\bar{y}_j$ と書きます。

**単射性。** $\phi^*(\bar{y}_j) = y_j \circ \phi$ は $\phi$ の第 $j$ 座標なので、$\phi^*$ は $\phi$ を決めます。

**全射性。** $\alpha\colon k[Y] \to \mathcal{O}(X)$ を $k$ 代数の準同型とし、$\xi_j = \alpha(\bar{y}_j) \in \mathcal{O}(X)$、$\psi\colon X \to \mathbb{A}^m$、$\psi(p) = (\xi_1(p), \ldots, \xi_m(p))$ とおきます。$F \in \mathbf{I}(Y)$ なら、$\alpha$ が $k$ 代数の準同型なので $F(\xi_1, \ldots, \xi_m) = \alpha(F(\bar{y}_1, \ldots, \bar{y}_m)) = \alpha(0) = 0$、すなわち各 $p \in X$ で $F(\psi(p)) = 0$ です。よって $\psi(X) \subseteq \mathbf{V}(\mathbf{I}(Y)) = Y$ です。$\psi\colon X \to Y$ の座標 $\xi_j$ は正則なので、<Ref to="lem-morphism-coordinates" /> により $\psi$ は射です。$\psi^*(\bar{y}_j) = \xi_j = \alpha(\bar{y}_j)$ で、$k[Y]$ は $k$ 代数として $\bar{y}_j$ で生成されるので $\psi^* = \alpha$ です。

(2) $(\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*$、$\mathrm{id}^* = \mathrm{id}$ なので反変関手です。$\mathcal{O}(X) = k[X]$（<Ref to="thm-regular-functions-affine" /> の (2)）なので、(1) によりこの関手は充満忠実です。本質的全射であることを示します。$A$ を有限生成な $k$ 代数である整域とし、生成元 $a_1, \ldots, a_n$ を選んで全射 $k[x_1, \ldots, x_n] \to A$、$x_i \mapsto a_i$ の核を $\mathfrak{p}$ とします。$A$ が整域なので $\mathfrak{p}$ は素イデアルで、根基イデアルです（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#cor-radical" />）。$X = \mathbf{V}(\mathfrak{p})$ とおくと、<Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" /> により $\mathbf{I}(X) = \sqrt{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}$ で $X$ は既約、$k[X] = k[x]/\mathfrak{p} \cong A$ です。充満忠実かつ本質的全射な関手は圏同値です（<Ref to="mathematics/category-homological-algebra/categories-functors#thm-equivalence-criterion" /> を、アフィン多様体の圏の反対圏からの関手に使う）。

最後の主張を示します。$\phi$ が同型で逆が $\psi$ なら $\phi^*\psi^* = (\psi\phi)^* = \mathrm{id}$、$\psi^*\phi^* = \mathrm{id}$ なので $\phi^*$ は同型です。逆に $\phi^*$ が同型なら、(1) により $\psi^* = (\phi^*)^{-1}$ となる射 $\psi\colon Y \to X$ があり、$(\psi\phi)^* = \phi^*\psi^* = \mathrm{id} = \mathrm{id}_X^*$ と (1) の単射性から $\psi\phi = \mathrm{id}_X$、同様に $\phi\psi = \mathrm{id}_Y$ です。
</Proof>

座標環 $k[X]$ は $X$ を $\mathbb{A}^n$ に埋め込んで定義しましたが、この定理により、同型な多様体の座標環は同型で、埋め込み方は生成元の選び方に当たります。つぎの補題は、主開集合が、次元の一つ高いアフィン空間の中のアフィン多様体と同型であることを示します。分母 $f$ を新しい座標 $t = 1/f$ に取り替える操作で、Rabinowitsch の工夫と呼ばれるものと同じです。

<Lemma id="lem-principal-open-affine" title="主開集合はアフィン多様体と同型">
$X \subseteq \mathbb{A}^n$ をアフィン多様体、$f \in k[X]$、$f \ne 0$ とし、$F \in k[x_1, \ldots, x_n]$ を $f$ の代表元とする。

$$
X_f = \mathbf{V}\bigl(\mathbf{I}(X) \cup \{ tF - 1 \}\bigr) \subseteq \mathbb{A}^{n+1}
$$

（座標は $x_1, \ldots, x_n, t$）はアフィン多様体で、射影 $\pi\colon X_f \to D(f)$、$(a, t) \mapsto a$ は多様体の同型である。$\pi^*$ は $k$ 代数の同型 $k[X]_f = \mathcal{O}(D(f)) \to k[X_f]$ を与える。
</Lemma>

<Proof of="lem-principal-open-affine">
$(a, t) \in X_f$ は「$a \in X$ かつ $tF(a) = 1$」、すなわち「$a \in D(f)$ かつ $t = 1/f(a)$」と同値です。$\sigma\colon D(f) \to \mathbb{A}^{n+1}$、$\sigma(a) = (a, 1/f(a))$ とおくと、座標 $x_1, \ldots, x_n, 1/f$ は $D(f)$ 上の正則関数（<Ref to="lem-regular-basic" /> の (2)）なので、<Ref to="lem-morphism-coordinates" /> により $\sigma$ は射、とくに連続で、像は $X_f$ です。$D(f)$ は既約なので $X_f$ も既約（<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (2)、(3)）で、$X_f$ は閉集合だからアフィン多様体です。<Ref to="lem-morphism-coordinates" /> をもう一度使うと、$\sigma\colon D(f) \to X_f$ は射で、座標が多項式である $\pi\colon X_f \to D(f)$ も射です。$\pi \circ \sigma = \mathrm{id}$、$\sigma \circ \pi = \mathrm{id}$ なので $\pi$ は同型で、$\pi^*\colon \mathcal{O}(D(f)) \to \mathcal{O}(X_f)$ は $\sigma^*$ を逆とする同型です。<Ref to="thm-regular-functions-affine" /> の (2) により左辺は $k[X]_f$、右辺は $k[X_f]$ です。
</Proof>

<Example id="ex-twisted-cubic" title="ねじれ 3 次曲線">
$C = \mathbf{V}(y - x^2, z - x^3) \subseteq \mathbb{A}^3$ を**ねじれ 3 次曲線**といいます。$C = \{ (t, t^2, t^3) : t \in k \}$ です。$\phi\colon \mathbb{A}^1 \to \mathbb{A}^3$、$\phi(t) = (t, t^2, t^3)$ は座標が多項式なので射で、像は $C$ です。$\mathbb{A}^1$ は既約なので $C$ も既約（<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (3)）で、$C$ はアフィン多様体です。射影 $\psi\colon C \to \mathbb{A}^1$、$(x, y, z) \mapsto x$ は $\phi$ の逆なので $C \cong \mathbb{A}^1$、$k[C] \cong k[t]$ です。

方程式の選び方には注意が要ります。$C$ の点は $xz = y^2$ も満たしますが、$\mathbf{V}(y - x^2, xz - y^2)$ は $C$ より大きい集合です。$y = x^2$ を代入すると $xz - x^4 = x(z - x^3) = 0$ なので

$$
\mathbf{V}(y - x^2, xz - y^2) = C \cup \mathbf{V}(x, y)
$$

で、$z$ 軸 $\mathbf{V}(x, y)$ が余分な既約成分として現れます。
</Example>

<Example id="ex-cuspidal-cubic" title="尖点 3 次曲線：全単射で両連続だが同型でない射">
$X = \mathbf{V}(y^2 - x^3) \subseteq \mathbb{A}^2$、$\phi\colon \mathbb{A}^1 \to X$、$\phi(t) = (t^2, t^3)$ とします。

**$\phi$ は全単射な射。** $(t^3)^2 = (t^2)^3$ なので像は $X$ に入り、座標が多項式なので射です。$(a, b) \in X$ とします。$a = 0$ なら $b = 0$ で、$\phi(t) = (0, 0)$ となるのは $t = 0$ だけです。$a \ne 0$ なら $t = b/a$ とおくと $t^2 = b^2/a^2 = a^3/a^2 = a$、$t^3 = ta = b$ で、逆に $\phi(t) = (a, b)$ なら $t = t^3/t^2 = b/a$ です。よって $\phi$ は全単射で、$X = \phi(\mathbb{A}^1)$ は既約、したがってアフィン多様体です。

**$\phi$ は同相写像。** $\mathbb{A}^1$ の閉集合は全体と有限集合です。$Z \subsetneq X$ を閉集合とすると $\phi^{-1}(Z)$ は $\mathbb{A}^1$ と異なる閉集合なので有限集合で、$Z$ も有限集合です。有限集合は $X$ でも閉なので、$X$ の閉集合も全体と有限集合だけで、全単射 $\phi$ は閉集合を閉集合に写します。

**$\phi$ は同型でない。** $\phi^*\colon k[X] \to k[t]$ は $\bar{x} \mapsto t^2$、$\bar{y} \mapsto t^3$ で、像は $k[t^2, t^3]$ です。この部分環の元は $1$ 次の項をもたないので $t$ を含まず、$\phi^*$ は全射ではありません。<Ref to="thm-affine-antiequivalence" /> の (2) により $\phi$ は同型ではありません。逆写像 $(a, b) \mapsto b/a$ は原点で正則関数にならない、ということです。
</Example>

<Figure caption="尖点 3 次曲線 y² = x³ と媒介変数表示 t ↦ (t², t³)。位相空間としては直線と区別できないが、原点で逆写像 y/x が正則でない。">
<svg viewBox="0 0 640 220" width="100%" role="img" aria-label="直線から尖点 3 次曲線への射">
  <g stroke="currentColor" fill="none" stroke-width="1.5">
    <line x1="40" y1="110" x2="240" y2="110"/>
    <line x1="290" y1="110" x2="350" y2="110"/>
    <path d="M342 104 L350 110 L342 116"/>
  </g>
  <g stroke="currentColor" fill="none" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 4">
    <line x1="400" y1="110" x2="600" y2="110"/>
    <line x1="440" y1="20" x2="440" y2="200"/>
  </g>
  <g stroke="var(--sl-color-accent)" fill="none" stroke-width="2.5">
    <path d="M440 110 C 470 108, 500 80, 528 22"/>
    <path d="M440 110 C 470 112, 500 140, 528 198"/>
  </g>
  <g fill="currentColor">
    <circle cx="140" cy="110" r="4"/>
    <circle cx="440" cy="110" r="4"/>
    <text x="134" y="135" font-size="14">t = 0</text>
    <text x="232" y="100" font-size="14">t</text>
    <text x="296" y="98" font-size="14">φ</text>
    <text x="590" y="128" font-size="14">x</text>
    <text x="448" y="30" font-size="14">y</text>
    <text x="536" y="40" font-size="14">t &gt; 0 の側</text>
    <text x="536" y="190" font-size="14">t &lt; 0 の側</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

$t$ を $-1.4$ から $1.4$ まで動かすと、$\phi(t)$ が曲線をなぞり、$t = 0$ で速度ベクトルが零になって尖る様子が見えます。

<Figure caption="$t$ を動かしたときの $\phi(t) = (t^2, t^3)$。$t \ne 0$ では $y/x = t$ が点を復元するが、原点では $0/0$ で定義できない。">
<img src="/figures/cuspidal-cubic-param.gif" alt="左に直線 A^1 上を動く点 t、右に尖点曲線 y^2=x^3 上を動く点 (t^2, t^3) と速度ベクトル。t が 0 に近づくと速度ベクトルが縮んで零になり、原点で尖る。" loading="lazy" />
</Figure>

<Example id="ex-punctured-plane" title="原点を除いた平面はアフィン多様体と同型でない">
$U = \mathbb{A}^2 \setminus \{(0, 0)\} = D(x) \cup D(y)$ とします。

**$\mathcal{O}(U) = k[x, y]$。** $\varphi \in \mathcal{O}(U)$ とします。<Ref to="thm-regular-functions-affine" /> により、$k(x, y)$ の中で $\varphi \in k[x, y]_x \cap k[x, y]_y$ です。$\varphi = a/x^m = b/y^l$（$a, b \in k[x, y]$）と書き、$m$ を最小に取ります。$m \ge 1$ とすると $ay^l = bx^m$ で、$k[x, y]$ は一意分解整域（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#thm-poly-ufd" />）、$x$ は $y$ を割らない素元なので $x \mid a$ となり、$m$ の最小性に反します。よって $m = 0$、$\varphi \in k[x, y]$ です。

**$U$ はアフィン多様体と同型でない。** アフィン多様体 $Y$ と同型 $\psi\colon Y \to U$ があったとします。包含 $i\colon U \to \mathbb{A}^2$ は射で、$i^*\colon k[x, y] \to \mathcal{O}(U)$ はいま示したことから同型です。すると $(i \circ \psi)^* = \psi^* \circ i^*\colon k[x, y] \to k[Y]$ は同型で、<Ref to="thm-affine-antiequivalence" /> の (2) により $i \circ \psi\colon Y \to \mathbb{A}^2$ は同型、とくに全射です。しかし像 $U$ は原点を含みません。矛盾です。

余次元 $2$ の点を除いても正則関数が増えない、という現象（Hartogs 型の延長）が原因です。$\mathbb{A}^1 \setminus \{0\} = D(x)$ のほうは、<Ref to="lem-principal-open-affine" /> により双曲線 $\mathbf{V}(tx - 1)$ と同型です。
</Example>

## 6. 積

集合としての直積 $\mathbb{A}^n \times \mathbb{A}^m$ を $\mathbb{A}^{n+m}$ と同一視します。積の座標環を求めるには、整域のテンソル積が整域であることが必要です。ここで $k$ が代数閉体であることを使います（$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ は整域ではありません）。$k$ 代数のテンソル積の環構造は <Ref to="mathematics/commutative-algebra/tensor-flatness-projective-injective#def-base-change" /> のものです。

次の補題の方針は、$B$ の基底を使って $A \otimes_k B$ の元を $A$ の元を成分とする有限個の組で表し、$A$ の各極大イデアルでの値（$k$ への準同型）を取って、零因子がないことを確かめるというものです。

<Lemma id="lem-tensor-domain" title="代数閉体上の整域のテンソル積">
$k$ を代数閉体、$A$ を有限生成な $k$ 代数である整域、$B$ を $k$ 代数である整域とする。このとき $A \otimes_k B$ は整域である。
</Lemma>

<Proof of="lem-tensor-domain">
**準備 1: テンソル積の元の表示。** $B$ の $k$ 上の基底 $(e_\beta)_\beta$ を取ります（<Ref to="mathematics/foundations/axiom-of-choice-zorn#thm-hamel" />）。$B = \bigoplus_\beta k e_\beta$ なので、<Ref to="mathematics/commutative-algebra/tensor-flatness-projective-injective#prop-tensor-basic-iso" /> の (1)、(3)、(4) により $A \otimes_k B \cong \bigoplus_\beta A$ で、$A \otimes_k B$ の元は有限和 $\sum_\beta a_\beta \otimes e_\beta$ の形にただ一通りに書けます。とくに $B \ne 0$ なので $A \otimes_k B \ne 0$ です。

**準備 2: $A$ の極大イデアル。** $\mathfrak{m}$ を $A$ の極大イデアルとすると、$A/\mathfrak{m}$ は有限生成な $k$ 代数である体なので $k$ 上有限次です（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#thm-zariski-lemma" />）。その元 $\theta$ の $k$ 上の最小多項式は既約で、$k$ が代数閉体なので $1$ 次式、したがって $\theta \in k$ です。よって合成 $k \to A \to A/\mathfrak{m}$ は同型で、$k$ 代数の準同型 $\varepsilon_{\mathfrak{m}}\colon A \to k$ で核が $\mathfrak{m}$ のものが得られます。

**準備 3: $A$ の極大イデアルの共通部分は $0$。** $A \cong k[x_1, \ldots, x_n]/\mathfrak{p}$（$\mathfrak{p}$ は素イデアル）と書きます。$f \in k[x]$ の像がすべての極大イデアルに属するとします。$A$ の極大イデアルは $\mathfrak{p}$ を含む $k[x]$ の極大イデアル、すなわち $\mathfrak{m}_a$（$a \in \mathbf{V}(\mathfrak{p})$）に対応する（<Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" /> の (4) と <Ref to="mathematics/commutative-algebra/localization-and-spectrum#lem-quotient-correspondence" />）ので、$f$ は $\mathbf{V}(\mathfrak{p})$ の上で消え、$f \in \mathbf{I}(\mathbf{V}(\mathfrak{p})) = \sqrt{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}$ です。よって $f$ の像は $0$ です。

**本論。** $u = \sum_\beta a_\beta \otimes e_\beta$、$v = \sum_\gamma a'_\gamma \otimes e_\gamma$ が $uv = 0$ を満たすとします。極大イデアル $\mathfrak{m}$ に対し、双線形写像 $(a, b) \mapsto \varepsilon_{\mathfrak{m}}(a)b$ から $k$ 線形写像 $\varepsilon_{\mathfrak{m}} \otimes 1\colon A \otimes_k B \to B$、$a \otimes b \mapsto \varepsilon_{\mathfrak{m}}(a)b$ が得られ、純テンソルの積を保つので環準同型です。$uv = 0$ に適用すると

$$
\Bigl(\sum_\beta \varepsilon_{\mathfrak{m}}(a_\beta)e_\beta\Bigr)\Bigl(\sum_\gamma \varepsilon_{\mathfrak{m}}(a'_\gamma)e_\gamma\Bigr) = 0
$$

で、$B$ は整域なので一方の因子が $0$ です。$(e_\beta)$ は線形独立なので、「すべての $\beta$ で $a_\beta \in \mathfrak{m}$」または「すべての $\gamma$ で $a'_\gamma \in \mathfrak{m}$」です。どちらの場合も、すべての $\beta, \gamma$ で $a_\beta a'_\gamma \in \mathfrak{m}$ です。$\mathfrak{m}$ は任意だったので、準備 3 により $a_\beta a'_\gamma = 0$ です。$u \ne 0$ なら $a_{\beta_0} \ne 0$ となる $\beta_0$ があり、$A$ は整域なのですべての $\gamma$ で $a'_\gamma = 0$、すなわち $v = 0$ です。
</Proof>

<Proposition id="prop-product-affine" title="アフィン多様体の積">
$X \subseteq \mathbb{A}^n$、$Y \subseteq \mathbb{A}^m$ をアフィン多様体とする。

1. $X \times Y \subseteq \mathbb{A}^{n+m}$ はアフィン多様体で、$\mathbf{I}(X \times Y)$ は $\mathbf{I}(X)$ と $\mathbf{I}(Y)$ が $k[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]$ で生成するイデアル $J$ に等しい。
2. $k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[X \times Y]$ である。同型は $f \otimes g$ を関数 $(p, q) \mapsto f(p)g(q)$ に写す。
3. 射影 $X \times Y \to X$、$X \times Y \to Y$ は射である。多様体 $Z$ からの写像 $(\phi, \psi)\colon Z \to X \times Y$ が射であることと、$\phi\colon Z \to X$ と $\psi\colon Z \to Y$ がともに射であることは同値である。したがって $X \times Y$ は多様体の圏での積である。
4. $\dim (X \times Y) = \dim X + \dim Y$（次元は <Ref to="def-dimension" />）。
</Proposition>

<Proof of="prop-product-affine">
(1)、(2) $(p, q) \in \mathbf{V}(J)$ は、$p$ が $\mathbf{I}(X)$ の元の零点で $q$ が $\mathbf{I}(Y)$ の元の零点であること、すなわち $(p, q) \in X \times Y$ と同値なので、$\mathbf{V}(J) = X \times Y$ は閉集合です。$k$ 代数の同型

$$
k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[x, y]/J
$$

を作ります。写像 $k[x] \times k[y] \to k[x, y]/J$、$(f, g) \mapsto fg \bmod J$ は $k$ 双線形で、$f \in \mathbf{I}(X)$ または $g \in \mathbf{I}(Y)$ なら値は $0$ です。よって双線形写像 $k[X] \times k[Y] \to k[x, y]/J$ が定まり、テンソル積の普遍性（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/tensor-flatness-projective-injective#def-tensor-module" />）により $k$ 線形写像 $\Phi\colon k[X] \otimes_k k[Y] \to k[x, y]/J$、$\bar{f} \otimes \bar{g} \mapsto fg$ が得られます。純テンソルの積を保つので $\Phi$ は環準同型です。逆向きに、多項式環の普遍性により $k$ 代数の準同型 $\Psi\colon k[x, y] \to k[X] \otimes_k k[Y]$、$x_i \mapsto \bar{x}_i \otimes 1$、$y_j \mapsto 1 \otimes \bar{y}_j$ があります。$f \in k[x]$ について $\Psi(f) = \bar{f} \otimes 1$、$g \in k[y]$ について $\Psi(g) = 1 \otimes \bar{g}$ なので、$\Psi$ は $J$ の生成元を $0$ に写し、$\bar\Psi\colon k[x, y]/J \to k[X] \otimes_k k[Y]$ を定めます。$\Phi\bar\Psi$ は生成元 $x_i, y_j$ の類を動かさず、$\bar\Psi\Phi(\bar{f} \otimes \bar{g}) = \Psi(f)\Psi(g) = \bar{f} \otimes \bar{g}$ なので、$\Phi$ と $\bar\Psi$ は互いに逆です。

<Ref to="lem-tensor-domain" /> により $k[x, y]/J$ は整域で、$J$ は素イデアル、したがって根基イデアルです。<Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" /> により $\mathbf{I}(X \times Y) = \mathbf{I}(\mathbf{V}(J)) = J$ で、$X \times Y$ は既約です。よって $k[X \times Y] = k[x, y]/J \cong k[X] \otimes_k k[Y]$ で、$\Phi$ の形から $f \otimes g$ は関数 $(p, q) \mapsto f(p)g(q)$ に対応します。

(3) 射影の座標は多項式なので、<Ref to="lem-morphism-coordinates" /> により射です。同じ補題により、$(\phi, \psi)$ が射であることは、その $n + m$ 個の座標がすべて $\mathcal{O}(Z)$ に属することと同値で、これは $\phi$ の座標と $\psi$ の座標がすべて正則であること、すなわち $\phi$ と $\psi$ が射であることと同値です。

(4) $d = \dim k[X]$、$e = \dim k[Y]$ とします。<Ref to="mathematics/commutative-algebra/krull-dimension#thm-dim-trdeg" /> の (1) により、$k$ 上代数的に独立な $u_1, \ldots, u_d \in k[X]$ で $k[X]$ が $R = k[u_1, \ldots, u_d]$ 上有限となるものと、同様の $w_1, \ldots, w_e \in k[Y]$、$R' = k[w_1, \ldots, w_e]$ があります。$R$ の単項式の全体は $R$ の $k$ 上の基底で、これを $k[X]$ の基底に延長できます（<Ref to="mathematics/foundations/axiom-of-choice-zorn#thm-hamel" />）。$R' \subseteq k[Y]$ についても同様です。すると基底の元どうしのテンソルの全体が $k[X] \otimes_k k[Y]$ の基底になる（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/tensor-flatness-projective-injective#prop-tensor-basic-iso" /> の (3)、(4)）ので、単項式 $u^\alpha \otimes w^\beta$ の全体は線形独立です。これは $u_i \otimes 1$、$1 \otimes w_j$ の $d + e$ 個の元が $k$ 上代数的に独立であることを意味します。$k[X]$ が $R$ 加群として $s_1, \ldots, s_a$ で、$k[Y]$ が $R'$ 加群として $s'_1, \ldots, s'_b$ で生成されるなら、$k[X] \otimes_k k[Y]$ は $k[u_i \otimes 1, 1 \otimes w_j]$ 上 $s_i \otimes s'_j$ で生成されるので有限です。同じ定理の (1) により $\dim k[X] \otimes_k k[Y] = d + e$ で、(2) と <Ref to="thm-dimension-affine-variety" /> の (1) から主張が従います（<Ref to="thm-dimension-affine-variety" /> の (1) の証明は積を使いません）。
</Proof>

<Example id="ex-zariski-not-product" title="Zariski 位相は積位相でない">
$\mathbb{A}^2 = \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1$ の Zariski 位相は、$\mathbb{A}^1$ の Zariski 位相の積位相より真に細かい位相です。対角集合 $\Delta = \mathbf{V}(x - y)$ は Zariski 位相で閉です。積位相で閉だとすると、$a \ne b$ となる点 $(a, b) \notin \Delta$ に対し、$\mathbb{A}^1$ の開集合 $U \ni a$、$V \ni b$ で $(U \times V) \cap \Delta = \varnothing$、すなわち $U \cap V = \varnothing$ となるものがあるはずです。しかし $\mathbb{A}^1$ は既約なので、空でない開集合は必ず交わります（<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (2)）。積位相の閉集合が Zariski 位相で閉であることは、射影が連続であることから分かります。

積の正しい定義は、位相ではなく <Ref to="prop-product-affine" /> の (3) の普遍性です。スキームのファイバー積でも同じ考え方をします。
</Example>

## 7. 次元

<Definition id="def-dimension" title="位相空間の次元">
位相空間 $X \ne \varnothing$ の**次元** $\dim X$ を、既約な閉集合の狭義の増大列 $Z_0 \subsetneq Z_1 \subsetneq \cdots \subsetneq Z_r$ の長さ $r$ の上限と定める。
</Definition>

<Theorem id="thm-dimension-affine-variety" title="アフィン多様体の次元">
$X$ をアフィン多様体とする。

1. $\dim X = \dim k[X] = \operatorname{trdeg}_k k(X)$ で、有限である（右の 2 つは Krull 次元と超越次数。<Ref to="mathematics/commutative-algebra/krull-dimension#def-krull-dimension" />、<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#def-transcendence-degree" />）。
2. $\dim \mathbb{A}^n = n$。
3. $f \in k[X]$ が $0$ でも単元でもなければ、$\mathbf{V}_X(f)$ は空でなく、そのすべての既約成分の次元は $\dim X - 1$ である。
4. $g \in k[x_1, \ldots, x_n]$ が既約多項式なら、$\mathbf{V}(g)$ は $n - 1$ 次元のアフィン多様体で $\mathbf{I}(\mathbf{V}(g)) = (g)$ である。逆に、$\mathbb{A}^n$ の $n - 1$ 次元の既約な閉集合 $Z$ は、ある既約多項式 $g$ により $Z = \mathbf{V}(g)$ と書ける。
</Theorem>

<Proof of="thm-dimension-affine-variety">
(1) <Ref to="prop-closed-subsets-of-variety" /> の (1)、(2) により、$X$ の既約な閉集合の狭義の増大列 $Z_0 \subsetneq \cdots \subsetneq Z_r$ と、$k[X]$ の素イデアルの鎖 $\mathbf{I}_X(Z_r) \subsetneq \cdots \subsetneq \mathbf{I}_X(Z_0)$ は 1 対 1 に対応します。よって長さの上限は等しく、$\dim X = \dim k[X]$ です。$k[X]$ は有限生成 $k$ 代数である整域なので、<Ref to="mathematics/commutative-algebra/krull-dimension#thm-dim-trdeg" /> により $\dim k[X] = \operatorname{trdeg}_k k(X) < \infty$ です。

(2) $\mathbf{I}(\mathbb{A}^n) = (0)$ なので $k[\mathbb{A}^n] = k[x_1, \ldots, x_n]$ で、その次元は $n$ です（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/krull-dimension#cor-dim-polynomial-n" />）。

(3) $\mathbf{V}_X(f) = \varnothing$ なら、<Ref to="prop-closed-subsets-of-variety" /> の (1) により $\sqrt{(f)} = \mathbf{I}_X(\varnothing) = k[X]$ で、$f$ は単元になります。よって $\mathbf{V}_X(f) \ne \varnothing$ です。同じ命題の (5) により、既約成分は $(f)$ の極小素イデアル $\mathfrak{p}$ についての $\mathbf{V}_X(\mathfrak{p})$ です。$k[X]$ は Noether 環（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/noetherian-and-artinian-rings#cor-noetherian-algebras" /> の (3)）なので、Krull の単項イデアル定理（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/krull-dimension#thm-krull-pit" />）により $\operatorname{ht}\mathfrak{p} \le 1$ です。$k[X]$ は整域で $0 \ne f \in \mathfrak{p}$ なので $(0) \subsetneq \mathfrak{p}$、よって $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ です。<Ref to="mathematics/commutative-algebra/krull-dimension#lem-affine-height-one" /> により $\dim k[X]/\mathfrak{p} = \dim k[X] - 1$ です。$\mathbf{V}_X(\mathfrak{p})$ は座標環が $k[X]/\mathfrak{p}$ のアフィン多様体（<Ref to="prop-closed-subsets-of-variety" /> の (2)）なので、(1) によりその次元は $\dim X - 1$ です。

(4) $k[x_1, \ldots, x_n]$ は一意分解整域（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#thm-poly-ufd" />）なので、既約元 $g$ は素元で（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#lem-ufd-criterion" />）、$(g)$ は素イデアルです。<Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" /> により $\mathbf{V}(g)$ は既約で $\mathbf{I}(\mathbf{V}(g)) = \sqrt{(g)} = (g)$ です。$g$ は $0$ でも単元でもなく、$\mathbf{V}(g)$ はそれ自身がただ一つの既約成分なので、(3) と (2) により次元は $n - 1$ です。

逆に $Z$ を $n - 1$ 次元の既約な閉集合とし、$\mathfrak{p} = \mathbf{I}(Z)$ とおきます。(1) により $\dim k[x]/\mathfrak{p} = n - 1$ で、鎖状性（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/krull-dimension#thm-affine-catenary" /> の (2)）により $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = n - (n - 1) = 1$ です。$\mathfrak{p} \ne (0)$ なので $0$ でない $f \in \mathfrak{p}$ があり、$\mathfrak{p} \ne k[x]$ なので $f$ は単元でなく、既約元の積 $f = g_1 \cdots g_s$ に書けます（<Ref to="mathematics/algebra/polynomial-rings-field-extensions#def-ufd" />）。$\mathfrak{p}$ は素イデアルなので、ある $g = g_i$ が $\mathfrak{p}$ に属します。前半で見たように $(g)$ は素イデアルで、$(0) \subsetneq (g) \subseteq \mathfrak{p}$ です。$\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ なので $(g) = \mathfrak{p}$、したがって $Z = \mathbf{V}(\mathfrak{p}) = \mathbf{V}(g)$ です。
</Proof>

(3) は「方程式を 1 本課すと次元がちょうど 1 下がる」という直観を、$f$ が零因子でも単元でもない（整域なので $0$ でも単元でもない）という仮定のもとで正当化します。(4) の逆は $\mathbb{A}^n$ の座標環が一意分解整域であることに依存していて、一般のアフィン多様体では余次元 $1$ の既約閉集合が 1 個の関数の零点になるとは限りません。この違いは、代数幾何 II の因子類群が測ります。

## 8. 支配的な射と関数体

<Definition id="def-dominant-birational" title="支配的な射・双有理同値">
多様体の射 $\phi\colon X \to Y$ が**支配的**であるとは、像 $\phi(X)$ が $Y$ で稠密であることをいう。多様体 $X, Y$ が**双有理同値**であるとは、空でない開集合 $U \subseteq X$、$V \subseteq Y$ と多様体の同型 $U \cong V$ が存在することをいう。
</Definition>

<Proposition id="prop-dominant-field-extension" title="支配的な射と関数体">
$X, Y$ をアフィン多様体とする。

1. 射 $\phi\colon X \to Y$ について、$\overline{\phi(X)} = \mathbf{V}_Y(\ker \phi^*)$ である。したがって $\phi$ が支配的であることと $\phi^*\colon k[Y] \to k[X]$ が単射であることは同値で、このとき $\phi^*$ は体の $k$ 準同型 $k(Y) \to k(X)$ にただ一通りに延長される。
2. $X$ と $Y$ が双有理同値であることと、$k(X)$ と $k(Y)$ が $k$ 代数として同型であることは同値である。
</Proposition>

<Proof of="prop-dominant-field-extension">
(1) $g \in k[Y]$ について、$\phi(X) \subseteq \mathbf{V}_Y(g)$ は $g \circ \phi = 0$、すなわち $g \in \ker\phi^*$ と同値です。$\phi(X)$ を含む $Y$ の閉集合 $\mathbf{V}_Y(\mathfrak{a})$ は、$\mathfrak{a} \subseteq \ker\phi^*$ となるものなので、最小のものは $\mathbf{V}_Y(\ker\phi^*)$ です。$k[X]$ は整域なので $\ker\phi^*$ は素イデアルで、根基イデアルです。<Ref to="prop-closed-subsets-of-variety" /> の (1) により、$\mathbf{V}_Y(\ker\phi^*) = Y = \mathbf{V}_Y(0)$ は $\ker\phi^* = 0$ と同値です。$\phi^*$ が単射なら、$a/b \mapsto \phi^*(a)/\phi^*(b)$ が商体への延長で、準同型は分数の値を決めるので延長は一意です。

(2) **双有理同値なら関数体が同型。** $\psi\colon U \to V$ を同型とします。$s \in k(Y)$ を $s = a/b$（$a, b \in k[Y]$、$b \ne 0$）と書くと、$s$ は $V \cap D(b)$（既約性により空でない）の上の正則関数で、$s \circ \psi$ は $X$ の空でない開集合 $\psi^{-1}(V \cap D(b))$ の上の正則関数です。<Ref to="thm-regular-functions-affine" /> の (1) の $r$ を使って

$$
\theta(s) = r(s \circ \psi) \in k(X)
$$

とおきます。別の表示 $s = a'/b'$ を使っても、$V \cap D(bb')$ の上では同じ関数で、$r$ は制限と両立するので、$\theta(s)$ は表示によりません。$r$ と $f \mapsto f \circ \psi$ が環準同型なので、$\theta\colon k(Y) \to k(X)$ は $k$ 代数の準同型です。$\psi^{-1}$ から同じ方法で $\theta'\colon k(X) \to k(Y)$ を作ります。$\theta(s)$ を $c/e$（$c, e \in k[X]$）と書くと、$r$ の定義から、$X$ の空でない開集合 $W \subseteq \psi^{-1}(V \cap D(b)) \cap D(e)$ の上で $s \circ \psi = c/e$ です。$\theta'(\theta(s))$ は $(c/e) \circ \psi^{-1}$ の $r$ による像で、$\psi(W)$ の上で $(c/e) \circ \psi^{-1} = s$ なので、$r$ の定義により $\theta'(\theta(s)) = s$ です。同様に $\theta\theta' = \mathrm{id}$ で、$\theta$ は同型です。

**関数体が同型なら双有理同値。** $\theta\colon k(Y) \to k(X)$ を $k$ 代数の同型とします。$k[Y]$ の $k$ 代数としての生成元 $\bar{y}_1, \ldots, \bar{y}_m$ の像を共通の分母 $b \in k[X]$、$b \ne 0$ で $\theta(\bar{y}_j) = a_j/b$ と書くと、$\theta(k[Y]) \subseteq k[X]_b$ です。同様に $d \in k[Y]$、$d \ne 0$ で $\theta^{-1}(k[X]) \subseteq k[Y]_d$ となるものがあります。$\theta^{-1}(b) \in k[Y]_d$ を $b'/d^s$（$b' \in k[Y]$、$b' \ne 0$）と書き、$g = db'$ とおきます。$k[Y]_g$ は $k[Y]_d$ と $1/b'$ を含むので

$$
\theta^{-1}(k[X]) \subseteq k[Y]_g, \qquad \theta^{-1}(1/b) = d^s/b' \in k[Y]_g, \qquad \text{したがって}\quad \theta^{-1}(k[X]_b) \subseteq k[Y]_g
$$

です。次に $\theta(g) \in k[X]_b$ を $f'/b^l$（$f' \in k[X]$、$f' \ne 0$）と書き、$f = bf'$ とおきます。$k[X]_f$ は $k[X]_b$ と $1/f'$ を含み、$\theta(1/g) = b^l/f'$ なので $\theta(k[Y]_g) \subseteq k[X]_f$ です。逆に $\theta^{-1}(1/f') = \theta^{-1}\bigl(1/(\theta(g)b^l)\bigr) = g^{-1}\theta^{-1}(1/b)^l \in k[Y]_g$ なので $\theta^{-1}(k[X]_f) \subseteq k[Y]_g$ です。よって $\theta$ は $k$ 代数の同型 $k[Y]_g \to k[X]_f$ に制限されます。

<Ref to="lem-principal-open-affine" /> により $D(f) \subseteq X$ はアフィン多様体 $X_f$ と、$D(g) \subseteq Y$ はアフィン多様体 $Y_g$ と同型で、$k[X_f] \cong k[X]_f \cong k[Y]_g \cong k[Y_g]$ です。<Ref to="thm-affine-antiequivalence" /> の (2) により $X_f \cong Y_g$、したがって $D(f) \cong D(g)$ で、$X$ と $Y$ は双有理同値です。
</Proof>

<Example id="ex-cusp-birational" title="尖点 3 次曲線は直線と双有理同値">
<Ref to="ex-cuspidal-cubic" /> の $\phi\colon \mathbb{A}^1 \to X = \mathbf{V}(y^2 - x^3)$ は全射なので支配的で、$\phi^*\colon k[X] \to k[t]$ は単射、$k[X] \cong k[t^2, t^3]$ です。$t = t^3/t^2$ なので商体は $k(t)$ で、$k(X) \cong k(\mathbb{A}^1)$ です。<Ref to="prop-dominant-field-extension" /> により $X$ と $\mathbb{A}^1$ は双有理同値です。実際 $\phi$ は $\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$ から $X \setminus \{(0,0)\} = D(\bar{x})$ への同型を与え、逆は正則関数 $\bar{y}/\bar{x}$ です。$\dim X = \operatorname{trdeg}_k k(t) = 1$ で、これは <Ref to="thm-dimension-affine-variety" /> の (4) とも合います。
</Example>

<Example id="ex-gl-n" title="一般線形群と行列式多様体">
$n \times n$ 行列の全体を $\mathbb{A}^{n^2}$ と同一視します。$\mathrm{GL}_n(k) = D(\det)$ は準アフィン多様体で、<Ref to="lem-principal-open-affine" /> によりアフィン多様体 $\mathbf{V}(t\det - 1) \subseteq \mathbb{A}^{n^2+1}$ と同型、座標環は $k[x_{ij}]_{\det}$ です。積 $(A, B) \mapsto AB$ は成分が多項式なので射で、逆行列 $A \mapsto A^{-1}$ も、成分が余因子を $\det$ で割ったもの（$k[x_{ij}]_{\det}$ の元）なので射です。

$m \times l$ 行列のうち階数が $r$ 以下のものの全体 $D_r \subseteq \mathbb{A}^{ml}$ は、すべての $(r+1)$ 次小行列式の共通零点なので閉集合です。階数 $r$ 以下の行列は $m \times r$ 行列と $r \times l$ 行列の積に書け、逆にそのような積の階数は $r$ 以下なので、$D_r$ は射 $\mathbb{A}^{mr} \times \mathbb{A}^{rl} \to \mathbb{A}^{ml}$、$(A, B) \mapsto AB$ の像です。$\mathbb{A}^{mr + rl}$ は既約なので $D_r$ は既約（<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (3)）で、アフィン多様体です。これを**行列式多様体**といいます。$m = l = 2$、$r = 1$ では $D_1 = \mathbf{V}(x_{11}x_{22} - x_{12}x_{21})$ で、次元は $3$ です（<Ref to="thm-dimension-affine-variety" /> の (3)）。
</Example>

## 9. 演習

<Exercise id="exr-three-lines" difficulty="標準">
$k$ の標数は $2$ でないとする。$\mathfrak{a} = (xz - y,\ yz - x) \subseteq k[x, y, z]$ について、$\mathbf{V}(\mathfrak{a})$ の既約成分と $\sqrt{\mathfrak{a}}$ を求めよ。また各既約成分の次元を求めよ。
<Solution>
$z(xz - y) + (yz - x) = xz^2 - x = x(z - 1)(z + 1) \in \mathfrak{a}$ です。$\mathbf{V}(\mathfrak{a})$ の点は $y = xz$ と $x(z-1)(z+1) = 0$ を満たし、逆にこの 2 式を満たせば $yz - x = xz^2 - x = 0$ なので $\mathbf{V}(\mathfrak{a})$ の点です。場合を分けると

- $x = 0$ のとき $y = 0$。$L_0 = \mathbf{V}(x, y)$。
- $z = 1$ のとき $y = x$。$L_1 = \mathbf{V}(z - 1, x - y)$。
- $z = -1$ のとき $y = -x$。$L_2 = \mathbf{V}(z + 1, x + y)$。

よって $\mathbf{V}(\mathfrak{a}) = L_0 \cup L_1 \cup L_2$ です。剰余環はそれぞれ $k[z]$、$k[x]$、$k[x]$ と同型（$L_1$ では $z \mapsto 1$、$y \mapsto x$ など）で整域なので、3 つのイデアルは素イデアル、$L_i$ は既約です。$(1, 1, 1) \in L_1$ は $L_0, L_2$ に属さず（標数が $2$ でないので $1 \ne -1$）、$(1, -1, -1) \in L_2$ は $L_0, L_1$ に属さず、$(0, 0, 0) \in L_0$ は $L_1, L_2$ に属さないので、互いに含まれません。したがって $L_0, L_1, L_2$ が既約成分です（<Ref to="prop-noetherian-space-components" />）。

<Ref to="thm-ideal-variety-correspondence" /> の (1) と <Ref to="lem-v-properties" /> の (5) から

$$
\sqrt{\mathfrak{a}} = \mathbf{I}(L_0 \cup L_1 \cup L_2) = (x, y) \cap (z - 1, x - y) \cap (z + 1, x + y)
$$

です。各 $L_i$ の座標環は 1 変数多項式環なので、<Ref to="thm-dimension-affine-variety" /> の (1)、(2) により次元は $1$ です。標数 $2$ では $z^2 - 1 = (z - 1)^2$ となり、$L_1 = L_2$ で既約成分は 2 本になります。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-conics" difficulty="標準">
$k$ の標数は $2$ でないとする。放物線 $P = \mathbf{V}(y - x^2)$、双曲線 $H = \mathbf{V}(xy - 1)$、円 $C = \mathbf{V}(x^2 + y^2 - 1)$（いずれも $\mathbb{A}^2$ の中）について次を示せ。

1. $P \cong \mathbb{A}^1$ で、$k[H] \cong k[t]_t$ である。
2. $P$ と $H$ は同型でない。
3. $C \cong H$ である。
<Solution>
(1) $t \mapsto (t, t^2)$ と $(x, y) \mapsto x$ は互いに逆な射なので $P \cong \mathbb{A}^1$ です。$H$ は <Ref to="lem-principal-open-affine" /> で $X = \mathbb{A}^1$、$f = x$ としたときの $X_f = \mathbf{V}(tx - 1)$（座標の名前を除いて）なので、アフィン多様体で $k[H] \cong k[x]_x$ です。

(2) 同型なら <Ref to="thm-affine-antiequivalence" /> により $k$ 代数の同型 $\alpha\colon k[t]_t \to k[s]$ があります。$t$ は $k[t]_t$ の単元なので $\alpha(t)$ は $k[s]$ の単元、すなわち $0$ でない定数 $c$ です（次数を比べると、多項式環の単元は定数に限ります）。すると $\alpha(t - c) = 0$ で、$t - c \ne 0$ なので $\alpha$ の単射性に反します。

(3) $k$ は代数閉体なので $i^2 = -1$ となる $i \in k$ があります。$\lambda\colon \mathbb{A}^2 \to \mathbb{A}^2$、$\lambda(x, y) = (x + iy,\ x - iy)$ は射で、$(u, v) \mapsto ((u + v)/2,\ (u - v)/(2i))$ が逆の射です（標数が $2$ でないので $2$ と $2i$ で割れます）。$(x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2$ なので、$\lambda$ は $C$ を $\mathbf{V}(uv - 1) = H$ の上に全単射に写し、$\lambda$ とその逆の制限は座標が多項式なので射です（<Ref to="lem-morphism-coordinates" />）。とくに $C$ は既約で、$C \cong H$ です。(2) とあわせて、円は直線と同型ではありません。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-quadric-cone" difficulty="標準">
$k$ の標数は $2$ でないとする。$Y = \mathbf{V}(xz - y^2) \subseteq \mathbb{A}^3$ とし、$k$ 代数の準同型 $\alpha\colon k[x, y, z] \to k[s, t]$ を $x \mapsto s^2$、$y \mapsto st$、$z \mapsto t^2$ で定める。

1. $\alpha$ に対応する射 $\mu\colon \mathbb{A}^2 \to \mathbb{A}^3$ を求め、像が $Y$ であることを示せ。これから $Y$ がアフィン多様体であることを導け。
2. $\mu^*\colon k[Y] \to k[s, t]$ は単射で、$k[Y] \cong k[s^2, st, t^2]$ であることを示せ。
3. $\mu\colon \mathbb{A}^2 \to Y$ は単射でないことを示し、$\dim Y$ を求めよ。
<Solution>
(1) <Ref to="thm-affine-antiequivalence" /> の (1) の証明のとおり、座標は生成元の像で、$\mu(s, t) = (s^2, st, t^2)$ です。$s^2 \cdot t^2 = (st)^2$ なので像は $Y$ に入ります。$(a, b, c) \in Y$ とします。$k$ は代数閉体なので $s^2 = a$、$t^2 = c$ となる $s, t$ があり、$(st)^2 = ac = b^2$ から $st = \pm b$ です。$st = -b$ なら $t$ を $-t$ に取り替えると $st = b$ になります。よって $\mu(\mathbb{A}^2) = Y$ です。$Y$ は閉集合で、既約な $\mathbb{A}^2$ の連続像なので既約（<Ref to="lem-irreducible-basics" /> の (3)）、したがってアフィン多様体です。

(2) $\mu\colon \mathbb{A}^2 \to Y$ は全射なので支配的で、<Ref to="prop-dominant-field-extension" /> の (1) により $\mu^*$ は単射です。$\mu^*$ は $\alpha$ から誘導される準同型で、像は $s^2, st, t^2$ で生成される部分環です。

(3) $\mu(s, t) = \mu(-s, -t)$ で、$(s, t) \ne (0, 0)$ なら $(s, t) \ne (-s, -t)$（標数が $2$ でないので $1 \ne -1$）なので単射ではありません。$k(Y) \cong k(s^2, st, t^2)$ で、$s$ と $t$ はこの体の上で代数的（$s^2$、$t^2$ がこの体に属する）なので、$k(s, t)$ はこの体の代数拡大です。<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#thm-transcendence-degree" /> の (4) により超越次数は等しく、$\dim Y = \operatorname{trdeg}_k k(s, t) = 2$ です。これは <Ref to="thm-dimension-affine-variety" /> の (3)（$\mathbb{A}^3$ の超曲面）とも合います。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-determinantal-dimension" difficulty="難">
$2 \times 3$ 行列のうち階数が $1$ 以下のものの全体 $D \subseteq \mathbb{A}^6$ の次元を求めよ。
<Solution>
<Ref to="ex-gl-n" /> のとおり、$D$ は射 $\mu\colon \mathbb{A}^2 \times \mathbb{A}^3 \to \mathbb{A}^6$、$((a_1, a_2), (b_1, b_2, b_3)) \mapsto (a_ib_j)_{i,j}$ の像で、アフィン多様体です。$\mu\colon \mathbb{A}^5 \to D$ は全射なので、<Ref to="prop-dominant-field-extension" /> の (1) により $\mu^*$ は単射で、$k(D)$ は $k(a_1, a_2, b_1, b_2, b_3)$ の部分体 $L = k(a_ib_j : i = 1, 2,\ j = 1, 2, 3)$ と同型です。

$L$ は 4 個の元 $a_1b_1$、$a_2/a_1 = a_2b_1/(a_1b_1)$、$b_2/b_1 = a_1b_2/(a_1b_1)$、$b_3/b_1 = a_1b_3/(a_1b_1)$ を含み、$a_ib_j = a_1b_1 \cdot (a_i/a_1)(b_j/b_1)$ なので、この 4 個で生成されます。よって超越基底をこの 4 個の中から選べ（<Ref to="mathematics/commutative-algebra/integral-extensions-nullstellensatz#thm-transcendence-degree" /> の (1)）、$d = \operatorname{trdeg}_k L \le 4$ です。一方 $b_1 = a_1b_1/a_1$、$a_2 = a_1 \cdot (a_2/a_1)$、$b_j = b_1 \cdot (b_j/b_1)$ なので $k(a_1, a_2, b_1, b_2, b_3) = L(a_1)$ です。$L$ の超越基底 $B$ を取ると、$k(a, b)$ は $k(B \cup \{a_1\})$ 上代数的なので、同じ定理の (2) により、代数的に独立な $a_1, a_2, b_1, b_2, b_3$ の個数 $5$ は $d + 1$ 以下です。よって $d = 4$ で、<Ref to="thm-dimension-affine-variety" /> の (1) により $\dim D = 4$ です。$\mathbb{A}^6$ の中で余次元 $2$ ですが、3 個の小行列式のうち 2 個だけでは $D$ になりません。たとえば第 1 列を含む 2 個の小行列式の共通零点は、第 1 列が $0$ で階数が $2$ の行列を含みます。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- R. Hartshorne, *Algebraic Geometry*, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — Chapter I §1（アフィン多様体）、§3（射）、§4（有理写像）。
- I. R. Shafarevich, *Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space*, 3rd ed., Springer, 2013 — Chapter 1（基本概念）。
- D. Mumford, *The Red Book of Varieties and Schemes*, 2nd ed., Lecture Notes in Mathematics 1358, Springer, 1999 — Chapter I（多様体）。
- W. Fulton, *Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry*, 著者による公開版, 2008 — Chapter 1〜2（アフィン代数的集合、アフィン多様体）。
- M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, *Introduction to Commutative Algebra*, Addison-Wesley, 1969 — Chapter 1、5、7、11（スペクトル、零点定理、Noether 環、次元論）。
- 上野健爾『代数幾何』岩波書店、2005 — 代数多様体を扱う最初の章。