# 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価
> 変分問題を有限次元部分空間で解く Galerkin 近似について、適切性・Galerkin 直交性・Céa の補題を証明し、1 次元の区分 1 次要素で補間誤差、エネルギーノルムと L² ノルムの誤差評価（双対論法）、節点での厳密性、剛性行列の条件数を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/pde-discretization/finite-element-galerkin
## 0. この記事の要点
曲がった形の物体の熱の伝わり方や、橋の部材のたわみを計算機で求めるとき、答えの関数をそのまま扱うことはできません。そこで答えを「折れ線のような単純な関数のつなぎ合わせ」で近似し、その係数だけを連立一次方程式で求めます。この記事は、その近似がどれだけ正しいか（細かく刻むと誤差がどう小さくなるか）を、1 次元の問題で最後まで確かめます。読み終えると、有限要素法の誤差が刻み幅 $h$ のどんな冪で減るか、その理由を説明できるようになります。
- 変分問題「すべての $v \in V$ で $a(u,v) = f(v)$」を、有限次元の部分空間 $V_h \subset V$ の上で同じ式のまま解くのが **Galerkin 近似**です。$a$ が有界で強圧的なら、近似解 $u_h$ はただ 1 つ存在し、$h$ によらず $\|u_h\| \le \|f\|/\alpha$ です（安定性）。
- 誤差は $V_h$ のすべての元と「直交」します（**Galerkin 直交性** $a(u - u_h, v_h) = 0$）。ここから **Céa の補題** $\|u - u_h\| \le \frac{M}{\alpha}\inf_{v_h}\|u - v_h\|$ が出て、誤差評価が「$V_h$ で $u$ をどれだけ近似できるか」という近似論の問題に帰着します。
- 1 次元の区分 1 次要素では、節点補間の誤差が $\|(u - I_hu)'\| \le \frac{h}{\pi}\|u''\|$、$\|u - I_hu\| \le \frac{h^2}{\pi^2}\|u''\|$ です。したがって有限要素解の誤差は $H^1$ で $O(h)$ です。
- $L^2$ での誤差は、双対問題を使う **Aubin–Nitsche の論法**で $O(h^2)$ に上がります。$-u'' = f$ では、有限要素解は節点で厳密解に一致します。
- 等間隔の分割では、剛性行列は 3 点差分の行列の $h$ 倍です。剛性行列の[条件数](/mathematics/numerical-linear-algebra/norms-and-conditioning#def-condition-number)（連立方程式の解きにくさの目安）は $O(h^{-2})$、質量行列の条件数は $O(1)$ です。
## 1. 動機
差分法は、微分方程式の導関数を差分商に置き換えました。前章の収束定理は解が $C^4$ 級であることを仮定し、格子は座標軸に沿っていました。領域の形が複雑なとき、係数が不連続なとき、解が滑らかでないときには、どちらも不都合です。
有限要素法は、方程式ではなく解のほうを近似します。$-u'' = f$、$u(0) = u(1) = 0$ に試験関数 $v$ を掛けて部分積分すると
$$
\int_0^1u'v'\,dx = \int_0^1fv\,dx\qquad(v(0) = v(1) = 0)
$$
となります。これが弱形式（変分問題）で、$u$ に 1 階の導関数しか要求しません。ここで $u$ と $v$ を「折れ線」に限れば、有限個の未知数（節点での値）の連立一次方程式になります。
この方法の利点は、誤差解析の構造が単純なことです。差分法での「[整合性](/computer-science/pde-discretization/finite-difference-convergence#def-consistency) + 安定性 $\Rightarrow$ 収束」は、有限要素法では「近似性 + 強圧性 $\Rightarrow$ 収束」になります。安定性は連続の問題の強圧性からそのまま受け継がれ（部分空間に制限しても強圧性は壊れない）、整合性にあたるものは「部分空間が解をどれだけよく近似できるか」です。しかも Céa の補題は、有限要素解が部分空間の中の最良近似と定数倍しか違わないことを保証します。
この章では、まず抽象的な Hilbert 空間で枠組みを作り、次に 1 次元の区分 1 次要素で誤差解析を最後まで行います。弱解の一般論（Sobolev 空間、Lax–Milgram の定理、存在と一意性）は [楕円型方程式の弱解](/mathematics/pde/elliptic-weak-solutions) にあります。2 次元の三角形要素は次章で扱います。
## 2. 変分問題と Galerkin 近似
$V$ を実 Hilbert 空間（ノルム $\|\cdot\|_V$）とする。双線形形式 $a : V \times V \to \mathbb{R}$ が、定数 $M, \alpha > 0$ について
$$
|a(u,v)| \le M\|u\|_V\|v\|_V,\qquad a(v,v) \ge \alpha\|v\|_V^2\qquad(u, v \in V)
$$
を満たすとき、$a$ は**有界**で**強圧的**であるという。有界線形汎関数 $f \in V^{*}$ に対し
$$
u \in V,\qquad a(u,v) = f(v)\quad(\text{すべての}\ v \in V)
$$
を**変分問題**という。$a$ が対称（$a(u,v) = a(v,u)$）のとき、$\|v\|_a = a(v,v)^{1/2}$ を**エネルギーノルム**という。
Lax–Milgram の定理（