# 差分法の整合性・安定性・収束：Lax の同等定理と von Neumann 解析
> 発展方程式の差分スキームについて、整合性と安定性から収束が従うこと（Lax の同等定理）を証明し、von Neumann の安定性解析、CFL 条件、移流方程式の 4 つのスキームの安定性と精度、数値粘性、Godunov の次数の壁を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/pde-discretization/finite-difference-convergence
## 0. この記事の要点
波や熱の広がりを計算機で追うには、時間と空間を細かい格子に区切り、微分を引き算と割り算に置き換えます。ところが、格子をどれだけ細かくしても、置き換え方によっては計算結果が厳密解に近づかず、かえって発散してしまいます。この記事は、「どんな置き換えなら格子を細かくするほど正しい答えに近づくのか」を、整合性と安定性という 2 つの性質で見分ける方法を示します。読み終えると、与えられた差分スキームが使ってよいものかどうかを、計算で判定できるようになります。
- 差分スキーム $u^{n+1} = C(\Delta t)u^n$ の誤差は $e^{n+1} = C(\Delta t)e^n + \Delta t\,\tau^n$ という漸化式を満たします。$\tau^n$ は厳密解をスキームに代入したときの残差（**局所打ち切り誤差**）です。冪 $C(\Delta t)^n$ が一様に有界（**安定**）なら、誤差は打ち切り誤差の $KT$ 倍以下に収まります。
- **Lax の同等定理**: 適切な線形初期値問題に対する整合的なスキームについて、収束することと安定であることは同値です。「安定 $\Rightarrow$ 収束」は誤差の漸化式から、「収束 $\Rightarrow$ 安定」は[一様有界性原理](/mathematics/functional-analysis/banach-spaces)（作用素の列が各点で有界なら、ノルムも有界になるという定理）から出ます。
- 定数係数のスカラーのスキームは、半離散 Fourier 変換で**増幅因子** $g(\theta)$ の掛け算になります。$\ell^2$ で安定であることと $\max_\theta|g| \le 1 + C\Delta t$ は同値です（von Neumann）。連立のスキームでは、増幅行列の[スペクトル半径](/mathematics/numerical-linear-algebra/norms-and-conditioning#def-spectral-radius)（固有値の絶対値の最大）についての同じ条件は必要条件にとどまります。
- 陽的スキームが収束するには、数値的な依存領域が方程式の依存領域を含まなければなりません（**CFL 条件**）。移流方程式 $u_t + au_x = 0$ の 3 点スキームでは $|a|\Delta t/h \le 1$ です。これは十分条件ではなく、前進時間・中心空間のスキームは CFL 条件を満たしても不安定です。
- 風上差分と Lax–Friedrichs は 1 次精度で、誤差の先頭項は拡散（数値粘性。計算のせいで生じる見かけの拡散）です。Lax–Wendroff は 2 次精度で、誤差の先頭項は 3 階微分（分散）なので不連続の近くで振動します。単調性を保つ線形スキームは高々 1 次精度です（Godunov）。
## 1. 動機
偏微分方程式 $u_t = Lu$ を計算機で解くには、微分を差分商に置き換えます。置き換えたときの誤差は Taylor の定理で分かります。たとえば前進差分 $(u(x+h) - u(x))/h$ は $u_x$ を $O(h)$ の誤差で近似します。それなら、どの差分商を使っても、$h$ と $\Delta t$ を小さくすれば解は厳密解に近づくはずだ、と考えたくなります。
実際にはそうなりません。移流方程式 $u_t + u_x = 0$ を、時間は前進差分、空間は中心差分で離散化したスキームは、$\Delta t$ と $h$ をどれほど小さくしても、格子比 $\Delta t/h$ を固定するかぎり発散します（§9 の数値実験で、誤差が $10^{69}$ に達します）。差分商の 1 回ごとの誤差は小さくても、時間ステップを $T/\Delta t$ 回くり返すあいだに誤差が増幅されるからです。
したがって、スキームには 2 つの性質が要ります。1 回のステップで方程式を正しく近似していること（**整合性**）と、ステップをくり返しても誤差が増幅されないこと（**安定性**）です。この 2 つがあれば収束し、しかも整合的なスキームでは安定性は収束のために必要でもある、というのが Lax の同等定理です。線形方程式 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ の数値解法での「前進誤差は条件数と後退誤差の積で抑えられる」という関係（[行列のノルムと線形方程式の条件数](/mathematics/numerical-linear-algebra/norms-and-conditioning)）の、発展方程式版にあたります。打ち切り誤差が後退誤差、安定性の定数 $K$ が条件数の役です。
この章では、まず抽象的な枠組みで同等定理を証明し、次に安定性を調べる道具（von Neumann 解析）を作り、移流方程式の代表的な 4 つのスキームに適用します。この枠組みは、次章以降の拡散方程式・有限要素法・スペクトル法でも同じ形で使います。
## 2. 差分商と打ち切り誤差
格子幅 $h > 0$ に対し、$x_j = jh$（$j \in \mathbb{Z}$）を**格子点**、集合 $h\mathbb{Z} = \{x_j\}$ を**格子**という。格子上の複素数値の関数 $v = (v_j)_{j\in\mathbb{Z}}$ を**格子関数**という。
$$
\|v\|_h = \Bigl(h\sum_{j\in\mathbb{Z}}|v_j|^2\Bigr)^{1/2},\qquad \|v\|_\infty = \sup_{j}|v_j|
$$
を離散 $\ell^2$ ノルム、最大値ノルムといい、$\|v\|_h < \infty$ である格子関数の全体を $\ell^2(h\mathbb{Z})$ と書く。周期 $1$ の問題では $h = 1/N$（$N$ は正の整数）とし、$v_{j+N} = v_j$ を満たす格子関数を $\mathbb{C}^N$ の元と同一視して、和を $j = 0, \ldots, N-1$ でとる。時間の刻み $\Delta t > 0$ に対し $t_n = n\Delta t$ とし、時刻 $t_n$ の格子関数を $u^n = (u^n_j)_j$ と書く。
重み $h$ を付けるのは、$v_j = f(x_j)$ のとき $\|v\|_h^2$ が $\int|f|^2dx$ の Riemann 和になり、$h$ を変えてもノルムの大きさが比べられるようにするためです。
関数 $f$ と $h > 0$ に対し
$$
D_+f(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h},\quad D_-f(x) = \frac{f(x) - f(x-h)}{h},\quad D_0f(x) = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}
$$
を**前進差分**・**後退差分**・**中心差分**といい、$D_+D_-f(x) = \dfrac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$ を **2 階中心差分**という。差分商と、それが近似する導関数との差を、その差分商の**打ち切り誤差**という。
$f$ は $[x-h, x+h]$ を含む開区間で定義された実数値関数とし、$M_k = \sup_{[x-h,x+h]}|f^{(k)}|$ とおく。
1. $f$ が $C^2$ 級なら $|D_\pm f(x) - f'(x)| \le \dfrac{h}{2}M_2$。
2. $f$ が $C^3$ 級なら $|D_0f(x) - f'(x)| \le \dfrac{h^2}{6}M_3$。
3. $f$ が $C^4$ 級なら $|D_+D_-f(x) - f''(x)| \le \dfrac{h^2}{12}M_4$。
$u_0$ は周期 $1$ の $C^4$ 級関数、$h = 1/N$、$\lambda$ は固定で、