# Rikai

> 行間を埋める、LLM 時代の数学・物理・情報科学の教科書。運営: 夢現技研合同会社。
> 各記事の生 Markdown は https://rikai.mugen-giken.com/raw/<記事id>.md で取得できます。

## 数学

- [ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebra/galois-theory): 体の拡大と自己同型群（ガロア群）が包含を逆にして対応することを具体例で確かめ、5 次方程式に根号の解の公式が存在しない理由が、対称群 S5 が可解群でないという群論の事実に帰着する仕組みを説明します。
- [群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebra/groups): 結合法則・単位元・逆元という三つの公理から群を定義し、整数の加法・剰余類・一般線形群・対称群を対比しながら、S3 の演算表・元の位数・巡回群までを証明付きで積み上げる。
- [群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebra/homomorphism-theorems): 群準同型の定義から出発し、核が正規部分群・像が部分群であることを証明したうえで、準同型定理 G/Ker f ≅ Im f を厳密に示します。行列式・置換の符号・指数関数の例で計算を最後まで実行します。
- [イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebra/ideals-and-quotient-rings): イデアルを正規部分群の類似物として導入し、剰余環 R/I の演算が代表元によらないことを証明する。環の準同型定理、素イデアル・極大イデアルと剰余環が整域・体になる条件、単項イデアル整域までを具体例つきで扱う。
- [正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebra/quotient-groups): 剰余類の集合に代表元どうしの積で演算を入れたいという要求から正規部分群の定義を導き、商群 G/N が群になることと自然な全射準同型の存在を証明し、Z/nZ を具体例として細部まで調べます。
- [環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebra/rings-and-fields): 環の公理をアーベル群と乗法モノイドの分配則による接着として定義し、単元・零因子・整域・体の階層を証明付きで整理する。整数環、Z/nZ、多項式環、行列環、ガウス整数環を実際に分類してみせる。
- [部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/algebra/subgroups-and-lagrange): 部分群の定義と一段階判定法から出発し、左剰余類が群を等しい大きさの塊に分割することを示して、有限群の部分群の位数が全体の位数を割るというラグランジュの定理を証明する。オイラーの定理と、逆が成り立たない例まで扱う。
- [ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/borwein-integrals): sinc 関数の広義積分が π/2 になることを一様収束を使って厳密に示し、sinc の積の積分が 7 回 π/2 を保った後に 8 回目で崩れる現象を、フーリエ変換と一様分布の畳み込みという視点から完全に説明する。
- [導関数の定義と基本的な微分法：差分商の極限から連鎖律まで](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/derivatives): 微分係数を差分商の極限として定義し、微分可能性が一次近似の存在と同値であることを示す。x^n・sin x・e^x の導関数を定義から導出し、線形性・積・商の法則、連鎖律、逆関数の微分法を証明する。
- [積分の基本定理と定積分：リーマン和から原始関数へ](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/integration-and-ftc): 定積分をダルブー和（リーマン和）の極限として定義し、可積分条件と連続関数の可積分性を証明したうえで、微分積分学の基本定理を厳密に示し、置換積分・部分積分を導出する。
- [極限と連続性：ε-δ 論法を「誤差の契約」として読む](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/limits-and-continuity): 「限りなく近づく」がなぜ定義になり得ないかをディリクレ関数で確かめ、ε-δ 論法を量化子の順序として読み直す。極限の一意性・四則・はさみうちから連続性・一様連続性までを定義だけから証明する。
- [平均値の定理とテイラーの定理：微分から関数の姿を復元する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/mean-value-and-taylor): ロル・ラグランジュ・コーシーの平均値の定理を最大値定理から順に証明し、それを土台にロピタルの定理とラグランジュ剰余付きテイラーの定理を導く。指数関数・正弦関数・対数関数のマクローリン展開を、誤差の評価まで込めて計算する。
- [重積分と累次積分：フビニの定理とヤコビアンで多変数の積分を計算する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/multiple-integrals): 2 重積分を「柱の体積の和」のリーマン和として定義し、フビニの定理で累次積分に直す手順、積分順序の交換が破れる反例、極座標などの変数変換に現れるヤコビアンの意味と計算を解説する。
- [多変数関数の微分と偏微分：微分とは「一次近似」のことである](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/multivariable-differentiation): 偏導関数が両方あっても関数が連続とは限らない、という反例から出発し、微分を一次近似として定義し直す。接平面・勾配・連鎖律・2 変数テイラー展開・ヘッセ行列による極値判定までを、反例つきで証明します。
- [級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/calculus/series-and-convergence): 無限級数の和を部分和の極限として定義し、比較・積分・ダランベール・コーシーの各判定法を証明付きで整理する。絶対収束と条件収束を区別し、交項級数とリーマンの再配列定理で和の順序が意味を持つ理由まで示す。
- [コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem): 複素線積分を定義から積み上げ、グリーンの定理とコーシー・リーマンの関係式からコーシーの積分定理を証明する。グルサの定理で導関数の連続性の仮定を外し、積分路の変形を経てコーシーの積分公式を導き、正則関数が境界の値だけで決まることを示す。
- [複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/complex-analysis/complex-numbers): 三次方程式の実数解を求める過程で虚数が不可避になった経緯から出発し、複素数体の構成、共役と絶対値、極形式とオイラーの公式、ド・モアブルの定理と 1 の n 乗根、複素平面の開集合と領域までを証明付きで整理します。
- [等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/complex-analysis/conformal-mapping): 正則関数が角度を保つ理由をコーシー・リーマンの関係式から示し、メビウス変換の円円対応と交比、シュワルツの補題による単位円板の自己同型の決定を経て、リーマンの写像定理の主張と意義までを追う。
- [正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/complex-analysis/holomorphic-functions): 複素微分可能性を「どの方向から近づいても同じ極限」という要求として読み解き、コーシー・リーマンの関係式を導く。偏微分の存在だけでは足りない反例を挙げ、全微分可能性を加えれば必要十分になることを証明し、指数関数・三角関数・対数の主枝の正則性を確かめる。
- [正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/complex-analysis/properties-of-holomorphic-functions): コーシーの積分公式から「正則関数は無限回微分可能」を導き、コーシーの評価式・リューヴィルの定理・代数学の基本定理、テイラー展開とローラン展開、そして一致の定理までを、実関数論との違いを対比しながら証明します。
- [留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分の計算まで](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/complex-analysis/residue-theorem): 孤立特異点を除去可能・極・真性の三つに分類し、留数を定義して留数定理を証明する。さらに有理関数の広義積分、三角関数の周期積分、ジョルダンの補題を使うフーリエ型積分を、輪郭の選び方から計算例まで具体的に扱う。
- [濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/foundations/cardinality-and-infinity): 集合の大きさを全単射で定義し直し、整数と有理数が可算であること、実数がカントールの対角線論法で非可算であることを証明する。カントールの定理と連続体仮説の独立性まで扱う。
- [関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined）](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/foundations/equivalence-relations): 二項関係を直積集合の部分集合として定義し、反射律・対称律・推移律から同値類と商集合を構成する。整数の合同や有理数の構成を例に、商集合上の演算が代表元の取り方によらず定まること（well-defined）を証明つきで解説する。
- [ゲーデルの不完全性定理：「真だが証明できない」とは何のことか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/foundations/incompleteness-theorems): ペアノ算術のような形式体系を定義し、ゲーデル数化と対角化補題を組み立てて第一・第二不完全性定理の主張を正確に述べる。真理と証明可能性のずれ、非標準モデル、リーマン予想の独立性まで踏み込む。
- [証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/foundations/proof-techniques): 数学的帰納法が正しい理由を整列性とペアノの公理から説明し、基底ステップを欠いた誤証明や「すべての馬は同じ色」の穴を解剖する。背理法と対偶証明の違いを整理し、平方根 2 が無理数であることを二通りに証明する。
- [数学の国語：集合と論理を正確に読み書きする](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/foundations/sets-and-logic): 集合の元・部分集合・べき集合、和集合と共通部分と補集合を定義から厳密に扱い、真理値表による命題論理、全称記号と存在記号の否定規則、必要条件と十分条件までを、ド・モルガンの法則の証明を軸に整理する。
- [数とは何か：自然数から実数へ、そして 1 = 0.999… はなぜ正しいのか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/foundations/what-is-a-number): 自然数から実数への拡張を「解けない方程式」を動機に追い、√2 の無理性と有理数の「隙間」を証明する。実数の連続性公理から 1 = 0.999… を三通りに示し、ゼロ除算が許されない理由も積の逆演算として説明する。
- [行列式とその性質：符号付き体積としての det](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/linear-algebra/determinants): 行列式を置換の符号によるライプニッツの公式と余因子展開の両面から定義し、多重線形性と交代性による特徴づけから det(AB)=det(A)det(B) と正則性の判定を証明し、符号付き体積という幾何的意味まで見通す。
- [対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/linear-algebra/diagonalization-and-jordan-form): 行列の対角化を「線形変換が最も簡単に見える基底を選ぶこと」と捉え、可能性の判定を重複度で与える。べき乗計算や実対称行列の直交対角化に応用し、対角化できない行列にはジョルダン標準形の構造と細胞の決め方までを扱う。
- [固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/linear-algebra/eigenvalues): 固有値と固有ベクトルを「線形変換が向きを変えない方向」として導入し、特性方程式による求め方、固有空間の和が直和になること、代数的重複度と幾何学的重複度の大小関係を証明する。対角化可能性の判定条件と主成分分析への応用まで扱う。
- [内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/linear-algebra/inner-product-spaces): 内積の公理から長さ・角度・直交性を定義し、コーシー・シュワルツの不等式、正規直交基底による展開、グラム・シュミットの直交化、直交補空間と直交射影による最良近似（最小二乗法）までを証明付きで積み上げる。
- [行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/linear-algebra/matrices-and-linear-systems): 行列を線形写像の表現として導入し、積が写像の合成に対応することを示す。基底変換の公式、ガウスの消去法、階数と次元定理を経て、Ax=b の解集合が特殊解と核の和になることを証明する。
- [スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/linear-algebra/spectral-theorem): 随伴行列の定義からエルミート行列とユニタリ行列の性質を導き、エルミート行列がユニタリ行列で実対角化できること（スペクトル定理）を帰納法で証明する。スペクトル分解、2 次形式の主軸、主成分分析への応用まで計算例つきで扱う。
- [ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/linear-algebra/vector-spaces): ベクトル空間の 8 公理を出発点に、部分空間・線形独立・基底・次元を厳密に定義し、取り替え補題から次元の一意性を証明します。線形変換の核と像を調べ、次元定理を証明して、回転・射影・微分・主成分分析で確かめます。
- [ベクトル場と微分形式：切断・外積代数・外微分](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/manifolds/differential-forms): ベクトル場を接バンドルの切断として定義し、余接バンドルから k 次微分形式と外積代数を構成する。外微分 d の存在と一意性を公理から証明し、d∘d=0 が grad・rot・div の恒等式を統一することを示す。
- [リー群とリー環：連続的な対称性を接空間の線形代数へ翻訳する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/manifolds/lie-groups): 多様体かつ群であるリー群を定義し、GL(n,R)・SL(n,R)・O(n)・U(n) を正則値定理で構成する。左不変ベクトル場から単位元の接空間にブラケットを入れてリー環を作り、指数写像で両者を結びつける。
- [微分可能多様体の定義：チャートとアトラスで曲がった空間に微分を持ち込む](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/manifolds/smooth-manifolds): 局所的にユークリッド空間と同一視できる空間で微分を語るために、チャート・座標変換・極大アトラスを厳密に導入する。球面・実射影空間・トーラスのアトラスを具体的に構成し、多様体上の C^k 級関数と多様体間の C^k 級写像までを定義する。
- [ストークスの定理：微分と境界の双対性](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/manifolds/stokes-theorem): 向き付け可能な多様体と境界付き多様体を定義し、1 の分割で積分を構成して一般化ストークスの定理を証明する。微分積分学の基本定理・グリーン・ガウス・ストークスがすべてその特別な場合であることを確かめる。
- [接ベクトル空間と接バンドル：曲がった空間で「速度」を定義する三つの流儀](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/manifolds/tangent-spaces): 多様体上の接ベクトル空間を、曲線の同値類・座標成分の変換則・導分という三つの流儀で構成し、Hadamard の補題を用いて三者が自然に同型であることを証明する。さらに写像の微分と連鎖律、接バンドルが 2n 次元多様体になることまで示す。
- [コラッツ予想：3行で書けるのに誰も解けない問題](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/math-columns/collatz-conjecture): 偶数なら半分、奇数なら3倍して1を足す。この単純な規則がなぜ90年間解けないのかを、実際に証明できる部分（巡回の非存在、密度3/4の減少）と確率的ヒューリスティック、3n−1版の反例から具体的に解説する。
- [ゼロで割ってはいけない理由：0 に逆数を与えると数の世界が 1 点に潰れる](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/math-columns/division-by-zero): 「0 で割るな」という学校のルールを、割り算＝掛け算の逆という定義に戻って説明します。5÷0 は解なし、0÷0 は解だらけ。0 の逆数を認めると 1=0 が導かれて数が全部消えることまで示します。
- [オイラーとラマヌジャン：計算の巨人と、直感の人](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/math-columns/famous-mathematicians): オイラーの公式 e^{iπ}+1=0 を級数から証明し、バーゼル問題・多面体定理・ケーニヒスベルクの橋までたどります。さらにラマヌジャンの円周率公式と分割数の合同式を、実際に数値を計算しながら紹介します。
- [四色定理：地図が4色で塗れる理由と、コンピュータが書いた最初の証明](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/math-columns/four-color-theorem): 「隣り合う国を違う色にするには4色で足りる」という四色定理を、オイラーの公式から導く六色定理・五色定理の証明とともに追い、1976年のコンピュータ支援証明が数学に残した問いまで扱います。
- [モンティ・ホール問題：なぜドアを変えると当たる確率が2倍になるのか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/math-columns/monty-hall-problem): 3つのドアから1つを選び、司会者がハズレのドアを1つ開けたあと選択を変えるべきか。全場合の書き出しとベイズの定理の両方で勝率が1/3から2/3へ跳ね上がることを示し、司会者の癖やドアの枚数を変えた一般化まで扱う。
- [1 は 0.999… と等しいか：無限小数の意味を決めてから答える](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/math-columns/one-equals-0-999): 0.999… = 1 という主張を、無限小数という記号の意味を定義するところから検討する。1/3 を 3 倍する議論、10 倍して引く議論、部分和と上限による議論を最後まで実行し、直感が反発する理由と二重表現の定理まで説明する。
- [数学はなぜ難しいのか：抽象・論理・積み重ねという三つの壁](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/math-columns/why-math-is-hard): 数学が難しい理由を、抽象度の高さ・厳密な論理・積み重ねの三つに分解し、ドミノ敷き詰めや誕生日の確率といった具体例で確かめる。日常の直感と数学の直感の違い、そして「わかった」瞬間に何が起きているかまで扱う。
- [C*-代数の基礎：スペクトル理論とゲルファント表現](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/noncommutative-geometry/c-star-algebras): バナッハ代数と対合から出発して C*-代数の公理を厳密に定め、スペクトルの非空コンパクト性とゲルファント–ベーリングのスペクトル半径公式を証明する。可換 C*-代数が局所コンパクト空間上の関数環に限ることを示し、連続関数計算までを整備する。
- [指数定理への応用：アティヤ・シンガーからコンヌの局所指数公式へ](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/noncommutative-geometry/index-theorem): 楕円型作用素の解析的指数と位相的指数の一致を述べるアティヤ・シンガーの定理を出発点に、コンヌが巡回コホモロジーと K-理論の対で与えた非可換版の指数定理、局所指数公式、葉層構造への一般化、そして標準模型のスペクトル作用までを追います。
- [K-理論入門：射影とユニタリで測る非可換空間の位相](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/noncommutative-geometry/k-theory): コンパクト空間上のベクトル束の分類から出発し、C*-代数の K₀ 群と K₁ 群を射影のマレー–フォン・ノイマン同値とユニタリ群の連結成分として定義する。六項完全系列とボット周期性を述べ、トープリッツ拡大の指数計算まで実行する。
- [非可換幾何学への動機：ゲルファント双対性が語る「空間 = 関数環」](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/noncommutative-geometry/motivation): 可換 C*-代数と局所コンパクト空間を対応させるゲルファント・ナイマルクの定理を証明し、空間の位相が関数環に完全にエンコードされることを示す。その上で量子論の交換関係と無理数回転の軌道空間を例に、非可換代数を「空間」とみなす枠組みを導入する。
- [非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/noncommutative-geometry/noncommutative-torus): 2 つのユニタリが VU = exp(2πiθ)UV で絡む C*-代数 A_θ を構成し、θ が無理数のときの単純性と一意トレース、微分構造とスペクトル三つ組、K 群のトレース像 Z+θZ を証明する。葉層構造と磁場中の電子への応用まで扱う。
- [スペクトル三つ組 (A, H, D)：ディラック作用素で幾何を定義する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/noncommutative-geometry/spectral-triples): スペクトル三つ組 (A, H, D) を定義し、コンパクトスピン多様体のディラック作用素が可換な模型になることを示す。距離公式が測地距離を再現することを証明し、ディクシエ跡による次元と体積の復元、実構造の公理と再構成定理までを扱う。
- [ABC予想：足し算と掛け算を隔てる根基の不等式](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/number-theory/abc-conjecture): 互いに素な a+b=c に対して c と根基 rad(abc) を比べる ABC 予想を、根基の定義から厳密に述べ、質の記録例、フェルマーの最終定理やフェルマー・カタラン方程式への帰結、多項式版 Mason–Stothers 定理の証明までを扱う。
- [合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/number-theory/congruences-and-fermat): 整数の合同式を同値関係として定義し、剰余環 Z/nZ とその単元群の構造を調べ、フェルマーの小定理とオイラーの定理を証明する。中国剰余定理を経由して RSA 暗号の正当性まで到達する。
- [楕円曲線とモジュラー形式：谷山・志村予想への道](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms): 楕円曲線 y^2 = x^3 + ax + b の点が弦と接線の作図でアーベル群をなすことを加法公式まで導き、モジュラー形式の定義と位数公式を整理し、谷山・志村予想がフェルマーの最終定理へつながる筋道を示す。
- [フェルマーの最終定理：フライ曲線とモジュラー性が閉じた 357 年](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/number-theory/fermats-last-theorem): n ≥ 3 で x^n + y^n = z^n が非自明解を持たないこと。n = 4 の無限降下法から、クンマーの円分体、フライ曲線、リベットのレベル下げ、ワイルズの半安定モジュラー性定理までを、計算を追いながら一続きの論証として読む。
- [素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/number-theory/primes-and-prime-number-theorem): 素数を整除の言葉で定義し、ユークリッドの無限性証明と算術の基本定理を厳密に示したうえで、二項係数によるチェビシェフ型評価を経て素数定理に至る道筋をたどり、双子素数予想やゴールドバッハ予想の現在地までを扱う。
- [リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/number-theory/riemann-hypothesis): リーマン・ゼータ関数を級数とオイラー積という二つの顔から定義し、解析接続で複素平面全体へ延ばしたうえで、非自明零点の実部がすべて 1/2 だという主張を述べ、それが素数計数関数の誤差項の大きさと同値であることを示す。
- [条件付き期待値：σ-加法族で条件づけ、ラドン・ニコディムで存在を保証する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/probability/conditional-expectation): 条件付き期待値をσ-加法族に対する概念として厳密に定義し、ラドン・ニコディムの定理による存在と一意性、タワー・プロパティ、既知量の取り出し、条件付きイェンセン不等式、L^2直交射影としての特徴づけまでを証明付きで解説する。
- [大数の法則と中心極限定理：標本平均はどこへ、どれだけ速く近づくか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/probability/limit-theorems): 確率収束・概収束・平均収束・分布収束の定義と含意関係を整理し、弱法則と強法則、そして特性関数による中心極限定理の証明を与える。標準誤差 1/√n と信頼区間の根拠まで一気に繋ぐ。
- [マルチンゲールとブラウン運動：公平な賭けから連続時間の確率過程へ](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/probability/martingales-and-brownian-motion): 条件付き期待値を土台にマルチンゲールを定義し、任意停止定理をギャンブラーの破産問題に適用する。さらにウィーナー過程を厳密に定義し、二次変分と、ブラウン運動から作られる三つのマルチンゲールを証明する。
- [確率空間とコルモゴロフの公理：確率を「全測度 1 の測度」として定義する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/probability/probability-spaces): 古典的確率の限界とベルトランのパラドックスから出発し、標本空間・σ-加法族・確率測度というコルモゴロフの三公理を厳密に定義する。単調性・劣加法性・連続性を公理から証明し、条件付き確率、ベイズの定理、独立性、ボレル–カンテリの補題まで導く。
- [確率変数と期待値：可測関数としての確率変数、ルベーグ積分としての期待値](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/probability/random-variables): 確率変数を可測関数として厳密に定義し、像測度としての分布、単関数近似による期待値の構成、変数変換公式、分散・共分散・相関係数、チェビシェフの不等式までを証明付きで解説する。
- [確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/probability/stochastic-differential-equations): ブラウン運動が有界変動でないことを二次変分から示し、古典的な積分が使えない理由を明らかにする。単純過程と伊藤等長性による伊藤積分の構成、確率過程の連鎖律である伊藤の公式、そして幾何ブラウン運動とブラック・ショールズ方程式までを扱う。
- [実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/real-analysis/completeness-and-cauchy): 実数の完備性を「上に有界な単調増加数列は収束する」という公理から出発し、アルキメデスの原理、上限の存在、有理数・無理数の稠密性、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理、コーシー列の収束までを省略なしに証明する。
- [ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/real-analysis/lebesgue-integral): 可測関数を定義し、単関数・非負可測関数・可積分関数の順にルベーグ積分を構成します。単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理を証明し、リーマン積分可能な関数では両者の値が一致することを示します。
- [可測集合とルベーグ測度：外測度とカラテオドリ条件から測度を作る](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/real-analysis/lebesgue-measure): リーマン積分が扱えないディリクレ関数を出発点に、区間の長さから作るルベーグ外測度、カラテオドリの条件による可測集合、σ-加法族と完全加法性、測度零集合と「ほとんど至るところ」までを、証明を省かずに積み上げます。
- [L^p 空間と関数解析への導入：ヘルダーの不等式から完備性・ヒルベルト空間まで](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/real-analysis/lp-spaces): p 乗可積分関数のなす L^p 空間を測度空間上で定義し、ヤングの不等式からヘルダー・ミンコフスキーの不等式を導く。さらにリース–フィッシャーの定理で完備性を証明し、L^2 がヒルベルト空間になることと関数解析への接続を述べる。
- [連続関数と一様連続性：δ が点に依存しないとはどういうことか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/real-analysis/uniform-continuity): 有界閉区間上の連続関数が有界性・最大値・中間値をもつことをボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と区間縮小法から証明し、さらに δ が点に依存しない一様連続性を定義してハイネ・カントールの定理を示す。
- [関数列と一様収束：極限と積分・微分はいつ交換できるか](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/real-analysis/uniform-convergence): 関数列の各点収束と一様収束を量化子の順序で区別し、x^n や背の高い三角形などの反例を計算しながら、一様収束が連続性と積分を保つこと、微分の交換には導関数列の一様収束が必要であることを証明する。
- [コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/topology/compactness): 開被覆から有限個を選び出せるというコンパクト性の定義を有界閉集合の一般化として動機づけ、ハイネ・ボレルの定理、連続像のコンパクト性、最大値の原理を距離に頼らずに証明する。
- [連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/topology/connectedness): 位相空間の連結性を、分離の非存在・開かつ閉の集合・2 値連続写像の 3 通りで特徴づけ、R の連結部分集合が区間であることから中間値の定理を導く。弧状連結との違いはトポロジストの正弦曲線で確かめる。
- [連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/topology/continuous-maps): 連続性を「開集合の逆像が開集合」と定義し、それが距離空間の ε-δ 連続と同値であることを証明する。同相写像を導入し、R と (0,1) が同相で R と [0,1] が同相でない理由を最後まで計算して示す。
- [分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/topology/separation-axioms): 位相空間の「分離の度合い」を測る T0〜T4 の階層を定義し、ハウスドルフ性が極限の一意性を保証すること、距離空間が正規であることを証明し、ウリゾーンの補題を経て第二可算な正則空間の距離づけ可能性を示す。
- [位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る](https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/topology/topological-spaces): 距離空間の開集合が満たす3つの性質だけを抜き出して位相空間を定義し、離散・密着・順序・ザリスキー位相を具体的に構成しながら、近傍・内部・閉包・境界の基本性質を証明します。

## 物理学

- [平成27年度 東大院 物理学専攻 博士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/doctor-h27-phys): 平成27年度 博士課程 物理学（全3問）の解答。角運動量代数と球対称井戸型ポテンシャルの束縛状態、スピン1/2の回転と2スピン系の磁化、電磁場中の荷電粒子とサイクロトロン運動を扱います。
- [平成28年度 東大院 物理学専攻 博士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/doctor-h28-phys): 平成28年度 博士課程 物理学（全3問）の解答。スピン1/2のBerry位相、古典理想気体のカノニカル計算とカルノー機関、2自由度連成振動子による防振系のモデルを扱います。
- [平成29年度 東大院 物理学専攻 博士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/doctor-h29-phys): 平成29年度 博士課程 物理学（全3問18設問）の解答。井戸型ポテンシャルの束縛状態と3電子系、2次元自由電子系の状態密度と低温比熱、誘電体境界での電磁波の反射・屈折（フレネル係数）を扱います。
- [平成30年度 東大院 物理学専攻 博士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/doctor-h30-phys): 平成30年度 博士課程 物理学（全3問）の解答。矩形障壁のトンネル効果とデルタ関数障壁への極限、二準位系の統計力学と量子遷移を含む場合への拡張、ベクトルポテンシャルと電磁誘導・因果律・角運動量の保存を扱います。
- [平成31年度 東大院 物理学専攻 博士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/doctor-h31-phys): 平成31年度 博士課程 物理学（全3問）の解答。調和振動子の生成消滅演算子と四次非調和項の摂動、1次元2状態スピン鎖の分配関数と相関長、連星ブラックホールの重力波インスパイラルを扱います。
- [令和2年度 東大院 物理学専攻 博士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/doctor-r2-phys): 令和2年度 博士課程 物理学（全3問）の解答。二状態系の測定とベルの不等式（Mermin 版）、古典理想気体と自由フェルミ粒子系、同軸ケーブルの TEM モードとパルス伝搬を扱います。
- [令和4年度 東大院 物理学専攻 博士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/doctor-r4-phys): 令和4年度 博士課程 物理学（全3問）の解答。不確定性関係と最小不確定状態、理想ボース気体のボース・アインシュタイン凝縮、誘電体境界での電磁波の反射・透過と全反射を扱います。
- [令和5年度 東大院 物理学専攻 博士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/doctor-r5-phys): 令和5年度 博士課程 物理学（全3問）の解答。2次元調和振動子の角運動量、ディラック電子系の状態密度と低温比熱、電気双極子・電気四極子のつくる場と相互作用エネルギーを扱います。
- [令和6年度 東大院 物理学専攻 博士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/doctor-r6-phys): 令和6年度 博士課程 物理学（全3問）の解答。逆さ調和振動子とスクイーズド状態、理想気体とラングミュア吸着、レイリー散乱と光ピンセットを扱います。3問はいずれも同年度の修士課程 専門科目と共通の問題です。
- [平成10年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h10-math): 平成10年度 修士課程 数学（全3問）の解答。固有値が縮退した3次実行列のジョルダン鎖とアフィン漸化式の収束条件、定数変化法による強制振動とインパルス応答、2連勝までの待ち時間の3項間漸化式と期待値を扱います。
- [平成10年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h10-phys): 平成10年度 修士課程「物理学」（全9問）の解答。中心力場の束縛状態と 1/r^2 ポテンシャル、電磁波の境界条件と誘電体板の透過、スピン系の磁化率、同種粒子の散乱とガンマ線測定、X線回折、レーザー干渉計による重力加速度測定、グリーン関数と波動方程式、タンパク質のらせん構造、色素の光吸収と蛍光を扱います。
- [平成11年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h11-math): 平成11年度 修士課程 数学（全3問）の解答。ディリクレ積分の複素積分による評価と絶対値関数のフーリエ級数、3次実行列の特性多項式の係数を Tr で表すことと複素固有値をもつ条件、重み exp(-x^2) に関する直交多項式（エルミート多項式）の構成・パリティ・漸化式を扱います。
- [平成11年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h11-phys): 平成11年度 修士課程「物理学」（全8問、4問選択）の全問解答。井戸型ポテンシャル中の2電子系、3次元イジング模型の平均場近似、Maxwell 方程式、放射線検出とノイズ対策、熱電対、Debye-Hückel 理論、沈降平衡、自由電子模型と陽電子消滅を扱います。
- [平成12年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h12-math): 平成12年度 修士課程 一般教育科目「数学・物理」のうち数学3問の解答。渦なしベクトル場のポテンシャル、実対称行列の固有値問題とユニタリ変換、熱伝導方程式のグリーン関数を扱います。
- [平成12年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h12-phys): 平成12年度 修士課程「物理学」（全8問から4問選択）の全問解答。対称二重井戸のトンネル分裂、電離層のプラズマ伝導度と円偏光、スピン系の断熱消磁、Kelvin 電気秤とブリッジ法と太陽電池、NaI シンチレーション検出器、2次元電子系と周期ポテンシャル、タンパク質の構造決定法、分子内部回転と回転異性体を扱います。
- [平成13年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h13-math): 平成13年度 修士課程 数学（全3問）の解答。4次元空間の2つの部分空間の次元と共通部分、円形膜の振動とベッセル関数の直交性、減衰振動子のグリーン関数をフーリエ変換と留数定理で求める問題を扱います。
- [平成13年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h13-phys): 平成13年度 修士課程 物理学（全9問から5問選択）の解答。浅い井戸の束縛状態、1次元イジング模型、点電荷の双極放射、相対論的等加速度運動、複屈折を使った段差測定、半導体のホール係数と4端子法、宇宙線カウンター、蛋白質間の励起エネルギー移動、水素分子の回転と交換反応を扱います。
- [平成14年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h14-math): 平成14年度 修士課程 数学（全2問）の解答。鏡映を含む2次実対称行列の固有値・対角化と単位円上の円が接線方向に伸びた楕円へ写る変形、および3次元ラプラス方程式の動径方程式・球面調和関数展開による球殻の境界値問題を扱います。
- [平成14年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h14-phys): 平成14年度 修士課程「物理学」（全9問から5問選択）の全問解答。コヒーレント状態、鎖状分子のゴム弾性、誘電体境界の Fresnel 係数と Brewster 角、円錐面上の質点、パイ中間子のパリティ、電離真空計、マグネティック・スペクトロメータ、Landauer 公式、神経細胞の膜電位を扱います。
- [平成15年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h15-math): 平成15年度 修士課程 数学（全2問）の解答。外積で定まる線形常微分方程式の直交対角化と回転、球対称波動方程式の初期値問題と時間フーリエ変換を扱います。
- [平成15年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h15-phys): 平成15年度 修士課程 物理学（全9問）の解答。井戸型ポテンシャルと断熱定理、二元合金の平均場近似、円筒導体と電気映像、球の転がり運動、測定誤差論、プラズマ中の荷電交換、反陽子対生成のしきい値、蛋白質の熱転移、2原子分子の回転比熱を扱います。
- [平成16年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h16-math): 平成16年度 修士課程 数学（全2問）の解答。2次以下の多項式空間上の合成写像 p(x) から p(ax+b) への表現行列・固有値・反復作用と、拡散方程式のフーリエ解、ガウス型積分、熱核による初期値問題、矩形初期条件の誤差関数表示を扱います。
- [平成16年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h16-phys): 平成16年度 修士課程 物理学（全9問）の解答。調和振動子のハイゼンベルグ表示、鎖状分子の二状態模型、磁場中の荷電粒子とサイクロトロン共鳴、スイングバイ、NaI シンチレーション検出器、LC 共振による液体ヘリウム密度測定、K/π ビームと中性 π 中間子の寿命、眼の結像と視神経の配線、転送行列とブロッホ状態を扱います。
- [平成17年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h17-math): 平成17年度 修士課程 数学（全2問）の解答。ユニタリ行列の列ベクトルの正規直交性から実2次形式の標準形、勾配系 dx/dt = -∇Φ の構成と原点への漸近安定性までを扱う線形代数の問題と、調和ポテンシャル中の拡散方程式（オルンシュタイン–ウーレンベック型）をガウス分布のアンザッツとフーリエ変換で解く問題を扱います。
- [平成17年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h17-phys): 平成17年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。井戸型ポテンシャルの共鳴透過、自由電子気体と熱電子放出、強光場中の電子のポンデロモーティブエネルギー、ガンマ線の減衰と崩壊運動学、回折格子分光器の分解能、ギブズ自由エネルギーと鎖状分子の熱転移を扱います。
- [平成18年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h18-math): 平成18年度 修士課程 数学（全2問）の解答。エルミート行列の射影演算子によるスペクトル分解と虚時間発展による最小固有値の抽出、およびオイラー–ラグランジュ方程式からベルトラミの恒等式を経て最小回転面（懸垂面）を求める問題を扱います。
- [平成18年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h18-phys): 平成18年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。無限井戸の摂動論とパリティ、空洞放射、平面電磁波、パイ中間子の平均飛距離と電磁シャワー、Drude モデルとホール効果、Thomson 散乱による電子温度計測を扱います。
- [平成19年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h19-math): 平成19年度 修士課程 数学（全2問）の解答。回転行列の直交性・行列指数関数・ファンデルモンド行列式と、コーシー–リーマン関係式からストークスの定理経由でコーシーの積分定理を導きガウス型積分を評価する問題を扱います。
- [平成19年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h19-phys): 平成19年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。角運動量代数からの固有値の量子化、スピン対の磁化率、制限三体問題とラグランジュ点、中性子検出器の効率、アルミニウムの超伝導転移の熱力学、ラムシフトの測定を扱います。
- [平成20年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h20-math): 平成20年度 修士課程 数学（全2問）の解答。3次元回転群の性質・回転の固有値・交代行列の指数関数による生成と、エルミート多項式の次数・ガウス積分・複素積分による母関数・エルミートの微分方程式を扱います。
- [平成20年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h20-phys): 平成20年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。2次元調和振動子の代数解と極座標解、3状態分子系のゆらぎと応答、方形導波管のモード、コンプトン散乱によるガンマ線方向測定、回転ドラムによる速度分布測定、黒体放射と高速自転天体を扱います。
- [平成21年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h21-math): 平成21年度 修士課程 数学（全2問）の解答。θ に依存する2次実対称行列の固有値・行列多項式・逆行列、半正定値実対称行列のトレース不等式、そして2成分連立1階常微分方程式とローレンツ型積分による遷移確率を扱います。
- [平成21年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h21-phys): 平成21年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。スピンと不確定性関係、フェルミ気体とボース気体、井戸型ポテンシャルによる2体散乱、加速器とミューオン運動量測定、4端子法とホール効果、フラウンホーファー回折を扱います。
- [平成22年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h22-math): 平成22年度 修士課程 数学（全2問）の解答。正定値対称行列に対する最急降下法とその収束率、1次元波動方程式の特性座標・エネルギー積分・ダランベールの公式とローレンツ型初期速度の具体解を扱います。
- [平成22年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h22-phys): 平成22年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。井戸型ポテンシャルに加えたデルタ関数、二状態単量体の鎖状分子とゴム弾性、複素振幅の Maxwell 方程式と平行平板線路、弾性衝突の運動学と荷電粒子のエネルギー損失、電離真空計と熱電子放出、論理回路とオペアンプを扱います。
- [平成23年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h23-math): 平成23年度 修士課程 数学（全2問）の解答。反交換する2つの対合行列からパウリ代数を再構成する問題と、1次元グリーン関数・円板のラプラス方程式・d 次元ポアソン方程式を扱います。
- [平成23年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h23-phys): 平成23年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。分離型ポテンシャルの束縛状態、三角形上の3スピン系、電磁場中のドリフト運動、核反応とドップラーシフト寿命測定、光電効果、フォトダイオード回路を扱います。
- [平成24年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h24-math): 平成24年度 修士課程 数学（全2問）の解答。パウリ行列の積から SU(2) による3次元回転（ロドリゲスの公式）を組み立て、2次の複素行列に関する真偽判定6問に答え、双曲型連立1階偏微分方程式の特性分解と拡散型連立2階方程式の熱核解を求めます。
- [平成24年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h24-phys): 平成24年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。スピン歳差と磁気共鳴、二原子分子の回転比熱とオルソ／パラ水素、束縛電子による光の分散、粒子生成と飛行時間測定、中性子準弾性散乱、同軸ケーブルの伝送線路を扱います。
- [平成25年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h25-math): 平成25年度 修士課程 数学（全2問）の解答。ヴァンデルモンド行列式の因数分解と対数微分の留数、2階線形偏微分方程式の標準形・熱核・波動方程式の一般解を扱います。
- [平成25年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h25-phys): 平成25年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。調和振動子のコヒーレント状態、理想ボース気体の凝縮、電磁場中の荷電粒子、抵抗の熱雑音と増幅回路、相対論的反応運動学と原子核検出、固体の熱伝導を扱います。
- [平成26年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h26-math): 平成26年度 修士課程 数学（全2問）の解答。線形1階方程式と連立系、熱方程式の境界値問題、ロジスティック型方程式、巡回シフト行列による巡回対称行列の対角化、2層系の固有値と摂動の次数を扱います。
- [平成26年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h26-phys): 平成26年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。水素様原子とランダウ準位、2次元フェルミ気体とギャップのある分散、導体表面での反射と表皮効果、モーズリーの法則、重合モーターの熱力学、ヒッグス粒子の2光子崩壊を扱います。
- [平成27年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h27-math): 平成27年度 修士課程 数学（全2問）の解答。ケーリー・ハミルトンの定理から作られるチェビシェフ多項式、スツルム・リウヴィル型演算子の自己共役性と直交性、拡散方程式の遅延グリーン関数を扱います。
- [平成27年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h27-phys): 平成27年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。円周上のデルタ関数ポテンシャル、高分子鎖のランダムウォーク、等速運動する荷電粒子列の電磁場、コンプトン散乱とガンマ線スペクトル、磁気天秤とキュリー則、見かけの超光速運動を扱います。
- [平成28年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h28-math): 平成28年度 修士課程 数学（全2問）の解答。2次回転行列の積の列とトレースの保存量、実対称三重対角行列の固有値の単純性、質量項つき波動方程式の初期値問題、非線形波動方程式のキンク解と線形化のゼロモードを扱います。
- [平成28年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h28-phys): 平成28年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。磁場中2次元電子のゼロエネルギー束縛状態、調和振動子系と連成振動子系の比熱、相対論的ロケット、プラズマ干渉計、電子弾性散乱による荷電半径、交流回路とダイオード回路を扱います。
- [平成29年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h29-math): 平成29年度 修士課程 数学（全2問）の解答。ラプラス変換の収束条件、たたみ込み定理による積分方程式の解法、ブロムウィッチ積分での逆変換、外積の行列表示から回転行列の指数関数表示と共役による回転軸の移り方を扱います。
- [平成29年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h29-phys): 平成29年度 修士課程 物理学（全6問39設問）の解答。相互作用する2粒子調和振動子の突然近似、平均場近似の反強磁性イジング模型、二重振り子の避けられた交差、核断熱消磁冷凍機、モード同期レーザー、大気ニュートリノ振動を扱います。
- [平成30年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h30-math): 平成30年度 修士課程 数学（全2問）の解答。行ベクトルの特異値分解と擬逆ベクトル、移流方程式、定常バーガース方程式の衝撃波解、コール–ホップ変換とフーリエ変換を扱います。
- [平成30年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h30-phys): 平成30年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。二状態系の回避交差と断熱定理、直方体中の理想気体と第三法則、電気双極子放射と二波源干渉、負ミューオンの生成と寿命測定、X線回折の構造因子、高温プラズマの制動放射を扱います。
- [平成31年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h31-math): 平成31年度 修士課程 数学（全2問）の解答。トレースレスエルミート行列の指数写像と SU(3) の構造定数・随伴表現、ゼータ関数正則化による固有値の無限積を扱います。
- [平成31年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h31-phys): 平成31年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。調和振動子の生成消滅演算子と四次非調和項の摂動、1次元2状態スピン鎖の転送行列、連星ブラックホールの重力波インスパイラル、マイケルソン干渉計によるフーリエ分光と CMB、素粒子原子核実験の基礎、同軸ケーブルの伝送線路方程式と表皮効果を扱います。
- [平成8年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h8-math): 平成8年度 修士課程 数学（全3問）の解答。非線形振動子の摂動展開と永年項、3行2列行列の特異値分解、ビュフォンの針（長針の場合）を扱います。
- [平成8年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h8-phys): 平成8年度 修士課程「物理学」（全8問）の解答。球対称井戸型ポテンシャルの浅い束縛状態とs波位相のずれ、磁場中の導体リング振り子の電磁制動、一次元自由電子系の比熱と帯磁率、ミュー原子のX線スペクトルと有限核半径、円筒上の電子状態と強結合近似、真空排気系と平均自由行程、細胞内拡散と能動輸送、ヘリックス-コイル転移とタンパク質の熱変性を扱います。
- [平成9年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h9-math): 平成9年度 修士課程 数学（全3問）の解答。2次形式の対角化と回転行列、上半平面の曲線の微分方程式（双曲幾何の測地線）、ピタゴラス数の一般解を扱います。
- [平成9年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-h9-phys): 平成9年度 修士課程「物理学」（全8問）の解答。水素原子型の束縛状態とデルタ関数摂動、デルタ関数格子のバンドと有効質量、ローレンツ変換と電車・トンネルのパラドックス、ラザフォード散乱の実験、局在スピン相と縮退電子相の1次転移、液滴の四重極振動とコヒーレント状態、巻き貝の左右性と母性効果遺伝、蛋白質の低温変性を扱います。
- [令和2年度 東大院 物理学専攻 修士 数学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-r2-math): 令和2年度 修士課程 数学（全2問）の解答。誤差関数のマクローリン展開と漸近展開、移流拡散方程式のフーリエ解法とグリーン関数、巡回シフト行列と位相行列が作る代数の固有値と相互不偏基底を扱います。
- [令和2年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-r2-phys): 令和2年度 修士課程 物理学（全6問）の解答。二状態系の測定とベルの不等式（Mermin 版）、古典理想気体と自由フェルミ粒子系、同軸ケーブルの TEM モード、緩和法と交流法による熱容量測定、抵抗の熱雑音と並列共振回路、反陽子生成のしきい値と飛行時間測定を扱います。
- [令和4年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-r4-phys): 令和4年度 修士課程 専門科目（全4問）の解答。不確定性関係と最小不確定状態、理想ボース気体のボース・アインシュタイン凝縮、誘電体境界での電磁波の反射・透過と全反射、留数計算による分散関係とランク1摂動を受けた行列の固有値を扱います。
- [令和5年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-r5-phys): 令和5年度 修士課程 専門科目（全4問）の解答。2次元調和振動子の角運動量、ディラック電子系の状態密度と低温比熱、電気双極子・四極子の相互作用エネルギー、複素積分と行列の指数関数を扱います。
- [令和6年度 東大院 物理学専攻 修士 物理学 解答](https://rikai.mugen-giken.com/exams/utokyo-physics/master-r6-phys): 令和6年度 修士課程 専門科目（全4問）の解答。逆さ調和振動子とスクイーズド状態、理想気体とラングミュア吸着、レイリー散乱と光ピンセット、フーリエ変換と3次行列の固有値を扱います。
- [宇宙の果てと年齢：138 億年と 465 億光年はどこから来た数字か](https://rikai.mugen-giken.com/physics/cosmology/age-and-size-of-the-universe): ハッブル定数の逆数がなぜ宇宙の年齢の目安になるのかを式で追い、138 億年を導く。さらに観測可能な宇宙の半径が 465 億光年になる理由と、宇宙そのものに端があるのかを解説する。
- [ビッグバンは本当にあったのか：膨張・背景放射・元素の比という三つの証拠](https://rikai.mugen-giken.com/physics/cosmology/big-bang-evidence): 「宇宙は火の玉から始まった」を支える三つの証拠——ハッブル–ルメートルの法則、2.7 K の宇宙マイクロ波背景放射、水素とヘリウムの存在比——を数値計算まで追って検証し、この理論が何を説明し何を説明していないかを整理する。
- [ブラックホールの先にあるもの：事象の地平面、スパゲッティ化、そして蒸発](https://rikai.mugen-giken.com/physics/cosmology/black-holes): 光さえ逃げられない天体はなぜ存在できるのか。脱出速度からシュワルツシルト半径を導き、落ちる人を待つ潮汐力、ホーキング放射による蒸発、ワームホールが通り抜けられない理由までを数値つきで追います。
- [なぜ星までの距離がわかるのか：宇宙の距離はしごを一段ずつ登る](https://rikai.mugen-giken.com/physics/cosmology/cosmic-distance-ladder): 年周視差・ケフェイド変光星・Ia 型超新星という三段の物差しを、逆二乗の法則と距離指数から順に組み立てる。δ ケフェイや遠方超新星の実際の数値で距離を計算し、段を継ぐたびに誤差がどう積み上がるかまで追う。
- [ダークマターとダークエネルギー：宇宙の 95% はまだ名前しかない](https://rikai.mugen-giken.com/physics/cosmology/dark-matter-and-dark-energy): 銀河の回転曲線と銀河団のビリアル質量からダークマターの存在を導き、Ia 型超新星が示した加速膨張から宇宙定数と状態方程式パラメータ w を読み解く。宇宙の 4.9%・26.4%・68.5% という内訳の根拠を実際の数値計算で確かめる。
- [宇宙人はどのくらいいるのか：ドレイクの方程式とフェルミのパラドックス](https://rikai.mugen-giken.com/physics/cosmology/fermi-paradox): 銀河系の文明数を見積もるドレイクの方程式を実際に数値計算し、「ではなぜ誰も来ないのか」というフェルミのパラドックスを、植民地化の所要時間と電波の検出限界という二つの数字から整理します。
- [夜空はなぜ暗いのか：オルバースのパラドックスと宇宙の有限な年齢](https://rikai.mugen-giken.com/physics/cosmology/olbers-paradox): 宇宙が無限で永遠なら夜空は太陽の表面と同じ明るさになるはず。この矛盾を立体角と逆二乗則で定量化し、塵による吸収説を退け、有限の光速・有限の年齢・エネルギー不足という答えに至る。
- [静電場とガウスの法則：クーロンの法則からポアソン方程式まで](https://rikai.mugen-giken.com/physics/electromagnetism/electrostatics): 点電荷に働く力の法則から電場を定義し、立体角の計算でガウスの法則の積分形を証明する。発散の定義と発散定理を経て微分形 div E = ρ/ε₀ を導き、静電ポテンシャルとポアソン方程式まで一本の筋で結ぶ。
- [電磁ポテンシャルとゲージ変換：場の裏にある「余分な自由度」](https://rikai.mugen-giken.com/physics/electromagnetism/gauge-potentials): div B = 0 と rot E = -∂B/∂t からベクトルポテンシャル A とスカラーポテンシャル φ を構成し、ポテンシャルの不定性がゲージ変換に尽きることを証明したうえで、ローレンツゲージとクーロンゲージ、そして 4 元ポテンシャルまでを扱う。
- [電磁誘導と変位電流：マクスウェルが方程式系を閉じた瞬間](https://rikai.mugen-giken.com/physics/electromagnetism/induction-and-displacement-current): ファラデーの電磁誘導の法則を積分形から微分形 rot E = -∂B/∂t へ翻訳し、動く回路でのフラックス則をローレンツ力と結びつける。さらにコンデンサの逆理と電荷保存則から変位電流項の必要性を導き、マクスウェル方程式を完成させる。
- [定常電流と静磁場：ビオ・サバールの法則から rot B = μ0 J へ](https://rikai.mugen-giken.com/physics/electromagnetism/magnetostatics): 電流密度と電荷保存則から出発し、ビオ・サバールの法則を経て静磁場の二つの基本方程式 div B = 0 と rot B = μ0 J を導く。回転（rot）を循環の面密度として定義し、アンペールの法則の積分形と微分形の同値性を証明する。
- [マクスウェル方程式と電磁波：4 本の式から光速が出てくるまで](https://rikai.mugen-giken.com/physics/electromagnetism/maxwell-equations): 真空中のマクスウェル方程式を積分形と微分形で整理し、電荷保存則との整合性を確かめたうえで波動方程式を導く。伝播速度が 1/√(ε0 μ0) = c と一致すること、電磁波が横波で E と B が直交すること、ポインティング・ベクトルがエネルギーの流れを表すことを示す。
- [正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ](https://rikai.mugen-giken.com/physics/mechanics/canonical-transformations): ハミルトン方程式の形を保つ座標変換（正準変換）を母関数とシンプレクティック条件の両面から定義し、ポアソン括弧によって物理量の時間発展を表す公式を導く。さらにこの括弧が量子力学の交換関係へ対応づく仕組みまでを扱う。
- [惑星の運動と中心力：角運動量保存からケプラーの三法則へ](https://rikai.mugen-giken.com/physics/mechanics/central-forces): 二体問題を換算質量で一体問題に帰着させ、角運動量保存から面積速度一定則を、ビネ方程式から楕円軌道と調和の法則を導く。有効ポテンシャル・離心率とエネルギーの関係・ルンゲ–レンツベクトルまで扱う。
- [ハミルトン形式の力学：ルジャンドル変換が開く位相空間](https://rikai.mugen-giken.com/physics/mechanics/hamiltonian-mechanics): 一般化運動量とルジャンドル変換からハミルトニアンを導き、正準方程式・位相空間・リウヴィルの定理・ポアソン括弧を証明つきで積み上げ、統計力学と量子力学への橋渡しまでを示す。
- [ラグランジュ形式の力学：最小作用の原理からオイラー・ラグランジュ方程式へ](https://rikai.mugen-giken.com/physics/mechanics/lagrangian-mechanics): ハミルトンの原理から変分法でオイラー・ラグランジュ方程式を導き、L = T - U がニュートンの運動方程式を再現すること、方程式が一般化座標の取り替えで形を変えないことを証明する。極座標・拘束系・回転系で計算を最後まで実行する。
- [ニュートン力学の基礎：三法則から運動量・エネルギー保存則へ](https://rikai.mugen-giken.com/physics/mechanics/newtonian-mechanics): 運動の三法則を「慣性系の存在」「力と加速度の関係」「作用反作用」として整理し、1 次元の運動方程式を解いたうえで、運動量保存則と力学的エネルギー保存則を運動方程式から導出する。
- [対称性と保存則：ネーターの定理を「変換の生成子から保存量を作る機械」として読む](https://rikai.mugen-giken.com/physics/mechanics/noethers-theorem): ラグランジアンの連続対称性が保存量を生む仕組みを、生成子と境界項を含む形で定式化し証明する。時間並進とエネルギー、空間並進と運動量、回転と角運動量、ガリレイ変換と重心運動を計算しきる。
- [アインシュタインとファインマン：時空を曲げた男と、光を数え上げた男](https://rikai.mugen-giken.com/physics/physics-columns/famous-physicists): アインシュタインが時間と空間の常識をどう壊したかを光時計と E=mc² の計算で追い、ファインマンの量子電磁力学と、金庫破りやOリングの逸話に見る科学の作法を紹介する。
- [ラプラスの悪魔と決定論：未来はすでに決まっているのか](https://rikai.mugen-giken.com/physics/physics-columns/laplaces-demon): ニュートン力学が約束した「完全に予測可能な宇宙」＝ラプラスの悪魔を微分方程式の解の一意性として定式化し、カオスの初期値鋭敏性と量子力学の不確定性関係がそれをどう崩したかを具体的な数値計算とともに追う。
- [マクスウェルの悪魔：情報を食べて動く機械は作れるか](https://rikai.mugen-giken.com/physics/physics-columns/maxwells-demon): 速い分子だけを通す「悪魔」は熱力学第二法則を破れるのか。シラードのエンジンでこの問いを 1 分子まで単純化し、1 ビットの記憶を消すには kT ln2 以上の熱を捨てねばならないというランダウアーの原理で決着をつける。
- [日常の中の物理：スマホ・GPS・MRI を動かしている量子力学と相対論](https://rikai.mugen-giken.com/physics/physics-columns/physics-in-everyday-life): スマホの半導体、GPS の相対論補正、MRI の核磁気共鳴を、実際の数値を最後まで計算して読み解く。バンドギャップと発光色、1 日 38 マイクロ秒の時刻ずれ、5 ppm の核スピン偏極が、身のまわりの機器を動かしています。
- [シュレーディンガーの猫：重ね合わせはどこで終わるのか](https://rikai.mugen-giken.com/physics/physics-columns/schrodingers-cat): 箱の中の猫が生と死の重ね合わせになるという思考実験を、偏光板の実験と簡単なベクトル計算から解きほぐし、コペンハーゲン解釈・多世界解釈・デコヒーレンスの立場の違いまで説明する。
- [物理学の未解決問題：宇宙の 95% はまだ名前しかついていない](https://rikai.mugen-giken.com/physics/physics-columns/unsolved-problems-in-physics): ダークマター・ダークエネルギー・インフレーション・量子重力という現代物理学の四大未解決問題を、銀河の回転曲線や臨界密度の実際の数値計算をたどりながら紹介し、科学がまだ途中であることを示す。
- [スカラー場の正準量子化：場の交換関係から粒子描像へ](https://rikai.mugen-giken.com/physics/qft/canonical-quantization): 実スカラー場に等時刻正準交換関係を課し、生成・消滅演算子によるモード展開でハミルトニアンを対角化する。励起状態が質量 m の相対論的粒子として解釈できることを示し、真空エネルギーの発散と正規順序、微視的因果律までを導く。
- [古典場の理論とラグランジアン：無限自由度の変分原理からネーターの定理まで](https://rikai.mugen-giken.com/physics/qft/classical-field-theory): 連成振動子の連続極限としてラグランジアン密度を導入し、変分原理から場のオイラー・ラグランジュ方程式を導く。クライン・ゴルドン場を例に、ネーターの定理と保存カレント・エネルギー運動量テンソルまでを扱う。
- [ゲージ理論と自発的対称性の破れ：ヒッグス機構はなぜ質量を生むのか](https://rikai.mugen-giken.com/physics/qft/gauge-theory-and-symmetry-breaking): 局所 U(1) 対称性から電磁場を導くゲージ原理を出発点に、自発的対称性の破れとゴールドストーンの定理を証明し、アーベリアン・ヒッグス模型と標準模型で W・Z ボソンが質量を得る仕組みを計算で追う。
- [経路積分量子化：時間分割から生成汎関数とファインマン則へ](https://rikai.mugen-giken.com/physics/qft/path-integral-quantization): 遷移振幅の時間分割から経路積分を導き、ユークリッド化で分配関数と結びつけ、場の理論の生成汎関数 Z[J] を定義する。ガウス積分とウィックの定理からファインマン則を、ファデーエフ–ポポフ法からゲージ理論の量子化を導く。
- [くりこみ理論入門：ループ発散の正則化から、くりこみ群の流れまで](https://rikai.mugen-giken.com/physics/qft/renormalization): φ⁴ 理論の 1 ループ計算で紫外発散を具体的に取り出し、裸のパラメータへの吸収とくりこみ条件で有限化する手順、表面的発散次数によるくりこみ可能性の判定、そしてくりこみ群方程式とベータ関数までを導きます。
- [なぜ場の量子論が必要か：一粒子の量子力学が相対論と両立しない理由](https://rikai.mugen-giken.com/physics/qft/why-quantum-field-theory): 特殊相対論と量子力学を素朴に接ぎ木すると、負エネルギー解・非正値の確率密度・光円錐外への伝播という三つの破綻が生じます。これらを計算で示し、場そのものを量子化して粒子を励起量子とみなす立場が唯一の出口であることを示します。
- [角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く](https://rikai.mugen-giken.com/physics/quantum-mechanics/angular-momentum-and-spin): 角運動量の交換関係だけから固有値 j(j+1)ħ² と mħ を導き、軌道角運動量で j が整数に限られる理由、スピン 1/2 とパウリ行列、二つの角運動量の合成則とクレブシュ・ゴルダン分解までを扱う。
- [量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像](https://rikai.mugen-giken.com/physics/quantum-mechanics/birth-of-quantum-mechanics): 19 世紀末の黒体放射スペクトルがなぜ古典電磁気学で説明できないのかをレイリー・ジーンズ則の発散から示し、プランクの量子仮説、アインシュタインの光量子仮説、ド・ブロイの物質波を、数値まで追える具体例とともに導きます。
- [水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで](https://rikai.mugen-giken.com/physics/quantum-mechanics/hydrogen-atom): 水素原子のシュレーディンガー方程式を極座標で変数分離し、球面調和関数と動径方程式に分ける。級数が有限次で切れる条件から主量子数 n が現れる筋道をたどり、エネルギー準位 −13.6/n² eV と n² 重の縮退、その対称性の起源までを導く。
- [1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子](https://rikai.mugen-giken.com/physics/quantum-mechanics/one-dimensional-systems): 無限井戸型ポテンシャルの離散準位、矩形障壁のトンネル透過率、調和振動子の生成・消滅演算子による解法を、境界条件と交換関係から順に導き、古典力学との違いを数値で確かめる。
- [演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ](https://rikai.mugen-giken.com/physics/quantum-mechanics/operators-and-observables): 物理量がエルミート演算子で表される理由を期待値の実数性から導き、正準交換関係の意味、ロバートソンの不等式によるハイゼンベルクの不確定性原理の証明、固有値・固有状態と測定による波動関数の収縮までを一続きに扱う。
- [摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く](https://rikai.mugen-giken.com/physics/quantum-mechanics/perturbation-theory): 時間に依存しない摂動論を、縮退のない場合の 1 次・2 次補正から縮退がある場合の永年方程式まで導出し、荷電調和振動子・水素原子の線形シュタルク効果・ヘリウム原子の基底状態で計算を最後まで実行する。
- [シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで](https://rikai.mugen-giken.com/physics/quantum-mechanics/schrodinger-equation): 量子力学の運動方程式であるシュレーディンガー方程式を時間依存形と時間非依存形の両方で導入し、ボルンの確率解釈、規格化と確率の保存、運動量演算子の導出、エーレンフェストの定理までを証明付きで積み上げます。
- [曲がった時空と重力：アインシュタイン方程式から GPS の 38 マイクロ秒まで](https://rikai.mugen-giken.com/physics/relativity/curved-spacetime): 重力を時空の曲率とみなすアインシュタイン方程式を弱場近似でニュートン重力に接続し、シュヴァルツシルト解・ブラックホール・重力波を導く。GPS 衛星の時計が 1 日 38.5 マイクロ秒進む理由を数値まで計算する。
- [一般相対性理論への招待：等価原理が重力を幾何学に変えるまで](https://rikai.mugen-giken.com/physics/relativity/equivalence-principle): 特殊相対論が重力を扱えない理由から出発し、慣性質量と重力質量の一致、エレベーターの思考実験によるアインシュタインの等価原理、そこから導かれる重力赤方偏移と光の曲がりまでを、計算を省かずに追う。
- [ローレンツ変換：時間の遅れと空間の縮みを光時計から導く](https://rikai.mugen-giken.com/physics/relativity/lorentz-transformations): 光速度不変の原理と光時計の思考実験から、時間の遅れ・ローレンツ収縮・同時刻の相対性を順に導き、それらを一つにまとめるローレンツ変換と、ミンコフスキー時空の不変な世界間隔までを計算を省かずに組み立てます。
- [特殊相対性理論の原理：ガリレイの相対性から二つの公準へ](https://rikai.mugen-giken.com/physics/relativity/principles-of-special-relativity): マクスウェル方程式がガリレイ変換で形を変えるという 19 世紀末の難問を計算で確かめ、マイケルソン・モーリーの実験が何を否定したのかを見たうえで、アインシュタインの二公準が絶対時間を捨てさせる論理を追う。
- [相対論的力学：4元運動量が語る E=mc² の意味](https://rikai.mugen-giken.com/physics/relativity/relativistic-mechanics): ニュートン力学の運動量保存が慣性系ごとに破れることから出発し、固有時・4元速度・4元運動量を構成して E=γmc² と E²=(pc)²+(mc²)² を導く。静止エネルギー mc² が実在する意味と、質量が加法的でないことを核反応の数値で確かめる。
- [カノニカル集団：ボルツマン因子と分配関数から熱力学を組み立てる](https://rikai.mugen-giken.com/physics/thermodynamics/canonical-ensemble): 熱浴と接した系の状態確率がボルツマン因子に比例することを熱浴のエントロピー展開と最大エントロピー原理の二通りで導き、分配関数 Z からヘルムホルツ自由エネルギー・内部エネルギー・比熱・エネルギー揺らぎを系統的に取り出す方法を示す。
- [グランドカノニカル集団：粒子数を手放して化学ポテンシャルを握る](https://rikai.mugen-giken.com/physics/thermodynamics/grand-canonical-ensemble): 粒子とエネルギーを交換する開いた系の統計力学。粒子浴との接触からグランドカノニカル分布を導き、大分配関数とグランドポテンシャル、粒子数ゆらぎ、化学ポテンシャルの意味を、理想気体と吸着系の計算で確かめる。
- [熱力学の諸法則：温度・内部エネルギー・エントロピーはどこから来るのか](https://rikai.mugen-giken.com/physics/thermodynamics/laws-of-thermodynamics): 熱平衡の推移律から経験温度を、断熱仕事の経路独立性から内部エネルギーと熱を定義し、トムソンとクラウジウスの原理の同値性・カルノーの定理・クラウジウスの不等式を経てエントロピーを構成する。
- [ミクロカノニカル集団：等重率の原理と S = k log W](https://rikai.mugen-giken.com/physics/thermodynamics/microcanonical-ensemble): 孤立系の平衡を等重率の原理で定式化し、状態数 W からボルツマンのエントロピー S = k log W を立てる。温度・圧力・化学ポテンシャルを導き、理想気体のサックール・テトロード式まで計算する。
- [量子統計：不可弁別性から生まれるボース統計とフェルミ統計](https://rikai.mugen-giken.com/physics/thermodynamics/quantum-statistics): 同種粒子の不可弁別性から出発し、大分配関数の因子化によってボース・アインシュタイン分布とフェルミ・ディラック分布を導く。フェルミ縮退・電子比熱・ボース・アインシュタイン凝縮を定量的に扱う。
- [自由エネルギーと熱力学ポテンシャル：ルジャンドル変換で「制御できる変数」に乗り換える](https://rikai.mugen-giken.com/physics/thermodynamics/thermodynamic-potentials): 内部エネルギーの自然な変数 (S,V,N) を、実験で制御できる (T,p,μ) に乗り換えるルジャンドル変換を定式化し、F・H・G・Ω の全微分、等温過程の最大仕事、マクスウェルの関係式と応答関数の恒等式を導く。

## 情報科学

- [AI時代のITエンジニアの生存戦略：自動化の上限を定量的に見積もる](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/ai-era/engineer-survival-strategy): LLMによるコード生成が開発工程のどこを速くし、どこを速くしないのかを、アムダール則・生成検証サイクル・仕様の情報量下界・ライスの定理を使って定量的に分析し、何を学ぶべきかを導きます。
- [LLMとプログラミング：委譲の損益分岐点と「もっともらしい誤り」の見抜き方](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/ai-era/llm-and-programming): LLMを設計・実装・テスト・レビューに組み込む判断を、成功率と検証コストの比という一つの不等式に還元して整理する。得意・不得意が分かれる理由、タスク分割が効く理由、AIのもっともらしい誤りを検出する手順を数値例とともに示す。
- [数学を学び直す意義：AI を読み解く三つの言語](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/ai-era/relearning-mathematics): LLM の内部で何が起きているかを、線形代数（埋め込みと低ランク近似）、微分積分（勾配降下法の収束と学習率）、確率統計（交差エントロピーとベイズ更新）の三つの言語で読み解き、学び直しの到達点と順序を示す。
- [計算量と O 記法：アルゴリズムの速さを入力サイズの関数で測る](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/algorithms/complexity-and-big-o): 時間計算量・空間計算量を計算モデルから定義し、O・Ω・Θ 記法を関数の集合として厳密に述べる。増大度の階層を証明し、O(1) から O(2^n) までの各クラスが入力サイズの増大にどう耐えるかを定理と数値で比較する。
- [基本的なデータ構造：配列・連結リスト・スタック・キュー](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/algorithms/data-structures): 配列と連結リストのメモリ配置の違いから検索・挿入・削除の計算量を導き、動的配列の償却 O(1) を証明する。スタックとキューを抽象データ型として定義し、リングバッファと 2 本のスタックによる実装を解析する。
- [動的計画法：部分問題を一度だけ解いて指数時間を多項式時間に変える](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/algorithms/dynamic-programming): 動的計画法を「部分問題の依存関係が DAG なら位相順に一度ずつ解けばよい」という原理として定式化し、フィボナッチ数列の指数時間再帰が O(n) になる仕組みと、0-1 ナップサック問題の漸化式・O(nW) 表計算・解の復元を証明付きで示す。
- [グラフアルゴリズム：BFS・DFS・ダイクストラ法を正しさから理解する](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/algorithms/graph-algorithms): グラフを隣接行列と隣接リストで表し、幅優先探索が最短の辺数を与えること、深さ優先探索が有向閉路を検出することを証明する。さらに非負重みの下でダイクストラ法の正当性を示し、優先度付きキューによる O(E log V) を導く。
- [P≠NP 予想とは何か：多項式時間・証明書・帰着で計算の壁を測る](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/algorithms/p-vs-np): クラス P と NP を検証器の言葉で厳密に定義し、多項式時間帰着と NP 完全性から SAT・3SAT・独立集合の関係を証明する。P=NP なら暗号と最適化に何が起きるかまで具体的に示す。
- [探索アルゴリズム：二分探索の O(log n) とハッシュ表の平均 O(1)](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/algorithms/searching): ソート済み配列に対する二分探索が O(log n) で終わる理由を不変条件と決定木の下界から示し、ハッシュ表がチェイン法とオープンアドレス法で平均 O(1) を実現する仕組みと、その「平均」の中身を明らかにする。
- [ソートアルゴリズム：バブルソート・マージソート・クイックソートと「二乗の壁」](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/algorithms/sorting): バブルソートが二乗時間になる理由を転倒数で説明し、マージソートの分割統治が n log n を達成することを証明する。クイックソートの平均計算量と最悪計算量の差がピボットの選び方から生じる仕組みまで扱う。
- [コンピュータアーキテクチャとCPUの構造：トランジスタから RISC-V まで](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/cs-basics/computer-architecture): トランジスタのスイッチ動作から論理ゲート、加算器、クロック同期回路を積み上げ、五大装置とフォン・ノイマン型アーキテクチャ、CPU のデータパス、RISC-V の命令符号化までを証明と計算つきで追う。
- [OS の役割：抽象化・スケジューリング・仮想記憶はなぜ必要か](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/cs-basics/operating-systems): むき出しのハードウェアで何が困るのかから出発し、特権モードとシステムコール、CPU スケジューリング（SJF の最適性）、ページングと仮想記憶（多段ページテーブル・TLB・LRU のスタック性）、デッドロックの必要条件までを証明付きで解説する。
- [プログラミング言語論：機械語から型システムとパラダイムまで](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/cs-basics/programming-language-theory): 機械語・アセンブリ・高級言語の階層を RISC-V の実際の命令符号化から確認し、小さな言語の操作的意味論のうえで進行定理と保存定理を証明したうえで、静的型付けと動的型付け、関数型とオブジェクト指向の設計原理を比較します。
- [ニューラルネットワークと逆伝播：連鎖律を計算グラフの上で逆向きに走らせる](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/math-for-ml/backpropagation): ニューラルネットワークを線形変換と活性化関数の合成として定式化し、多変数の連鎖律から逆伝播を導出する。計算グラフ上の随伴変数の漸化式を証明し、勾配計算が順伝播の定数倍で済む理由を計算量と数値例で確かめる。
- [確率論とベイズ統計：最尤推定・MAP 推定と正則化の正体](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/math-for-ml/bayesian-statistics): ベイズの定理から最尤推定と MAP 推定の違いを導き、L2 正則化がガウス事前分布、L1 がラプラス事前分布に対応することを証明し、ベイズ線形回帰で予測の不確実性を定量化する。
- [勾配降下法：勾配はなぜ「最も急な坂」なのか](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/math-for-ml/gradient-descent): 多変数テイラー展開とコーシー・シュワルツの不等式から勾配が最急降下方向であることを示し、学習率の許容範囲を降下補題で決め、二次関数の条件数と確率的勾配降下法の分散まで計算で追う。
- [線形回帰と最小二乗法：正規方程式を直交射影として読む](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/math-for-ml/linear-regression): 二乗和誤差の最小化が正規方程式 X^T X w = X^T y に帰着することを代数と偏微分の両面から導出し、その解が観測ベクトルの列空間への直交射影であることを示す。ランク条件と数値的安定性まで扱う。
- [ロジスティック回帰：シグモイドと交差エントロピーを最尤推定から導く](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/math-for-ml/logistic-regression): 分類の出力を確率として扱うためにシグモイド関数とロジット（対数オッズ）を導入し、ベルヌーイ分布の最尤推定から交差エントロピー誤差を導出する。勾配とヘッセ行列を計算して凸性を示し、閉じた解が存在せず微分による数値最適化が要る理由を明らかにする。
- [主成分分析：分散最大化はなぜ固有値問題になるのか](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/math-for-ml/principal-component-analysis): データの分散が最大になる方向を探すという要請が標本共分散行列の固有値問題に帰着することを導出し、第 1 主成分が最大固有値の固有ベクトルであること、寄与率が保存される分散の割合に等しいことを証明します。
- [なぜ機械学習に数学が必要か：学習を「損失の最小化」に書き直す](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/math-for-ml/why-math-for-ml): 回帰も分類も経験リスク最小化という一つの最適化問題に帰着することを示し、線形代数・微分積分・確率統計がその各段階でどう働くかを、最小二乗法と勾配降下法の完全な証明で確かめます。
- [クラウドコンピューティング：オンプレミスとの分岐点を数式で見る](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/software-engineering/cloud-computing): IaaS・PaaS・SaaS の責任分界を NIST 定義から整理し、AWS・GCP・Azure の主要サービスを対応づける。さらに損益分岐利用率、待ち行列によるスケール台数、直列並列の可用性を計算で確かめる。
- [Docker と Kubernetes：コンテナはなぜ軽く、クラスタはなぜ自己修復するのか](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/software-engineering/containers-and-kubernetes): 「私の環境では動く」問題を出発点に、名前空間と cgroup によるコンテナの実体、イメージのレイヤ構造とキャッシュの前置性、Kubernetes の宣言的 API と調整ループを、可用性・オートスケール・無停止更新の定量的な評価まで含めて積み上げる。
- [データベース設計の基礎：関係モデル・SQL・正規化を「事実の置き場所」から考える](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/software-engineering/database-design): テーブル・主キー・外部キーという関係モデルの語彙を定義し、SQL の基本操作を実データで追い、関数従属と属性閉包から第1〜第3正規形の必要性を証明付きで導く。無損失結合分解と NoSQL との使い分けまで扱う。
- [ネットワーク（TCP/IP）：URL を入力してからページが表示されるまで](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/software-engineering/networking-tcp-ip): OSI 参照モデルと TCP/IP の 4 階層を、カプセル化・IP アドレスと最長プレフィックス一致・TCP のウィンドウ制御という三つの軸で整理し、URL 入力から HTML が届くまでの往復時間を実際に見積もる。
- [バージョン管理システム Git：Merkle DAG としての履歴と共同開発フロー](https://rikai.mugen-giken.com/computer-science/software-engineering/version-control-git): Git の内容アドレス格納庫とコミット DAG を定義し、ハッシュが履歴全体の完全性を保証すること、fast-forward の判定条件、3-way マージとマージベースが一意にならない場合を証明とともに示し、主要コマンドとプルリクエスト運用に結び付けます。